• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc.. • Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.[r]
Trang 1§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ
TỪ 00 ĐẾN 1800
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy.Với mỗi góc
0 180 , ta xác định điểm M trên trên đường nửa
đường tròn đơn vị tâm O sao cho xOM Giả sử điểm
M có tọa độ x y;
Khi đó:
y
sin ; cos x; tan ( 90 ); cot ( 0 , 180 ) Các
số sin , cos , tan , cot được gọi là giá trị lượng giác của góc
Chú ý: Từ định nghĩa ta có:
• Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ox, Oy khi đó M OP OQ;
• Với 00 1800 ta có 0 sin 1; 1 cos 1
• Dấu của giá trị lượng giác:
Góc 00 900 1800
2 Tính chất
• Góc phụ nhau
0
0
0
0
sin(90 ) cos
cos(90 ) sin
tan(90 ) cot
cot(90 ) tan
• Góc bù nhau
0
0
0
0
sin(180 ) sin
cos(180 ) cos
cot(180 ) cot
3 Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
x
y
P O
M(x;y) Q
Hình 2.1
Trang 2Góc 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 120 0 135 0 150 0 180 0
sin
2
2 2
3
3 2
2 2
1
cos
2
2 2
1
1 2
2 2
3
2 –1 tan
3
cot
3 0
3
4 Các hệ thức lượng giác cơ bản
0
2
2
sin
cos
cos
sin
3) tan cot 1 ( 0 ; 90 ; 180 )
1
cos 1
sin
Chứng minh:
- Hệ thức 1), 2) và 3) dễ dàng suy ra từ định nghĩa
- Ta có sin OQ, cos OP
Suy ra sin2 cos2 OQ2 OP2 OQ2 OP2
+ Nếu 0 ,0 900 hoặc 1800 thì dễ dàng thấy sin2 cos2 1
+ Nếu 0 ,0 900 và 1800 khi đó theo định lý Pitago ta có
sin2 cos2 OQ2 OP2 OQ2 QM2 OM2 1
Vậy ta có sin2 cos2 1
Mặt khác
2
Tương tự
2
Trang 3B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1 : Xác định giá trị lượng giác của góc đặc biệt
1 Phương pháp giải
• Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc
• Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt
• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A a2sin 900 b2cos 900 c2cos180 0
b) B 3 sin 902 0 2 cos 602 0 3 tan 45 2 0
c) C sin 452 0 2 sin 502 0 3 cos 452 0 2 sin 402 0 4 tan 55 tan 35 0 0
Lời giải
a) A a2.1 b2.0 c2 1 a2 c2
b) B
2 2
c) C sin 452 0 3 cos 452 0 2 sin 502 0 sin 402 0 4 tan 55 cot55 0 0
C
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A sin 32 0 sin 152 0 sin 752 0 sin 87 2 0
b) B cos 00 cos200 cos 400 cos1600 cos180 0
c) C tan 5 tan10 tan15 tan 80 tan 850 0 0 0 0
Lời giải
a) A sin 32 0 sin 872 0 sin 152 0 sin 75 2 0
b) B cos 00 cos1800 cos200 cos1600 cos 800 cos100 0
0
c) C tan 5 tan 850 0 tan15 tan 75 tan 45 tan 45 0 0 0 0
tan 5 cot5 tan15 cot5 tan 45 cot5
1
3 Bài tập luyện tập:
Bài 2.1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A sin 450 2 cos 600 tan 300 5 cot1200 4 sin135 0
b) B 4 sin 45a2 2 0 3( tan 45 )a 0 2 (2 cos 45 ) a 0 2
c) C sin 352 0 5 sin 732 0 cos 352 0 5 cos 73 2 0
12
Trang 4f) F cos 13 0 cos 23 0 cos 33 0 cos 1793 0 cos 180 3 0
Bài 2.2: Tính giá trị của các biểu thức sau:
x
x
2 0
8 tan 3
x 300
DẠNG 2 : Chứng minh đẳng thức lượng giác, chứng minh biểu thức không phụ
thuộc x, đơn giản biểu thức
1 Phương pháp giải
• Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản
• Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) sin4x cos4x 1 2 sin cos2x 2x
x
3
cos
Lời giải
a) sin4x cos4x sin4x cos4x 2 sin2xcos2x 2 sin2xcos2x
2
1 2 sin cos
b)
x
1
1
tan3x tan2x tanx 1
A C
B
sin
Lời giải
Vì A B C 180 nên 0
B
B
sin
Trang 5B B
Suy ra điều phải chứng minh
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) A sin(900 x) cos(1800 x) sin (12x tan )2x tan2x
b) B
Lời giải
x
2
1
cos
B
x x
2 2
1
sin
Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x
P sin4x 6 cos2x 3 cos4x cos4x 6 sin2x 3 sin4x
Lời giải
P 1 cos2x 2 6 cos2x 3 cos4x 1 sin2x 2 6 sin2x 3 sin4x
2 cos 1 2 sin 1
3
Vậy P không phụ thuộc vào x
3 Bài tập luyên tập
Bài 2.3 Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) tan2x sin2x tan sin2x 2x
b) sin6x cos6x 1 3 sin cos2x 2x
x x
sin cos
d) sin2x tan2x tan (cos6x 2x cot ) 2x
e) tan tan sin sin
Bài 2.4 Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
x
2
1
cos
Trang 6b) x x
2
cos
C
2
sin cos cos sin (sin cos )
D
Bài 2.5 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)
a) (tan cot )2 (tan cot ) 2
b) 2(sin6 cos6 ) 3(sin4 cos4 )
c) cot 30 (sin2 0 8 cos ) 4 cos 60 (cos8 0 6 sin ) sin (906 6 0 ) tan2 1 3
d) (sin4x cos4x 1)(tan2x cot2x 2)
Bài 2.6: Cho tam giác ABC Hãy rút gọn
A cos2 cos2 tan tan
b)
A C
sin
DẠNG 3 : Xác định giá trị của một biểu thức lượng giác có điều kiện
1 Phương pháp giải
• Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản
• Dựa vào dấu của giá trị lượng giác
• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ
2 Các ví dụ
3 với
90 180 Tính cos và tan
cos
3 Tính sin và cot
c) Cho tan 2 2 tính giá trị lượng giác còn lại
Lời giải
a) Vì 900 180 nên 0 cos 0 mặt khác sin2 cos2 1 suy ra
Do đó
1
tan
3
Trang 7
b) Vì sin2 cos2 1 nên 2 4 5
9 3 và
2
cot
3
c) Vì tan 2 2 0 cos 0 mặt khác 2
2
1
cos nên
2
cos
tan 1
1
cot
3
4 với
0 90 Tính A tan 3 cot
tan cot b) Cho tan 2 Tính B 3 sin 3cos
sin 3 cos 2 sin
Lời giải
a) Ta có A
2 2
2
1 1
2
tan
Suy ra A 1 2 9 17
b) B
Suy ra B
a) Tìm sin cosx x và sin4x cos4x
b) Chứng minh rằng m 2
Lời giải
a) Ta có sinx cosx 2 sin2x 2sin cosx x cos2x 1 2sin cos (*) x x
Trang 8Đặt A sin4x cos4x Ta có
A sin2x cos2x sin2x cos2x sinx cosx sinx cosx
A2 sinx cosx 2 sinx cosx 2 1 2 sin cosx x 1 2 sin cosx x
Vậy A 3 2m2 m4
2 b) Ta có 2 sin cosx x sin2x cos2x 1 kết hợp với (*) suy ra
Vậy m 2
3 Bài tập luyện tập
Bài 2.7: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết
sin
5 với
0 90 b) cos 1
5 c) cot 2 d) tan cot 0 và 1
sin
5
Bài 2.8 a) Cho cosa 2
3 Tính
A
cot 3 tan
2 cot tan
b) Chosina 1
3 với a
3 cot 2 tan 1 cot tan c) Cho tana 2 Tính a a
C
2 sin 3 cos sin cos ; d) Cho cota 5 Tính D 2 cos2a 5 sin cosa a 1
Bài 2.9: Biết tanx cotx m
a) Tìm tan x2 cot x b) 2 tan x46 cot x64
tan x cot x c) Chứng minh m 2
Bài 2.10: Cho 12
sin cos
25 Tính
Bài 2.11: Cho tana cota 3 Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A tan2a cot2a
b) B tana cot a
c) C tan4a cot4a
Bài 2.12: a) Cho 4x 4x 3
sin 3 cos
Trang 9b) Cho 4x 4x 1
sin 3cos
3 sin 4 cos