tổng hợp đề thi tuyển sinh thạc sĩ đại học cần thơ

d) Đối với đề thi Lý luận dạy học toán (sau này sẽ gọi tắt là đề thi môn Phương pháp) thì các kiến thức toán học trong đề chỉ được xét trong chương trình Toán (phân ban) hiện hành. e) Câ[r]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

KHOA SƯ PHẠM

BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC

TỔNG HỢP

ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ

ĐẠI HỌC CẦN THƠ

Giai đoạn 2001 – 2012

Biên soạn LATEX

Mai Mẫn Tiệp

Email

maimantiep@gmail.com

Homepage

maimantiep.wordpress.com

Lưu hành nội bộ

Cần Thơ, 2013

TUYỂN SINH THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐẠI HỌC CẦN THƠ 2001-2012

LATEX by Mẫn Tiệp∗ Ngày 5 tháng 12 năm 2013

Lưu ý

a) Thời gian làm bài của mỗi đề là 180 phút

b) Thí sinh không được sử dụng bất kì tài liệu nào, kể cả Sách giáo khoa (đối với môn Lý luận dạy

học toán) để làm bài

c) Đối với đề thi Giải tích (tương ứng: Đại số) mà đề có hai phần Giải tích cơ sở và Giải tích hàm (tương ứng: Đại số tuyến tính và Đại số đại cương) thì thí sinh làm mỗi phần trên tờ giấy thi

riêng

d) Đối với đề thi Lý luận dạy học toán (sau này sẽ gọi tắt là đề thi môn Phương pháp) thì các kiến thức toán học trong đề chỉ được xét trong chương trình Toán (phân ban) hiện hành

e) Câu tô màuđỏcó thể đánh máy không chính xác, vì tác giả chỉ có đề photo rất mờ

f) Mọi ý kiến về các sai sót mắc phải, cũng như những đề thi khác của Đại học Cần Thơ mà tác

giả chưa cập nhật, xin liên hệ email maimantiep@gmail.com

g) Các bạn hoàn toàn được quyền sử dụng file nguồn LATEX của ebook này, nhưng phải ghi rõ đội ngũ thực hiện

Tài liệu

[1] Nguyễn Chí Phương, Blog cùng Phương giải toán: nguyenchiphuong.wordpress.com

[2] Website khoa Sau Đại học, trường Đại học Cần Thơ: gs.ctu.edu.vn

∗ Email: maimantiep@gmail.com

1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

1 Đề thi môn Giải tích

1.1 Giải tích, đề mẫu 01 (gần với đề Giải tích, năm 2006)

Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân

K =

˚

V

x y z d x d y d z

vớiV là vật thể giới hạn bởi các mặt x + y = 1 và 0 ≤ z ≤ x y

Câu 2 (2,0 điểm) Tính tích phân đường

I =

ˆ

L

x y d l

vớiL là đường giao tuyến của các mặt z = 2 − x2

− 2y2 vàz = x2 từ điểmA (0;1;0) đến B(1;0;1)

Câu 3 (1,5 điểm) Tìm cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = 2x3+ 12x y − 6y2+ 3

Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

y00+ 4y0+ 4y = 2e 2x (x2+ 2x + 10)

Câu 5 (1,5 điểm) Chứng minh rằng tập hợpA mở trong C[−3,3], với

A= f ∈ C [−3,3] : |f (x )| < 5 ∀ x ∈ [0,1] ∩



f ∈ C [−3, 3] :

ˆ 1

0

f (x )d x < 5



Câu 6 (1,5 điểm) Chok > 0, chứng minh rằng phương trình

f0(t ) = 4t + 3 + 5sin[f (t )]2; f(0) = 1

có nghiệm f ∈ C [0, k ] thỏa mãn f0∈ C [0, k ]

Câu 7 (1,0 điểm) ChoE là không gian mêtric với khoảng cách d Chứng minh

ρ(x , y ) = d (x , y )

1+ d (x , y ),∀ x , y ∈ E

cũng là một khoảng cách trongE

———————————HẾT———————————

1.2 Giải tích, đề mẫu 02 (gần với đề Giải tích, năm 2010, đề 03)

Câu 1 (2,0 điểm) Cho miềnD giới hạn bởi y = x3, y = x ≥ 0 Hãy

• Biểu diễn miền D

• Tính diện tích của D

• Tính I =

¨

D

(x2+ y2)d x d y

Câu 2 (1,5 điểm) Tính tích phân đường

I =

ˆ

C

(4x2

− 4y2)d x + (ln y − 8x y )d y

vớiC = C1∪ C2, màC1=(x , y )|1 ≤ x ≤ 2, y (x ) = x2

,C2=(x , y )|2 ≤ x ≤ 4, y (x ) = 8 − 2x

Câu 3 (1,0 điểm) Tính cực trị (nếu có) của hàm số sau

f (x , y ) = −4x3+ 10x y + 2y2+ 10

Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm của phương trình vi phân

2y00− 3y0+ y = e 2x (x2

− 10) thỏa mãn điều kiện y (0) = 6, y0(0) = 15

Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh rằng tập hợp

B = f ∈ C [0,1] : |f (x )| < 6 ∀ x ∈ [0,1] ∩



f ∈ C [0, 1] :

ˆ 1

0

f (x )d x ≥ 5



không mở, không đóng trongC[0,1]

Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình

f (t ) =

ˆ 1

0

e −[t −f (s )]2d s

có nghiệm duy nhất f ∈ C [0, 1]

———————————HẾT———————————

1.3 Giải tích, năm 2001

Câu 1 Cho hàmu (x , y ) = lnsinpx

y với x (t ) = 3t2, y (t ) =pt2+ 1 Tìm d u

d t

Câu 2 Tính cực trị (nếu có) của hàm số f (x , y ) = y3

− x2− 2x y − x − 2y

Câu 3 Tính I =

ˆ

AB

(x2+ y2)dl với AB là 1/4 cung đường tròn tâm O, bán kính R nằm ở góc

vuông thứ nhất

Câu 4 Tìm khoảng hội tụ và khảo sát tính hội tụ ở hai đầu khoảng đó của chuỗi

∞

X

n=1

(n + 1)x 2n

(2n + 1)

Câu 5 ChoT f =

ˆ 1

−1

t |t |f (t ) d t , với mọi f ∈ C[−1; 1] Chứng minh rằng T là ánh xạ tuyến tính, liên tục từ C[−1; 1] vào R Tìm ||T ||

Câu 6 ChoD =(x ; y ; z ) : x2+ y2+ z2+ x y + y z + z x ≤ 1

Chứng minh rằngD compăc trong

R3

———————————HẾT———————————

1.4 Giải tích, năm 2002 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

1.4 Giải tích, năm 2002

Câu 1 Tính cực trị (nếu có) của f (x , y ) = y2x + 2x2

− 4x y + 5x

Câu 2 TínhI =

¨

D

(x +2y )(y − x )2d x d y , biết rằng D là miền giới hạn bởi các đường y = x +1;

y = x + 4; x = −2y ; x = −2y + 4

Câu 3 TínhI =

ˆ

C (y + 2x e y )d x + (x + x2e y )d y, vớiC là đường cong nối từ(1;0) tới (2;ln2)

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00− 5y0+ 4y = e x

Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co (dạng mở rộng) rằng phương trình sau có nghiệm duy

nhất y ∈ C[0; 1]: y (t ) =

ˆ t

0

y (x )cos(t − x )2d x

Câu 6 Chứng minh rằng tập hợpA compăc trong R2 vớiA=

§

(x ; y ) : x2+3

2x y + y2

≤ 1 ª

———————————HẾT———————————

1.5 Giải tích, năm 2003

Câu 1 Trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm nhiều biến f : D ⊂ Rn → R trong đó D

là tập đóng giới nội Áp dụng với f (x , y, z ) = x y z và D là hình cầu đơn vị đóng

Câu 2 Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa

∞

X

n=1

(2x + 1) n

2n 3 n

Câu 3 TínhI =

¨

D

Æ

x2+ y2d x d y , với D =(x , y )|x2+ y2

≤ 2y

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân y00− 6y0+ 9y = 3x2

− 1

Câu 5 Chứng minh bằng nguyên lí ánh xạ co rằng phương trình: y (t ) =

ˆ 1

0

d s

1+ (t − y (s ))2 có nghiệm duy nhấty ∈ C[0; 1]

Câu 6 Cho toán tửT : C[−1; 3] → R với T f =

ˆ 3

−1

x (x − 2)f (x )d x , ∀ f ∈ C[−1;3]

a) Chứng minh rằngT là ánh xạ tuyến tính liên tục

b) Tính||T ||

Câu 7 Trên không gian C[a ; b ], a < b đặt ||f ||1=

ˆ b

a |f (t )| d t , f ∈ C[a ; b ]

a) Chứng minh rằng||.||1 là một chuẩn

b) Chứng mình rằng C[a ; b ] với chuẩn ||.||1là không đầy đủ

———————————HẾT———————————

1.6 Giải tích, năm 2004

Câu 1 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số: f (x , y ) = (x2+ y2)e −(x2+y2 )− (x2+ y2)

Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyến L : I =

˛

L

x2y2d x + y x3d y , với L

tạo bởi x = 0, y =px , y = x − 2

Câu 3 Chứng minh rằng nếu chuỗi dương

∞

X

n=1

a n hội tụ thì lim

n→∞n a n= 0

Câu 4 Viết nghiệm của phương trình vi phân: y00− 4y0+ 3y = x2+ 1thỏa mãn điều kiện ban đầu

y (0) = 2, y0(0) = 10

Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp A =



f ∈ C[0; 1],||f || ≤ 5và

ˆ 1

0

f (x )d x ≥ 2



là một tập mở

trong C[0; 1] với ||f || = max

0≤t ≤1|f (t )|

Câu 6 Áp dụng định lí Schauder chứng minh rằng phương trình thỏa mãn:

x (t ) = 3t + 2

ˆ 2

0

arctan(t − x (s ))d s có nghiệmx ∈ C[0; 2]

———————————HẾT———————————

1.7 Giải tích, năm 2005, lần 1

Câu 1 Khảo sát tính hội tụ của chuỗi số theop , q

+∞

X

n=1

n p

n q+ sin2n

Câu 2 Tính tích phân đường theo chiều dương của chu tuyếnL

I =

˛

L

x y2d x + 3y x2d y

Câu 3 Tính gần đúng giá trị của biểu thức bằng phép tính vi phânA= arcsin0,51 +p3

8, 25

Câu 4 Tìm miền hội tụ của chuỗi

∞

X

n=1

(−1)n−1(x − 5) n

p

n

Câu 5 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân3y00+ y0− 4y = e 2x (x − 1)

Câu 6 ChoA=(x ; y ; z ) ∈ R3: x ≥ 0, x + y + z < 1 Chứng minh rằngA không mở, không đóng

trong R3

Câu 7 Đặt f (x ) = x3

− 2 và T x = x − f (x )

f0(x )

a) Chứng minh rằng có tập hợpD ⊂ (0; +∞) sao cho D là tập đóng và T (D ) ⊂ D

b) Chứng minh rằngT có điểm bất động thỏa mãn phương trình x3− 2 = 0

Câu 8 Chứng minh rằng tồn tại hàm f ∈ C[0; 1] thỏa mãn

f (t ) =1

2

ˆ 1

0

f (s )arctan[2(t − s )]d s

———————————HẾT———————————

1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

1.8 Giải tích, năm 2005, lần 2

Câu 1

a) Tính tích phân đường theo chiều dương củaL

I =

˛

L

e x y (1 + x y )d x + x2d y

trong đóL là nửa đường elip x

2

a2 +y2

b2 = 1 với y ≤ 0, a > 0, b > 0

b) ChoD =(x ; y ) : x2+ y2

≤ 2y , tính tích phân kép

I =

¨

D

(x + y )2d x d y

Câu 2

a) Tính giá trị gần đúng của biểu thức bằng phép tính vi phân

A=p4

16, 16+ sin(ln1,273)

b) Tính khoảng cách từ điểm A (3;0) đến đường cong y = x2

bằng giá trị nhỏ nhất của hàm số nhiều biến

Câu 3 Tìm miền hội tụ của chuỗi

+∞

X

n=1

(−1)n (2x − 4) n

n 2 n

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân7y00+ y0

− 3y = x2+ 3x − 2

Câu 5 Chứng minh rằng tập hợp sau mở trong C[0; 2]

B = f ∈ C[0;2] : f (x ) < 6 ∀ x ∈ [0;2] ∩



f ∈ C[0; 2] :

ˆ 1

0

f (x )d x < 5



Câu 6 Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm f ∈ C[0; 2]

f (t ) = 30t + 3 + 5

ˆ 2

0

e −[t −f (s )]2d s

———————————HẾT———————————

1.9 Giải tích, năm 2006

Câu 1 Tính tích phân

I =

ˆ 2

0

ˆ p4−y2 0

(4 − x2)32d x d y

Câu 2 Tính tích phân đường

I =

ˆ

L

x y d l

trong đó L là đường giao tuyến của các mặt z = 2 − x2

− 2y2 và z = x2 từ điểm A(0;1;0) đến

B(1;0;1)

Câu 3 Tìm cực trị (nếu có) của hàm số f (x , y ) = sin x + cos y + cos(x + y ) trên miền D =

§

(x ; y )|0 ≤ x ≤ 3π

2 , 0≤ y ≤3π

2 ª

Câu 4 Viết nghiệm tổng quát của các phương trình vi phân sau

a) y00+ 4y0+ 4y = 2e 2x (x2+ 2x + 10)

b) (x2+ y2+ x )d x + y d y = 0

Câu 5 Chứng minh rằng tập hợpA mở trong C[0; 3] với

A= f ∈ C[0;3] : |f (x )| < 7 ∀ x ∈ [0;3] ∩



f ∈ C[0; 3] :

ˆ 2

1

f (x )d x < 5



Câu 6 Chok > 0, chứng minh rằng phương trình f0(t ) = 4t +3+5cos[f (t )]2; f(0) = 1 có nghiệm

f ∈ C[0; k ] thỏa mãn f 0∈ C[0; k ]

Câu 7 ChoE là không gian mêtric với khoảng cách d Chứng minh rằng với x , y ∈ E thì

ρ(x , y ) = d (x , y )

1+ d (x , y )

cũng là một khoảng cách trongE

———————————HẾT———————————

1.10 Giải tích, năm 2007, khóa 14

Câu 1 (2,5 điểm) Tích phân bội

Cho một miềnV giới nội bởi các mặt z = 0, y = z , y = x2

và y = 1 Hãy a) Biểu diễn miềnV

b) Tính thể tích khốiV

c) Tính tích phân bội baI =

˚

V

(x + y )d x d y d z

Câu 2 (1,0 điểm) Tính tích phân đường

I =

ˆ

L (2x2

− 2y2)d x + (ln y − 4x y )d y

vớiL là đường nối hai điểm A (−1;1) và B(4;e )

Câu 3 (1,0 điểm) Tính cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = (x − 2)ln x y

1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm tổng quát của phương trình vi phân

y00− 6y0+ 9y = e 2x (x2+ 5)

Câu 5 (1,0 điểm) Khảo sát tính đóng (hay mở) trongC[0,1] của tập hợp

A=



f ∈ C [0, 1] :

ˆ 1

0

f (t )d t ≥ 4 : f (0) = f (1) = 0



Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh rằng với λ ∈0,1

8

‹ , ta có thể chọn đượcM > 0 để phương trình

x = T x có nghiệm trong K M với

T x (t ) = λ +

ˆ t

0

x2(s )d s (0 ≤ t ≤ 2)

vàK M = {x ∈ C [0,2] : ||x || ≤ M }

Câu 7 (1,0 điểm) Chứng minh rằng ánh xạ

T f =1

3 f (1) + f (0), f ∈ C [0,1]

là ánh xạ tuyến tính liên tục trênC[0,1] Tìm chuẩn của nó

———————————HẾT———————————

1.11 Giải tích, năm 2009, đề số 02

Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân đường vớiC là một chu tuyến bất kì

I =

ˆ

C

(x2+ y2)(x d x + y d y )

Câu 2 (2,0 điểm) Cho miềnD giới nội bởi

(x2+ y2)2= 2a2(x2

− y2) Hãy

• Tính diện tích của miền D

• Tính tích phân I =

¨

D

x y d x d y

Câu 3 (1,5 điểm) Tính cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = x3+ y3+ 3x y + 5

Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm của phương trình vi phân

y00− 4y0+ 3y = x2+ 3x + 5

thỏa mãn điều kiện y (0) = 1, y0(0) = 2

Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh rằng phiếm hàm sau tuyến tính liên tục trênC[−1,1]

T f =

ˆ 0

−1

f (t )d t −

ˆ 1

0

f (t )d t , ∀ f ∈ C [−1,1]

Tính chuẩn củaT

Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình f (t ) = 1

2

ˆ t

0

e −[t −f (s )]3d s có nghiệm duy nhất

f ∈ C [0, 1]

———————————HẾT———————————

1.12 Giải tích, năm 2010, đề số 03

Câu 1 (1,0 điểm) Tính tích phân đường loại hai dọc theoC là các cạnh của tam giác nối các đỉnh

O (0;0), A(2;0), B(0;2)

I =

ˆ

C

x2y (y d x + x d y )

Câu 2 (2,0 điểm) Cho miềnD giới nội bởi

D =(x ; y )|π2

≤ x2+ y2

≤ 4π2

Hãy

• Biểu diễn hình học miền D

• Tính tích phân I =

¨

D

sinÆx2+ y2d x d y

Câu 3 (1,5 điểm) Tính cực trị (nếu có) của hàm số

f (x , y ) = x2+ y2+ 3x y + 5

Câu 4 (1,5 điểm) Viết nghiệm tổng quát của phương trình

x y0+ (1 − 2x )y = x

Câu 5 (2,0 điểm) Chứng minh rằng tập hợp

B =

§

f ∈ C [0, 1] : 10 ≥ min

x∈[0,1]f (x ) > 6

ª

không mở, không đóng trongC[0,1]

Câu 6 (2,0 điểm) Chứng minh rằng phương trình y0= x +1

2cos(x y (x )) ; y (0) = 0 có nghiệm duy

nhất y ∈ C [0, 1]

———————————HẾT———————————

1.13 Giải tích, năm 2011, đợt 1, đề số 01

I Giải tích cơ sở

Câu 1 Cho hàm f (x , y ) = x + y − x y và tập D = ¦(x, y ) ∈ R2: 0≤ y ≤ 1, y ≤ x ≤Æ2y − y2©

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm f (x , y ) trên miền D

b) Tính tích phânI =

¨

D

f (x , y )d x d y

Câu 2 Tính tích phân đường:I =

ˆ (3,2)

(−2,1)e x −y (1 + x + y )d x + (1 − x − y )d y 

Câu 3

a) Giải phương trình vi phân y0= y2

x y − x2

b) Giải phương trình vi phân



y + 2

x2

‹

d x+



x − 3

y2



d y = 0 với điều kiện ban đầu y (1) = 1

1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01 1 ĐỀ THI MÔN GIẢI TÍCH

II Giải tích hàm

Câu 4 Cho không gian metric(X ,d ) và A ⊂ X Đặt diam(A) = sup

x ,y ∈A

d (x , y )

Chứng minh nếuA là tập compact thì tồn tại a , b ∈ A sao cho diam(A) = d (a , b )

Câu 5 Chứng minhA=

§

f ∈ C[0,1]: max

x∈[0,1]f (x ) ≤ 1

ª

là tập đóng

Câu 6 Cho toán tửA : C[0,1]→ C[0,1]xác định bởi A x (t ) = x (t ) + x (1 − t ) với x ∈ C[0,1]

Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A

———————————HẾT———————————

1.14 Giải tích, năm 2012, đợt 1, đề số 01

I Giải tích cơ sở

Câu 1 Tìm cực trị của hàm ẩnz = z (x , y ), z > 0, xác định bởi phương trình

x2+ y2+ z2

− 2x + 4y − 6z − 11 = 0

Câu 2 Tính thể tích vật thể nằm trên mặt phẳngO x y và giới hạn bởi

mặt paraboloidz = x2+ y2 và mặt trụx2+ y2= a2(a > 0)

Câu 3 Tính tích phân mặt sau

I =

"

S

x z2d y d z + (x2

y − z3)d z d x + (2x y + y2

z )d x d y

vớiS là biên của nửa trên hình cầu giới hạn bởi các mặt x2+ y2+ z2 = a2 (a > 0) và z = 0 Tích

phân mặt lấy theo phía ngoài củaS

Câu 4

a) Giải phương trình vi phân



y + 2

x2

‹

d x+



x− 3

y2



d y = 0, y (1) = 1

b) Tìm dạng nghiệm tổng quát của phương trình

y00+ 3y0+ 2y = x (e −x − e −2x)

II Giải tích hàm

Câu 5 Cho không gian metric(X ,d ), (Y ,ρ) và ánh xạ f : X → Y Trên X × Y ta xét metric

d∗((x , y ),(x0, y0)) = d (x , x0) + ρ(y, y0), (x , x0),(y, y0) ∈ X × Y

và xét tập hợpG =(x , f (x )) : x ∈ X

a) Giả sử f liên tục, chứng minh G là tập đóng

b) Giả sửG là tập đóng và (Y ,ρ) là không gian compact, chứng minh f liên tục

Câu 6 Chứng minhK =(x , y, z ) ∈ R3: x + y + z ≤ 1, x ≥ −1, y ≥ −2, z ≥ −3

là tập compact

Câu 7 Cho toán tửA : C[0,1]→ C[0,1]xác định bởi A x (t ) = 2 t x (t ) với x ∈ C[0,1]

Chứng minh A là toán tử tuyến tính liên tục và xác định chuẩn của A

———————————HẾT———————————

2 Đề thi môn Đại số

2.1 Đại số, năm 2009, đề số 01

Câu 1 ChoG là một nhóm giao hoán Chứng minh rằng tập tất cả các phần tử có cấp hữu hạn của G

là một nhóm con củaG Kết quả trên còn đúng khi G không gian hoán hay không? Tại sao?

Câu 2 Giải phương trình sau trong Z488

68x − 60 = 620

Câu 3 Trong Q[x ], xét hai đa thức

f (x ) = (x − 1)(x2+ 1) và g (x ) = x 3n

− x 2n + x n

− 1 trong đón là số nguyên dương Xác định n để f (x ) | g (x )

Câu 4 Trong không gian R4cho các véctơ

u1= (1,2,3,4); u2= (2,1,5,4); u3= (1,4,3,8) GọiW là không gian con của R4 sinh bởiu1; u2; u3

a) Chứng minhB = (u1; u2; u3) là một cơ sở của W

b) Xác định tham sốm để vectơ u = (−1,1,2,m) thuộc W Với giá trị m đó, hãy tìm [u] B

Câu 5 Trong không gian R3cho các véctơ

u1= (1,1,2); u2= (0,1,1); u3= (0,1,2);

và toán tử tuyến tính f (x , y, z ) = (x − y + z , 2x − 3y, 2x − y + 4z )

a) Tìm số chiều và xác định một cơ sở cho mỗi không gian Im(f ), Ker(f )

b) Chứng minhB = (u1; u2; u3) là một cơ sở của R3

và tìm ma trận biểu diễn của f theo cơ sở B

Câu 6 Cho ma trận hệ số thựcA=





2 2 1

1 3 1

1 2 2





a) Tìm giá trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng củaA

b) Chứng minh A chéo hóa được và tìm một ma trận P khả nghịch sao cho P−1AP là ma trận

chéo TínhA20

———————————HẾT———————————