Một số các phép toán mệnh đề là : Mệnh đề phủ định(phép phủ định), Mệnh đề kéo theo(phép kéo theo), mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương(phép tương đương). Các ví dụ minh họa.. Bài tập luy[r]
Trang 1Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
§1 MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định nghĩa:
Mệnh đề là một câu khẳng định Đúng hoặc Sai
Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai
2.Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P ” gọi là mệnh đề phủ định của P
Ký hiệu là P Nếu P đúng thì P sai, nếu P sai thì P đúng
3 Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Cho hai mệnh đề P và Q Mệnh đề "nếu P thì Q" gọi là mệnh đề kéo theo
Ký hiệu là P Q Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng Q sai
Cho mệnh đề P Q Khi đó mệnh đề Q P gọi là mệnh đề đảo của Q P
4 Mệnh đề tương đương
Cho hai mệnh đề P và Q Mệnh đề "P nếu và chỉ nếu Q" gọi là mệnh đề tương đương
Ký hiệu là P Q
Mệnh đề P Q đúng khi cả P Q và Q P cùng đúng
Chú ý: "Tương đương" còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như "điều kiện cần và đủ", "khi
và chỉ khi", "nếu và chỉ nếu"
5 Mệnh đề chứa biến
Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập
X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề
Ví dụ: P n : " n chia hết cho 5 " với n là số tự nhiên
;
P x y :"2x y 5" Với x y, là số thực
6 Các kí hiệu , và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ,
Kí hiệu : đọc là với mọi, : đọc là tồn tại
Phủ định của mệnh đề “ x X P x ” là mệnh đề “, x X P x, ( )”
Phủ định của mệnh đề “ x X P x ” là mệnh đề “, x X P x, ( )”
B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
➢ DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỆNH ĐỀ
1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh
đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai
Trang 2Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
(1) Ở đây đẹp quá!
(2) Phương trình x2 3x 1 0 vô nghiệm
(3) 16 không là số nguyên tố
(4) Hai phương trình x2 4x 3 0 và x2 x 3 1 0 có nghiệm chung
(5) Số có lớn hơn 3 hay không?
(6) Italia vô địch Worldcup 2006
(7) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau
(8) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau
Lời giải
Câu (1) và (5) không là mệnh đề(vì là câu cảm thán, câu hỏi)
Các câu (3), (4), (6), (8) là những mệnh đề đúng
Câu (2) và (7) là những mệnh đề sai
Ví dụ 2: Cho ba mệnh đề sau, với n là số tự nhiên
(1) n 8 là số chính phương
(2) Chữ số tận cùng của n là 4
(3) n 1 là số chính phương
Biết rằng có hai mệnh đề đúng và một mệnh đề sai Hãy xác định mệnh đề nào, đúng mệnh đề nào sai
Lời giải
Ta có số chính phương có các chữ số tận cùng là0, 1, 4, 5, 6, 9 Vì vậy
- Nhận thấy giữa mệnh đề (1) và (2) có mâu thuẫn Bởi vì, giả sử 2 mệnh đề này đồng thời là đúng thì n 8 có chữ số tận cùng là 2 nên không thể là số chính phương Vậy trong hai mệnh đề này phải có một mệnh đề là đúng và một mệnh đề là sai
- Tương tự, nhận thấy giữa mệnh đề (2) và (3) cũng có mâu thuẫn Bởi vì, giả sử mệnh đề này đồng thời là đúng thì n 1 có chữ số tận cùng là 3 nên không thể là số chính phương
Vậy trong ba mệnh đề trên thì mệnh đề (1) và (3) là đúng, còn mệnh đề (2) là sai
2 Bài tập luyện tập
Bài 1.0: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh
đề hay cho biết mệnh đề đó đúng hay sai
a) Không được đi lối này!
b) Bây giờ là mấy giờ?
c) Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1946
d) 16 chia 3 dư 1
e) 2003 không là số nguyên tố
f) 5 là số vô tỉ
g) Hai đường tròn phân biệt có nhiều nhất là hai điểm chung
Trang 3Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
Bài 1.1: Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vòng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan và Inđônêxia Trước khi thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đoán như sau:
Dung: Singapor nhì, còn Thái Lan ba
Quang: Việt Nam nhì, còn Thái Lan tư
Trung: Singapor nhất và Inđônêxia nhì
Kết quả, mỗi bạn dự đoán đúng một đội và sai một đội Hỏi mỗi đội đã đạt giải mấy?
➢ DẠNG TOÁN 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ MỆNH ĐỀ
Các phép toán mệnh đề được sử dụng nhằm mục đích kết nối các mệnh đề lại với nhau tạo ra một mệnh đề mới Một số các phép toán mệnh đề là : Mệnh đề phủ định(phép phủ định), Mệnh đề kéo theo(phép kéo theo), mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương(phép tương đương)
1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
:
P " Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau"
:
Q " 6 là số nguyên tố"
:
R " Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại"
:
S " 5 3 "
:
K " Phương trình x4 2x2 2 0 có nghiệm "
:
H "
2
3
3 12 "
Lời giải
Ta có các mệnh đề phủ định là
:
P " Hai đường chéo của hình thoi không vuông góc với nhau", mệnh đề này sai
:
Q " 6 không phải là số nguyên tố", mệnh đề này đúng
:
R " Tổng hai cạnh của một tam giác nhỏ hơn hoặc bằng cạnh còn lại", mệnh đề này sai
:
S " 5 3 ", mệnh đề này sai
:
K " phương trình x4 2x2 2 0 vô nghiệm ", mệnh đề này đúng vì
2
:
H " 3 12 2 3 ", mệnh đề này sai
Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề P Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó a) P : " Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q : " Tứ giác ABCD AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường"
Trang 4Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
b) P : "2 9" và Q : " 4 3 "
c) P : " Tam giác ABC vuông cân tại A" và Q : " Tam giác ABC có A 2B "
d) P :" Ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam" và Q :" Ngày 27 tháng 7
là ngày thương binh liệt sĩ"
Lời giải
a) Mệnh đề P Q là " Nếu tứ giác ABCD là hình thoi thì AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường", mệnh đề này đúng
Mệnh đề đảo là Q P : "Nếu tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thìABCD là hình thoi ", mệnh đề này sai
b) Mệnh đề P Q là " Nếu 2 9 thì 4 3 ", mệnh đề này đúng vì mệnh đề P sai
Mệnh đề đảo là Q P : " Nếu 4 3 thì 2 9 ", mệnh đề này đúng vì mệnh đề Q sai c) Mệnh đề P Q là " Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì A 2B ", mệnh đề này đúng
Mệnh đề đảo là Q P : " Nếu tam giác ABC có A 2B thì nó vuông cân tại A", mệnh
đề này sai
d) Mệnh đề P Q là " Nếu ngày 2 tháng 9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam thì ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ"
Mệnh đề đảo là Q P : " Nếu ngày 27 tháng 7 là ngày thương binh liệt sĩ thì ngày 2 tháng
9 là ngày Quốc Khánh của nước Việt Nam"
Hai mệnh đề trên đều đúng vì mệnh đề P Q, đều đúng
Ví dụ 3: Phát biểu mệnh đề P Q bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó
a) P : "Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q :" Tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau"
b) P : " Bất phương trình x2 3x 1 có nghiệm" và Q : " 1 2 3 1 1 "
Lời giải
a) Ta có mệnh đề P Q đúng vì mệnh đề P Q Q, P đều đúng và được phát biểu
bằng hai cách như sau:
"Tứ giác ABCD là hình thoi khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau" và
"Tứ giác ABCD là hình thoi nếu và chỉ nêu tứ giác ABCD là hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau"
b) Ta có mệnh đề P Q đúng vì mệnh đề ,P Q đều đúng(do đó mệnh đề P Q Q, P
đều đúng) và được phát biểu bằng hai cách như sau:
Trang 5Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
" Bất phương trình x2 3x 1 có nghiệm khi và chỉ khi 1 2 3 1 1" và
" Bất phương trình x2 3x 1 có nghiệm nếu và chỉ nếu 1 2 3 1 1"
3 Bài tập luyện tập
Bài 1.2: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
:
P " Trong tam giác tổng ba góc bằng 1800"
:
Q " 3 27 2 là số nguyên "
:
R " Việt Nam vô địch Worldcup 2020"
:
S " 5
2
2 "
:
K " Bất phương trình x2013 2030 vô nghiệm "
Bài 1.3: Phát biểu mệnh đề P Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó a) P : " Tứ giác ABCD là hình chữ nhật" và Q : "Tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC
và BD vuông góc với nhau"
b) P : " 3 2 " và
: " 3 2 "
c) P : " Tam giác ABC có A B C " và Q : " Tam giác ABC có
BC AB AC "
d) P :"Tố Hữu là nhà Toán học lớn của Việt Nam" và Q :"Évariste Galois là nhà Thơ lỗi lạc của Thế giới "
Bài 1.4: Phát biểu mệnh đề P Q bằng hai cách và và xét tính đúng sai của nó
a) Cho tứ giác ABDC Xét hai mệnh đề
P: " Tứ giác ABCD là hình vuông"
Q: " Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng vuông góc với nhau "
b) P: " Bất phương trình x2 3x 1 0 có nghiệm" và Q: " Bất phương trình
x x vô nghiệm"
Bài 1.5: Cho các mệnh đề :
Trang 6Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
A : “Nếu ABC đều có cạnh bằng a, đường cao là h thì h = 3
2
a
” ;
B : “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông” ;
C : “15 là số nguyên tố” ;
D : “ 125 là một số nguyên”
a) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai : A B, A D, B
C
b) Hãy cho biết trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai : A B, B C, B
D
Bài 1.6: Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P Q Q, P và xét tính đúng sai của mệnh đề này
a) Cho tứ giác ABCD và hai mệnh đề:
P: " Tổng 2 góc đối của tứ giác lồi bằng 1800 " và Q: " Tứ giác nội tiếp được đường tròn " b) P : " 2 3 1" và Q: "
2 3 1 "
➢ DẠNG TOÁN 3: MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU ,
1 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho mệnh đề chứa biến "P x :x x3" , xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
3
P c) x N P x , d) x N P x ,
Lời giải
a) Ta có P 1 : 1 13 đây là mệnh đề sai
b) Ta có
3
:
c) Ta có x N x, x3 là mệnh đề sai vì P 1 là mệnh đề sai
d) Ta có x N x, x3 là mệnh đề đúng vì x x3 x 1 x 1 x 0 với mọi số
tự nhiên
Ví dụ 2: Dùng các kí hiệu để viết các câu sau và viết mệnh đề phủ định của nó
Trang 7Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
b) Với mọi số thực bình phương của là một số không âm
c) Có một số nguyên mà bình phương của nó bằng chính nó
d) Có một số hữu tỉ mà nghịch đảo của nó lớn hơn chính nó
Lời giải
a) Ta có P : n N n n, 1 n 2 6, mệnh đề phủ định là
b) Ta có Q : x , x2 0, mệnh đề phủ định là Q : x , x2 0
c) Ta có R : n Z n, 2 n , mệnh đề phủ định là R : n Z n, 2 n
,
q , mệnh đề phủ định là
1 ,
Ví dụ 3: Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm phủ định của nó :
a) A : " x R x, 2 0 "
b) B: " Tồn tại số tự nhiên đều là số nguyên tố"
c) C : " x N , x chia hết cho x 1 "
d) D: " n N n, 4 n2 1 là hợp số "
e) E: " Tồn tại hình thang là hình vuông "
f) F: " Tồn tại số thực a sao cho 1
1
a
a "
Lời giải
a) Mệnh đề A đúng và A: x R x, 2 0
b) Mệnh đề B đúng và B : "Với mọi số tự nhiêu đều không phải là số nguyên tố"
c) Mệnh đề C sai và C : " x N x, x 1 "
d) Mệnh đề D sai vì với n 2 ta có n4 n2 1 13 không phải là hợp số
Mệnh đề phủ định là D : " n N n, 4 n2 1 là số số nguyên tố"
e) Mệnh đề E đúng và E : " Với mọi hình thang đều không là hình vuông "
f) Mệnh đề F đúng và mệnh đề phủ định là F : " Với mọi số thực a thì 1
1
a
a "
2 Bài tập luyện tập
Bài 1.7: Xét các mệnh đề chứa biến sau, tìm một giá trị của biến để được mệnh đề đúng,
Trang 8Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
mệnh đề sai
a) P x : "x R x, 2 2x 0 "
b) Q n : "n chia hết cho 3, với n N "
c) R x : " 4x2 4x 1 0 với x "
Bài 1.8: Xét đúng (sai) mệnh đề và phủ định các mệnh đề sau :
c) x N n, 2 3 chia hết cho 4 d) q Q q, 2 2 1 0
e) n N n n, 1 là một số chính phương
Bài 1.9: Xác định tính đúng - sai của các MĐ sau :
2
2
c x R x x d x) N x, 2 x2 4
e) m n, , mvà nlà các số lẻ m2 n là số chẵn 2
Bài 1.10: a) Với n , cho mệnh đề chứa biến P n( ) : "n2 2 chia hết cho 4” Xét tính
đúng sai của mệnh đề P(2007)
b) Xét tính đúng sai của mệnh đề P(n) : “ * 1
2
n n n chia hết cho 11”
Bài 1.11: a) Cho mệnh đề P : "Với mọi số thực x, nếu x là số hữu tỉ thì 2x là số hữu tỉ"
Dùng kí hiệu viết P, P và xác định tính đúng - sai của nó
b) Phát biểu MĐ đảo của P và chứng tỏ MĐ đó là đúng Phát biểu MĐ dưới dang MĐ tương đương
Bài 1.12: Cho số tự nhiên n Xét hai mệnh đề chứa biến :
A(n) : "n là số chẵn", B(n) : "n2 là số chẵn"
a) Hãy phát biểu mệnh đề A(n) B(n) Cho biết mệnh đề này đúng hay sai ?
b) Hãy phát biểu mệnh đề “ n , ( )B n A n ” ( )
c) Hãy phát biểu mệnh đề “ n , ( )A n B n ” ( )
Bài 1.13: Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
Trang 9Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí
a) P :" x R y, R x: y 1"
b) Q :" x R y, R x: y 2"
c) R :" x R y, R x: y 3 "
d) S :" x R y, R x: y 4 "