Nghiên cứu tính toán chi tiết máy bằng phương pháp số

Các phương pháp không máy tính Noncomputer Methods Mối liên hệ giữa khả năng tính toán cực nhanh của máy tính và các phương pháp số có sự ảnh hưởng vô cùng quan trọng trong quá trình gi

-

HOÀNG THIÊN SƠN

NGHIÊN CỨU TÍNH TOÁN CHI TIẾT MÁY BẰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán bộ hướng dẫn khoa học : PGS TS PHAN ĐÌNH HUẤN

Cán bộ chấm nhận xét 1 : PGS TS NGUYỄN HỮU LỘC

Cán bộ chấm nhận xét 2 : TS NGUYỄN TUẤN KIỆT

Luận văn thạc sĩ được bảo vệ tại HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN

THẠC SĨ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày tháng năm

Tp HCM, ngày 16 tháng 01 năm 2006

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Ngày, tháng, năm sinh: 01 - 10 - 1979 Nơi sinh: Bình Thuận

I- TÊN ĐỀ TÀI: Nghiên cứu tính tốn chi tiết máy bằng phương pháp số

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Nghiên cứu lý thuyết về phương pháp không lưới trong các bài toán cơ học

vật rắn biến dạng

- Áp dụng phương pháp Galerkin không lưới với nhân tử Lagrange cho các

bài toán dầm, tấm

- Thảo chương tính các kết cấu dầm tấm Kiểm chứng các kết quả tính

- Thảo chương tính chuyển vị và ứng suất cho chi tiết khóa vòng Kiểm

chứng kết quả tính

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : 16-01-2006

IV- NGÀY HỒN THÀNH NHIỆM VỤ: 03-12-2006

V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS Phan Đình Huấn

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành không những nhờ vào nỗ lực của bản thân

tác giả mà còn nhờ vào sự hướng dẫn tận tình của quý thầy cô, sự động viên giúp

đỡ của gia đình, đồng nghiệp và bạn bè thân hữu

Trước tiên xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến thầy PGS TS Phan

Đình Huấn đã giúp đỡ, chỉ dẫn cặn kẽ trong thời gian thực hiện luận văn, giúp cho

tác giả có được phương pháp luận và những kiến thức quý báu làm nền tảng cho

việc học tập, tiếp tục nghiên cứu và phát triển về sau

Xin chân thành cảm ơn Ban Giám Đốc Trung tâm Đào tạo Bảo dưỡng công

nghiệp – Trường Đại học Bách Khoa TpHCM đã tạo rất điều kiện thuận lợi cho

tác giả trong suốt thời gian qua

Và cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, các anh, chị, và các bạn bè thân hữu đã

động viên, giúp đỡ, là nguồn lực tinh thần quý báu giúp tác giả có thêm nghị lực

để hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cảm ơn

Tp Hồ Chí Minh, ngày 22 tháng 10 năm 2006

Hoàng Thiên Sơn

Hiện nay có rất nhiều phương pháp số như sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, phần tử biên… Chúng là các phương pháp truyền thống được sử dụng rất rộng rãi, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) Phương pháp này đã được phát triển mạnh mẽ và chuyên sâu cho các bài toán tĩnh, động, phân tích ứng suất tuyến tính và phi tuyến, với các đối tượng là kết cấu, khối rắn và dòng lưu chất Nền tảng của PP PTHH là sử dụng các phần tử tạo thành hệ lưới liên tục để xấp xỉ miền tính Tuy nhiên, chính vì hệ lưới phần tử này mà PP PTHH có một số hạn chế nhất định Do đó, việc

nghiên cứu phương pháp mới với ý tưởng loại bỏ các phần tử và hệ lưới nhằm khắc

phục các hạn chế, làm phong phú thêm các phương pháp tính là cần thiết Phương pháp

mới này có tên là phương pháp không lưới (PPKL) Với phương pháp này, miền bài

toán được đặc trưng bởi một tập hợp các nút với phân bố là bất kỳ

Trên thế giới hiện nay có nhiều nghiên cứu về PPKL, cả về mặt học thuật và áp dụng thực tế Tuy nhiên, ở Việt Nam, việc nghiên cứu và ứng dụng phương pháp này trong tính toán kỹ thuật là còn rất ít Do đó, đề tài này được thực hiện với nội dung

“Nghiên cứu tính toán chi tiết máy bằng phương pháp số”, với phạm vi nghiên cứu

là:

- Nghiên cứu lý thuyết về phương pháp không lưới trong các bài toán cơ học vật

rắn biến dạng

- Áp dụng phương pháp Galerkin không lưới với nhân tử Lagrange cho các bài toán dầm, tấm

- Thảo chương tính các kết cấu dầm tấm Kiểm chứng các kết quả tính

- Thảo chương tính chuyển vị và ứng suất cho chi tiết khóa vòng Kiểm chứng kết quả tính

Nowadays, there are a lot of numerical methods such as finite difference method, finite element method, boundary element method… They are traditional methods and popularly used, especially, the finite element method (FEM) This method was effectly developed and specialized for many problems such as statics, dynamics, analyzing linear and non-linear stress for structures, solids anf flows FEM

is based on elements which create a continuous mesh to approximate problem domain However, FEM has certains disadvantages because of this mesh So, researching a

new methods with ideas of eliminating the elements and the mesh to overcome the

disadvantages, and enrich numerical methods is necessary This new method is

Meshless Methods or MeshFree Methods With this method, problem domain is

represented by a set of arbitrarily distributed nodes

There are a lot of researches about Meshless Methods, both in academic ones and in real applications However, in Viet Nam, there are few researches and

applications in technical fields So, this dissertation is done with the tittle “Researching

and calculating machined elements by numerical methods”, and its content is:

- Researching theories of meshless methods for mechanical deformable solid

problems

- Applying Element Free Galerkin Method with Lagrange Multipliers for beam,

plate structures

- Writing programs for calculating beam, plate structures Veryfying the results

- Writing a program for calculating displacements and stress of a lock element Veryfying the results

- W X -

Lời cảm ơn Tóm tắt luận văn Mục lục Trang CHƯƠNG I: TỔNG QUAN - 10

I Giới thiệu về phương pháp số - 11

1 Các phương pháp không máy tính (Noncomputer Methods) - 11

2 Các phương pháp số và các vấn đề kỹ thuật thực tế - 14

II Nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài - 16

III Phương pháp không lưới - 17

1 Lịch sử phát triển - 17

2 Sự cần thiết của PPKL - 18

3 Ý tưởng về PPKL - 20

4 Các điểm tương đồng – không tương đồng so với PP PTHH - 21

5 Xây dựng mô hình hình học - 24

6 Các bước chính thực hiện bài toán bằng PPKL - 26

7 Xác định kích thước của miền hỗ trợ - 31

8 Xác định khoảng cách trung bình nút - 31

9 Khái niệm miền ảnh hưởng - 33

CHƯƠNG II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT - 35

I Các phương trình đối với bài toán vật rắn hai chiều (2D) - 36

1 Ứng suất - biến dạng - 36

2 Các phương trình cơ bản - 38

3 Các phương trình cân bằng - 38

2 Phương trình Galerkin dạng yếu - 40

3 Phương trình Galerkin dạng yếu với nhân tử Lagrange - 43

III Phương pháp xấp xỉ bình phương cực tiểu (PP XXBPCT) - 43

IV Phương pháp Galerkin không lưới - 48

1 Các công thức - 48

2 Lưu đồ giải thuật - 58

CHƯƠNG III: TÍNH TOÁN MỘT SỐ KẾT CẤU DẦM VÀ TẤM - 59

A Bài toán dầm Timoshenko - 60

I Phát biểu bài toán - 60

II Các lưu đồ giải thuật - 61

1 Lưu đồ giải thuật cho ma trận độ cứng K - 62

2 Lưu đồ giải thuật cho ma trận lực nút tương đương F - 63

3 Lưu đồ giải thuật cho ma trận q - 64

4 Lưu đồ giải thuật cho ma trận G - 65

5 Lưu đồ giải thuật tính chuyển vị thật tại các nút - 66

III Minh họa các bước tính toán với lưới thô - 67

1 Tính ma trận độ cứng K - 68

2 Tính ma trận lực nút tương đương F - 76

3 Tính ma trận q và G - 79

4 Tính chuyển vị thật tại các nút - 84

IV Các kết quả tính so với kết quả giải tích - 84

IIV Chương trình TMB - 89

II Các kết quả tính so với kết quả giải tích - 94

CHƯƠNG IV: TÍNH CHUYỂNVỊ VÀ ỨNG SUẤT CHO KHÓA VÒNG - 103

I Phát biểu bài toán - 104

II Mô hình tính bằng phần mềm ANSYS - 105

III Mô hình tính bằng PP GKL - 106

IV Kết quả tính bằng phầm mềm ANSYS và PP GKL - 110

1 Với mô hình tính 335 nút, 272 phần tử - 110

2 Với mô hình tính 1197 nút, 1072 phần tử - 115

CHƯƠNG V: KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN ĐỀ TÀI - 121

I Kết luận về đề tài - 122

II Hướng phát triển của đề tài - 123

TÀI LIỆU THAM KHẢO - 124

PHỤ LỤC - 127

CHÖÔNG I : TOÅNG QUAN

I Giới thiệu về phương pháp số

Các phương pháp số là các kỹ thuật được sử dụng để biến đổi các bài toán kỹ thuật phức tạp thành các bài toán đại số đơn giản để ta có thể giải chúng một cách dễ dàng Mặc dù có nhiều loại phương pháp số, nhưng chúng có một đặc

điểm chung là: luôn luôn bao gồm một số lượng lớn công việc tính toán Với sự

phát triển nhanh của máy tính, vai trò của các phương pháp số ngày càng trở nên cực kỳ quan trọng trong những năm gần đây

1 Các phương pháp không máy tính (Noncomputer Methods)

Mối liên hệ giữa khả năng tính toán cực nhanh của máy tính và các phương pháp số có sự ảnh hưởng vô cùng quan trọng trong quá trình giải quyết các bài toán kỹ thuật trong thực tế Trong kỷ nguyên trước máy tính, nhìn chung, các bài toán kỹ thuật được giải quyết theo ba cách sau:

• Nghiệm của bài toán được tìm bằng phương pháp giải tích Phương pháp này cho ta nghiệm chính xác của bài toán, giúp ta hiểu rõ đáp ứng của hệ thống Tuy nhiên, phương pháp giải tích chỉ có thể áp dụng cho các bài toán có dạng hình học đơn giản và cho các mô hình xấp xỉ tuyến tính Do đó, nghiệm của phương pháp giải tích sẽ không đáp ứng được các vấn đề thực tế vì đa số chúng là các bài toán phi tuyến với dạng hình học phức tạp

• Phương pháp đồ thị cũng được sử dụng để mô tả đáp ứng của hệ thống Mặc dù phương pháp này được sử dụng để giải các bài toán phức tạp, nhưng kết quả lại không có độ chính xác cao Mặt khác, các lời giải đồ thị (không có sự trợ giúp của máy tính) gây rất nhiều khó khăn, mệt mỏi và bất tiện cho người nghiên cứu

• Máy tính tay (calculators) và các thước lôga (slide rules) được sử dụng để thực hiện các phương pháp số bằng tay Về mặt lý thuyết, phương

pháp này thực sự rất tốt để giải quyết các bài toán phức tạp Tuy nhiên, việc tính toán bằng tay thì chậm, gây mệt mỏi cho người thực hiện, có thể dẫn đến kết quả sai do một sự nhầm lẫn nào đó trong quá trình tính toán

THIẾT LẬP BÀI TOÁN

Các định luật cơ bản được giải thích một cách ngắn gọn

GIẢI BÀI TOÁN

Thực hiện tỉ mỉ và thường sử dụng phương pháp phức tạp để dễ kiểm soát bài toán

PHÂN TÍCH KẾT QUẢ

Việc phân tích sâu kết quả bị giới hạn bởi thời gian tiêu thụ quá nhiều trong quá trình tính toán

Hình 1.1 – Ba giai đoạn trong việc giải quyết các bài toán

kỹ thuật ở kỷ nguyên trước máy tính

Để giải một bài toán, người ta thường chia làm ba giai đoạn: thiết lập bài toán Ỉ giải Ỉ phân tích kết quả Trong kỷ nguyên trước máy tính, người ta đã mất khá nhiều thời gian và công sức vào việc giải bài toán hơn là việc thiết lập bài toán và phân tích kết quả Điều này là do người ta nỗ lực để có được những kết quả số bằng các kỹ thuật tính toán bằng tay mà không có sự hỗ trợ của máy tính, được thể hiện ở hình 1.1

THIẾT LẬP BÀI TOÁN

Mô tả chi tiết mối liên hệ của bài toán với

các định luật cơ bản

GIẢI BÀI TOÁN

Thực hiện dễ dàng nhờ máy

tính

PHÂN TÍCH KẾT QUẢ

Thời gian tiết kiệm được ở giai đoạn giải bài toán giúp cho việc phân tích kết quả tốt hơn, bản chất và đáp ứng của hệ thống có thể được

nghiên cứu sâu hơn

Ngày nay, máy tính và phương pháp số đã cung cấp một giải pháp cho việc tính toán phức tạp như vậy Với máy tính, ta có thể có được lời giải trực tiếp mà không cần phải đơn giản hóa bài toán, cũng như không bị hạn chế bởi thời gian tính Mặt dù lời giải giải tích vẫn còn giá trị rất cao và giúp ta hiểu rõ bản chất của bài toán, nhưng phương pháp số đã mở ra một hướng đi, một giải pháp hiệu quả nhằm mở rộng khả năng của người nghiên cứu để đối đầu và giải quyết các bài toán phức tạp trong thực tế Từ đó, giúp cho người nghiên cứu có nhiều thời gian hơn trong việc sử dụng các kỹ năng sáng tạo của mình, nghĩa là, họ sẽ có thời gian nhiều hơn để tập trung vào giai đoạn thiết lập bài toán và phân tích kết quả hơn là tập trung vào việc giải bài toán Hình 1.2 thể hiện các giai đoạn của việc giải quyết các bài toán kỹ thuật với sự trợ giúp của máy tính

Hình 1.2 – Ba giai đoạn trong việc giải quyết các bài toán

kỹ thuật ở kỷ nguyên máy tính

Hình 1.1 và 1.2 thể hiện các giai đoạn để giải các bài toán kỹ thuật Kích thước của các ô thể hiện sự đầu tư về mặt thời gian và công sức vào các giai đoạn

ở hai kỷ nguyên Sự xuất hiện của máy tính tạo điều kiện thuận lợi cho việc thực hiện nhanh chóng các kỹ thuật giải, cho phép việc thiết lập bài toán và phân tích kết quả được thực hiện sâu hơn, nhằm hiểu rõ bản chất của hệ thống hơn

2 Các phương pháp số và các vấn đề kỹ thuật thực tế

Kể từ cuối thập niên 40, sự phát triển mạnh mẽ của máy tính đã dẫn đến sự bùng nổ trong việc sử dụng và phát triển các phương pháp số Tuy nhiên, ở giai đoạn đầu sự bùng nổ này có phần hạn chế bởi chi phí sử dụng các máy tính có bộ nhớ lớn Do đó, vẫn còn rất nhiều kỹ sư sử dụng các phương pháp giải tích đơn giản để giải quyết công việc của mình Với cuộc cách mạng gần đây của thế hệ máy tính cá nhân với giá thành thấp, các khả năng mạnh mẽ của máy tính đã tạo điều kiện thuận lợi hơn rất nhiều, giúp cho người nghiên cứu tiến gần hơn với các phương pháp số Chúng được nghiên cứu và sử dụng bởi các lý do sau:

• Các phương pháp số là các công cụ vô cùng mạnh mẽ trong việc giải các bài toán kỹ thuật Chúng giúp ta dễ dàng giải quyết các hệ phương trình lớn, các bài toán phi tuyến, cũng như các dạng hình học phức tạp thường gặp trong kỹ thuật, mà thông thường, ta không thể giải quyết bằng phương pháp giải tích Từ đó, các kỹ năng giải quyết các bài toán kỹ thuật của ta sẽ tăng lên đáng kể với sự hỗ trợ của các phương pháp số

• Trong quá trình làm việc, khả năng tiếp xúc và sử dụng các gói phần mềm thương mại hóa tính toán bằng phương pháp số là rất lớn Do đó, khi có nền tảng kiến thức về phương pháp số sẽ giúp ta khai thác tối đa khả năng của phần mềm

• Mặt khác, nếu ta thông thạo về phương pháp số và thảo chương tốt, ta có thể tự mình xây dựng các chương trình tính toán riêng, cần thiết trong lĩnh vực của mình mà không cần phải mua các phần mềm

• Phương pháp số là một công cụ hiệu quả trong việc phát triển các kỹ năng về máy tính Trong quá trình sử dụng các phần mềm phương pháp số, cũng như trong quá trình thảo chương, chắc chắn rằng ta sẽ gặp rất nhiều trở ngại Nhưng một khi khắc phục các trở ngại này, ta sẽ hiểu rất rõ về phần mềm mà ta sử dụng, cũng như tiến bộ rất nhiều trong việc thảo chương cho phương pháp số Một khi ta thành công trong việc sử dụng các phương pháp số để giải quyết một bài toán khó nào đấy, chắc chắn rằng ta sẽ nhận thấy được một sự hỗ trợ hữu hiệu tuyệt vời của máy tính trong việc phát triển chuyên môn của mình

• Phương pháp số là một phương tiện giúp ta cũng cố các kiến thức về toán vì một trong những chức năng của phương pháp số là giảm bậc của bài toán thành dạng số học cơ bản

Hiện nay, trong lĩnh vực tính toán thiết kế chi tiết máy để đưa vào sản xuất, việc tính toán chính xác và hoàn chỉnh các thông số kỹ thuật (chuyển vị, biến dạng, ứng suất, tần số dao động riêng…) là một yêu cầu bức thiết Trong thực tế ở nước ta, việc tính toán thiết kế này chủ yếu dựa vào các hệ số kinh nghiệm Việc này chỉ có thể chấp nhận trong sản xuất đơn chiếc Trong sản xuất hàng loạt, các chi tiết cần được tính toán hoàn chỉnh để vừa đảm bảo các yêu cầu kỹ thuật, đồng thời cũng đảm bảo tính kinh tế cho sản xuất

Như trên đã nói, để giải quyết hiệu quả các bài toán kỹ thuật, các phương

pháp số được nghiên cứu và được sử dụng ngày càng nhiều Do đó, việc nghiên cứu tính toán chi tiết máy bằng phương pháp số ở nước ta là cần thiết

II Nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Hiện nay có rất nhiều phương pháp số như sai phân hữu hạn, phần tử hữu hạn, phần tử biên… Chúng là các phương pháp truyền thống được sử dụng rất rộng rãi, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) Phương pháp này đã được phát triển mạnh mẽ và chuyên sâu cho các bài toán tĩnh, động, phân tích ứng suất tuyến tính và phi tuyến, với các đối tượng là kết cấu, khối rắn và dòng lưu chất Nền tảng của PP PTHH là sử dụng các phần tử tạo thành hệ lưới liên tục để xấp xỉ miền tính Tuy nhiên, chính vì hệ lưới phần tử này mà PP PTHH có một

số hạn chế nhất định Do đó, việc nghiên cứu phương pháp mới với ý tưởng loại

bỏ các phần tử và hệ lưới nhằm khắc phục các hạn chế, làm phong phú thêm các

phương pháp tính là cần thiết Phương pháp mới này có tên là phương pháp

không lưới (PPKL) Với phương pháp này, miền bài toán được đặc trưng bởi một

tập hợp các nút với phân bố là bất kỳ

Trên thế giới hiện nay có nhiều nghiên cứu về PPKL, cả về mặt học thuật và áp dụng thực tế Tuy nhiên, ở Việt Nam, việc nghiên cứu và ứng dụng phương pháp này trong tính toán kỹ thuật là còn rất ít Do đó, đề tài này được thực hiện

với nội dung “Nghiên cứu tính toán chi tiết máy bằng phương pháp số”, với

phạm vi nghiên cứu là:

- Nghiên cứu lý thuyết về phương pháp không lưới trong các bài toán cơ

học vật rắn biến dạng

- Áp dụng phương pháp Galerkin không lưới với nhân tử Lagrange cho các bài toán dầm, tấm

- Thảo chương tính các kết cấu dầm tấm.Kiểm chứng các kết quả tính

- Thảo chương tính chuyển vị và ứng suất cho chi tiết khóa vòng Kiểm chứng kết quả tính

III Phương pháp không lưới

1 Lịch sử phát triển

PPKL được hình thành cách nay khoảng 30 năm và trải qua các giai đoạn chính như sau:

• Xuất phát từ phương pháp Smooth Particle Hydrodynamic của Lucy

vào năm 1977 nhằm quyết các bài toán về hiện tượng vật lý học thiên thể như vụ nổ các ngôi sao và các đám mây bụi

• Năm 1982, Monahan đưa ra phương pháp ước lượng Kernels Tuy nhiên, phương pháp này kém chính xác và cần được nghiên cứu nhiều hơn

• Năm 1994 - 1995, Swengle, Hicks và Attaway và Dyka đã đưa ra những cải tiến quan trọng trong việc nghiên cứu tính không ổn định của các phương pháp trước đây

• Năm 1995, Liu, Jun và Zhang đã đề nghị một hàm Kernels thích hợp trong cả hai trường hợp rời rạc và liên tục

• Năm 1996, Johnson và Beissel đã đưa ra một phương pháp cải thiện các phép tính biến dạng

• PPKL được hình thành dựa trên phương pháp bình phương cực tiểu (PP BPCT) trong trường hợp liên tục

o Năm 1992, Nayrole, Touzot và Villon đã sử dụng PP BPCT lần đầu tiên trong phương pháp Garlerkin

o Năm 1994, Belytschko, Lu và Gu đã cải tiến sửa đổi thành phương pháp EFG được gọi là phương pháp không lưới Galerkin Phương pháp này có tính ổn định nhanh mặc dù thực chất tốn kém hơn PP SPH rất nhiều

• Năm 1996, CMAME đã giới thiệu những khả năng đặc biệt của PPKL sử dụng trong các trường hợp phức tạp như: các bài toán va chạm, mô phỏng các vết nứt hoặc động lực học chất lỏng

• Năm 1998 Bouillard và Suleau đã ứng dụng PPKL trong các bài toán về âm thanh và đạt được kết quả tốt

• Năm 1998, Onate và Idelsohn đã đưa ra PPKL (PP điểm hữu hạn) dựa trên phép nội suy bình phương cực tiểu với các điểm tham chiếu cho các bài toán đối lưu và dòng lưu chất

• Năm 1999, Vila đã giới thiệu phương pháp không lưới khác phù hợp với các quy luật hội tụ

• Năm 1999, Bonet và Lok đã ứng dụng để giải các bài toán động lực học chất lỏng

• Năm 2000, Bonet và Kulasegaram đã đưa ra phép tính tích phân để gia tăng tính chính xác và được ứng dụng để mô phỏng sự tạo hình kim loại

• Ngoài ra, gần đây nhiều tác giả đã đưa ra các phương pháp nội suy điểm pha trộn, kết hợp với các PP PTHH và các PPKL và mỗi phương pháp đều có ưu điểm riêng

2 Sự cần thiết của PPKL

PP PTHH đã được phát triển mạnh mẽ và chuyên sâu cho các bài toán tĩnh, động, phân tích ứng suất tuyến tính và phi tuyến, với các đối tượng là kết cấu, khối rắn và dòng lưu chất Hiện nay, hầu hết các bài toán kỹ thuật trong thực tế có liên quan đến khối rắn và kết cấu đã được giải quyết tốt bằng cách sử dụng một số lượng lớn các gói phần mềm PTHH chuyên dụng được thương mại hóa

Tuy nhiên, các hạn chế của PP PTHH đang trở nên ngày càng tăng dần với các vấn đề như sau:

1 Việc tạo lưới cho miền tính toán là vấn đề tiên quyết trong việc sử dụng các gói phần mềm PTHH Do đó, thường thì các nhà phân tích mất phần lớn thời gian dành cho việc tạo lưới này, và việc này trở thành một phần chính trong tổng chi phí tính toán Một khía cạnh khác là thời gian mà con người bỏ ra lại nhiều hơn thời gian mà ta giao cho máy tính giải quyết Do đó, một cách lý tưởng, quá trình tạo lưới cho miền tính nên hoàn toàn được thực hiện bởi máy tính mà không có sự can thiệp của con người

2 Trong việc tính toán ứng suất, kết quả ứng suất đạt được từ các gói phần mềm PTHH là không liên tục và tính chính xác không cao

3 Với biến dạng lớn, độ chính xác không còn vì sự biến dạng (distortions) của phần tử

4 Khó mô phỏng đồng thời sự phát triển của vết nứt theo các đường phức tạp bất kỳ và sự biến đổi pha Điều này là do tính không liên tục của bài toán, nên các đường thẳng chứa các nút ban đầu không còn trùng với các biên không liên tục của miền tính

5 Khó mô phỏng việc phá hủy của vật liệu thành nhiều mảnh, vì về bản chất, PP PTHH dựa trên môi trường cơ học liên tục Do đó các phần tử đã thiết lập không thể bị “bẻ gãy” Các phần tử hoặc bị “mòn” (“eroded”) hoàn toàn hoặc vẫn ở trạng thái nguyên vẹn Điều này dẫn đến việc biểu diễn sai đường phá hủy của vật liệu Các lỗi nghiêm trọng có thể xuất hiện

vì bản chất của bài toán là phi tuyến

6 Các phương pháp chia lưới lại (re-mesh) cũng đã được đề nghị để giải quyết các loại bài toán này trong PP PTHH Trong phương pháp chia lưới lại, miền của bài toán sẽ được chia lưới lại ở từng bước trong quá trình mô

phỏng bài toán nhằm tránh sự biến dạng (distortions) xấu của hệ lưới, đồng thời cũng cho phép các đường chứa nút vẫn còn trùng với các biên không liên tục Với mục đích này, các môđun tạo lưới phức tạp và tương thích được phát triển Tuy nhiên, các môđun tạo lưới này chỉ có thể khả thi cho các bài toán 2D Chưa có môđun nào đủ độ tin cậy sẵn có cho việc tạo các lưới lục diện của bài toán 3D do các khó khăn về kỹ thuật

7 PP SPHH rất hữu ích cho nhiều bài toán, đặc biệt là các bài toán động lực học của dòng lưu chất Tuy nhiên, nhược điểm lớn nhất của phương pháp là phân bố của các nút phải đều (regular) Do đó, các nghiên cứu vẫn đang được thực hiện để phát triển phương pháp với hệ lưới là không đều (irregular)

3 Ý tưởng về PPKL

Vấn đề ở đây là PP PTHH sử dụng các phần tử tạo thành hệ lưới liên tục làm nền tảng cho phương pháp Mặt khác, khi phần tử và hệ lưới liên tục vẫn còn được sử dụng thì các khó khăn đề cập ở trên sẽ không dễ dàng giải quyết Vì thế,

ý tưởng loại bỏ các phần tử và hệ lưới được đưa ra theo quy luật tự nhiên Từ đó, khái niệm về phương pháp không lưới (PPKL) được hình thành Với phương pháp

này, miền bài toán được đặc trưng bởi một tập hợp các nút với phân bố là bất kỳ

PPKL có một lợi thế lớn để giải quyết các vấn đề nói trên Do không xây dựng hệ lưới nên sẽ không có khái niệm liên tục, đồng thời cũng không cần cung cấp các thông tin về mối liên hệ giữa các nút Phương pháp này cũng cung cấp tính linh hoạt trong việc thêm vào hay bỏ bớt các nút khi cần thiết Ví dụ, trong bài toán phân tích ứng suất với miền tính là khối rắn, thường sẽ có các vùng tập trung ứng suất hoặc thậm chí có thể bị suy biến Khi đó ta có thể thêm vào các nút ở vùng tập trung ứng suất mà không cần bận tâm đến mối liên hệ giữa chúng

với các nút đã có khác Trong bài toán phát triển vết nứt, các nút có thể dễ dàng được thêm vào quanh đỉnh của vết nứt (crack tip) để có thể có được kết quả tập trung ứng suất ở vùng này với độ chính xác mong muốn Do không cần xây dựng hệ lưới, nên các nút có thể được tạo thành một cách tự động bởi máy tính, điều này sẽ tiết kiệt thời gian so với việc xây dựng hệ lưới thông thường trước nay

4 Các điểm tương đồng – không tương đồng so với phương pháp phần tử hữu hạn

Các thủ tục trong PP PTHH và PPKL cho việc giải các bài toán kỹ thuật được trình bày như ở hình 1.3 Hai phương pháp này rẽ nhánh ở giai đoạn tạo lưới Sự khác nhau cơ bản của hai phương pháp này là việc xây dựng các hàm dạng Trong PP PTHH, các hàm dạng được xây dựng bằng các phần tử và giống nhau cho phần tử Nếu ta sử dụng hệ toạ độ tự nhiên, các phần tử cùng loại trong miền tính sẽ có hàm dạng như nhau trong hệ tọa độ này Nếu có nhiều loại phần tử khác nhau trong miền tính thì các hàm dạng này sẽ được xác định trước khi bắt đầu giai đoạn phân tích PTHH Tuy nhiên, trong PPKL, các hàm dạng thường chỉ được xây dựng tại một điểm đặc biệt được quan tâm trong miền tính Hàm dạng sẽ thay đổi khi vị trí của điểm quan tâm thay đổi Việc xây dựng hàm dạng trong phương pháp này được thực hiện trong suốt quá trình tính

Xây dựng hình học

Ma trận toàn cục

Xác định phương phápTính chuyển vị

Xây dựng hàm dạngdựa trên các phần tử

Xây dựng hàm dạng dựa trên các nút ở vùng cục bộ

Phương trình hệ thống

Hình 1.3 – Sơ đồ các thủ tục của PP PTHH và PPKL

Khi phương trình hệ thống rời rạc toàn cục được thiết lập, các bước còn lại của PPKL tương tự như PP PTHH, ngoại trừ một vài điểm khác biệt nhỏ không đáng kể Vì vậy, nhiều kỹ thuật được phát triển trên PP PTHH ở các thập niên cuối có thể được sử dụng trong các PPKL mà không cần hiệu chỉnh

Các điểm tương đồng và khác biệt giữa PP PTHH và PPKL còn được liệt kê ở bảng 1.1

Bảng 1.1 – So sánh giữa PP PTHH và PPKL

2 Thực hiện tạo lưới và tự động hóa

quá trình này

Khó – vì cần phải có tính liên kết của các phần tử

Tương đối dễ vì không cần tính liên kết

3 Chia lưới tự động và phân tích tính

tương thích (adaptive analysis)

Khó đối với các trường hợp 3D

Luôn thực hiện được

4 Thiết lập hàm dạng Dựa trên các phần tử Dựa trên các nút

5 Tính chất của hàm dạng Thỏa điều kiện

Kronechker delta cho tất cả các phần tử cùng loại

Thỏa hoặc không thỏa điều kiện Kronechker delta tùy thuộc phương pháp sử dụng; khác nhau từ điểm này đến điểm khác

tùy vào phương pháp sử dụng

7 Áp đặt điều kiện biên Dễ và được chuẩn hóa Có thể phải dùng các

cách thức đặc biệt tùy thuộc vào phương pháp sử dụng

8 Tốc độ tính toán Nhanh Chậm hơn từ 1.1 đến

50 lần so với PP PTHH tùy thuộc vào phương pháp sử dụng

9 Khai thác kết quả Cần có các kỹ thuật đặc

11 Tình trạng phát triển Đã phát triển rất tốt Còn mới, và còn

nhiều trở ngại

không có

5 Xây dựng mô hình hình học

Thông thường, các kết cấu và các miền tính thực rất phức tạp Do đó, chúng cần được đưa về thành một dạng hình học thu gọn có thể quản lý được Trong PP PTHH, các dạng hình học cong và biên cong có thể được mô hình bằng các đường và mặt cong với các phần tử bậc cao Tuy nhiên, cần chú ý rằng, dù gì

đi nữa thì các dạng hình học cong này cũng chỉ được xấp xỉ từ biên dạng cong hoặc mặt cong của phần tử Mặt khác, nếu phần tử tuyến tính được sử dụng (rất thường gặp trong thực tế), khi đó, dạng hình học cong của miền tính lại được xấp

xỉ bởi các đường thẳng và mặt phẳng của phần tử Hình 1.4 mô tả một biên trơn được xấp xỉ bằng các cạnh thẳng của các phần tử tam giác trong mô hình PTHH Việc biểu diễn đúng các phần hình học cong được điều khiển bởi số phần tử và bậc của phần tử được sử dụng Một lưới phần tử mịn, thông thường sẽ dẫn đến quả chính xác hơn Tuy nhiên, do các ràng buộc về thời gian và tài nguyên máy

tính (phần cứng, phần mềm), nên ta phải giới hạn số phần tử Vì vậy, các lưới hình học mịn chỉ được cần đến khi có yêu cầu về kết quả chính xác trong miền tính

Hình 1.4 – Biên cong của bài toán được biểu diễn bằng các biên thẳng của

phần tử tam giác trong PP PTHH

Nút

Phần tử tam giác

Trong PPKL, biên được biểu diễn (không phải rời rạc hóa) bằng các nút như ở hình 1.5 Ở điểm bất kỳ giữa hai nút trên biên có thể được nội suy bằng các hàm dạng của PPKL Vì các hàm dạng của PPKL được tạo bằng các nút nằm

trong miền cục bộ động, biên cong có thể được xấp xỉ rất chính xác ngay cả khi

sử dụng các đa thức tuyến tính Thông thường PPKL sử dụng các đa thức bậc cao Phép nội suy hình học này có thể được thực hiện tương tự như việc nội suy biến trường trong các PPKL

Nút

Hình 1.5 – Biên cong của bài toán được biểu diễn bằng các nút trong PPKL

Phụ thuộc vào phần mềm được sử dụng, có nhiều cách để tạo một hình học đơn giản thích hợp trên máy tính Các điểm có thể được tạo đơn giản bằng các điểm trong các hệ thống toạ độ điểm Các đường thẳng, đường cong có thể được

tạo bằng cách nối các điểm hoặc các nút với nhau Các mặt có thể được tạo bằng cách nối, quay di chuyển các đường đã có Các vật rắn có thể được tạo bằng cách nối, quay di chuyển các mặt đã có Các điểm, đường thẳng, đường cong, mặt, vật rắn có thể di chuyển, quay, hoặc gập lại để tạo thành các dạng mới

6 Các bước chính thực hiện bài toán bằng PPKL

Vai trò của PPKL trong việc mô phỏng các hệ thống kỹ thuật, cũng như sự khác biệt giữa PPKL và PP PTHH trong việc giải quyết các vấn đề khác nhau đã được mô tả Trong phần này, các bước chính của PPKL trong việc giải các bài toán cơ học được trình bày một cách tổng quát Bài toán cơ học vật rắn và các kết cấu được sử dụng như là một ví dụ điển hình để mô tả các bước cơ bản này

Bước 1: Biểu diễn miền tính

Đầu tiên, miền tính được biểu diễn bằng một tập hợp các nút rời rạc nằm bên trong và trên biên của miền Sau đó, các điều kiện biên và tải trọng được thiết lập cho miền tính (hình 1.6)

Hình 1.6 – Rời rạc miền tính bằng các nút, đặt tải trọng và điều

kiện biên trong PPKL

Mật độ của các nút phụ thuộc vào yêu cầu chính xác của kết quả tính

Phân bố của nút thường không đồng đều và các nút thường phân bố với mật độ

cao hơn ở vùng có gradient biến dạng lớn Với các thuật toán tương thích được sử

dụng trong PPKL, mật độ phân bố nút có thể được điều khiển một cách tự động

và thích ứng Vì vậy, khi sử dụng PP này ta không cần lo lắng về chất lượng phân

bố của các nút được sử dụng ban đầu Vì các nút mang giá trị của các biến trường

(field variables) nên chúng thường được gọi là các nút trường (field nodes)

Bước 2: Nội suy chuyển vị

Bởi vì phương pháp này không sử dụng lưới của các phần tử, biến trường

(được xem là một thành phần của chuyển vị) u tại một điểm bất kỳ x = (x, y, z)

nằm trong miền tính, được nội suy bằng cách sử dụng các chuyển vị ở các nút

nằm trong miền hỗ trợ (support domain) của điểm x

(1.1)

s n

i i i

U u

1

x x

=

φ

n : số nút nằm trong miền hỗ trợ của điểm x

ui: biến trường ở nút thứ i trong miền hỗ trợ

Us: vectơ tập hợp tất cả các biến trường tại các nút đó

)

(x

i

φ : hàm dạng của nút thứ i, được xác định bằng cách sử dụng các nút

nằm trong miền hỗ trợ của x

Miền hỗ trợ của điểm x xác định số nút được sử dụng để xấp xỉ giá trị hàm

tại điểm x Chúng có thể có trọng số bằng cách sử dụng hàm trọng số, như ở hình

1.7 Với các điểm x khác nhau, miền hỗ trợ tương ứng có thể có nhiều hình dạng

và kích thước khác nhau, như ở hình 1.8 Thông thường, miền hỗ trợ sẽ là hình

tròn hoặc hình chữ nhật

Nút

Hình 1.7 – Rời rạc miền tính 2D và các nút trong miền hỗ trợ có trọng số

Miền hỗ trợ

Hình 1.8 –Miền hỗ trợ tính xác định các nút (được ký hiệu ) dùng trong việc

xấp xỉ hoặc nội suy biến trường tại điểm x Miền hỗ trợ có thể có nhiều hình

dạng và khác nhau từ điểm này sang điểm khác Thường thì hình tròn và hình

chữ nhật được sử dụng nhiều nhất

Mặc dù có nhiều cách chọn các nút khác nhau để xây dựng hàm dạng, ta luôn luôn xác định vùng hỗ trợ để chọn các nút trong việc xây dựng các hàm dạng trừ các trường hợp đặc biệt

Phép nội suy ở phương trình 1.1 được thực hiện cho tất cả các thành phần của các biến trường trong cùng miền hỗ trợ Ví dụ, trong bài toán vật rắn 3D, chuyển vị thường được chọn như là biến trường, có ba thành phần theo các phương x, y, z Ba thành phần này sẽ có hàm dạng giống nhau trong cùng miền hỗ trợ

Bước 3: Thành lập các phương trình hệ thống

Các phương trình rời rạc của PPKL có thể được thiết lập bằng cách sử dụng các hàm dạng và một phương trình hệ thống dạng mạnh (strong form) hoặc dạng yếu (weak form) Các phương trình này thường được biểu diễn dưới dạng

ma trận nút và được ghép thành các ma trận hệ thống toàn cục trong toàn bộ miền tính

Các phương trình hệ thống toàn cục là một tập hợp các phương trình đại số trong phân tích tĩnh, các phương trình trị riêng trong phân tích dao động tự do, và

các phương trình vi phân theo thời gian trong các bài toán động lực học nói

chung Các thủ tục để tạo các phương trình hệ thống không khác nhau nhiều trong các PPKL khác nhau

Bước 4: Giải các phương trình toàn cục

Khi giải tập hợp phương trình toàn cục, ta sẽ có các kết quả khác nhau ứng với các loại bài toán khác nhau

• Trong các bài toán tĩnh, các chuyển vị ở tất cả các nút trên toàn bộ

miền tính sẽ được tính trước tiên Tiếp đó là kết quả của biến dạng và ứng suất ở một vị trí bất kỳ trong miền tính Các phương pháp giải hệ

phương trình đại số tuyến tính có thể được sử dụng như phương pháp khử Gauss, phương pháp phân ly LU, các phương pháp lặp…

• Trong các bài toán dao động tự do và bất ổn định, trị riêng và các

véctơ riêng tương ứng có thể nhận được với các phương pháp giải sau:

- Phương pháp Jacobi

- Phương pháp Given và Householder

- Phương pháp đường phân giác (sử dụng chuỗi Sturm)

- Phương pháp lặp ngịch đảo

- Phương pháp QR

- Phương pháp lặp miền con

- Phương pháp Lanczos

• Trong các bài toán động lực học, các kết quả của chuyển vị, vận tốc,

gia tốc theo thời gian có thể nhận được bằng các phương pháp sau:

- Phương pháp chồng dạng dao động tốt cho các bài toán dao động có đáp ứng ở tốc độ thấp với nhiều trường hợp tải

- Trong các bài toán tải đơn hoặc ít tải, phương pháp tích phân

trực tiếp được sử dụng Phương pháp này sử dụng PP SPHH cho

các bước thời gian với hàm ẩn và hiện

+ Phương pháp hàm ẩn sử dụng hiệu quả trong các bài toán dao động tương đối chậm

+ Phương pháp hàm hiện sử dụng hiệu quả trong các hiện tượng xảy ra rất nhanh như sự va chạm và sự nổ

Trong các bài toán động lực học lưu chất, về cơ bản thì các phương trình hệ thống rời rạc là không tuyến tính, và một vòng lặp cần được thêm vào để có thể có được các kết quả

7 Xác định kích thước của miền hỗ trợ

Tính chính xác của việc nội suy phụ thuộc vào các nút nằm trong miền hỗ

trợ của điểm quan tâm Do đó, miền hỗ trợ cần được lựa chọn thích hợp để có

được kết quả nội suy tốt Miền hỗ trợ tại một điểm xQ có kích thước d s được xác

định bởi công thức sau:

c s

với αs là hệ số kích thước vô thứ nguyên của miền hỗ trợ

là chiều dài đặc trưng tương ứng với khoảng cách nút gần điểm x

c

Nếu nút phân bố đều thì đơn giản chỉ là khoảng cách giữa hai nút kề

nhau Nếu nút phân bố không đều thì có thể được xác định như khoảng cách

“trung bình” nút trong miền hỗ trợ của x

Ý nghĩa vật lý của αs là rất rõ ràng, đây chỉ là hệ số của khoảng cách

trung bình nút Ví dụ αs = 2,1 nghĩa là miền hỗ trợ có bán kính gấp 2,1 lần

khoảng cách trung bình nút Thường thì αs có giá trị từ 2 đến 3 sẽ cho kết quả

tốt

8 Xác định khoảng cách trung bình nút

Đối với trường hợp một chiều, khoảng cách trung bình nút được xác định

n

D

với D s là giá trị ước tính của d s

là số nút nằm trong miền hỗ trợ với kích thước

s

D

Với phương trình (1.3), ta có thể dễ dàng tính được kích thước của miền hỗ

trợ tại điểm xd s Q với phân bố của các nút là không đồng đều Các bước tính toán

như sau:

1 Ước tính tại điểm xd s Q để có giá trị D s

2 Đếm số nút trong miền hỗ trợ có kích thước D s

3 Dùng phương trình (1.3) để tính d c

4 Dùng phương trình (1.2) để tính với hệ số d s αs cho trước

Đối với trường hợp hai chiều, khoảng cách trung bình nút được xác định

n

A

với A s là diện tích ước lượng của miền hỗ trợ với kích thước d s

là số nút nằm trong miền hỗ trợ với diện tích

s

A

Bằng cách sử dụng phương trình (1.4) và các bước tương tự như trường hợp

một chiều, ta có thể xác định kích thước của miền hỗ trợ tại điểm xd s Q trong

miền tính 2D với phân bố của các nút là không đồng đều

Tương tự, đối với trường hợp ba chiều, khoảng cách trung bình nút được

n

V

với V s là thể tích ước lượng của miền hỗ trợ với kích thước d s

là số nút nằm trong miền hỗ trợ với thể tích

s

V

Bằng cách sử dụng phương trình (2.5) và các bước tương tự như trường hợp

một chiều, ta có thể xác định kích thước của miền hỗ trợ tại điểm xd s Q trong miền tính 3D với phân bố của các nút là không đồng đều

9 Khái niệm của miền ảnh hưởng (Influence Domain)

Miền ảnh hưởng được định nghĩa là miền mà một nút có thể gây ra sự tác

động, sự ảnh hưởng của nút đó Khái niệm này luôn đi kèm với nút, khác với khái

niệm miền hỗ trợ, được định nghĩa cho một điểm quan tâm x, không nhất thiết

phải là một nút

Miền ảnh hưởng được sử dụng nhằm chọn ra các nút dùng cho việc nội suy, thích hợp cho các miền có sự phân bố các nút không đều nhau Miền ảnh hưởng được định nghĩa cho mỗi nút trong toàn miền bài toán, có thể khác nhau ở mỗi nút và biểu diễn vùng ảnh hưởng của nút đó như ở hình vẽ 1.9

Hình 1.9 – Miền ảnh hưởng của nút Trong việc xây dựng hàm dạng của

điểm x Q , các nút có miền ảnh hưởng bao phủ x Q được sử dụng để xây

dựng các hàm dạng

xQ

Γ

Từ hình vẽ trên, nút 1 có bán kính ảnh hưởng là r1, nút 2 có bán kính ảnh

hưởng là r2… Nếu một điểm bất kỳ nằm trong miền ảnh hưởng của nút, thì nút ấy sẽ được sử dụng trong việc xây dựng hàm dạng tại điểm ấy Ví dụ, trong hình vẽ

1.9, điểm quan tâm xQ có ký hiệu ×, các nút 1 và 2 được sử dụng trong việc xây dựng các hàm dạng nhưng nút 3 thì không Kích thước của miền ảnh hưởng có thể khác nhau ở các nút, yếu tố này cho phép vài nút có sự ảnh hưởng xa hơn các nút khác, tránh sự phân bố không cân bằng của các nút trong việc xây dựng các hàm dạng Trong hình vẽ 1.9, nút 1 được sử dụng trong việc xây dựng hàm dạng tại

điểm xQ, nhưng nút 3 thì không, mặc dù nút 3 gần điểm xQ hơn nút 1 Các kích thước của miền ảnh hưởng có thể được xác định bằng cách sử dụng các thủ tục tương tự như ở phần 7-8 nêu trên

CHƯƠNG II : CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I Các phương trình đối với bài toán vật rắn hai chiều (2D)

1 Ứng suất - biến dạng

Với bài toán vật rắn 2D, các biến số đều độc lập với trục z, các ngoại lực cũng độc lập với trục z và nằm trong mặt phẳng x-y Có 2 loại bài toán vật rắn 2D: bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng Bài toán ứng suất

phẳng là bài toán mà chiều dày của vật rắn theo phương z thì rất nhỏ so với hai

chiều còn lại là x và y Vì ngoại lực tác dụng chỉ nằm trong mặt phẳng x-y, tất cả các thành phần ứng suất theo phương z (σzz, σxz, σxy) đều bằng không, như ở hình vẽ 2.1 Do đó, ta chỉ còn lại ba thành phần ứng suất trong mặt phẳng là σxx, σyy,

Bài toán biến dạng phẳng là bài toán mà chiều dày của khối rắn theo

phương z là rất lớn so với hai phương còn lại là x và y Vì ngoại lực đặt giống nhau dọc theo phương z, nên dịch chuyển của một điểm bất kỳ theo phương z được xem là bị không chế Các thành phần biến dạng theo phương z (εzz, εxz, εyz) vì vậy sẽ bằng không như ở hình vẽ 2.2 Do đó, ta chỉ còn lại ba thành phần biến dạng cùng nằm trong mặt phẳng là ε , ε , ε

x

y

Hình 2.2 – Bài toán biến dạng phẳng

Các hệ phương trình dành cho bài toán vật rắn 2D với vật liệu đẳng hướng

được thể hiện như sau

Các thành phần ứng suất:

σσ

εε

u

∂+

∂

∂

=ε

với u, v là các thành phần chuyển vị theo phương x và y Liên hệ giữa chuyển vị

và biến dạng được viết ở dạng ma trận như sau:

Lu

với véctơ chuyển vị có dạng:

x

0

0

2 Các phương trình cơ bản

Theo định luật Hooke, mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng được viết ở

dạng ma trận như sau:

cε

Trong đó c là ma trận hằng số vật liệu, có được nhờ vào thực nghiệm

Trong trường hợp vật liệu đẳng hướng, ta có:

01

01

νν

νν

E

Với bài toán biến dạng phẳng, ma trận hằng số vật liệu c có được bằng cách thay

thế E và ν bởi E/(1–ν2) và ν/(1–ν) dẫn đến:

−

=

ννν

ν

νν

ν

1 2

2 1 0 0

0 1

1

0 1

1 2 1 1

1

E

3 Các phương trình cân bằng

Các phương trình cân bằng động học của bài toán vật rắn 2D không chứa

các thành phần theo trục z như sau:

u b y

∂

∂+

∂

v b y

yy xy

&&

ρσ

σ

=+

∂

∂+

∂

∂

(2.11) Các phương trình trên có thể được viết ở dạng ma trận như sau:

(2.12)

u b σ

b

b

Với bài toán tĩnh, các phương trình cân bằng được viết như sau:

II Phương trình Galerkin dạng yếu với nhân tử Lagrange

1 Nguyên lý Hamilton

Nguyên lý Hamilton là một trong các nguyên lý dựa trên nguyên lý năng

lượng được dùng phổ biến trong các bài toán động lực học

Về mặt toán học, nguyên lý Hamilton được biểu diễn như sau:

(2.15)

0

2 1

với T là động năng, Π là năng lượng biến dạng, và W f công sinh ra bởi ngoại lực

Động năng được định nghĩa là:

trong đó Ω là toàn bộ thể tích của vật rắn

Với vật rắn là vật liệu đàn hồi, năng lượng biến dạng của hệ được định nghĩa:

Hình 2.3 – Vật rắn liên tục chịu tác dụng của lực

2 Phương trình Galerkin dạng yếu

Phương trình Galerkin dạng yếu được hình thành trực tiếp từ nguyên lý

Hamilton cho bài toán cơ học vật rắn Từ phương trình (2.16) đến (2.19), hàm

Lagrange L được viết như sau:

u b

u σ

2

12

Thay vào phương trình (2.15), ta có:

02

12

12 1

T T

T

t

u u t

u b

u σ

Hay