Chứng minh rằng ánh xạ này là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S 0 ( R ) vào chính nó.. Không được sử dụng tài liệu của thí sinh khác..[r]
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
————-ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ II NĂM HỌC 2013-2014
——oOo——-Môn thi: Hàm suy rộng
Dành cho sinh viên khoá: Lớp K55A1T-Học lại Ngành học: Toán học
Thời gian làm bài 90 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1. (a) (3 điểm) Xét ánh xạ T2014 : ϕ(x) 7→ ϕ(x−2014), ϕ ∈ D(R) Chứng minh rằng
T2014 là ánh xạ tuyến tính liên tục từ D(R) vào chính nó Từ đó, với mỗi f ∈ D0(R), hãy chứng minh phiếm hàm T2014f : D(R) → C xác định bởi
hT2014f , ϕ(x)i = hf , ϕ(x−2014)i, ϕ ∈ D(R)
là một hàm suy rộng trênR, nghĩa là f ∈ D0(R)
(b) (4 điểm) Xét ánh xạ f 7→ T2014f , f ∈S0(R) Chứng minh rằng ánh xạ này là ánh xạ tuyến tính liên tục từ S0(R) vào chính nó Từ đó hãy tính biến đổi Fourier của T2014δ với δ là hàm
Dirac trênR.
Câu 2. Cho g1: R→R xác định bởi
g1(x) =
(
ex khi x<0,
0 khi x≥0
(a) (3 điểm) Đặt gn =gn − 1∗g1, n =2, 3, Bằng quy nạp, tính gn và giá suppgn, n≥2 (b) (2 điểm) Tính biến đổi Fourier F (gn), n = 1, 2, Từ đó tìm tất cả các số thực s để
g2014 ∈Ws(R)
Chú ý:Thí sinh được sử dụng mọi tài liệu Không được sử dụng tài liệu của thí sinh khác
Trang 2ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
———————–
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC KÌ II, NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: Hàm suy rộng
Dành cho sinh viên khoá: Lớp K55A1T-Học lại Ngành học: Toán học
(a) Lấy ϕ∈ D(R)có
- suppϕ(x−2014) =suppϕ+2014,
- Dkϕ(x−2014) = (Dkϕ)(x−2014)
Kiểm tra tính tuyến tính của T2014
Kiểm tra tính liên tục dãy tại gốc, nghĩa là với dãy cóD− lim
n → ∞ϕn =0 cần chỉ ra
D− lim
n → ∞T2014ϕn=0.
1.5
Kiểm tra tính tuyến tính của T2014f
Kiểm tra tính liên tục dãy tại gốc của T2014f, nghĩa là với dãy cóD− lim
n → ∞ϕn=0 cần chỉ ra lim
n → ∞hT2014f , ϕni =0.
0.5
(b) Lấy f ∈S0(R) Có T2014f ∈ D0(R), theo câu (a)
Chỉ ra C>0 và m ∈N để có
|hT2014f , ϕi| ≤C sup
x ∈R
(1+ |x|2)m
m
∑
k = 0
|Dkϕ(x)|,∀ϕ∈ D(R)
1
Kiểm tra tính tuyến tính, nghĩa là T2014(α f+βg) = αT2014f+βT2014g
Kiểm tra tính liên tục dãy, nghĩa là với dãy có S0− lim
n → ∞fn =0 cần chỉ ra
-D0
− lim
n → ∞T2014fn=0,
- có C>0, m∈N để
|hT2014fn, ϕi| ≤C sup
x ∈R
(1+ |x|2)m
m
∑
k = 0
|Dkϕ(x)|,∀ϕ∈ D(R),∀n∈N.
1.5
Có δ∈S0(R)nên T2014δ∈ S0(R) Do đó, với ϕ∈S(R)có
hF (T2014δ) , ϕi = hT2014δ,Fϕ(x)i = hδ,Fϕ(x−2014)i = Fϕ(−2014)
Khi đóF (T2014δ)(ξ) = (2π)−1/2e2014iξ
1.5
Trang 3Lời giải 2 [5 điểm]
(a) Do g1 ∈ L1(R)nên
g2(x) =g1∗g1(x) =
0 R x
ex−yeydy= −xex khi x≤0
Do g2là hàm liên tục nên suppg2 = (−∞, 0]
2
Bằng quy nạp, với n>2, có
gn(x) =gn− 1∗g1(x) =
0 R x
ex−y(−(ny−)2n−)!2eydy= (−x)n−1
(n−1)!e
x khi x≤0
Do gn, n≥2, là hàm liên tục nên suppgn= (−∞, 0]
1
Do g1 ∈ L1(R)nênFg1(ξ) = (2π)−1/2R
R
e−ixξg1(x)dx = (2π)−1/2
Bằng quy nạp có
F (gn)(ξ) = (2π)(n−1)/2(Fg1(ξ))n= (2π)−n/2
(1−iξ)n
0.5
R
(1+ |ξ|2)s|F (g2014)(ξ)|2dξ = (2π)2014
Z
R
(1+ |ξ|2)s−2014dξ.
Do đó g2014 ∈Ws(R)khi và chỉ khi s<2014−1/2
0.5
Hà nội, ngày 23 tháng 04 năm 2014 NGƯỜI LÀM ĐÁP ÁN (ký và ghi rõ họ tên)
TS Đặng Anh Tuấn