Bài soạn GTH nâng cao – Cao học Cần Thơ – Khóa 19

Các đối đạo hàm trong công thức (1) và (2) là những mở rộng tự nhiên của toán tử đạoamàm liên hợp của ánh xạ đa trị khả vi.[r]

1

BÀI SOẠN GIẢI TÍCH HÀM NÂNG CAO CAO HỌC CẦN THƠ KHÓA 19

(Tài liệu chỉ mang nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.wordpress.com )

Câu 1: Phát biểu và chứng minh định lý về đối ngẫu cho giới hạn của dãy tập

Phát biểu: Giả sử là dãy các nón lồi đóng trong không gian Banach khi đó:

lim inf = ( _ lim sup )

Chứng minh:

(⇒) Chứng minh: lim inf ⊂ ( _ lim sup )

Giả sử ∈ lim inf thì có dạng = lim , ∈ và ∈ _ lim sup bất kỳ Để chứng minh ∈ _ lim sup ta cần chứng minh 〈 , 〉 ≤ 0

Thật vậy:

Theo định nghĩa =*yếu-lim với ∈ nên 〈 , 〉 ≤ 0

Cho → ∞ ta được 〈 , 〉 ≤ 0

(⇐) Chứng minh: ( _ lim sup ) ⊂ lim inf

Chứng minh phản chứng, giả sử ∈ ( _ lim sup ) nhưng ∉ lim inf

Khi đó có > 0 và dãy con, vẫn ký hiệu là sao cho ( + )⋂ = ∅, ∀ Trong đó là hình cầu đơn vị mở của

Cố định bất kỳ Theo định lý tách sẽ có ∈ ∗, ‖ ‖ = 1, sao cho:

∈

〈 , 〉 ≤ inf〈 , + 〉 = 〈 , 〉 − ‖ ‖ = 〈 , 〉 −

Vì là nón nên ∈ và

∈

〈 , 〉 = 0

Do hình cầu đ.vị đóng trong ∗ là compact *-yếu nên ∃ dãy con hội tụ *-yếu đến nào đó Theo định nghĩa giới hạn trên ∈ _ lim sup Mà ∈ ( _ lim sup ) nên 〈 , 〉 ≤ 0 Mặt khác 0 ≤ 〈 , 〉 − Cho → ∞ ta được 0 ≤ 〈 , 〉 −

Suy ra ≤ 〈 , 〉 ≤ 0 (vô lý)

Câu 2: Định nghĩa nh liên tục của ánh xạ đa trị giữa các không gian topo Phát biểu và chứng minh các đặc trưng của nh nửa liên tục qua nghịch ảnh và qua “nửa giới hạn”

1 Định nghĩa: Cho : ↝ là ánh xạ đa trị từ KG topo vào không gian topo Ta nói:

2

Ánh xạ đa trị là nửa liên tục trên (usc) tại ∈ nếu với mọi lân cận của ảnh ( ) thì tồn tại > 0 sao cho ( , ) ⊂

Ánh xạ đa trị là nửa liên tục dưới (lsc) tại ∈ nếu với ∀ mở: ∩ ( ) ≠ ∅, ∃ >

0, ∀ ∈ ( , ), ( ′) ∩ ≠ ∅

Ánh xạ đa trị liên tục tại nếu nó vừa nửa liên tục trên, vửa nửa liên tục dưới tại

2 Phát biểu đặc trưng của nh nửa liên tục qua nghịch ảnh:

(i) là lsc tại ⇔ nghịch ảnh của một tập mở bất kỳ có giao với ( ) khác ∅ là lân cận của (ii) Do đó là lsc khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở là mở

(iii) Giả sử là tập đóng Khi đó là usc ⇔ nghịch ảnh của mọi tập đóng là tập đóng Chứng minh:

 Chứng minh (i): là lsc tại ⇔ nghịch ảnh của một tập mở bất kỳ có giao với ( ) khác

∅ là lân cận của

(⇒) G.sử là lsc nghĩa là với ∀ mở: ∩ ( ) ≠ ∅, ∃ > 0, ∀ ∈ ( , ), ( ′) ∩ ≠ ∅

Ta cần chứng minh ( ) là lân cận của

Thật vậy:

Ta có: ∀ ∈ ( , ), ( ) ∩ ≠ ∅ ⇒ ∈ ( ) ⇒ ( , ) ⊂ ( ) ⇒ ( ) mở Vậy ( ) là lân cận của

(⇐) Giả sử ∀ mở: ∩ ( ) ≠ ∅ thì ( ) là lân cận của Ta chứng minh là lsc

Thật vậy:

Do ( ) là lân cận của nên ∃ > 0: ( , ) ⊂ ( )

Suy ra ∀ ′ ∈ ( , ) thì ′ ∈ ( ) hay ( ) ∩ ≠ ∅

Vậy là lsc

 Chứng minh (ii): là lsc khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở là mở

Theo chứng minh câu (i) ta có thể suy trực ếp (ii)

 Chứng minh (iii): là usc khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập đóng là tập đóng

(⇒) Giả sử là usc và là tập đóng trong Ta CM ( ) đóng hay \ ( ) mở Thật vậy:

Xét ∈ \ ( ) ⇒ ( ) ∈ \ mở

Do là usc nên tồn tại > 0, ( , ) sao cho ( , ) ⊂ \

Khi đó với ∀ ′ ∈ ( , ) thì ( ) ⊂ \ hay ( ) ∩ = ∅ ⇒ ′ ∈ \ ( )

3

Suy ra ( , ) ⊂ \ ( ) ⇒ \ ( ) mở

Vậy ( ) đóng

(⇐) Giả sử nghịch ảnh của mọi tập đóng là tập đóng Ta chứng minh là usc

Thật vậy:

Xét là tập mở trong thì \ đóng trong ⇒ ( \ ) đóng ⇒ \ ( \ ) mở Mặt khác \ ( \ ) = ( ) nên ( ) mở

Vậy nhân của mọi tập mở là mở nên là usc

3 Phát biểu đặc trưng của nh nửa liên tục qua nửa giới hạn:

(i) ( , ) ∈ ⇔ ∈ lim

→ sup ( ′)

(ii) là lsc tại ∈ khi và chỉ khi ( ) ⊂ lim

→ sup ( ′) Chứng minh:

 Chứng minh (i): ( , ) ∈ ⇔ ∈ lim

→ sup ( ′)

∈ lim

→ sup ( ′) có nghĩa là tồn tại → , ∈ ( ) sao cho lim ( , ) = 0 Điều này có nghĩa là ( , ) ∈ và ( , ) → ( , ) Do đó ( , ) ∈

 Chứng minh (ii): là lsc tại ∈ khi và chỉ khi ( ) ⊂ lim

→ sup ( ′) Giả sử ( ) ⊄ lim

→ sup ( ′)

Vì VP là tập đóng nên có ∈ ( ) và lân cận của sao cho ∩ lim

→ sup ( ) = ∅ Điều này có nghĩa là tồn tại → , ∀ ∈ ( ) thì ↛ Do đó không lsc tại

Câu 3: Phát biểu và chứng minh địnhy ý giới nội đều của ánh xạ đa trị

Phát biểu: Giả sử là họ quá trình lồi đóng: ↝ , giới nội theo điểm, tức là:

∀ ∈ , ∃ ∈ ( ), sup‖ ‖ < +∞

Khi đó họ là giới nội đều, tức là sup‖ ‖ < +∞

Chứng minh:

Xét họ phiếm hàm: ( ) ≔ inf

∈ ( )‖ ‖ ≡ (0, ( )) Khi đó các là lồi và thuần nhất dương Ta chứng minh là lsc, tức là ∀ , ∃ , ‖ − ‖ ≤ ,

0, ( ) ≥ 0, ( ) − (∗)

4

Do là Lipschitz nên ta có > 0 để

( ) ⊂ ( ) + ‖ − ‖ ⇒ 0, ( ) ≥ 0, ( ) − ‖ − ‖

Lấy = ta được (*) Vậy là lsc

Gọi ( ) ≔ sup (x) , ∀ thì là hàm hữu hạn (theo gt)

Ta cũng có , lồi, thuần nhất dương và lsc Do đó phải thỏa điều kiện Lipschitz tại 0

Suy ra ( ) ≤ ‖ ‖ với > 0

Vậy sup (0, ( )) ≡ ( ) ≤ ‖ ‖ và ‖ ‖ ≤ < +∞

Câu 4: Phát biểu và chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland

Phát biểu: giả sử X là không gian mêtric đủ, : → ∪ {+∞} là phiếm hàm lsc và bị chặn

dưới Cho ∈ và > 0 bất kỳ Khi đó tồn tại ̅ ∈ để

(i) ( ̅) + ( , ̅) ≤ ( )

(ii) ∀ ≠ ̅, ( ̅) < ( ) + ( , ̅)

Chứng minh:

Không mất nh tổng quát ta coi ( ) ≥ 0 và = 1 Ta xác định a.xạ đa trị : ↝ như sau:

( ) ≔ { ∈ : ( ) + ( , ) ≤ ( )}

Khi đó 2 kết luận của định lý có thể viết lại là:

(i) ̅ ∈ ( ) ( ̅ “tốt hơn” )

(ii) ∀ ≠ ̅, ∉ ( ̅) (không có điểm khác tốt hơn ̅)

Do là lsc nên ( ) + ( , ) cũng lsc và ∀ : ( ) đóng và ( ) ≠ ∅ vì ∈ ( )

Ngoài ra ∈ ( ) ⇒ ( ) ⊂ ( )

Thật vậy, nếu ∉ thì ( ) ⊂ ( ) vì ( ) =

Nếu ( ) hữu hạn thì từ ∈ ( ), ∈ ( ) ta có

( ) + ( , ) ≤ ( ) (1) ( ) + ( , ) ≤ ( ) (2) Lấy (1)+(2) ta được

( ) + ( ) + ( , ) ≤ ( ) + ( )

( ) + ( , ) ≤ ( ) Tức là ∈ ( ) Vậy ( ) ⊂ ( )

5

Bây giờ ta đặt ( ) ≔ inf

∈ ( ) ( ) , ∀ ∈ Thì

( , ) ≤ ( ) − ( ) ≤ ( ) − ( ), ∀ ∈ ( )

Do đó

( ) ≤ 2( ( ) − ( ))

Ta lập dãy { }, = 0,1,2, … sao cho ∈ ( ), ( ) ≤ ( ) + 2

Do ( ) ⊂ ( ) nên ( ) ≥ ( )

Vì thế

0 ≤ ( ) − ( ) ≤ 2 Dãy tập ( ) thắt lại và có ( ) ≤ 2( ( ) − ( )) → 0 nên theo định lý Cantor ta

có

( ) = { ̅}

Từ đây ta suy ra ngay (i): ̅ ∈ ( ) Hơn nữa ̅ ∈ ( ), ∀ nên ( ̅) ⊂ ( ), ∀

Suy ra ( ̅) = ̅ và ta có (ii)

Câu 5: Phát biểu càng nhiều càng tốt các định nghĩa tương đương cho 3 nón ếp xúc chính

đã học Chứng minh sự tương đương của 3 định nghĩa cho mỗi loại nón

giả sử là KGĐC, ⊂ và ∈

1 Nón Con ngent của tại là:

( ) ≔ ∈ : lim → ( ) = 0 (1) ( ) ≔ { ∈ : ∃ℎ → 0 , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ } (2) ( ) ≔ { ∈ : ∃ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ } (3)

( ) ≔ lim

→

−

ℎ (4)

ℎ (5)

ℎ( − ) + (6)

Chứng minh:

 CM: (4) ⇔ (1)

6

( ) ≔ lim

→

−

ℎ

= ∈ : lim

ℎ = 0

= ∈ : lim

→

(ℎ , − )

= ∈ : lim

→

( + ℎ , )

= ∈ : lim

→

( + ℎ )

ℎ = 0

 CM: (2) ⇔ (3)

( ) ≔ { ∈ : ∃ℎ → 0 , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ }

= ∈ : ∃ℎ → 0 , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ )

= { ∈ : ∃ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ } Với = + ( )

 CM: (3) ⇔ (1)

( ) ≔ { ∈ : ∃ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ }

= { ∈ : ∃ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , ( + ℎ ) = 0}

= ∈ : ∃ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , ( + ℎ )

= ∈ : ∃ → , ∀ , lim

→

( + ℎ )

= ∈ : lim

→

( + ℎ )

ℎ = 0

 CM: (4) ⇔ (6)

( ) ≔ lim

→

−

ℎ

= ∈ : = lim

ℎ

= ∈ : ∀ , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ], , −

ℎ <

= ∈ : ∀ , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ], ∈ −

ℎ ,

7

= ∈ : ∀ , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ], ∈ −

ℎ + (0, )

= ∈ : ∀ , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ], ∈ −

ℎ +

ℎ( − ) +

 CM: (5) ⇔ (6)

ℎ

ℎ ,

ℎ( − ) +

2 Nón gần hay nón trung gian của tại là:

( ) ≔ ∈ : lim

→

( )

= 0 (1) ( ) ≔ { ∈ : ∀ℎ → 0 , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ } (2) ( ) ≔ { ∈ : ∀ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ } (3)

( ) ≔ lim

→

−

ℎ (4)

ℎ( − ) + (5)

Chứng minh:

 CM: (4) ⇔ (1)

( ) ≔ lim

→

−

ℎ

= ∈ : lim

ℎ = 0

= ∈ : lim

→

(ℎ , − )

= ∈ : lim

→

(ℎ , − )

= ∈ : lim

→ (ℎ + , )

8

= ∈ : lim

→

( + ℎ )

ℎ = 0

 CM: (4) ⇔ (5)

( ) ≔ lim

→

−

ℎ

= ∈ : = lim

ℎ

= ∈ : ∀ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ], , −

ℎ <

= ∈ : ∀ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ], ∈ −

ℎ ,

= ∈ : ∀ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ], ∈ 1

ℎ( − ) + (0, )

= ∈ : ∀ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ], ∈1

ℎ( − ) +

ℎ( − ) +

 CM: (2) ⇔ (3)

( ) ≔ { ∈ : ∀ℎ → 0 , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ }

= ∈ : ∀ℎ → 0 , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ )

= { ∈ : ∀ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ } Với = + ( )

 CM: (3) ⇔ (1)

( ) ≔ { ∈ : ∀ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ }

= { ∈ : ∀ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , ( + ℎ ) = 0}

= ∈ : ∀ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , lim

→

( + ℎ )

= ∈ : lim

→

( + ℎ )

ℎ = 0

3 Nón Clarke hay nón ếp xúc circa của tại là:

( ) ≔ ∈ : lim

→ , →

( + ℎ )

ℎ = 0 (1) ( ) ≔ ∈ : ∀ℎ → 0 , ∀ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ (2)

9

( ) ≔ ∈ : ∀ℎ → 0 , ∀ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ (3)

( ) ≔ lim

→ , →

− ′

ℎ (4)

ℎ( − ) + ,| |

,

(5)

Chứng minh:

 CM: (4) ⇔ (1)

( ) ≔ lim

→ , →

−

ℎ

ℎ = 0

→ , →

(ℎ , − ′)

→ , →

( + ℎ , )

→ , →

( + ℎ )

ℎ = 0

 CM: (4) ⇔ (5)

( ) ≔ lim

→ , →

−

ℎ

= ∈ : = lim

ℎ

= ∈ : ∀ , ∃ , , ∀ℎ ∈ (0, ], | − | ≤ , , −

ℎ <

= ∈ : ∀ , ∃ , , ∀ℎ ∈ (0, ], | − | ≤ , ∈ −

ℎ ,

= ∈ : ∀ , ∃ , , ∀ℎ ∈ (0, ], | − | ≤ , ∈1

ℎ( − ) + (0, )

= ∈ : ∀ , ∃ , , ∀ℎ ∈ (0, ], | − | ≤ , ∈1

ℎ( − ) +

ℎ( − ) + ,| |

,

 CM: (2) ⇔ (3)

10

( ) ≔ ∈ : ∀ℎ → 0 , ∀ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈

= ∈ : ∀ℎ → 0 , ∀ → , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ )

= ∈ : ∀ℎ → 0 , ∀ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ Với = + ( )

 CM: (3) ⇔ (1)

( ) ≔ ∈ : ∀ℎ → 0 , ∀ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈

= ∈ : ∀ℎ → 0 , ∀ → , ∃ → , ∀ , ( + ℎ ) = 0

= ∈ : ∃ → , ∀ , lim

→ , →

ℎ = 0

→ , →

( + ℎ )

ℎ = 0

Câu 6: Chứng minh rằng nón Clarke luôn lồi Chứng minh nh chất của nón này Phát biểu và chứng minh quan hệ giữa các nón lồi

1 Chứng minh nón Clarke luôn lồi

Ta có ( ) là nón Để CM ( ) lồi ta cần CM nếu , ∈ ( ) thì + ∈ ( )

Thật vậy:

Vì ∈ ( ) nên với ℎ → 0 , → , ∃ → , ∀ , = + ℎ ∈

Rõ ràng → và do ∈ ( ) nên tồn tại → sao cho + ℎ ∈

Vậy nón Clarke luôn lồi

2 Chứng minh nh chất của nón Clarke

 CM: ( ) + ( ) ⊂ ( )

Giả sử ∈ ( ), ∈ ( ) Ta cần CM + ∈ ( )

Vì ∈ ( ) nên tồn tại ℎ → 0 , ∃ → , sao cho = + ℎ ∈ , ∀

Rõ ràng → và do ∈ ( ) nên tồn tại → sao cho +ℎ ∈ , ∀

Ta có +ℎ = + ℎ + ℎ = + ℎ ( + ) ∈

11

 CM ( ) + ( ) ⊂ ( )

Chứng minh tương tự như phần trên

3 Phát biểu và chứng minh quan hệ giữa các nón lồi

Phát biểu: Nếu là tập lồi và ∈ thì ( ) = ( ) = ( ) = ( )

Chứng minh:

Vì ( ) là đóng và ta đã có ( ) ⊂ ( ) ⊂ ( ) ⊂ ( )

Nên ta chỉ cần chứng minh ( ) ⊂ ( )

Thật vậy

Giả sử ∈ ( ) ≡ −

ℎ Khi đó có ∈ và ℎ > 0 để =

Với ℎ → 0 , → bất kỳ Ta đặt =

Rõ ràng → và + ℎ = + ( − ) = 1 − + ∈ , ∀ , 0 < ℎ ≤

ℎ (vì lồi nên)

Vậy ∈ ( )

Câu 7: Phát biểu và chứng minh nh chất của nón ếp xúc tập ảnh (trong quan hệ với tập gốc)

Phát biểu: giả sử , là các KGĐC, ⊂ , : → là ánh xạ đơn trị khả vi trên một tập mở chứa Khi đó với ∈

(i) ′( ) ( ) ⊂ ( )( ( ))

(ii) ′( ) ( ) ⊂ ( )( ( ))

Chứng minh:

Vì sự tương đương nên ta chỉ cần chứng minh (i)

Giả sử ∈ ( ) tức là ∃ℎ → 0 , ∃ → , ∀ , = + ℎ ∈

Do đó = ( − )

Với ∀ ta có ( ) ∈ ( ) và ( ) = ( ) + ℎ ( ) + ( − )

= ( ) + ℎ ( ) −

ℎ

12

Vì ( ) + ( )→ ( ) nên theo định nghĩa nón ếp xúc ta có ( ) ∈ ( )( ( )) Suy ra ′( ) ( ) ⊂ ( )( ( )) (đpcm)

Câu 8: Phát biểu càng nhiều càng tốt các định nghĩa tương đương cho ba loại đạo hàm chính của ánh xạ đa trị Chứng minh sự tương đương của ba định nghĩa mỗi loại

1 Đạo hàm Con gent

Cho , là các KGĐC, : ↝ Đạo hàm con ngent của tại ( , ) ∈ kí hiệu là ( , )

là một ánh xạ đa trị từ vào có đồ thị là ( , ) = ( , )

Trường hợp ≔ là ánh xạ đơn trị thì đạo hàm của nó trên ( , ( )) là ( ) = ( , ( )) Các định nghĩa tương đương

∈ ( , )( ) ⇔ ∃ℎ → 0 , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ ) (1)

∈ ( , )( ) ⇔ ∀ , , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ = + , + ℎ

∈ ( + ℎ ) (2)

∈ ( , )( ) ⇔ ∃ℎ → 0 , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ )

∈ + ℎ + (ℎ ) (3)

∈ ( , )( ) ⇔ lim

→ inf

→ , ( + ℎ ) −

ℎ = 0 (4) Chứng minh

 Chứng minh (1)

∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ∃ℎ → 0 , ∃( , ) → ( , ), ∀ , ( , ) + ℎ ( , ) ∈ ⇔ ∃ℎ → 0 , ∃ → , ∃ → , ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )

 Chứng minh (2)

∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , )

⇔ ∀ , , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ = + , ( , ) + ℎ( , ) ∈

⇔ ∀ , , ∀ , ∃ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ = + , + ℎ ∈ ( + ℎ )

 Chứng minh (3)

∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , )

⇔ ∃ℎ → 0 , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , ( , ) + ℎ ( , ) + (ℎ ) ∈

⇔ ∃ℎ → 0 , ∃ (ℎ ) = (ℎ ), ∀ , + ℎ + (ℎ ) ∈ + ℎ + (ℎ )

 Chứng minh (4)

13

∈ ( , )( ) ⇔ ∃ℎ → 0 , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )

⇔ ∃ℎ → 0 , ∃( , ) → ( , ), ∀ , ∈ ( + ℎ ) −

ℎ

⇔ lim

ℎ = 0

2 Đạo hàm gần

Cho , là các KGĐC, : ↝ và ∈ ( ) Đạo hàm gần của tại ( , ) ∈ kí hiệu là ( , ) là một ánh xạ đa trị từ vào có đồ thị là ( , ) ≔ ( , )

Trường hợp ≔ là ánh xạ đơn trị thì đạo hàm của nó trên ( , ( )) là ( ) =

( , ( ))

Các định nghĩa tương đương

∈ ( , )( ) ⇔ ∀ℎ → 0 , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )(1)

∈ ( , )( ) ⇔ ∀ , , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ ∈ + , + ℎ

∈ ( + ℎ ) (2)

∈ ( , )( ) ⇔ lim sup

→ , →

, ( + ℎ ) −

ℎ = 0 (3)

Chứng minh:

 Chứng minh (1)

∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , )

⇔ ∀ℎ → 0 , ∃( , ) → ( , ), ∀ , ( , ) + ℎ ( , ) ∈

⇔ ∀ℎ → 0 , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )

 Chứng minh (2)

∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , )

⇔ ∀ , , ∀ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ = + , ( , ) + ℎ( , ) ∈

⇔ ∀ , , ∀ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∃ ∈ + , ∃ = + , + ℎ ∈ ( + ℎ )

 Chứng minh (3)

∈ ( , )( ) ⇔ ∀ℎ → 0 , ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )

⇔ ∀ℎ → 0 , ∃( , ) → ( , ), ∀ , ∈ ( + ℎ ) −

ℎ

⇔ lim sup

→

inf

→ , ( + ℎ ) −

ℎ = 0

3 Đạo hàm Clarke

14

Cho , là các KGĐC, : ↝ và ∈ ( ) Đạo hàm Clarke của tại ( , ) ∈ kí hiệu là ( , ) là một ánh xạ đa trị từ vào có đồ thị là ( , ) ≔ ( , )

Trường hợp ≔ là ánh xạ đơn trị thì đạo hàm của nó trên ( , ( )) là ( ) ≔ ( , ( )) Các định nghĩa tương đương

∈ ( , )( ) ⇔ ∀ℎ → 0 , ∀( , ) → ( , ), ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ

∈ ( + ℎ ) (1)

∈ ( , )( ) ⇔ ∀ , , ∃ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∀( , ) ∈ ( , , ), ∃ ∈ + , ∃

∈ + , ′ + ℎ ∈ ( ′ + ℎ ) (2)

∈ ( , )( ) ⇔ lim sup

→ ,( , )→ ( , )

inf

→ , ( + ℎ ) −

ℎ = 0 (3)

Chứng minh:

 Chứng minh (1)

∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , )

⇔ ∀ℎ → 0 , ∀( , ) → ( , ), ∃( , ) → ( , ), ∀ , ( , ) + ℎ ( , ) ∈ ⇔ ∀ℎ → 0 , ∀( , ) → ( , ), ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )

 Chứng minh (2)

∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , )

⇔ ∀ , , ∃ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∀( , ) ∈ ( , , ), ∃ ∈ + , ∃

∈ + , ( , ) + ℎ( , ) ∈ ⇔ ∀ , , ∃ , ∃ , ∀ℎ ∈ (0, ), ∀( , ) ∈ ( , , ), ∃ ∈ + , ∃

∈ + , ′ + ℎ ∈ ( ′ + ℎ )

 Chứng minh (3)

∈ ( , )( ) ⇔ ( , ) ∈ ( , ) ⇔ ( , ) ∈ ( , )

⇔ ∀ℎ → 0 , ∀( , ) → ( , ), ∃( , ) → ( , ), ∀ , + ℎ ∈ ( + ℎ )

⇔ ∀ℎ → 0 , ∀( , ) → ( , ), ∃( , ) → ( , ), ∀ , ∈ ( + ℎ ) −

→ ,( , )→ ( , )

inf

→ , ( + ℎ ) −

ℎ = 0

Câu 9: Chứng minh công thức đạo hàm của hiệu ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị

Phát biểu: Giả sử , là các KGĐC, : → (đơn trị), : ↝ và : ↝ là ánh xạ đa trị xác định bởi

( ) ≔ ( ) − ( ), ∀ ∈ Nếu khả vi Fre’chet tại ∈ thì ∀ ∈ ( ),

( , )( ) = ( )( ) − ( , ( ) − )( ), ∀ ∈