Tính diện tích phần của tam giác ABM nằm ngoài (O). Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại [r]
Trang 1I BIỂU THỨC VÔ TỈ
A Những điều cần ghi nhớ
Hằng đẳng thức đáng nhớ:
(a b ) a 2ab b
(a b ) a 2ab b
(a b ) a 3a b3ab b
(a b ) a 3a b3ab b
2 2
a b a b a b
a b a b a ab b
a b a b a ab b
Lũy thừa:
sô
.
n
n a
a a a a a
m n m n
a a a
m
m n
n
a
a
a
(ab)n a b n n (a m n) a mn
0 1
a với mọi a0
Căn bậc hai
A là một số không âm Điều kiện để căn có nghĩa là A0
2
X AX A (A0)
| |
A
2
| |
A A
| | | |
AB A B A B
0, 0
Trục căn ở mẫu
A
A A
B B
2
1
2
1
1
A B
1
A B
Trang 2B Bài tập
1. Thực hiện phép tính
a) 9 32 72 162
b) 54 51 4,5 22 2 27
2
d) 5 3 5 3 5 1
2. Thực hiện phép tính
b) 6 2 5 6 2 5
d) 6 4 2 22 12 2
3. Cho hai biểu thức A 5 15 , B 5 15 Hãy so sánh A+B và A-B
4. Hãy tính giá trị của biểu thức 14 7 15 5 : 1
5. Thu gọn các biểu thức sau:
6. Rút gọn biểu thức 2
1
B
với x0, x1
7. Cho biểu thức 1 1
x A
với x0,x4 a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x=25
c) Tìm giá trị của x để 1
3
A
8. Cho biểu thức
2
C
a) Tìm điều kiện của x để C có nghĩa c) Tìm giá trị lớn nhất của C
Trang 3a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A > 0
11. Cho biểu thức
2
a) Với những điều kiện xác định của x, hãy rút gọn biểu thức A
b) Tìm giá trị của A khi 3
x
12. Cho biểu thức 1 1
T
a) Tìm x để T có nghĩa
b) Rút gọn biểu thức T
c) Tính giá trị của T khi 9
4
x
d) Tìm tất cả giá trị của x để A < 1
13. Cho biểu thức
2x 2 1 2x 2 : y2 2
B
a) Với những điều kiện xác định của x hãy rút gọn biểu thức B
b) Tìm giá trị của B khi 3
2
x
y
14. Cho biểu thức 1 : 1 2
D
a) Với những điều kiện xác định của x hãy rút gọn D
b) Tìm giá trị của x để D > 1
15. Cho biểu thức
2
2
1 1
A
với x0 , x4
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tìm x để B=2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của B
Trang 4II PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
A Những điều cần ghi nhớ
Phương trình bậc hai có dạng: 2
ax bx c a (1) Tính b24ac
0
thì phương trình (1) vô nghiệm
0
thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2
2
b
x x
a
0
thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: 1
2
b x
a
2
b x
a
Định lí Vi-ét:
Nếu phương trình bậc 2 2
0
ax bx c có 2 nghiệm x x1, 2 thì:
1 2
b
S x x
a
và P x x1 2 c
a
Ngược lại, nếu có 2 số x1 và x2 sao cho x1x2 Svà x x1 2 P thì chúng là nghiệm của
phương trình: 2
0
x Sx P Lưu ý:
Cho phương trình bậc hai 2
0
ax bx c (2)
Nếu a b c 0 thì (2) có nghiệm x11và x2 c
a
Nếu a b c 0 thì (2) có nghiệm x1 1 và x2 c
a
Phương trình trùng phương có dạng 4 2
0
ax bx c Cách giải: đặt 2
t x , (điều kiện t0) ta được phương trình bậc 2 theo t 2
0
at bt c
B Bài tập
1. Giải các phương trình bậc hai sau:
Trang 52. Giải các phương trình bậc hai sau:
a) 2
b) 2
c) 2
4x 2( 3 1) x 3 0
9(3x2) 4(7 2 ) x 0
e) 3x22 6x 2 0
f)
2
3
2 1
x x x
3. Cho phương trình (ẩn x): x22(m1)x m 2 2 0
a) Giải phương trình đã cho khi m=1
b) Tìm giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa: 2 2
1 2 10
x x
4. Cho phương trình 2 2
x x m m với m là tham số
a) Giải phương trình với m=2
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm
c) Giả sử phương trình có 2 nghiệm x x1; 2, hãy tìm giá trị bé nhất của biểu thức 3 3
1 2
Px x
5. Cho phương trình bậc hai, tham số m: 2
2x (m3)x m 0 (1)
a) Giải phương trình khi m=2
b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa 1 2 5 1 2
2
x x x x
6. Cho phương trình 2 2
x m x m (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép? Hãy tìm nghiệm kép đó
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thỏa: x1x2 2 ?
7. Giải các phương trình sau:
x x
4x 7x 2 0
36x 97x 360
x x
9x 8x 1 0
2 6
x x
x
x x
8. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và bình phương độ dài đường
chéo gấp 5 lần chu vi Xác định chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật
9. Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài là 32m, chiều rộng là 24m, người ta định làm một
vườn cây cảnh có con đường đi xung quanh Hỏi bề rộng của mặt đường là bao nhiêu để diện tích phần đất còn lại bằng 560m2
10. Hai thành phố A và B cách nhau 90km Hai ô-tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất đi từ A đến
B, xe thứ hai đi từ B về A Sau 1 giờ hai xe gặp nhau Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ
nhất tới B là 27 phút Tính vận tốc của mỗi xe
Trang 6II HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A Những điều cần ghi nhớ
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng:
ax by c
a x b y c
Cách giải: dùng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế
B Bài tập
1. Giải các hệ phương trình sau:
x y
x y
x y
x y
x y
3
x
x y
g)
h)
2
4
2. Cho hệ phương trình 2 2
a) Giải hệ phương trình với m=1 b) Tìm m để hệ có nghiêm (x;y) thỏa: 2 2
10
x y
3. Tìm hai số a,b sao cho 7a+4b=-4 và đường thẳng ax+by=-1 đi qua điểm A(-2;-1)
4. Hai máy ủi làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp được 1
10khu đất Nếu máy ủi thứ nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm một mình trong 22 giờ thì cả hai
máy ủi san lấp được 25% khu đất đó Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu đất
đã cho trong bao lâu
5. Một đội xe cần phải chuyên chở 150 tấn hàng Hôm làm việc có 5 xe được điều đi làm nhiệm
vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 5 tấn Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc ? (biết
rằng mỗi xe chở số hàng như nhau)
Trang 7III HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI
A Những điều cần ghi nhớ
Hàm số bậc nhất có dạng yax b (với a0)
Đồ thị hàm số yax b là một đường thẳng
Để vẽ đồ thị trên, ta cần tìm hai điểm phân biệt mà đồ thị đi qua
Thông thường ta tìm giao điểm với trục tung (cho x=0, tìm y), giao điểm với trục hoành
(cho y=0, tìm x)
Hàm số bậc hai có dạng 2
yax (với a0)
Đồ thị hàm số 2
yax là một Parabol, có đỉnh trùng với gốc tọa độ
Nếu a0 bề lõm quay lên trên
Nếu a0 bề lõm quay xuống dưới
Cách vẽ: Cần tìm thêm 2 điểm mà Parabol đi qua (thông thường cho x b rồi tính y), kết
hợp với hệ số a, rồi vẽ đồ thị
Điều kiện để 2 đường thẳng song song hoặc vuông góc
Cho hai đường thẳng có phương trình d: yax b và d' : ya x b
Khi đó d d a a 1 / / ' '
'
a a
d d
b b
' '
'
a a
d d
b b
Phương trình hoành độ giao điểm
Để tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm 2
yax và ykx b ta giải phương trình hoành độ giao điểm: 2
ax kx b
B Bài tập
1. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y2x
b) y 3x
c) y2x3
d) y x 3
4
y x
f) 4x 5 y 0
2. Vẽ đồ thị các hàm số sau:
2
3
4
2
y x cắt d’
Trang 83. Cho hai hàm số 1 2
3
y x và 2 1
3
y x Vẽ đồ thị của hai hàm số sau lên cùng một hệ trục tọa
độ Tìm giao điểm của chúng nếu có
4. a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số
2 2
x
y và đường thẳng (d): y=x+4 trên cùng hệ trục tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính
5. Trên cùng một hệ trục tọa độ, hãy vẽ đồ thị của Parabol (P):
2 3
x
y và đường thẳng (d): y 6 x Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phương pháp đại số
6. Cho Parabol (P): 2
yx và đường thẳng (d): ymx2 (m là tham số, m0)
a) Vẽ đồ thị (P) trên mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Khi m=3, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d)
c) Gọi A x( A;y A), (B x B;y B) là giao điểm phân biệt của (P) và (d) Tìm các giá trị của m sao cho
y y x x
7. a) Cho hàm số 2
y x và hàm số y=x-2 Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng hệ trục tọa độ
Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị trên bằng phương pháp đại số
b) Cho (P) :
2 4
x
y và đường thẳng (d): 3 1
2
ymx m Tìm m để (d) tiếp xúc với (P)
Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) tiếp xúc với (P) vừa tìm được ở trên vuông góc với nhau
8. Cho hai đường thẳng d 1 : y=(m+1)x+5 ; d 2 : y=2x+n
Với giá trị nào của m, n thì d1 trùng với d2 ?
9. Cho hàm số yx2 và y=x+2
a) Vẽ đồ thị của các hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy
b) Tìm tọa độ các giao điểm A, B của đồ thị hai hàm số trên bằng phép tính
c) Tính diện tích tam giác OAB
Trang 91. Cho đường tròn (O) có đường kính AB=2R Trên tia đối của AB lấy điểm C sao cho BC=R,
trên đường tròn lấy điểm D sao cho BD=R, đường thẳng vuông góc với BC tại C cắt tia AD ở M
a) Chứng minh tứ giác BCMD là tứ giác nội tiếp
b) Chứng minh tam giác ABM là tam giác cân
c) Tính tích AM.AD theo R
d) Cung BD của (O) chia tam giác ABM thành hai phần Tính diện tích phần của tam giác ABM
nằm ngoài (O)
2. Trên đoạn thẳng AB cho điểm C nằm giữa A và B Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB
kẻ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I, tia vuông góc với CI tại C
cắt tia By tại K Đường tròn đường kính IC cắt IK tại P (P khác I)
a) Chứng minh tứ giác CPKB nội tiếp một đường tròn, chỉ rõ đường tròn này
b) Chứng minh CIPPBK
c) Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho diện tích tứ giác ABKI lớn nhất
3. Cho đường tròn tâm (O), đường kính AC Vẽ dây BD vuông góc với AC tại K (K nằm ngữa A
và O) Lấy điểm E trên cung nhỏ CD (E không trùng C và D), AE cắt BD tại H
a) Chứng minh rằng tam giác CBD cân và tứ giác CEHK nội tiếp
b) Chứng minh rằng AD2=AH.AE
c) Cho BD=24 cm, BC = 20 cm Tính chu vi của hình tròn (O)
4. Cho đường tròn (O;R), đường kính AB cố định và CD là một đường kính thay đổi không trùng với AB Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại B cắt đường thẳng AC và AD lần lượt tại E và F
a) Chứng minh rằng BE.BF=4R2
b) Chứng minh rằng tứ giác CEFD nội tiếp đường tròn
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD Chứng minh rằng tâm I luôn nằm trên một
đường thẳng cố định
5. Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB=14, BC=50 Đường phân giác của góc ABC và đường trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E
a) Chứng minh rằng tứ giác ABCE nội tiếp được trong một đường tròn Xác định tâm O của
đường tròn này
b) Tính độ dài cạnh BE
Trang 10c) Vẽ đường kính EF của đường tròn (O) AE và BF cắt nhau tại P Chứng minh các đường thẳng
BE, PO, AF đồng quy
d) Tính diện tích phần hình tròn tâm (O) nằm ngoài ngũ giác ABFCE
6. Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và dây cung CD vuông góc với nhau (CA<CB) Hai tai
BC và DA cắt nhau tại E Từ E kẻ EH vuông góc với AB tại H; EH cắt CA ở F Chứng minh
rằng:
a) Tứ giác CDFE nội tiếp được trong một đường tròn
b) Ba điểm B, D, F thẳng hàng
c) HC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
7. Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB Trên đường tròn (O) lấy điểm C (C không trùng với
A, B và CA>CB) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ CH
vuông góc với AB (H thuộc AB), DO cắt AC tại E
a) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp
b) Đường thẳng CD cắt đường thẳng AB tại F Chứng minh rằng 2BCFCFB900
c) BD cắt CH tại M Chứng minh EM//AB
8. Cho đường tròn (O;R) và A là một điểm nằm ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)
a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA=R2
c) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O;R) lấy điểm K bất kì (K khác B và C) Tiếp tuyến tại K
của đường tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại các điểm P và Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không thay đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC
9. Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D nằm trên đường tròn đường kính AB=2R Hạ BN và DM cùng vuông góc với đường chéo AC
a) Chứng minh tứ giác CBMD nội tiếp được
b) Chứng minh DB.DC=DN.AC