Trong phần này mình xin trình bày các câu hỏi xoay quanh nội dung mà thầy đã hạn chế trên lớp cụ thể gồm: bổ đề Gronwall-bellman, định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, -nghiệm, sự [r]
Trang 1LÝ THUYẾT MÔN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
(Tài liệu chỉ mang nh chất tham khảo – h p://nguyenchiphuong.WordPress.com )
Trong phần này mình xin trình bày các câu hỏi xoay quanh nội dung mà thầy đã hạn chế trên lớp
cụ thể gồm: bổ đề Gronwall-bellman, định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, -nghiệm, sự kéo dài nghiệm Các phần còn lại ở những phần & chương khác các bạn tự m tài liệu tham khảo nhé Còn một điều lưu ý là thầy có nhắc khi vào một câu hỏi liên quan đến phần nào thì nên nêu
ra định nghĩa hay định lý trước rồi mới trả lời ý câu hỏi Ví dụ như câu hỏi 1 liên quan tới bổ đề Gronwall-Bellman thì các bạn nên phát biểu bổ đề nhé
Câu 1: Hãy phát biểu một dạng mở rộng của bổ đề Gronwall-Bellman và cho một ví dụ minh họa ứng dụng của nó
Đối với câu hỏi này mình xin nêu ra một mở rộng của bổ đề + ví dụ minh họa, mở rộng có rất nhiều tuy nhiên mình nghĩ đối với câu hỏi này mỗi người nên làm một dạng để tránh bị trùng (bị trùng, làm giống nhau thì ít điểm ráng chịu)
Trả lời:
1 Bổ đề Gronwall-Bellman:
Cho ( ) là một hàm khả vi trên [ , ] ⊂ ℝ, nếu tồn tại , ≠ 0 sao cho
( ) ≤ ( ) + , ∀ ∈ [ , ] (1) thì ta luôn có:
( ) ≤ exp[ ( − )] + { [ ( − )] − 1} ớ = ( ) (2)
2 Mở rộng của bổ đề
Cho ( ) ≥ 0, liên tục trên [ , ] ⊂ ℝ, nếu tồn tại và , > 0 sao cho
( ) ≤ exp[− ( − )] ( ) + [ ( ) + ] exp[− ( − )] , ∀ ∈ [ , ] (3) thì ta luôn có:
( ) ≤ exp[− ( − )] ( ) +
− {1 − exp[−( − )( − )]}, ∀ ∈ [ , ] (4)
Chứng minh:
Đặt ( ) = ( ) exp( ) khi đó từ (3) ta có
Trang 2( ) ≤ ( ) + [ ( ) + exp( )]
Áp dụng định lý 3.9.3, tr88 ta có
( ) ≤ ( ) exp[ ( − )] + exp( ) exp[( − ) ]
≤ ( ) exp[ ( − )] +
− exp( ) {exp[( − ) ] − exp[( − ) ]} Vậy
( ) ≤ exp[− ( − )] ( ) +
− {1 − exp[−( − )( − )]}
3 Ứng dụng của mở rộng cho bài toán chứng minh sự ổn định mũ của nghiệm tầm thường của phương trình vi phân
Định nghĩa (nghiệm ổn định mũ): Cho phương trình vi phân
( ) = ( ) ( ) + ( ( ), ) (5) với ( ) là toán tử tuyến nh bị chặn, liên tục theo , ( ( ), ) liên tục trong = {( , )| ‖ ‖ ≤ , < < ∞, 0 < là hằng số} và thỏa
‖ ( , )‖ ≤ ‖ ‖, > 0, ( , ) ∈ (6) Khi đó nghiệm = 0 của phương trình (7) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại , > 0 sao cho ‖ ( )‖ ≤ exp[− ( − )] ‖ ( )‖ (7)
Ta cũng có được nghiệm của phương trình (7) có dạng
( ) = ( , ) ( ) + ( , ) ( ( ), ) (8) với ( , ) là toán tử Cauchy, ( , ) = ( ) ( ), ( ) = ( ) ( )
Định lý (ứng dụng): Nếu phương trình (5) có hàm ( , ) thỏa mãn điều kiện (6) và
‖ ( , )‖ ≤ exp[− ( − )] , = − > 0 thì nghiệm = 0 của phương trình (5) ổn định mũ
Chứng minh:
Từ (8) ta suy ra
Trang 3‖ ( )‖ ≤ ‖ ( , )‖‖ ( )‖ + ( , ) ( ( ), )
≤ exp[− ( − )] ‖ ( )‖ + exp[− ( − )] ‖ ( )‖
Áp dụng định lý 2.2 ta được
‖ ( )‖ ≤ ‖ ( )‖ exp[−( − )( − )] = ‖ ( )‖ exp[− ( − )]
Vậy nghiệm = 0 của phương trình (5) ổn định mũ
4 Ví dụ minh họa
Xét hệ phương trình vi phân sau:
( ) = − ( ) ( ) = −2 ( ) ( ) = 1; ( ) = 2
(9) Đặt
0 −2 ; ( ) =
( ) ( ) Khi đó hệ (9) được viết lại thành ( ) = ( ) Phương trình này có nghiệm là
( ) = exp[ ( − )] ( ) Mặt khác ta lại có
Nên rõ ràng
‖ ( )‖ ≤ 2 exp[−( − )] ‖ ( )‖ thỏa (7)với = 2, = 1 Vậy nghiệm không của hệ phương trình (9) ổn định mũ
Câu 2: Sự hội tụ của -nghiệm có ý nghĩa gì trong lý thuyết định nh phương trình vi phân? Trả lời:
Sự hội tụ của -nghiệm dùng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân
Bổ đề 3.10.1, tr96: Nếu có dãy { } với → 0 khi → ∞ và ( ) là -nghiệm trên =
Trang 4i ( ) =
ii , ( ) ∈ ̅- compact trong
iii ( ) ⇉ ( ) đều ∀ ∈
thì ( ) là nghiệm của phương trình vi phân = ( , ) với ( ) =
Chứng minh: tr97
Câu 3: Có thể sử dụng bổ đề Gronwall-Bellman để đánh giá sự sai lệch nghiệm hay không? Cho ví dụ?
Trả lời:
Ta có thể sử dụng bổ đề Gronwall-Bellman để đánh giá sự sai lệch nghiệm:
Ví dụ: Đánh giá sự sai lệch nghiệm của phương trình tuyến nh: ( ) = ( ) + ( ) (1) Định lý 3.10.1, tr97: Giả sử ( ) là nghiệm của phương trình (1), ∈ [ , ] Các hàm
( ), ( ) liên tục trên Khi đó tồn tại hai số và ∈ ℝ sao cho
| ( )| < [ | ( )| + ( − )] | |
Chứng minh: SGK, tr97-98
Các bạn cũng có thể cho ví dụ về đánh giá sai lệch nghiệm của hai phương trình vi phân
Câu 4: Định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phép khẳng định ở đâu? Tại sao phải kéo dài (thác triển) nghiệm
Trả lời:
Trước ên ta xét định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm (Định lý 1.4.1 - Giáo trình PTVP, tr45 – Nguyễn Đình Phư): Giả sử hàm ( , ) trong bài toán Cauchy liên tục trên hình chữ nhật ⊂ cạnh , nghĩa là ∃ : | ( , )| ≤ và thỏa điều kiện Lipschitz đối với thì bài toán Cauchy có duy nhất nghiệm trong lân cận điểm : ( ) với ℎ = min ,
Chứng minh: xem tr106
Nhận xét: Như vậy định lý này phát biểu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy
và chỉ mang nh cục bộ tức là chỉ khẳng định trong lân cận của điểm cho trước, ngoài lân cận ( ) ta không thể khẳng định được Cũng chính vì hạn chế này nên ta phải xét đến ến trình kéo dài được hay không kéo dài được nghiệm ngoài lân cận ( )
Trang 5Câu 5: Xét bài toán Cauchy
= ( , )
( ) = , ( , ) ∈ = {( , )| ∈ , ∈ ℝ}
Giả sử ( ), ( ) là hai nghiệm của bài toán Cauchy thỏa mãn ( ) = ( ) = Khi
đó điều kiện nào để ( ) ≡ ( ) trên toàn bộ ?
Trả lời:
Điều kiện để ( ) ≡ ( ) trên toàn bộ là:
(1) Tồn tại
(2) ∃ : ≤ , ∀( , ) ∈
Chứng minh
Theo bổ đế 1.4.1, tr44-45 thì từ điều kiện tồn tại và liên tục trên , nghĩa là ∃ : ≤ , ∀( , ) ∈ , mỗi điểm ( , ) và ( , ) ta có ( , ) phải thỏa mãn điều kiện Lipschitz Theo định lý 3.11.2, tr105 nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất trên [ − ℎ, + ℎ] Nhưng vì điểm ( , ) ∈ là tùy ý, nên với ∀ ∈ ta có
| ( ) − ( )| ≤ | ( ) − ( )|
Ta có ( ) = | ( ) − ( )| ≥ 0, ∀ ∈
Áp dụng bổ đề Gronwall-Bellman với = 0, = uy ra ( ) ≡ 0, ∀ ∈
Hay ( ) ≡ ( ) trên toàn bộ
Câu 6 (bài tập 4, chương 3, tr122): Giả sử ( , ) thỏa mãn: với cố định ta có ( , ) không tăng theo và
( , ) − ( , ) ≥ ∈ ℝ Chứng minh rằng nếu ( ), ( ) là nghiệm của bài toán Cauchy với ( ) = ( ) = thì ( ) = ( ), ∀ ∈
Trả lời:
Trang 6Không mất nh tổng quát ta giả sử > , khi đó với ∀ ∈ ta có
( , ) − ( , ) ≥ ∈ ℝ ⇒ ( , ) − ( , ) ≤ −
⇒ 0 ≤ | ( , ) − ( , )| ≤ ( ≥ − ) ⇒ | ( , ) − ( , )| = | − | ≤
Đặt =
Áp dụng định lý 3.11.3, tr106 ta có ( ) = ( ), ∀ ∈
Câu 7 (bài 7, chương 3, tr122-123): Giả sử ( , ) và xác định và liên tục trên ℝ thỏa mãn
≤ ( ) với ( ) là hàm liên tục Chứng minh rằng phương trình = ( , ) với ( ) =
có nghiệm trên khoảng [ , +∞)
Trả lời:
???
Câu 8: Xét bài toán Cauchy
= ( , )
( ) = , ( , ) liên tục trên = {( , )| ∈ , ∈ ℝ}, ( , ) ∈
Hãy sử dụng nh chất của tập -nghiệm chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán Cauchy Trả lời:
Chứng minh: tr103
Câu 8: Thế nào là nghiệm không thể kéo dài?
Trả lời:
Nghiệm = ( ) của phương trình vi phân = ( , ) được gọi là không thể kéo dài nếu bất
kỳ sự kéo dài nào của nó bằng chính nó
Cũng theo định lý 3.12.2, tr109: Với mọi điểm ( , ) ∈ , nghiệm không kéo dài được = ( ) của phương trình vi phân = ( , ) thỏa mãn điều kiện ( ) =
Chứng minh: tr109-110
Trang 7Câu 9: Cho phương trình vi phân = ( , ) ( ) thỏa mãn điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm trên ⊆ ℝ Gọi = ( ) là nghiệm của ( ) nằm trong lân cận ( ) Nêu điều kiện cần và đủ để kéo dài được nghiệm = ( ) trên ( , )về phía phải trên ( , ) Cho
ví dụ minh họa về sự kéo dài và không kéo dài được nghiệm
Trả lời:
Giáo trình PTVP - Tr106
Ví dụ 1: Cho phương trình = | | khi đó
⇔ ln| ( )| − ln| ( )| = − ⇔ | ( )| = | ( )|
Rõ ràng lim
→ ( ) = ∞ nên ta có thể kéo dài được nghiệm
Ví dụ 2: Cho phương trình + 2 = , chia 2 vế của phương trình cho ta có
+ 2 = (1) Đặt = ⇒ = − ′ Do đó (1) ⇔ − 2 = − (2) Nghiệm tổng quát của phương trình (2) có dạng:
( − )
Rõ ràng khi → (giá trị hữu hạn) thì ( ) → ∞ nên không thể kéo dài nghiệm được
Câu 10 (bài 1, chương 3, tr122): Cho phương trình vi phân = ( , ) với hàm ( , ) liên tục trên = {( , )| < < , | | < +∞} và thỏa mãn | ( , )| < ( )| | + ( ), các hàm ( ), ( ) liên tục Chứng minh rằng có thể kéo dài nghiệm = ( ) trên khoảng ( , ) thậm chí ( , ) = (−∞, +∞)
Trả lời:
Giả sử phương trình tuyến nh = ( )| | + ( ) có nghiệm là ( )
Bài ra cho ( , ) liên tục trên
Trường hợp hữu hạn trên các miền với ∈ ( , ), ở hai đầu mút , ta có
lim
→ ( ) = ( ) = và ( , ) ∈ ( | | < +∞)
Trang 8Trường hợp không hữu hạn thì tại biên không tồn tại ( ), khi đó ta xác định một nghiệm
( ) = ( ) , < <
( ) , ≤ ∨ ≥ Đặt
( ) = ( ) + ( , ( )) Khi đó trên [ , +∞) ∪ (−∞, ] ta có ( ) = ( ) = ( )
Như vậy ( ) là nghiệm kéo dài của ( ) trên khoảng (−∞, +∞)
Câu 11: Trong không gian Bannach B cho phương trình vi phân toán tử
= ( ( ), ) ( ) với ( ( ), ) = ( ) + ( , )
Biết rằng ‖ ( , )‖ ≤ , hay so sánh nghiệm của ( ) với phương trình
( )= ( ) ( ) Trả lời:
Đặt ( ( ), ) = ( ) , khi đó ta có
( ( ), ) = ( ( ), ) + ( , )
Ta chỉ cần chứng minh ( ( ), ) thỏa mãn 2 điều kiện:
(1) ‖ ( ( ), ) − ( ( ), )‖ ≤ ‖ − ‖
(2) ‖ ( ( ), )‖ ≤
Khi đó áp dụng định lý 8.33.4, tr272 ta có
‖ ( ) − ( )‖ < {| − | − 1} + exp[ ( − )]
với = ‖ ( ) − ( )‖
CM (1): ‖ ( ) − ( ) ‖ ≤ ‖ − ‖ ⇒ ‖ ( ( ), ) − ( ( ), )‖ ≤ ‖ − ‖
CM (2): ‖ ( ) ‖ ≤ ‖ ( ) ‖ + ‖ − ‖ ≤ + = ⇒ ‖ ( ( ), )‖ ≤
Trang 9Câu 12: Cho hệ phương trình = ( ) + ( )
a Hãy viết nghiệm cơ bản của hệ này khi: ( ) là ma trận hàm thực, ( ) là toán tử trong không gian Banach
b So sánh hai nghiệm cơ bản này
Trả lời:
a Viết nghiệm cơ bản của hệ
+ Trường hợp ( ) là ma trận hàm thực
Đặt
( ) ( )
⋮ ( )
; = − ( ) ;
Khi đó ta viết lại hệ phương trình thành: = ( )
Ta có ( ) =
là ma trận hệ nghiệm cơ bản của hệ = 0
Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình = ( ) là:
+ Trường hợp ( ) là toán tử trong không gian Banach (tr274)
Toán tử Cauchy ( , ) = ( , ) ( , ) và nghiệm của phương trình là
với giả thiết ‖ ( , )‖ ≤ exp ∫ ‖ ( )‖ và ( , ) = ( ) ( ) với ( ) là nghiệm của
=
b So sánh hai nghiệm cơ bản này
???