Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính phân bố điện từ trường trong mặt tiết diện của đường truyền vi dải

Đường truyền vi dãi đã được nhiều tác giả nghiên cứu, sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, và đặc biệt là các phương pháp tính gần đúng như: các kỹ thuật hàm Green, phương pháp biến đổi

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

TRẦN VĂN THỌ

“ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TÍNH PHÂN BỐ ĐIỆN TỪ TRƯỜNG TRONG MẶT TIẾT DIỆN

CỦA ĐƯỜNG TRUYỀN VI DÃI ”

Chuyên ngành : Kỹ thuật vô tuyến -điện tử

Mã số ngành: 2.07.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Tp Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2006

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

PHÒNG ĐÀO TẠO SĐH ĐỘC LẬP – TỰ DO – HẠNH PHÚC

Tp HCM, ngày tháng năm 2006

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày, tháng, năm sinh: 17/09/1974 Nơi sinh: Bình Định

Chuyên ngành: Kỹ thuật vô tuyến-điện tử MSHV:01404351

I- TÊN ĐỀ TÀI: ‘Ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn tính phân bố điện

từ trường trong mặt tiết diện của đường truyền vi dải’

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

• Nghiên cứu phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), tính phân bố trường trên

đường truyền vi dải theo phương pháp này

• Mô phỏng phân bố trường mặt cắt ngang của một đường truyền vi dải trong

không gian 2-D bằng phương pháp phần tử hữu hạn

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 22/02/2006

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/06/2006

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Vũ Đình Thành đã hướng dẫn tận tình, tạo mọi điều thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô ở Khoa Điện-Điện tử trường Đại học Bách khoa, là những người truyền đạt kiến thức, định hướng nghiên cứu trong suốt khóa đào tạo sau đại học

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình, bạn bè và cơ quan đã giúp đỡ, động viên Tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Xin trân trọng cảm ơn

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG TRƯỜNG ĐIỆN

TỪ 1

1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MAXELL 1

1.1 Dạng vi phân của hệ phương trình Maxell 1

1.2 Trường tĩnh điện và trường từ tĩnh 2

1.3 Trường điện từ biến thiên điều hòa .2

1.4 Các phương trình liên hệ 3

2 THẾ VÔ HƯỚNG VÀ THẾ VECTƠ 3

2.1 Thế vô hướng đối với trường điện tĩnh 3

2.2 Thế vectơ đối với trường từ tĩnh 4

3 PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TRUYỀN SÓNG 4

3.1 Phương trình dạng sóng vectơ 5

3.2 Phương trình sóng dạng vô hướng 5

4 ĐIỀU KIỆN BIÊN 6

4.1 Tại mặt phân cách giữa hai môi trường 6

4.2 Tại bề mặt vật dẫn lý tưởng 7

4.3 Tại bề mặt vật dẫn thực 7

5 ĐIỀU KIỆN BỨC XẠ 8

5.1 Điều kiện bức xạ Sommerfeld 8

5.2 Những điều kiện bức xạ bậc cao 9

CHƯƠNG 2 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 11

1 ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN TRỊ BIÊN VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP KINH ĐIỂN CHO BÀI TOÁN TRỊ BIÊN 11

1.1 Định nhĩa bài toán trị biên .11

1.2 Các phương pháp kinh điển để giải bài toán trị biên 12

2 CÁC BƯỚC CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 15

2.1 Rời rạc hóa miền khảo sát 16

2.2 Chọn hàm nội suy .17

2.3 Xây dựng hệ phương trình 17

GÁN ĐIềU KIỆN BIÊN .21

2.4 Giải hệ phương trình .22

CHƯƠNG 3 PHÂN TÍCH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG KHÔNG GIAN HAI CHIỀU 23

1 BÀI TOÁN TRỊ BIÊN 23

2 XÂY DỰNG CÔNG THỨC BIẾN PHÂN 24

3 PHÂN TÍCH PHẦN TỬ HỮU HẠN 27

3.1 Rời rạc hóa miền khảo sát 27

3.2 Hàm nội suy phần tử 28

3.3 Thiết lập công thức qua phương pháp Ritz .30

3.4 Thiết lập công thức qua phương pháp Galerkin .38

3.5 Giải hệ phương trình .42

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG KHÔNG GIAN 3 CHIỀU 43

1 BÀI TOÁN TRỊ BIÊN 43

2 XÂY DỰNG CÔNG THỨC BIẾN PHÂN 44

3 PHÂN TÍCH PHẦN TỬ HỮU HẠN 44

3.1 Rời rạc hóa miền khảo sát 44

3.2 Hàm nội suy phần tử 45

3.3 Thiết lập công thức qua phương pháp Ritz .47

3.4 Thiết lập công thức qua phương pháp Galerkin .52

CHƯƠNG 5 ĐƯỜNG TRUYỀN VI DÃI 55

1 KHÁI NIỆM 55

2 PHÂN BỐ TRƯỜNG TRONG ĐƯỜNG TRUYỀN VI DẢI 56

3 CÁC KỸ THUẬT GIẢI BÀI TOÁN TRƯỜNG ĐIỆN TỪ TRONG ĐƯỜNG TRUYỀN VI DẢI 57 3.1 Nhóm gần tỉnh (Quasi Static Group) 57

3.2 Nhóm tán xạ (dispersion group) 57

3.3 Nhóm tòan sóng (full wave group) 57

4 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH GẦN TĨNH (QUASI-STACTIC) 58

5 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH CÁC KIỂU GHÉP 61

6 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH TOÀN SÓNG 62

CHƯƠNG 6 KẾT QUẢ MÔ PHỎNG PHÂN BỐ TRƯỜNG CỦA ĐƯỜNG TRUYỀN VI DẢI TRONG KHÔNG GIAN 2-D BẰNG PHƯƠNG PHÁP FEM 65

1 LƯU ĐỒ GIẢI THUẬT 65

2 KẾT QUẢ MÔ PHỎNG PHÂN BỐ TRƯỜNG VÀ CÁC ĐƯỜNG

ĐẲNG THẾ 69

2.1 Trường hợp 1: Khi đường truyền vi dải có lớp đất bảo vệ xung quanh (với λ=10) 69

2.2 Trường hợp 2: Xét phân bố trường theo tỷ số w/h (bề rộng dải dẫn w và chiều cao lớp điện môi h) ( với λ=10 ) .70

2.3 Trường hợp 3: Xét phân bố trường trong các lớp điện môi khác nhau 72

2.4 Trường hợp 4: Xét phân bố trường theo sự thay đổi bước sóng λ của nguồn kích thích .73

2.4.1 Bước sóng λ=10m 73

2.4.2 Bước sóng λ=10 m 74

2.4.3 Bước sóng λ=10 m 75

2.5 Trường hợp 5: Đường truyền vi dải có hai dải ghép 76

2.5.1 Hai nguồn kích thích đồng pha 76

2.5.1 Hai nguồn kích thích nghịch pha 77

2.6 Trường hợp 6 : Đường truyền vi dải là tổ hợp ba lớp điện môi (với λ=10m) 78

3 NHẬN XÉT 79

CHƯƠNG 7 KẾT LUẬN .811

TÀI LIỆU THAM KHẢO 82

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn này trình bày một phương pháp tính phân bố trường của tiết diện đường truyền vi dải dùng phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) Kết quả tính toán sẽ được mô phỏng trên Matlab

Đường truyền vi dãi đã được nhiều tác giả nghiên cứu, sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, và đặc biệt là các phương pháp tính gần đúng như: các kỹ thuật hàm Green, phương pháp biến đổi Fourier, phương pháp phần tử biên , phương pháp phần tử hữu hạn,…Trong tất cả các phương pháp trên, phương pháp phần tử hữu hạn ( Finite Element Method - FEM) là một công cụ hữu hiệu cho việc phân tích phân bố trường của đường truyền vi dải, mà khó khăn cho các phương pháp khác

Nó có thể khảo sát các đường truyền với các cấu hình bất kỳ Phương pháp này có thể chứa một số bất kỳ các chất dẫn điện và các vùng điện môi không đồng nhất thông qua phép tính gần đúng của các vùng nhỏ hơn có điện môi đồng nhất

Việc khảo sát phân bố trường của của tiết diện đường truyền vi dải dựa trên sự thay đổi các thông số của đường truyền vi dải như hằng số điện môi, kiểu ghép đường truyền, bước sóng của nguồn kích thích, Qua đó, ta rút ra được sự phân bố trường trên mặt tiết diện của đường truyền vi dải

Qua kiến thức của luận văn, hướng phát triển tiếp theo của của đề tài là tính toán và

mô phỏng phân bố trường trên các đường truyền vi dải có chiều dài hữu hạn trong không gian 3D, cũng như áp dụng phương pháp toán phần tử hữu hạn để tính phân

bố trường ở các khu vực có mật độ sử dụng máy phát và tần số vô tuyến điện cao, nhằm tính toán và loại trừ các hiện tượng can nhiễu giữa các máy phát này

Do thời gian có hạn, do sự hiểu biết của bản thân còn hạn chế nên không thể không tránh sai xót.Rất mong thầy cô và các bạn cho ý kiến để luận văn đuợc hoàn chỉnh

Chương 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN TRONG TRƯỜNG ĐIỆN TỪ

Phân tích trường điện từ thực chất là giải các phương trình Maxell theo các điều

kiện biên cho trước Trong chương này chúng ta sẽ đề cập các khái niệm và phương

trình cơ bản của trường điện từ Ở đây, ta đặc biệt chú trọng việc giới thiệu các phương

trình đạo hàm riêng và các điều kiện biên tạo nên các bài toán trị biên giải bằng

phương pháp phần tử hữu hạn

1 Hệ phương trình Maxell

Hệ phương trình Maxell là hệ các phương trình cơ bản chi phối các hiện tượng

điện từ vĩ mô Các phương trình có thể viết dưới dạng vi phân hay tích phân Nhưng ở

đây, chúng ta chỉ giới thiệu dạng vi phân để tiện cho việc tính toán bằng phương pháp

phần tử hữu hạn

1.1 Dạng vi phân của hệ phương trình Maxell

Trong trường điện từ biến thiên theo thời gian, dạng tổng quát của hệ phương

×

∇

t

B E

rr

(định luật Faraday) (1.1)

J t

Chỉ 3 trong số 5 phương trình (1.1)- (1.5) là phương trình độc lập Hoặc 3

phương trình đầu (1.1)-(1.3), hoặc hai phương trình đầu (1.1), (1.2) với (1.5) có thể

chọn là phương trình độc lập Hai phương trình còn lại (1.4) và (1.5) hay (1.4) và (1.3)

có thể suy ra từ các phương trình độc nên chúng gọi là phương trình phụ thuộc

1.2 Trường tĩnh điện và trường từ tĩnh

Khi các đại lượng không thay đổi theo thời gian ta có trường điện từ tĩnh

Trong trường hợp này (1.1), (1.2), (1.5) được viết lại dưới dạng:

Trong đó (1.3) và (1.4) vẫn giữ như cũ Rõ ràng trong trường hợp này không

có sự tương tác điện và trường do đó chúng ta có thể khảo sát chúng một cách độc lập:

trường điện tĩnh được biểu diễn bỡi (1.3) và (1.6), trường từ tĩnh được biểu diễn bỡi

(1.4) và (1.7) với (1.8) là là hệ quả của (1.7)

1.3 Trường điện từ biến thiên điều hòa

Khi các đại lượng đặc trưng của dao động điều hòa với một tần số duy nhất,

chúng ta có trường biến thiên điều hòa theo thời gian Ta viết các phương trình (1.1),

(1.2),(1.5) dưới dạng phức như sau:

0

=+

×

∇ Er jωBr

J D j

Trong đó ω là tần số góc Trong trường hợp này trường điện và trường từ tồn

tại đồng thời và tương tác với nhau, và rõ ràng trường tĩnh là trường hợp đặc biệt của

trường hợp này khi ω tiến đến 0

1.4 Các phương trình liên hệ

Ba phương trình độc lập nằm trong hệ phương trình Maxell nói trên là hệ bất

định bỡi vì số phương trình ít hơn số biến Các phương trình Maxell sẽ trở thành xác

định khi xác định được các phương trình liên hệ Các phương trình liên hệ mô tả các

đặc tính vĩ mô của môi trường đang xét Trong một môi trường đơn giản ta có:

Trong đó các thông số liên hệ ε,µ,σ tương ứng là độ thẩm điện (F/m), độ

thẩm từ (H/m), độ dẫn điện (S/m) của môi trường Đối với môi trường không đồng

nhất chúng là hằng số

2 Thế vô hướng và thế vectơ

Để giải các phương trình Maxell, người ta có thể chuyển đổi các phương trình

đạo hàm riêng bậc nhất gồm 2 đại lượng trường thành phương trình đạo hàm riêng bậc

2 chỉ có 1 đại lượng trường Điều này sẽ được minh họa trong trường hợp điện từ tĩnh

2.1 Thế vô hướng đối với trường điện tĩnh

Như đã đề cập ở trên, trường điện tĩnh cho phối bỡi (1.3) và (1.6) Trong đó

(1.6) có thể được thỏa mãn bằng cách viết Er

Trong đó φ được gọi là thế vô hướng (1.13), (1.12) và (1.13) ta được:

ρφ

ε∇ =

∇

Đây là phương trình đạo hàm riêng bậc hai đối với φ Phương trình (1.16)

được gọi là phương trình Poisson

2.2 Thế vectơ đối với trường từ tĩnh

Trường từ tĩnh chi phối bỡi (1.4) và (1.7), trong đó (1.4) có thể thỏa mãn bằng

không đơn trị bỡi nếu Ar

là nghiệm của (1.18) thì bất kỳ hàm nào

có dạng Ar' =Ar+∇f cũng là nghiệm của (1.18) bất kể giá trị f Do đó, để Ar

là duy nhất người ta phải áp đặt điều kiện của Ar

trong công thức Divergence Điều kiện đó có thể được chọn như sau:

0 =

∇ Ar

Phần trình bày trên chỉ đúng với trường điện từ tĩnh Trong trường hợp biến

thiên điều hoà, trường điện từ cũng có thể được biểu diễn thông qua thế vô hướng và

thế vectơ

3 Phương trình dạng sóng

Chúng ta sẽ giải trường hợp trường biến thiên điều hòa theo thời gian trực tiếp

dưới dạng trường điện từ

3.1 Phương trình dạng sóng vectơ

Phương trình đạo hàm riêng đối với Er

có thể được xây dựng bằng cách loại

J H

εµ

ωε

1

(1.21) Trong hai phương trình trên, Jr

là nguồn ban đầu gây ra trường điện từ, và

)

( ε σω

εc = − j là kết quả của sự kết hợp giữa dòng cảm ứng ( Eσ và dòng điện dịch r)

)

(jω ; tuy nhiên để đơn giản chúng ta dùng ε thay cho Dr ε Phương trình (1.20) và c

(1.21) được gọi là phương trình sóng dạng vectơ không đồng nhất

3.2 Phương trình sóng dạng vô hướng

Khi phân tích trường điện từ, chúng ta đưa bài toán trong không gian 3 chiều

về bài toán trong không gian 2 chiều Giả sử trường và môi trường truyền liên quan

không phụ thuộc vào một chiều nào đó của hệ tọa độ, giả sử là chiều z Ta có thể chứng

minh được rằng thành phần z của (1.20) và (1.21) trở thành:

z z

r r

r

J Z jk E k y y

x

2 0

y r z

r r

r

J y

J x H

k y y

x

11

k là hệ số pha trong không gian tự do; Z0(= µ0/ε0)là trở kháng sóng của

không gian tự do; hằng số điện ( 8.854 10 12F / m)

4

µ là độ thẩm điện và độ thẩm từ của không gian tự do Các phương

trình dạng (1.22) và (1.23) được gọi là phương trình sóng dạng vô hướng không đồng

nhất

4 Điều kiện biên

Giải các phương trình đạo hàm riêng trên có thể cho ta nhiều nghiệm; tuy nhiên

chỉ duy nhất trong số chúng là nghiệm thực của bài toán Để tìm được nghiệm này,

chúng ta phải sử dụng điều kiện biên liên quan đến miền khảo sát Nói cách khác, để

mô tả đầy đủ một bài toán điện từ ngoài các phương trình đạo hàm riêng ta còn cần các

điều kiện biên Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu một số điều kiện biên có thể áp

dụng trong các trường hợp thực tế

4.1 Tại mặt phân cách giữa hai môi trường

Tại mặt phân cách giữa hai môi trường, giả sử là môi trường 1 và 2, các điều

kiện biên có thể viết như sau:

Đối với trường điện:

ˆ B1− B2 =

n r r

(1.27) Môi trường 1 nˆ

Trong đó nˆlà vectơ đơn vị pháp tuyến của mặt phân cách, hướng từ môi trường

2 sang môi môi trường 1 (hình 1.1) Bốn phương trình trên được gọi là phương trình

liên tục Trong số bốn phương trình trên chỉ có hai là độc lập: một từ (1.24) và (1.27),

ˆ B1− B2 =

n r r

4.2 Tại bề mặt vật dẫn lý tưởng

Những điều kiện biên trên có thể được rút gọn về trường hợp đặc biệt khi một

trong hai môi trường, giả sử là môi trường 2, trở thành vật dẫn lý tưởng Do một vật

dẫn lý tưởng không thể chứa trường bên trong, (1.24) trở thành:

nr r

(1.31) Trong đó Er

và Br

là trường phía ngoài vật dẫn và nr là vectơ vuông góc bề mặt

và hướng ra khỏi vật dẫn Lưu ý trong trường hợp này vùng biên có thể luôn có

Khi môi trường 2 là vật dẫn thực, người ta có thể chứng minh được trường điện

và trường từ tại bề mặt vật dẫn liên hệ với nhau như sau:

nr r r r r r

−

=

Trong đó η= µr2/εr2 là trở kháng sóng chuẩn hóa của môi trường 2 Phương

trình (1.32) và (1.33) được gọi là điều kiện biên trở kháng Trong trường hợp không

gian 2 chiều, chúng có thể viết lại như sau:

1 0

=

∂

∂

(1.35) Trong trường hợp Er =zˆE zvà Hr =zˆH z Trong trường hợp đầu là áp dụng cho

trường hợp phân cực E z và trong trường hợp thứ 2 là cho phân cực H z

5 Điều kiện bức xạ

Khi vùng biên bên ngoài của miền khảo sát tiến đến vô cùng, vùng khảo sát

được gọi là vùng mở Một điều kiện biên được gọi là điều kiện bức xạ cũng được xác

định tại vùng biên bên ngoài để có được một nghiệm duy nhất cho bài toán

5.1 Điều kiện bức xạ Sommerfeld

Giả sử mọi nguồn và vật thể được đặt trong không gian tự do và cách gốc tọa độ

một khoảng cách hữu hạn, trường điện và trường từ phải thỏa mãn:

0ˆ

E r

rr

r

(1.36)

Trong đó r= x2+y2+z2 Phương trình (1.36) thường được gọi là điều kiện

bức xạ Sommerfeld trong không gian ba chiều tổng quát Trong trường hợp không gian

2 chiều, điều kiện bức xạ Sommerfeld trở thành:

z

E jk H

E

ρ

Trong đó ρ= x2+y2

5.2 Những điều kiện bức xạ bậc cao

Hình Biên giả của nguồn bức xạ

Phương pháp số thường đòi hỏi phải thu hẹp vùng khảo sát bằng cách dời biên

ngoài lại gần mục tiêu càng tốt Trong bài toán hai chiều, người ta có thể chứng minh

được rằng, trên bề mặt hình trụ bán kính ρ của nguồn bức xạ (hình 1.2), E zvà H z thỏa

mãn điều kiện bức xạ sau:

) ( − 2 − 1 / 2

0 2

12

11

8

12

1

ϕρρ

ρρ

ρ

∂+

−+

−++

∂

∂

=

jk jk

jk

Với m=1,2 và (ρ,ϕ,z) là các tọa độ trụ Lưu ý rằng điều kiện bức xạ

Sommerfeld (1.37) có thể xem là trường hợp đặc biệt của (1.38) với m=1/2 và

0 2

vật lý chỉ một phần rất nhỏ của năng lượng sóng tới bị phản xạ trở ngược về từ biên khi

đặt điều kiện (1.38) ở đó

Trong trường hợp không gian 3 chiều, người ta có thể chứng minh được trên bề

mặt cầu bao quanh nguồn bức xạ, Er

và Hr

thỏa mãn điều kiện bức xạ bậc cao như sau:

)( − 2 − 1 / 2

r E

+

)1

(

0 0

rr

r

(1.43) với m=1,2 Trong đó s là một số bấc kỳ, chữ số dưới r là thành phần bán kính r

trong tọa độ trụ, và chữ số dưới t là thành phần tiếp tuyến (nằm ngang đối với rˆ) của

đại lượng liên quan Có thể thay thế Er

để có được công thức cho Hr

Bằng cách đặt s=1, (1.42) trở thành điều kiện bức xạ Sommerfeld trong (1.36)

Chương 2 GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

Phương pháp phần tử hữu hạn là một trong những phương pháp số cho phép xác

định nghiệm gần đúng của phương trình toán lý Phương pháp này được đưa ra giới

thiệu đầu tiên vào những thập niên 40 và ứng dụng vào nghành hàng không vào những

năm 50 Về sau phương pháp này được phát triển rộng rãi trong phân tích kết cấu xây

dựng và trong các lĩnh vực khác Ngày nay, phương pháp phần tử hữu hạn được xem là

phương pháp chung cho nhiều ứng dụng trong các bài toán vật lý và kỹ thuật Trong

chương này, chúng ta sẽ xem xét hai phương pháp kinh điển để giải bài toán trị biên

1 Định nghĩa bài toán trị biên và các phương pháp kinh điển

cho bài toán trị biên

Trong phần này trước hết chúng ta định nghĩa bài toán trị biên và sau đó đưa ra

hai phương pháp kinh điển để giải chúng Một là phương pháp biến đổi Ritz và hai là

phương pháp Galerkin, cả hai phương pháp này hình thành nên nền tảng cơ bản của

phương pháp phần tử hữu hạn

1.1 Định nhĩa bài toán trị biên

Bài toán trị biên nảy sinh trong mô hình toán học của các hệ vật lý và giải chúng

là nội dung chính của khảo sát

Một bài toán trị biên tiêu biểu được định nghĩa bằng phương pháp đạo hàm

riêng trong miền khảo sát Ω:

f

Trong đó L là toán tử vi phân, f là hàm kích thích hay hàm năng lượng, và φ là

biến Trong lĩnh vực điện từ, phương trình đạo hàm riêng có thể là phương trình

Poisson đơn giản, cho đến các phương trình sóng dạng vô hướng phức tạp, và thậm chí

phức tạp hơn với các phương trình sóng dạng vectơ Các điều kiện biên cũng có thể là

các điều kiện đơn giản như Dirichlet và Neumann hay các điều kiện biên trở kháng và

bức xạ phức tạp và thậm chí phức tạp hơn như các điều kiện biên trở kháng và bức xạ

phức tạp và thậm chí phức tạp hơn như các điều kiện biên bậc cao

1.2 Các phương pháp kinh điển để giải bài toán trị biên

1.2.1 Phương pháp Ritz

Phương pháp Ritz hay còn gọi là phương pháp Rayleigh-Ritz là phương pháp

biến phân mà trong đó bài toán trị biên được xây dựng dưới dạng biểu thức biến phân ,

gọi là phiếm hàm Cực tiểu phiếm hàm này ứng với phương trình đạo hàm riêng đã cho

cùng với điều kiện biên cho trước, và biến tìm được tương ứng với cực tiểu phiếm hàm

là nghiệm gần dúng cần tìm Bài toán xấp xỉ này được thực hiện bằng cách cực tiểu

phiếm hàm theo các biến của nó Để minh họa, ta định nghĩa nội tích như sau:

Với định nghĩa trên ta có thể thấy rằng toán tử L trong (2.1) là tự kết hợp

ψφψ

00

,

φ

φφ

φ

Sau đó tính (2.1) bằng cách cực tiểu phiếm hàm theo φ~:

φφ

φφ

2

1,

~2

1

~,

~2

1

~

f f

Trong đó φ~là nghiệm gần đúng Khi phiếm hàm xây dựng xong, bài toán có thể

được giảI bằng cách thức mô tả dưới đây Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng bài toán ta

khảo sát có giá trị thực và giả sử φ~trong (2.5) có thể xấp xỉ gần đúng:

T T

N j j

c { } { } { }{ }

~ 1

Trong đó v j là những hàm nộI suy đã được định nghĩa trên toàn bộ miền khảo

sát và c j là các hằng số cần xác định {−} là vectơ cột và {−}Tlà vectơ hàng Thay (2.6)

vào (2.5) ta được:

∫

∫

Ω Ω

Ω

−Ω

F { }T { } { }T { } { }T { }2

Ω

Ω

−Ω+

d v L v c

F

i i

T T

i i

}{}{2

1}{}{21

= N

j

i i

j j i

Ω+

Rõ ràng rằng [ ]S là ma trận đối xứng Kết hợp với tính tự kết hợp của toán tử L, S ij

có thể viết được dưới dạng:

1.2.2 Phương pháp Galerkin

Phương pháp Galerkin là phương pháp thặng dư trọng số, phương pháp này

được xây dựng thặng dư trọng số của phương trình đạo hàm riêng Giả sử rằng φ~ được

xấp xỉ vớI φ trong (2.1) Thay thế φ~ vào φ trong (2.1) cho ta kết quả một thặng dư

Xấp xỉ tốt nhất đối với φ~ là giảm thặng dư r toàn phần đến giá trị nhỏ nhất trên

toàn miền Ω Phương pháp thặng dư trọng số thỏa điều kiện sau:

∫

Ω

= Ω

= w rd 0

Trong đó R i là tích phân thặng dư trọng số và w ilà hàm trọng số

Trong phương pháp Galerkin, hàm trọng số được chọn là hàm nội suy của

nghiệm gần đúng Để minh họa cho phương pháp này , chúng ta xem xét bài toán được

giới thiệu như trong (2.6) Hàm trọng số được chọn như sau:

Điều này dẫn tới hệ ma trận được cho trong (2.9), mặc dầu ma trận [s] ở đây không

cần thiết phải đối xứng trừ khi toán tử L là tự kết hợp Trong trường hợp này, phương

pháp Galerkin cho kết quả như hệ phương trình trong phương pháp Ritz

Bên cạnh việc chọn các hàm nội suy, chúng ta còn có thể chọn những hàm khác cho

hàm trọng số Những kết quả trong việc xây dựng các công thức khác nhau được thảo

luận ngắn gọn theo sau đây:

1.2.2.1 Phương pháp kêt hợp điểm

Hàm dirac delta được chọn là hàm trọng số (w i =∞tại những điểm I và bằng 0

tại những nơi khác), khi đó (2.14) trở thành:

[ { } { } − ] = 0

Rõ ràng điều này thỏa (2.1) tại các điểm đặc biệt được gọi là hợp điểm Số hợp

điểm thường được chọn bằng với số chưa biết

1.2.2.2 Phương pháp kết hợp miền con

Trong phương pháp này các hàm trọng số được chọn bằng vớI số phần tử đơn vị

trên tất cả miền con và bằng 0 tại những điểm còn lại, và điều này dẫn đến:

Trong đó Ωlà miền con thứ i Một lần nữa, số miền con thường được chọn bằng

với số biến chưa biết

1.2.2.3 Phương pháp bình phương tối thiểu

Phương pháp này giảm đến mức tối thiểu một đại lượng lỗi được định nghĩa như

{}{v c f d L

Lv c

i i

Rõ ràng hàm trọng số trong trường hợp này là Lv i

2 Các bước cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn

Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp số để giải bài toán trị biên

Nguyên tắc của phương pháp này là thay thế toàn miền liên tục bỡi các miền con trong

đó các hàm cần tìm được đưa ra bỡi các hàm nội suy đơn giản với các hệ chưa biết Do

đó, bài toán trị biên với số bậc tự do của phần tử là vô hạn được chuyển thành bài toán

trị biên với số bậc tự do của phần tử là hữu hạn, hay nói cách khác nghiệm trên toàn bộ

hệ thống được xấp xỉ bỡi một số hữu hạn các hệ số chưa biết Sau đó xây dựng hệ các

phương trình đại số bằng cách sử dụng phương pháp Ritz và Galerkin, và cuối cùng

giải các bài toán trị biên bằng cách giải các hệ phương trình Bài toán giải bằng phương

pháp phần tử hữu hạn đối với các bài toán trị biên bao gồm các bước cơ bản sau:

1 Rời rạc hóa hay chia nhỏ miền khảo sát

2 Chọn hàm nội suy

3 Xây dựng hệ phương trình

4 Giải hệ phương trình

2.1 Rời rạc hóa miền khảo sát

Rời rạc hóa miền khảo sát Ωlà bước đầu tiên là bước quan trọng nhất trong

phương pháp phần tử hữu hạn vì nó phụ thuộc vào dung lượng của máy tính, tác động

đến thời gian tính toán và độ chính xác nghiệm Trong bước này, toàn bộ miền Ωđược

chia thành các miền nhỏ Ωe(e=1,2,3, ,M) vớI M là tổng số miền con Những miền con

này được xem như là các phần tử

Bài toán phần tử hữu hạn được giải quyết dưới dạng các hàm φ chưa biết tại các

nút liên quan tới những phần tử

Thứ tự cục bộ của nút chỉ ra vị trí của nó trong phần tử, trong khi thứ tự toàn

cục chỉ vị trí cụ thể trong hệ thống Trong khi việc xác định giá trị tọa độ tương đối dễ

dàng, thì việc đánh số thứ tự các nút và các phần tử còn lại đòi hỏi nhiều công sức Do

đó nếu phương pháp tính toán ma trận dải được sử dụng để giải các phương trình ma

trận, thì công việc xử lý của máy tính sẽ giảm xuống do số các nút làm cực tiểu độ rộng

của ma trận Tuy nhiên, cực tiểu ma trận là không cần thiết, sự sắp xếp các nút có thể

tùy ý và thường được chọn sao cho chương trình đơn giản

Rời rạc hóa miền khảo sát thường được coi như là công việc tiền xử lý bỡi ví nó

có thể tách biệt các bước khác Rất nhiều chương trình phần tử hữu hạn đã được phát

triển có khả năng chia nhỏ đoạn thẳng, bề mặt và thể tích bất kỳ thành các phần tử phù

hợp và cung cấp số biến toàn cục được tối ưu hóa

2.2 Chọn hàm nội suy

Bước thứ hai là chọn một hàm nội suy có dạng xấp xỉ sao cho tính toán đơn giản

nhưng phải thỏa tiêu chuẩn hội tụ trong một phần tử Hàm nội suy thường chọn ở dạng

đa thức bậc nhất, bậc hai hay bậc cao hơn Những đa thức bậc cao hơn cho kết quả

chính xác hơn, nhưng việc tính toán lại phức tạp hơn Do đó những hàm nội suy tuyến

tính căn bản và đơn giản vẫn được sử dụng phổ biến Khi bậc của đa thức được chọn,

chúng ta có thể biểu diễn hàm chưa biết trong phần tử e dưới dạng sau:

} { } { } { } {

~

1

e T e e T e e j n j

e j

2.3 Xây dựng hệ phương trình

Đây là bước thứ ba và cũng là một bước quan trọng trong phân tích phần tử hữu

hạn, để xây dựng hệ các phương trình Cả hai phương pháp biến đổi Ritz và Galerkin

đều có thể sử dụng được ở đây như đã đề cập ở phần trước

2.3.1 Thiết lập công thức thông qua phương pháp Ritz

Xét lại bài toán được định nghĩa trong (2.1) và giả sử rằng bài toán có giá trị

thực Phiến hàm F trong (2.5) có thể được biểu diễn:

F F

Ω

− Ω

=

e e

d f d

Ω Ω

d N f d

N L N F

e e

e T

e e T e e

[}{2

i

e

Lưu ý rằng ma trận [ ]K e là đối xứng bỡi vì L là tự kết hợp

Thay thế (2.55) vào (2.52), ta được

F

1

}{}{}{2

{2

1

b K

Trong đó [k] là ma trận đối xứng N×N với N là tổng số điểm, {φ là vectơ }

1

×

N chưa biết của phần tử, bà {b}là vectơ N× 1đã biết Hệ phương trình trên giải được

bằng cách lợi dụng điều kiện dừng ∂F=0 hay biến đổi tương đương, bằng cách cho đạo

hàm của F theo φ = 0 i

( ) 0 2

1 1

=

− +

ji ij i

b K

Ω

−Ω

=

∂

∂

e e

d fN d

N L

N

i e

e e

(2.63) có thể viết lại dưới dạng ma trận

T e n

e e

e e

e e

F F

F

φ thành vectơ cột N× 1cho mỗi phần tử thông qua sự tương quan giữa số điểm cục bộ và toàn cục và

sau đó cộng chúng lại với nhau

Trong đó {} chỉ vectơ mở rộng Hệ các phương trình sau đó được xây dựng bằng cách

lợi dụng điều kiện dừng

[ ]

( { } { }) 0

1 1

e e e M

e

b K

F

φ

Trong đó tất cả các vectơ và ma trận trong tổng được mở rộng Cụ thể [ ]K e

được mở rộng từ ma trận [ ]K e thành ma trận N×N dựa vào sự tương quan giữa số nút

cục bộ và số nút toàn cục Tương tự {φ và e} {b e}là vectơ cột mở rộng N× 1 Kết quả là

(2.66) cũng có thể viết dưới dạng (2.62) Cách này ít sử dụng hơn cách trước nhưng nó

vẫn được giới thiệu bỡi vì nó cũng tương tự như việc xây dựng công thức Galerkin

2.3.2 Thiết lập công thức thông qua phương pháp Galerkin

Hệ các phương trình trên cũng có thể được xây dựng thông qua phương pháp

Galerkin Đối với (2.1), thặng dư trọng số đối với phần tử thứ e là

= ∫

Ω

d f L N R

e

e e i

=

d fN d

N L N

i e

T e e i

không nhất thiết phải đối xứng Do tính chất mở rộng nên hàm trọng số kết hợp một số

nút của tất cả các phần tử với các điểm khác, thặng dư trọng số R i kết hợp một số nút

của tất cả các phần tử với các điểm khác, thặng dư trọng số R i kết hợp nút thứ i Do đó,

chúng ta có thể mở rộng (2.69) thông qua sự tương quan giữa biến cục bộ và biến toàn

cục, và sau đó cộng nó lại ở mỗi phần tử cần tìm

e e e

R R

R = 1, 2, , Chú ý rằng tất cả các vectơ và ma trận sau dấu tổng trong (2.70) là phần mở rộng như đã đề cập ở phần trước Hệ các phương trình có

thể xây dựng bằng cách cho (2.70) bằng không, kết quả là

Gán điều kiện biên

Trước khi hệ phương trình (2.62) được giải cho các bài toán cụ thể, chúng ta cần

phải gán các điều kiện biên Có hai loại điều kiện biên thường được sử dụng nhất: điều

kiện biên Dirichlet quy định giá trị φ ở biên như (2.22) và (2.23), và điều kiện biên

khác là điều kiện biên Neumann thuần nhất đòi hỏi đạo hàm của φ triệt tiêu ở biên

Điều kiện biên đầu tiên là điều kiện biên chính bỡi nó phải được gán một cách tường

minh, ngược lại điều kiện biên thứ hai tự động thỏa mãn trong quá trình giải cho nên

người ta gọi là điều kiện biên tự nhiên Phần này sẽ được thảo luận chi tiết trong phần

các điều kiện biên tổng quát

Rõ ràng trong bước này chúng ta có 3 bước con Trước tiên, chúng ta xây dựng

phương trình phần tử (2.55) hay (2.69) bằng cách sử dụng một trong hai phương pháp

đã đề cập Sau đó, chúng ta tích hợp các phương trình phần tử của tất cả phần tử để

thành hệ các phương trình Cuối cùng, chúng ta lợi dụng điều kiện biên để đưa ra dạng

cuối cùng của hệ phương trỉnh Chúng ta để ý rằng trong máy tính, ba bước con này

thường không độc lập mà chúng có liên quan chặt chẽ với nhau

2.4 Giải hệ phương trình

Giải hệ phương trình là bước cuối cùng trong phân tích phần tử hữu hạn Hệ

tổng hợp được biểu diễn dưới dạng sau

[ ]K { } { }φ = b (2.72)

Phương trình (2.72) thuộc loại xác định, trong đó hoặc phương trình đạo hàm

riêng không thuần nhất hoặc điều kiện biên không thuần nhất hoặc cả hai Trong hệ xác

định thường được kết hợp với các vật tán xạ, bức xạ và những bài toán xác định khác

trong đó tồn tại một nguồn kích thích

Khi chúng ta giải hệ các phương trình đối với { }φ xong , chúng ta có thể tính

được các thông số mong muốn khác như điện dung, tự cảm, trở kháng vào và các mẫu

tán xạ và bức xạ và biểu diễn chúng dưới dạng đồ thị, hay biểu đồ giúp cho người xem

có thể hiểu rõ hơn Giai đoạn cuối này thường được xem như bước xử lý cuối cùng,

cũng có thể độc lập với những bước khác

Chương 3 PHÂN TÍCH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG

KHÔNG GIAN HAI CHIỀU

Trong chương này chúng ta sẽ xây dựng công thức phần tử hữu hạn cho các bài

toán trị biên trong không gian hai chiều bằng các phần tử tam giác tuyến tính

1 Bài toán trị biên

nˆ

Γ

Hình 3.1 Vùng khảo sát có mặt phân cách không liên tục ( )Γd

Bài toán trị biên được định nghĩa bỡi phương trình đạo hàm riêng bậc hai

f y

y x

Trong đó φ là biến, αx,αyvà β là các thông số đã biết liên quan tới các đặc

tính vật lý của miền khảo sát và f là nguồn hay hàm kích thích Phương trình

Laplace, Poisson và Helmholtz là những trường hợp cụ thể của (4.1) trong không gian

trong đó Γ(= Γ1 + Γ2) là đường bao của miền Ω, nˆ là vectơ đơn vị pháp tuyến, và

γ , p và q là các thông số đã biết liên quan đến các đại lượng vật lý của biên Rõ ràng

điều kiện biên Neumann là trường hợp đặc biệt của (4.3) với γ =0

Nếu như các đặc trưng của miền khảo sát được mô tả bỡi α và x α không y

liên tục, và nếu không có nguồn mặt nào trên bề mặt phân cách thì φ thỏa điều kiện

liên tục

− + =φ

y

x x n

y y

+

trong đó Γd là bề mặt phân cách, dấu “+” hay dấu “-” chỉ các đại lượng liên quan đến

phần “+” hay “-” của Γd, và nˆlà vectơ đơn vị pháp tuyến đối với Γd

2 Xây dựng công thức biến phân

Bài toán biến phân tương đương với bài toán trị biên trên được cho

2 2

2 2

1

d f d

q d

y x

Nếu tồn tại mặt phân cách không liên tục thì (4.6) phải thêm phần điều kiện liên tục

(4.4) Tuy nhiên, điều kiện liên tục này luôn tự thỏa trong phần mở rộng phần tử hữu

hạn đối với φ , và do đó(4.6) thường bỏ qua điều kiện liên tục

Để chứng minh phiếm hàm trên, ta lấy biến phân bậc nhất của F( )φ theo φ

( ) ∫∫ ∫ ( ) ∫∫

Ω Γ

Ω

Ω

−Γ

−+

φαδφ

x x

φαδφ

y y

=Ω

d q

d n y y

x

x

d f y

y x x

F

y x

y x

δφ

γφ

δφ

φα

φ

α

δφβφ

φα

φαφ

(3.12)

Bỡi vì φ có giá trị cố định trên Γ1,δφ triệt tiêu dọc theo Γ1; do đó tích phân trên Γ1

bằng không (4.12) có thể viết lại

y y

x

x

d f y

y x x

F

y x

y x

δφγφ

φα

φ

α

δφβφ

φα

φαφ

δ

2

ˆ ˆ ˆ

=

−+

x

q n

y y

∂

được xem như là (4.1) và (4.3)

Trong bài toán này, (4.2) là điều kiện biên chính phải được gán một cách tường

minh và (4.3) điều kiện biên tự nhiên thỏa trong quá trình cực trị hóa

Để cụ thể hơn chúng ta xem trường hợp có hai miền con độc lập đuợc chia bỡi mặt

phẳng Γd Theo cách mô tả trên, chúng ta được (4.14) với hai tích phân thêm vào ở bên

+ +

+

+

d n y y

x x

d n y y

x x

d

d

y x

y x

δφ

φα

φ

α

δφ

φα

φ

α

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

+ +

∂

∂+

∂

∂

d

d n y y

x x n

y y

ˆ ˆ

∂

∂ +

+ +

+

y

x x n

y y

x

x

φα

φα

φα

φ

tự thỏa trong quá trình biến đổi, được xem như điều kiện liê tục (3.5) Trong trường

hợp này, điều kiện biên chính (3.4) phải được gán

Cuối cùng chúng ta để ý rằng phiếm hàm (3.7) đúng cho trường hợp số thực lẫn số

phức αx,αy,β và γ

3 Phân tích phần tử hữu hạn:

Để cho đơn giản, ở đây ta sẽ sử dụng phần tử tam giác tuyến tính (phần tử tam

giác có hàm nội suy là hàm tuyến tính), những phần tử bậc cao phức tạp sẽ được thảo

luận trong phần phụ lục

3.1 Rời rạc hóa miền khảo sát:

Bước đầu tiên của phân tích phần tử hữu hạn là chia miền khảo sát Ω thành các

phần tử tam giác 2-D Yêu cầu cơ bản của rời rạc hóa là không có sự trùng lặp hay

thiếu sót giữa các phần tử Hơn nữa các phần tử sẽ được kết nối thông qua các đỉnh,

hay nói các khác, đỉnh của các phần tử này chỉ có thể là đỉnh của phần tử khác ở bên

cạnh; mà không nằm trên cạnh của các phần tử khác Ngòai ra, để có một rời rạc hóa

tốt phải theo hai bước sau:

Thứ nhất nên tránh xảy ra các phần tử hẹp hay những phần tử ở góc nhỏ vì sai

số tính toán khi dùng phương pháp phần tử hữu hạn tỉ lệ nghịch với sine của góc trong

nhỏ nhất

Thứ hai là chúng ta phải chú ý rằng những những phần tử nhỏ hơn sẽ làm kết

quả tính tóan chính xác hơn, tuy nhiên nó sẽ làm tăng số biến và do đó làm tăng yêu

cầu về bộ nhớ và thời gian tính toán

Dãy n(i,e) có thể được đặt số như sau:

e n(1,e) n(2,e) n(3,e)

Một số dữ kiện cần thiết trong xây dựng công thức phần tử hữu hạn

1 Xi và Yi (i=1,2, ,N) cung cấp tọa độ nút, trong đó N là số nút

2 Giá trị của αx,αyβ và f cho mỗi phần tử

3 Giá trị của pcho các nút trên Γ1

4 Giá trị của γ và q cho mỗi đoạn trùng với Γ2

3.2 Hàm nội suy phần tử

Sau khi chúng ta rời rạc hóa miền khảo sát, chúng ta cần xấp xỉ các biến φ trong

mỗi phần tử, và đây là bước thứ hai trong quá trình phân tích Nếu phần tử tam giác

tuyến tính được sử dụng, φ trong mỗi phần tử được xấp xỉ như sau:

( )x y a e b e x c e y

Trong đó a e, b e và c e là các hằng số cần được xác định và e là số thứ tự của

phần tử Đối với phần tử tam giác tuyến tính, có ba nút ở ba đỉnh của tam giác (hình

4.3) Giả sử rằng những nút này đếm ngược theo chiều kim đồng hồ 1,2 và 3 có các giá

φ

e e e e e

φ

e e e e e

φTính các hệ số a e, b e và c edưới dạng e

j

e j

e j

e j e

e

∆

=2

1

trong đó

e e e e

a1 = 2 3 − 2 3 b1e = y e2 −y3e c1e =x3e−x2e

e e e e

a2 = 3 1 − 3 1 b2e = y3e −y1e c2e =x1e−x3e

e e e e

a3 = 1 2 − 1 2 b3e = y1e −y2e c3e =x2e−x1e

Và ∆ = = ( e e− e e)=

e e

e e

e e

c b c b y

x

y x

y x

1 2 2 1 3

3

2 2

1 1

2

1 1

j i y

j , là triệt tiêu khi điểm khảo sát (x,y) nằm trên cạnh đối diện của nút thứ j Do đó giá trị của φ ở một cạnh không liên quan đến giá trị φ ở nút đối diện e

của cạnh đó, nó chỉ liên quan giá trị ở hai điểm cuối của cạnh đó mà thôi Đặc tính

quan trọng này đảm bảo tính liên tục của nghiệm trên cạnh phần tử Để rõ hơn, trong

hình 4.4 chúng ta biểu diễn hàm nội suy e

j

N cho phần tử tam giác

Để đơn giản chúng ta hãy quan tâm đến điều kiện biên Neumann đồng nhất, một

trường hợp đặc biệt của (4.3) với γ = q=0, khi đó tích phân đường trong phiếm hàm

được đưa ra trong (4.7) bằng không Do đó, phiếm hàm có thể được viết dưới dạng

F F

1φ

Trong đó M là số các phần tử và F elà phiếm hàm con cho bỡi

Ω Ω

Ω

− Ω

d fN d

y x

i e

e y

e x e

2 2

e j

e i

e j

e i y

e j

e i x

N N y

N y

N x

N x

Trong đó

T e

e e

e e

e e

, ,

φφφ

3 2

1,φ ,φφ

N y

N y

N x

N x

N

j

e i

e j

e i y

e j

e i x

i

e

Hiển nhiên [ ]K e là ma trận đối xứng Giả sử rằng các hệ số αx,αy,β và

nguồn f là hằng số trong mỗi phần tử và bằng các hệ số e e

y

e

α , , và nguồn f e tương ứng, (4.30) và (4.31) có thể xấp xỉ bằng một hàm giải tích Một đẳng thức cơ bản dùng

=

e

e n

e m e l e

n m l

n m l dxdy

N N

e

e e j

e i

e y

e j

e i

e x e

1

(3.33)

e

e e

hay nói cách khác nếu αx,αy,β và f không là các hằng số trong mỗi phần tử, chúng

ta có thể dùng kết quả nói trên với αx,αy,β và f là các giá trị trung bình của các thông

số tương ứng trong phần tử Khi chúng ta có thể ước lượng số e

ij

K và e

i

b ; tuy nhiên điều này hiếm khi cần đến bởi vì các phần tử nhỏ đến mỗi kết quả thường chính xác