Hệ thức lượng trong tam giác - Chuyên đề Hình học 10 - Hoc360.net

• Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác.. Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A.[r]

§3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Định lí côsin: Trong tam giác ABC với BC a AC, b và AB c Ta có :

2 cos

2 cos

2 cos

Hệ quả:

A

bc

B

ca

C

ab

cos

2 cos

2 cos

2

2 Định lí sin : Trong tam giác ABC với BC a AC, b, AB c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp Ta có :

R

3 Độ dài trung tuyến: Cho tam giác ABC với m m m a, b, c lần lượt là các trung tuyến kẻ

từ A, B, C Ta có :

4 Diện tích tam giác

Với tam giác ABC ta kí hiệu h h h a, ,b c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh

BC, CA, AB; R, r

lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p a b c

2 là nửa chu vi

tam giác; S là diện tích tam giác Khi đó ta có:

= 1bcsinA 1casinB 1absinC

R

4

= p p( a p)( b p)( c) (công thức Hê–rông)

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

c

a

b A

Hình 2.6

2

2

2

4

4

4

a

b

c

m

m

m

 DẠNG 1: Xác định các yếu tố trong tam giác

1 Phương pháp

• Sử dụng định lí côsin và định lí sin

• Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các công thức tính diện tích trong tam giác

2 Các ví dụ

5

Tính cạnh BC, và độ dài đường cao kẻ từ A

Lời giải

Áp dụng định lí côsin ta có

5

Suy ra BC 29

Theo công thức tính diện tích ta có S ABC 1AB AC .sinA 1.4.5.4 8

Mặt khác S ABC 1a h a 1 29.h a

Từ (1) và (2) suy ra 1 29.h a 8 h a 16 29

Vậy độ dài đường cao kẻ từ A là h a 16 29

29

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết A 30 ,0 B 450 Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

Lời giải

Ta có C 1800 A B 1800 300 450 1050

Theo định lí sin ta có a 2 sinR A 2.3.sin 300 3,

2

c 2 sinR C 2.3.sin1050 5,796

Theo công thức đường trung tuyến ta có

a

m

23,547

Theo công thức tính diện tích tam giác ta có

ABC

p

0

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC Biết

AB 3,BC 8, cosAMB 5 13

26 Tính độ dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC

Lời giải (hình 2.7)

Theo định lí côsin ta có

cos

AMB

AM AB

2

x

2

x

x

2

13

13 Theo công thức tính đường trung tuyến ta có

AM

AB AC

2

Ta có BC AC AB góc A lớn nhất Theo định lí côsin ta có

cos

A

AB AC

Suy ra A 98 120 '

Ta có BC AC AB góc A lớn nhất Theo định lí côsin ta có

cos

A

AB AC

13

2 3 13 Suy ra A 137 320 '

Ví dụ 4: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD 1 Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn

sin

3

Tính độ dài cạnh AB

Lời giải (hình 2.8)

Vì góc BDE nhọn nên cosBDE 0 suy ra

3 Theo định lí Pitago ta có:

Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDE ta có

BDE

cos

M

A

Hình 2.7

E A

B

Hình 2.8

4 2 2 2

2

Vậy độ dài cạnh AB là 2

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.56: Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3, cạnh

AB 9 và ACB 60 Tính cạnh BC 0

Bài 2.57: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB 1 Trên tia đối của AC lấy điểm D sao cho CD AB Giả sử CBD 30 Tính AC 0

Bài 2.58 Cho a x2 x 1;b 2x 1;c x2 1 Giả sử a b c, , là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng tam giác đó có một góc bằng 1200

Bài 2.59: Cho tam giác ABC có AB 3,AC 7,BC 8

a) Tính diện tích tam giác ABC

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

c) Tính đường đường cao kẻ từ đỉnh A

Bài 2.60: Cho tam giác ABC thỏa mãn a b 2c

a) Tính các góc của tam giác

b) Cho a=2 3 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 2.61: Cho tam giác ABC có A 0,a ,r 5 3

3 a) Tính R

b) Tính b, c

Bài 2.62: Cho tam giác ABC có AB 10,AC 4 và A 60 0

a) Tính chu vi của tam giác

b) Tính tanC

c) Lấy điểm D trên tia đối của tia AB sao cho AD 6 và điểm E trên tia AC sao cho

AE x Tìm x để BE là tiếp tuyến của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ADE

Bài 2.63 Cho tam giác ABC cân có cạnh bên bằng b và nội tiếp đường tròn (O;R)

a) Tính côsin của các góc tam giác

b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

c) Với giá trị nào của b thì tam giác có diện tích lớn nhất ?

 DẠNG 2: Giải tam giác

1 Phương pháp

• Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước

• Trong các bài toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau : biết một cạnh và hai

góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh

Để tìm các yếu tố còn lại ta sử dụng định lí côsin và định lí sin ; định lí tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn

và ngược lại đối diện với cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn

2 Các ví dụ

Lời giải

Theo định lí côsin ta có

a2 b2 c2 2 cosbc A 322 42 2.32.4.sin 87 0

Suy ra a 53, 8

Theo định lí sin ta có

a

0

0 sin 32 sin 87

53, 8

Suy ra C 1800 A B 1800 870 360 57 0

Ví dụ 2: Giải tam giác ABC biết A 60 ,0 B 400 và c 14

Lời giải

Ta có C 1800 A B 1800 600 400 80 0

Theo định lí sin ta có

C

0

0

12, 3

C

0

0

9,1

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết a 2 3,b 2 2,c 6 2 Tính góc lớn nhất của tam giác

Lời giải

Theo giải thiết ta có c b a suy ra C B A do đó góc A là lớn nhất

Theo định lí côsin ta có

A

bc

2 2

cos

Suy ra A 1200

Vậy góc lớn nhất là góc A có số đo là 1200

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.64: Giải tam giác ABC biết

a) a 2,b 3,c 4 b) a 12;c 8,2 và A 1100

Bài 2.65: Giải tam giác ABC , biết:

a) a 109; B 33 240 '; C 66 59 0 '

Bài 2.66: Giải tam giác ABC , biết:

b) b 14; c 10; A 1450

Bài 2.67: Cho ABC ta có a 13,b 4 và cosC 5

13 Tính bán kính đường tròn

ngoại tiếp và nội tiếp tam giác

 DẠNG 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến các yếu tố của

tam giác, tứ giác

1 Phương pháp giải

• Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng

• Để chứng minh bất đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong tam giác và bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, bunhiacôpxki,…)

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn sin2A sin sinB C Chứng minh rằng

a) a2 bc

b) cosA 1

2

Lời giải

a) Áp dụng định lí sin ta có A a B b C c

2

b) Áp dụng định lí côsin và câu a) ta có

A

cos

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:

bc

cos

b) sin sin sin cosAcosBcosC

Lời giải (hình 2.9)

a) Trên tia đối của tia AC lấy D thỏa AD AB c suy ra tam giác BDA cân tại A và

2

Áp dụng định lý hàm số Côsin cho ABD, ta có:

BD AB AD AB AD BAD

bc

2 cos =2 2 cos(180 )

2 4

Suy ra

cp p a

BD

b

Gọi I là trung điểm của BD suy ra AI BD

Trong tam giác ADI vuông tại I, ta có

ADI

bc

cos

Theo câu a) ta có A p p a

bc

cos

ca

cos

ab

cos

kết hợp với công thức S p p a p b p c abc

R

4

4 cos cos cos 4

Từ (1) và (2) suy ra sinA sinB sinC 4 cos cosA BcosC

Nhận xét: Từ câu a) và hệ thức lượng giác cơ bản ta suy ra được các công thức

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC , chứng minh rằng:

A

S

cot

4

b) cotA cotB cotC 3

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin và công thức S 1bcsinA

2 ta có:

I

B

D

Hình 2.9

cot

A

b) Theo câu a) tương tự ta có B c a b

S

cot

C

S

cot

4

a b c

S

4

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có p a p b p c p a b c p

3

p

S

4 3

4

4 3

đpcm

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ

B và C vuông góc với nhau là b2 c2 5a2

Lời giải:

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC

Khi đó hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau khi và chỉ khi tam giác GBC vuông tại G

Mặt khác theo công thức đường trung tuyến ta có

m2 2( 2 2) 2 m2 2( 2 2) 2

,

Suy ra 4 m b2 m c2 a2

(*)

9

a

2

4

(đpcm)

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điểm các đường chéo Chứng minh :

AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2 4EF2

Lời giải (hình 2.10)

Áp dụng công thức đường trung tuyến với tam giác ABC và ADC ta có:

2 (1)

AC

2

2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra

AB2 BC2 CD2 DA2 2 BE2 DE2 AC2

Mặt khác EF là đường trung tuyến tam giác BDF nên BD

2

Suy ra AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2 4EF2

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.68: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có;

a) a b.cosC c.cos B b) sinA sin cosB C sin cos C B

c) h a 2 sin sin R B C d) m a2 m b2 m c2 3 a2 b2 c2

4

e) S ABC 1 AB AC2 2 AB AC 2

2

Bài 2.69: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) b c 2 a

b) Góc A vuông m b2 m c2 5m a2

Bài 2.70: Cho tam giác ABC thỏa mãn a4 b4 c4 Chứng minh rằng

a) Tam giác ABC nhọn

b) 2 sin2A tan tanB C

Bài 2.71: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng nếucotA 1 cotB cotC

b2 1 a2 c2

Bài 2.72: Gọi S là diện tích tam giác ABC Chứng minh rằng:

a) S 2R2sin sin sin A B C

b) S Rr(sinA sinB sin )C

Bài 2.73: Cho tứ giác lồi ABCD, gọi  là góc hợp bởi hai đường chép AC và BD Chứng minh diện tích S của tứ giác cho bởi công thức: S 1AC BD .sin

Bài 2.74: Cho tam giác ABC có BAC 120 , AD là đường phân giác trong (D thuộc BC) 0 Chứng minh rằng

Bài 2.75: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

b) c2 b2 a2 tanA c2 a2 b2 tanB

E F A

B

Hình 2.10

a) h a p p( a)

b) a b2 2 b c2 2 c a2 2 R a2( b c) 2

Bài 2.77.Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

Bài 2.78 Cho tam giác ABC Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp Chứng minh rằng

r (p a)tan (p c)tan (p c)tan

Bài 2.79 Cho tam giác ABC có b

c

m c

b m 1 Chứng minh rằng 2cotA cotB cot C

Bài 2.80 Cho M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho MAB MBC MCA Chứng minh rằng : cot cotA cotB cot C

Bài 2.81 Cho tam giác ABC có trọng tâm G và GAB ,GBC ,GCA

S

3

4

Bài 2.82 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng

Bài 2.83: Cho hình bình hành ABCD có AC 3AD Chứng minh rằng cotBAD 4

3

Bài 2.84 Cho tam giác ABC có các cạnh a, b, c và diện tích S Chứng minh rằng

a2 b2 c2 4 3 S

 DẠNG 4: Nhận dạng tam giác

1 Phương pháp giải

Sử dụng định lí côsin; sin; công thức đường trung tuyến; công thức tính diện tích tam giác để

biến đổi giả thiết về hệ thức liên hệ cạnh(hoặc góc) từ đó suy ra dạng của tam giác

2 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thoả mãn sinC 2 sin cosB A Chứng minh minh rằng tam giác ABC cân

Lời giải

Áp dụng định lí côsin và sin ta có:

c2 b2 c2 a2 a b

Suy ra tam giác ABC cân tại đỉnh C

A

sin sin sin

cos cos Chứng minh rằng tam giác

ABC vuông

Lời giải

sin sin

a c a b a b c b c

b c( 2 a2 b2) c a( 2 b2 c2) 2b c2 2c b2

b3 c3 b c2 bc2 a b2 a c2 0 (b c b)( 2 c2) a b2( c) 0

b2 c2 a2 ABC vuông tại A

Ví dụ 3: Nhận dạng tam giác ABC trong các trường hợp sau:

a) sina A bsinB csinC h a h b h c

2

Lời giải

a) Áp dụng công thức diện tích ta có S 1bcsinA 1ah a

a2 b2 c2 ab bc ca a b 2 b c 2 c a 2 0

a b c

Vậy tam giác ABC đều

2

2

2

3 Bài tập luyện tập

Bài 2.85: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân nếu h a c.sinA

Bài 2.86: Cho tam giác ABC Chứng minh tam giác ABC cân nếu 4m a2 b b 4c.cosA

Bài 2.87: Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi a2 b2 c2 36 r2

Bài 2.88: Cho tam giác ABC Tìm góc A trong tam giác biết các cạnh a, b, c thoả mãn hệ thức:

b b( 2 a2) c c( 2 a2),(b c)

Bài 2.89: Cho ABC thoả mãn điều kiện:

b

2

2 cos

Chứng minh rằng ABC

đều

Bài 2.90: Trong tam giác ABC , chứng minh rằng nếu diện tích tính theo công thức

Bài 2.91: Cho ABC thỏa mãn: B a c

sin 4 Chứng minh rằng tam giác

Bài 2.92: Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A hoặc B khi và chỉ khi

Bài 2.93: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến kẻ từ B và C vuông góc với nhau và có

bc

R r

2 1 10 Chứng mình rằng tam giác ABC cân

Bài 2.94: Chứng minh rằng tam giác ABC đều khi và chỉ khi A B ab

c

sin sin

Bài 2.95: Chứng minh rằng tam giácABC cân tại tại B khi và chỉ khi