Đề thi tuyển sinh Cao học Khoa học TN Tp HCM 2008 – Toán Cơ bản

(b) Cho n là một số nguyên dương và gọi W là không gian con của V gồm tất cả các đa thức có bậc không vượt quá n.[r]

ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC 2008 ĐỢT 1 – TRƯỜNG ĐHKHTN TPHCM NGÀNH TÓAN – MÔN CƠ BẢN Thời gian làm bài : 180 phút

Phần Giải Tích Bài 1 Cho (E,δ) là một không gian metric

d : E x E  R

(x,y) 

Chứng minh(E,d) cũng là một không gian metric

Bài 2 Cho (E,d) là một không gian metric và A là một tập con không rỗng của E.Xét ánh xạ φ:E→R

xác định bởi

,

( ) ( , ) inf( , )

a A





a) Chứng minh rằng | ( )  x   ( )| y  d x y ( , ),  x y E , 

b) Chứng tỏ rằng  liên tục trên E

Bài 3 Cho f và g là hai ánh xạ liên lục từ không gian metric X vào không gian metric Y.Giả sử A là

một tập con không rỗng của X sao cho :f(x)=g(x) ,  x A

Chứng minh rằng f(x)=g(x),   x A

Bài 4 Cho hàm số :

( , ) ( , )

n





và t0 ( , ) a b Giả sử

i) Với mỗi t  ( , ) a b ,hàm số x  f x t ( , ) đo được

ii) Có một hàm khả tích g R : n  Rsao cho với mọi t ( , ) a b

| ( , ) | f x t  g x ( ),   x Rn

iii) Có một hàm số : n lim ( , ) ( ), n

t t

h R R sao cho f x t h x x R



0

Chứng minh rằng h là một hàm khả tích và

lim

f x t dx h x dx





0

(Hết phần giải tích)

PHẦN ĐẠI SỐ Bài 1 : Gọi A,B,C lần lượt là các cơ sở chính tắc của 4, 3, 2 và một cơ sở của 2 và

   

D    2,1 ,   3, 2

Xét các ánh xạ tuyến tính

g f

4 3 2 thỏa :

f x, y, z, t  x  2y 5z 2t, 2x    4y 3z t, 4x    7z 3t  x, y, z, t 4:

và   g B,C 1 1 4



(a) Viết các ma trận g f A,C và  g B,D

(b) Tìm một cơ sở H cho Im(f) và một cơ sở K cho Ker(g) Cho biết HK có phải là cơ sở của 3 không ? Tại sao ?

Bài 2 :

Cho V, |  là không gian Euclide

(a) Giả sử    , , V thỏa :   3,   2,   4 Tính giá trị của tổng :

S                        

(b) Giả sử W là không gian con của V sao cho : V  W  W Chứng minh rằng : W  W

Bài 3 :

Cho V    x là không gian vector gồm tất cả các đa thức theo biến x với hệ số nằm trong trường

số thực Định nghĩa ánh xạ :

1

0

| : x  , f | g   f x g x dx, f , g   x

(a) Chứng minh rằng ánh xạ nói trên là một tích vô hướng ( tích trong ) trong V

(b) Cho n là một số nguyên dương và gọi W là không gian con của V gồm tất cả các đa thức có bậc không vượt quá n Cho biết khẳng định : W  W là đúng hay sai ? Tại sao ?