BÀI TẬP GIỮA KỲ - LỚP TOÁN LIÊN THÔNG ĐHSP HUẾ1. Cho A, B là tập hợp con của không gian vecto Euclide V.[r]
Trang 1BÀI TẬP GIỮA KỲ - LỚP TOÁN LIÊN THÔNG ĐHSP HUẾ
1 Cho ánh xạ f :U →V , chứng minh 2 điều kiện sau
i)f(u1+u2)=f(u1)+f (u2) ∀ u1,u2∈U
ii) f ( α u)=α f (u) ∀ α ∈ K , u∈U
tương đương với: f(α u1+u2)=α f(u1)+f(u2) ∀ α∈K , ∀ u1,u2∈U
2 Định lý về số chiều: Cho f là axtt từ KGVT n chiều U vào V, chứng minh rằng
dim ( Imf )+dim (kerf )=dim U=n
3 Cho f ∈L (V ) là tự đồng cấu trong không gian hữu hạn chiều V Chứng minh các mệnh đề sau tương tương
a) Imf2
=Imf
b) Imf +ker f =V
c) Imf ∩ kerf ={0 }
4 Cho p(x) là đa thức tối tiểu của ánh xạ tuyến tính f, nghĩa là p(x) khác 0 và có bậc nhỏ nhất thỏa p (f )=0 Chứng minh rằng nếu đa thức g(x) thỏa g (f )=0 thì g(x) chia hết cho p(x)
5 Cho f ∈L(V ), chứng minh các không gian: Imf , Kerf , E(λ)={v ∈V : f (v )=λ v } là không gian con f-ổn định của V
6 Chứng minh các cấu trúc của kgvt V cho dưới đây là không gian Euclide
V =M n(R) là không gian các ma trận vuông thực cấp n,
∀ A , B ∈V ,⟨A , B⟩=trace( AB t
) , trong đó trace(A) là vết của ma trận A bằng tổng các phần tử trên đường chéo chính
n=0
+∞
x n : x n∈R và∑
n=0
+∞
x n2 h i ộ tụ},⟨ ∑
n=0
+∞
x n ,∑
n=0
+∞
y n⟩=∑
n=0
+∞
λ n x n y n , trong đó {λ n} là dãy số thực dương và bị chặn cho trước
3) Xác định a, b, c, d sao cho
⟨x , y ⟩=a x1y1+b x2y2+cx1y2+d x2y1,∀x=( x1, x2), y =( y1,y2)∈R2
là một tích vô hướng trên R2
7 Cho A, B là tập hợp con của không gian vecto Euclide V CMR:
1) Tập hợp A L (phần bù trực giao của A) là không gian vecto con của V
2) Nếu A ⊂B thì A L ⊃ B L
.
3) A ∩ A L ⊂{0 }.
* Hoàn tất các bài tập trong tài liệu biên soạn để rèn luyện kỹ năng tính toán và suy luận Nội dung thi được giới hạn trong các bài tập đó