tài liệu ôn thi đầu vào cao học cần thơ năm 2012 bạn cũng làm được như tôi

nhóm con thực sự ở trong G, mâu thuẩn với giả thuyết của đề bài).. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhóm G chỉ có hữu hạn nhóm con là G hữu hạn..[r]

PHẦN I: NHÓM

BÀI 1.5: Cho G là một nhóm trong đó có duy nhất một phần tử a có cấp 2 CMR: với

x G ax xa

Chứng minh:

Với  x G ax,  xa đặt b x1ax Ta chứng minh: O(b)=2

1

2

e (a do O(a)=2 )

x a x x x e e



2

1

1

a

a

2 ( d o O ( a ) = 2 )

k k

k k

k









 Các kết quả trên chứng tỏ O(b)=2 Do trong giả thuyết trong G có duy nhất 1 phần tử cấp

2 là a Nên b=a

 vậy x1a x  a  a x  xa

Nhắc lại rằng: ( ) (n>0)

,

n k





* Nhận xét: O x ( 1a ) x  O a ( ),  x

BÀI 1.8: Cho nhóm (G,.), Giả sử tồn tại ba số nguyên i liên tiếp sao cho với

 

   CMR: G giao hoán

Chứng minh:

Với  x y ,  G ta có:

 

 

 

(1) (2) (3)













 Kết hợp (1) và (2) ta được:

1 1

( * )

 



Tương tự từ (2) và (3) ta suy ra:



Vậy G giao hoán

BÀI 1.9: CMR nếu (G, ) là một nhóm giao hoán có đúng n phần tử khác nhau là x x1, 2, , xn

thì  x x1 2 xn2  e

Chứng minh:

, , , , n

G  n G  x x x , đặt a  x x1 2 xn Ta chứng minh: a2  e

Đặt:  

2

Ta được: G  A  B A ,  B  

Ta có: 1 2

x A x B

    

Nhận xét:

Nếu xi B thì xi1 B và xi1  xi

i

i

x B





 Do đó:

i

i

x A



 

Từ đó:

2

(G gh) e.

{lưu ý: a2   e a  a1  x x1 2 xn  xn1 x21x11 }

Cách 2: đặt

1

:



 ta thấy f là song ánh vì

2

f  Id

Suy ra:

1

1 2

1

n

x x x x x x a







Từ đó: a2  e

BÀI 1.10: CMR trong nhóm hoán vị Sn , nếu một hoán vị có cấp lẻ thì đó phải là một hoán vị

chẵn Xét chiều đảo

Chứng minh:

Cho   S On, ( )   klẻ

Đặt: ki  O ( i)

Ta có : k  O ( )   BCNN k k ( ,1 2, , kr)

Vì k lẻ nên ki lẻ    1 i r

i



 là hoán vị chẵn    1 i r

1 2 r

  là hoán vị chẵn

Xét chiều đảo ta thấy sai:

VD:   (1 2) 3 4   ta có:  là hoán vị chẵn, O ( )   2chẵn

BÀI 1.15: Chứng minh các khẳng định sau:

2

2

        

chứng minh:

Nhắc lại rằng:

1

) e H (H ) ) x,y ,

i











a Ta thấy: H  M (2, )

0

0 0 2.0 0 H

      

với x y x y  , , ', '

2( ') ' 2 '' ''

với '' '

'' '

  





  



Suy ra A  B  H

2

với x y  ,

' '

A

với '

'

  





  



   A H

Các kết quả trên chứng tỏ H  M (2, ).

b Ta thấy: H  GL (2, )

vì

2

    

, det A  x2  2 y2  0

vì nếu det A = 0 thì x2  2 y2 dẫn đến y=0 do đó x=0, mâu thuẩn với gt: x2  y2  0

(

2

y

 

       

 

mâu thuẩn)

0 1 2.0 1

I            H

với x2  y2  0, ' x 2 y '2  0

.

'' ''

2 '' ''

A B

với '' ' 2 '

'' ' '







, x ''2 y ''2  0

(vì nếu x ''2 y ''2  0 thì x’’=y’’=0 mâu thuẩn vì A, B khả nghịch.)

 A B  H

2

với x y ,  ; x2  y2  0

1

' '

1

2

A









với

'

2

'

2

x x

y y









,

2





 A1 H

Các kết quả trên chứng tỏ H  GL (2, )

Nhắc lại rằng: a b

A

  

, A khả nghịch  det A=ad-bc  0

Khi đó: 1 1

det

A

A



BÀI 1.16:

a) CMR: H là một nhóm con của nhóm (Z,+) khi và chỉ khi H có dạng nZ với n  b) Cho m n  , CMR:

 , 

m  n  m n và m  n  ( , ) m n

Chứng minh:

a) () Gỉa sử H= nZ, ta chứng minh: H  Thật vậy:

* H   vì 0=n suy ra 0  H

* Lấy nk nk1, 2 H:

nk  nk  n k  k  H

Vậy H là một nhóm con của Z

() Giả sử H là một nhóm con của Z, ta chứng minh: H=nZ Thật vậy:

* Nếu H    0 ta có H=0Z với n=0

* Gs H    0 , khi đó có 0   a H Gọi n là số nguyên dương khác 0, thuộc H sao cho: n  a , ta có: n  H (*) ( vì n  H )

Gs a  Hlà một số nguyên, ta có: a=nq+r với r =0 hoặc r  n ,

Ta được: r  a  nq  H , suy ra r=0 tức là a  nq  n , nên H  n (**)

Từ (*) và (**) suy ra: H=nZ

b) ******Ta có nhận xét sau:*******

 k l ,  , k  l  l k

( )

(voi )

( ) (voi )

b , ( )

.

l k



* m  n  [ , ] m n

Ta có: [ , ] [ , ]

[ , ] [ , ]

Suy ra: [ , ] m n  m  n (*)

Ta cần chứng minh: m  n  [ , ] m n , thật vậy:

 

,

, [ , ]

[ , ] (**)

m x

n x

m n x











 





 

Từ (*) và (**) ta kết luận rằng: m  n  [ , ] m n

Ta có:  

Suy ra: m  n  ( , ) m n (*) (do ( , ) m n  )

Ta cần chứng minh: ( , ) m n  m  n , thật vậy:

Do tính chất của UCLN, tồn tại a b  , sc: ( , ) m n  am  bn

Suy ra:   c ,( , ) m n c  m ac ( )  n bc ( )  m  n

( , ) m n m n

Từ (*) và (**) ta kết luận rằng: m  n  ( , ) m n





    



Chứng minh:

( )

   cho H  K  G, giả sử H  K, ta chứng minh: K  H

Thật vậy, do H  K nên  h0 H K \  h0  H  K ,

với   k K, ta có: k  H  K

nên: h ko  H  K (do H  K  G )

đặt a  h k0 , ta có a  H hay a  K

Nếu a  K thì ho  ak1 K, mâu thuẩn

Vậy a  H và do đó k  h ao1  H

Kết quả trên cho thấy K  H

BÀI 1.30: Cho nhóm (G, ) và a b, G CMR:

a) Cấp của ab bằng cấp của ba

b) Cấp của a-1 bằng cấp của a

c) Giả sử ab=ba và a có cấp r, b có cấp s, trong đó r, s nguyên tố cùng nhau; khi đó

ab có cấp rs

d) Giả sử ab=ba và a có cấp r, b có cấp s, trong đó  a    b    e ;khi đó ab có

cấp [r,s]

chứng minh:

a) { Ta lưu ý: xy    e x y1  y x  e }

O(ab)=O(ba)

Nhận xét rằng với mỗi n nguyên dương ta có:

1

( )

( )

( )

n n

n n





Suy ra:

 Nếu O ab   ( ) thì O ba   ( ) và O(ab)=O(ba)

 Nếu O ab   ( ) thì O ba   ( )

( Vì nếu O ba   ( ) thì O ab   ( ) theo kết quả trên, mâu thuẩn)

*Tóm lại: trong mọi trường hợp ta có: O(ab)=O(ba)

b) O(a-1) = O(a)

Với mỗi n nguyên dương ta có:

  1

1

( a )n   e an    e an  e

Suy ra: O(a-1) = O(a)

c)

( )

CM: O(ab)=rs ( )

r s















i) cm: (ab)rs = e

Ta có ( ab )rs  ( ar) (s bs)r  e es. r  e

ii)   k ,  ab k  e CM rs k :

( ) ( ab=ba)

Đặt H  a    b  Ta có:







Nên ( )







từ đó H ( , ) r s  1 Vậy H 1 do đó H={e}

Từ (*) suy ra: ( ( , ) 1)

k k

r k

a e

rs k do r s

s k

b e



 



Vậy: O ( a b ) = r s

Cách 2: Đặt x  ak  bk

Ta có:

x b b b  e e

Suy ra: x=e Vì 1=(r,s)=mr + ns,

1

d) i) Ta cm:   ab r s,   e

Ta có: [r,s]=mr=ns, với m n ,

ii) Ta cm:   k ,  ab k  e  cm  r s k , 

Thật vậy:

 

 

,

k k k k

r k

s k

r s k





 







 





Kl: O(ab)= [r,s]

BÀI 1.31: Chứng minh rằng nếu G là một nhóm có hơn một phần tử và chỉ có hai nhóm con là

{e} và G thì G phải là nhóm cyclic cấp nguyên tố

Chứng minh:

2

G  , G chỉ có 2 nhóm con {e} và G CM: G cyclic cấp nguyên tố

i) G cyclic

Chọn x G \ e ta được:







    Suy ra G cyclic sinh bởi x

ii) G    Nếu G    thì G , mâu thuẩn vì có vô số nhóm con

Vậy G    iii) G  pnguyên tố

Ta có: G  x O x( ) p, ta chứng minh p nguyên tố

Thật vậy, nếu p không nguyên tố thì ta có thể phân tích:

P=p1.p2 với 1<p1, p2<p

Khi đó: p1

H x  G nhưng H  e và H G Mâu thuẩn (nghĩa là G có nhóm con thực sự ở trong G, mâu thuẩn với giả thuyết của đề bài)

Giải thích:

1

p

x  e  p  p  O x

* H G vì xH

xH x 

 p1 k

x x

  2  

2 1 kp k

p p p

Mâu thuẩn vì 1 p2  pO x( ) Tóm lại: G  pnguyên tố

BÀI 1.32 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để nhóm G chỉ có hữu hạn nhóm con là G

hữu hạn

chứng minh:

i)  x G O x, ( ) 

ii) G  

( Hiển nhiên, G hữu hạn sẽ dẫn đến G chỉ có hữu hạn nhóm con )

( i) )  x G O x, ( ) 

Thật vậy, giả sử  x G O x, ( ) 

Khi đó:  x mà có vô số nhóm con nên <x> có vô số nhóm con, Suy ra G có vô số nhóm con, điều này mâu thuẩn

Vậy: ( )O x  

ii) G   (hữu hạn)

Đặt:    x xGtập tất cả nhóm con cyclic của G

Ta thấy  hữu hạn vì G chỉ có hữu hạn nhóm con

Vì

x

 

    và x O x( )   , x G Nên G hữu hạn

***MỘT SỐ ĐIỂM CẦN LƯU Ý VỀ UCLN, BCNN*****

, , , ;

m n k l  d 

1)  , 

; ,

d m

d am bn a b







2)

( , ) 1

k mn

k n

k m







 

3) (m,n)[m,n]=|mn|

4)

|

, | , |

d m

k k m k n





 



BÀI 1.34 Cho nhóm cyclic G=<x> hữu hạn cấp n CMR: với k l  ta có: ,

a) Cấp của x bằng n/d, trong đó d=(n,k) k

b) x k x l  khi và chỉ khi (n,k)=(n,l)

c) G x k  khi và chỉ khi (n,k)=1 Từ đó suy ra số các phần tử sinh của G

d) Hãy mô tả tất cả các nhóm con của G

Chứng minh:

a) O x( k) n

d

 với d=(n,k)

Đặt: n=d.l ta chứng minh: O x( k) l

tức ta cm hai điều: i) O x( k l) e

ii)  m , x k m  e l m| Thật vậy,

k l

d vì d | k )

( , ) 0

' ( ', ') 1.

'

n dn





 

, |

r ,km=rn=rdl (*)

m

n km



  

Ta viết k  dk ', khi đó: (l,k’)=1

  * '

d k m r d l

l k m







Kết luận: O x ( k) l n

d

 

b)  xk  xl  ( , ) n k  ( , ) n l

Trước tiên ta chứng minh:  xk  x( , )n k 

Thật vậy, đặt: d=(n,k)

ta có:

'

k  dk , k  ' nên:

( )

Từ đó:  x k   x d  (*)

Mặt khác: theo câu a) ta có:

( , )

( , ) (**)











Từ (*) và (**) suy ra:  xk  xd  x( , )n k 

Kết quả trên cũng cho ta:  xl  x( , )n l 

Từ các kết quả trên suy ra:

( , ) ( , )

n k n l

Để cm yêu cầu đề bài ta cm (***) là xong

(***)   hiển nhiên

 

( , ) ( , )

  (do cm câu a) (n,k), (n,l) đều là ước của n)

( , ) ( , ) n k n l

c) CM: G  xk  ( , ) n k  1

G   x    x    x 

 ( , ) n k  ( ,1) n  1 (do câu b)

Suy ra số phần tử sinh của G=<x> là các số nguyên k1, 2, ,n, sao cho (n,k)=1 và

do đó bằng ( ) n với  là hàm Euler ( ( )  n  số các số nguyên dương k  mà k nguyên tố n

cùng nhau với n)

d) Mô tả tất cả các nhóm con của G=<x>

H G    x

(0 1)

k

     

n k, 

x

Suy ra mọi nhóm con H của G có dạng  x d  với d>0, d|n

Ta có:

Tính duy nhất của d được suy ra từ kết quả:

'

( , ) ( , ') (cau b) d=d' (do d,d'|n).

   



BÀI CHO THÊM:

Cho G là một nhóm cyclic hữu hạn cấp n CMR: với mỗi k nguyên dương k|n , tồn tại duy nhất nhóm con của G có cấp k

Chứng minh:

* Chứng minh sự tồn tại H:

giả sử n  k l l , 

đặt H  xl 

rõ ràng ta được: ( , )









* Chứng minh H duy nhất:

Giả sử K  x d  mà K  Ta cm: H=K k

( , )

K  x  x 

( , ) ( , )

( , ) n d l

Vậy K  xl  H

TRƯỚC KHI CM BÀI 1.38 TA CM BÀI SAU:

H, K là nhóm con của nhóm G.HK hk h| H k, K CM: HKG HK  KH

chứng minh:

  Gs HK G cm: HK=KH

* KH HK Thật vậy:

(1) (2)

K eK HK

H He HK

Mà HK là nhóm con của G nên từ (1) và (2) ta suy ra: KH HK

* HK KH nghĩa là ta cm:

,

h H k K

   , ta cần cm hkKH

 

Mà k h1 1KH HK nên k h1 1 h k1 1 với h1H k, 1K

Suy ra:   1 1 1

1 1 1 1

hk  h k  k h  KH tức là: HK KH

Kết luận: HK=KH

  Gs HK=KH, ta cm: HK G

i) ee e HK

ii) x y, HK , chứng minh xyHK thật vậy:

1 1 1 , 1

xh k h H k K

2 2 2 , 2

yh k h H k K

1 1 2 2 1( 1 2) 2

xy h k h k h k h k

Mà k h1 2KH  HKnên k h1 2 h k3 3 (với h3H k, 3K )

1 3 3 2

( )( )

xy h h k k HK

iii)  x HK,cm x1HK

Thật vậy:

xhk hH kK

1 1 1 1

x HK

  



Kết luận: HK G

BÀI 1.38 Cho H, K là hai nhóm con của nhóm (G, ) CMR:

a) Nếu H chuẩn tắc trong G thì HK là nhóm con của G

b) H,K đều chuẩn tắc trong G thì HK là nhóm con chuẩn tắc của G

Chứng minh:

a) HGHK G thật vậy:

H G suy ra:  x G Hx,  xH

Suy ra:  k K Hk, kH

Suy ra: HK=KH

Cách 2 trực tiếp:

i) ee e HK

ii) x y, HK , ta cm: x y1 HK, thật vậy:

1 1 1 , 1

xh k h H k K

2 2 2 , 2

yh k h H k K

1 1 2 2 1 1 2 2

=( ) (voi )

x y h k h k k h h k

k h k k Hk h h h H



Mà k Hk11 2  Hk k11 2 HK do H chuẩn tắc

Suy ra: x y1 HK

Tóm lại: HK G b) H G

HK G

K G













 thật vậy:

* HK G câu a)

* x G 

( ) ( ) ( )

x HK xH K Hx K

H xK H Kx HK x

Kết luận: HKG