Tính toán mô phỏng dòng chảy bằng phương pháp không lưới

Sử dụng phương pháp SPH, việc giải bài toán động lực học lưu chất không cần phải chia lưới bài toán như trong phương pháp FDM và FVM mà tính toán dựa trên các nút gọi là các hạt particle

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

NGUYỄN DUY KHƯƠNG

TÍNH TOÁN – MÔ PHỎNG DÒNG CHẢY BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI

Chuyên ngành: CƠ HỌC KỸ THUẬT

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 6 năm 2010

Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS TS Trương Tích Thiện

Tp HCM, ngày tháng năm

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: NGUYỄN DUY KHƯƠNG Phái: Nam

Ngày, tháng, năm sinh: 16-09-1984 Nơi sinh: Tp Hồ Chí Minh

Chuyên ngành: Cơ học Kỹ thuật

1- TÊN ĐỀ TÀI:

TÍNH TOÁN – MÔ PHỎNG DÒNG CHẢY BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI 2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN:

- Tổng quan về tính toán động lực học lưu chất

- Tìm hiểu về phương pháp số không chia lưới (MeshFree method)

- Thiết lập giải thuật, thực hiện chương trình tính toán, mô phỏng dòng chảy phương pháp không lưới

- So sánh kết quả của phương pháp này với lời giải giải tích và phương pháp số khác

3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 19-02-2009

4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30-6-2010

5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: PGS TS TRƯƠNG TÍCH THIỆN

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

(Họ tên và chữ ký) QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH (Họ tên và chữ ký)

(Họ tên và chữ ký)

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã gặp phải rất nhiều khó khăn và trở ngại Tuy

nhiên, với sự nỗ lực không ngừng của bản thân cộng thêm nhận được sự giúp đỡ vô cùng quý

báu từ phía các thầy cô trong bộ môn Cơ Kỹ Thuật cũng như nguồn động viên từ phía gia

đình và bạn bè, tôi đã vượt qua những trở ngại đó để có thể hoàn thành tốt luận văn này Sự

thành công của luận văn là nguồn động viên to lớn đối với tôi, để tôi có thể tiếp tục theo đuổi

con đường nghiên cứu và truyền đạt lại kiến thức cho thế hệ mai sau

Trong thời gian học cao học tại trường Đại học Bách Khoa, tôi học được nhiều kiến thức từ

các thầy cô trong bộ môn Cơ Kỹ Thuật Nhờ đó, tôi có thể bổ sung thêm những kiến thức mới

và giờ đây tôi đã có thể tự cập nhật kiến thức cũng như tự nâng cao trình độ của mình

Nhân dịp này, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS.Trương Tích Thiện - là người

thầy đã dìu dắt tôi những bước đi đầu tiên trên con đường khoa học này Và tôi cũng muốn

gửi lời cảm ơn chân thành TS Vũ Công Hòa - chủ nhiệm bộ môn Cơ Kỹ Thuật đã giúp đỡ tôi

rất nhiều, tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành tốt luận văn thạc sỹ Tôi cũng muốn gửi lời

cảm ơn đến GS.TS.Ngô Kiều Nhi cùng các thầy cô, đồng nghiệp trong bộ môn Cơ Kỹ Thuật,

phòng Thí Nghiệm Cơ Học và phòng Tính Toán Khoa Học đã hỗ trợ và truyền đạt những kiến

thức quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt luận văn này

Cũng nhân đây, tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn bè tôi - tập thể lớp Cao học ngành Cơ Kỹ

Thuật khóa 2007 đã hỗ trợ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn Cuối cùng, tôi

xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tôi đã cổ vũ và động viên tôi trong quá trình học tập và thực

hiện luận văn thành công

Học viên thực hiện

Để giải bài toán động lực học lưu chất, ta sẽ dùng phương trình Navier-Stocks Muốn có được

lời giải tốt, các nhà nghiên cứu phải sử dụng đến phương pháp số như phương pháp sai phân

hữu hạn (FDM) và phương pháp thể tích hữu hạn (FVM) Các phương pháp kể trên đều sử

dụng lưới kết nối các nút để tạo thành các phần tử Trong luận văn này, tác giả sẽ sử dụng

phương pháp số khác đó là phương pháp không lưới (Meshless Method) cụ thể là phương pháp Smoothed Particle Hydrodynamics – SPH để giải phương trình Navier – Stocks Sử dụng phương pháp SPH, việc giải bài toán động lực học lưu chất không cần phải chia lưới bài toán như trong phương pháp FDM và FVM mà tính toán dựa trên các nút gọi là các hạt (particle) Tác giả sẽ xây dựng chương trình tính toán sử dụng ngôn ngữ Matlab dựa trên giải thuật của phương pháp SPH, để làm một số bài ví dụ điển hình mà ta thường sử dụng để đánh giá sai số của phương pháp là “Poiseuille flow”, “Couette flow” và “Shear driven cavity”

Lời giải của các bài toán trên có so sánh với lời giải giải tích và lời giải thu được từ chương

trình ANSYS Multiphysics sử dụng phương pháp FVM

Luận văn về đề tài “Tính toán – mô phỏng dòng chảy bằng phương pháp không lưới” được

trình bày trong 5 chương

STT Hình soá Teân hình Trang Ghi chuù

1 Hình 2.1 Mô phỏng ứng xử của dòng nước và tường chắn

trong quá trình tương tác

6

2 Hình 2.2 Mô phỏng tương tác giữa cát và nước có tường

chắn

6

3 Hình 2.3 Mô phỏng dòng nước tương tác với đập chắn 7

4 Hình 2.4 Mô phỏng dòng nước chảy qua vật thể 7

5 Hình 2.5 Mô phỏng sự trộn lẫn giữa lưu chất và chất rắn 7

6 Hình 2.6 Mô phỏng tên lửa bay với vận tốc siêu âm 8

8 Hình 2.8 Mô phỏng va chạm trong bài toán cắt 8

9 Hình 2.9 Mô phỏng dòng chảy trong ống 8

10 Hình 2.10 Miền hỗ trợ có hình dáng và kích thước khác

nhau tại các điểm khác nhau

12

11 Hình 2.11 Miền ảnh hưởng cho nút 1, 2, 3 và 4 khi xấp xỉ

biến tại điểm x

13

12 Hình 2.12 Mô hình phân tán sử dụng cho khái niệm miền

ảnh hưởng với vòng tròn biểu diễn miền ảnh hưởng tương ứng với hạt thứ i

14

13 Hình 2.13 Mô hình tập trung sử dụng cho khái niệm miền

hỗ trợ với vòng tròn biểu diễn miền hỗ trợ của hạt thứ i

14

14 Hình 2.14 Hàm trọng số spline bậc ba và đạo hàm bậc nhất

của nó

16

16 Hình 2.16 Hàm trọng số spline bậc 5 và đạo hàm bậc nhất

của nó

18

17 Hình 2.17 Miền hỗ trợ của hàm mịn hóa W nằm bên trong

miền bài toán

21

18 Hình 2.18 Miền hỗ trợ của hàm mịn hóa W giao với miền

bài toán tại biên bài toán

21

19 Hình 2.19 Xấp xỉ hạt sử dụng các hạt bên trong miền hỗ trợ

của hàm mịn hóa W cho hạt thứ i

22

20 Hình 2.20 Thể tích kiểm soát hữu hạn V dạng Lagrangian

và bề mặt bao quanh S

24

21 Hình 2.21 Phần tử lưu chất vi phân dạng Lagrangian 25

22 Hình 2.22 Sự thay đổi thể tích của thể tích kiểm soát dạng

24 Hình 3.1 Nhân và xấp xỉ hạt SPH cho những hạt nằm bên

trong và trên biên

27 Hình 3.4 Lưu đồ giải thuật sử dụng phương pháp SPH cho

bài toán động lực học lưu chất

46

28 Hình 4.1 Mô hình bài toán “Couette flow” 47

29 Hình 4.2 Mô hình hạt thực và hạt ảo trong miền bài toán 49

32 Hình 4.5 Vector vận tốc tại các thời điểm 52

33 Hình 4.6 Phân bố vận tốc tại các thời điểm 54

34 Hình 4.7 Đồ thị so sánh vận tốc giữa lời giải SPH và lời

giải chuỗi theo thời gian

55

35 Hình 4.8 Phân bố vector vận tốc khi dòng ổn định trong

chương trình ANSYS

58

36 Hình 4.9 Mô hình bài toán “Poiseuille flow” 61

37 Hình 4.10 Mô hình hạt thực và hạt ảo trong miền bài toán 63

38 Hình 4.11 Gia tốc của tất cả các hạt nằm trong miền bài

toán

64

39 Hình 4.12 Vector vận tốc tại các thời điểm 65

40 Hình 4.13 Phân bố vận tốc tại các thời điểm 67

41 Hình 4.14 Đồ thị so sánh sai số giữa lời giải SPH và lời giải

43 Hình 4.16 Mô hình bài toán “Shear driven cavity” 74

44 Hình 4.17 Mô hình hạt thực và hạt ảo trong miền bài toán 76

45 Hình 4.18 Vận tốc của hạt ảo nằm ở biên trên 77

47 Hình 4.20 Trường vector vận tốc ở bước thứ 2500 78

48 Hình 4.21 Phân bố vận tốc tại bước thứ 2500 81

50 Hình 4.23 Đồ thị so sánh kết quả Vx tại x=0,00055 giữa

phương pháp SPH và chương trình ANSYS

84

51 Hình 4.24 Đồ thị so sánh kết quả Vy tại y=0,0005 giữa

phương pháp SPH và chương trình ANSYS Multiphysics

85

STT Bảng số Tên bảng Trang Ghi chú

1 Bảng 3.1 Bảng thống kê sai số của hạt cĩ tọa độ

ban đầu x=0 ở các bước thứ 100 (t=0,01s), 1000 (t=0,1s) và 6000 (t=0.6s)

56

2 Bảng 3.2 Bảng thống kê số liệu vận tốc và sai số

của lời giải SPH với lời giải chuỗi và với lời giải phương pháp FVM khi dịng ổn định

59

3 Bảng 3.3 Bảng thống kê sai số của hạt cĩ tọa độ

ban đầu x=0 ở các bước thứ 100 (t=0,01s), 1000 (t=0,1s) và 6000 (t=0.6s)

69

4 Bảng 3.4 Bảng thống kê số liệu vận tốc và sai số

của lời giải SPH với lời giải chuỗi và với lời giải phương pháp FVM khi dịng ổn định

72

1.1 Giới thiệu đôi nét sự ra đời của phương pháp không lưới 1

1.2 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước 2

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5

2.1 Phương pháp không lưới – Phương pháp mịn hóa hạt thủy động lực học (Smoothed

Particle Hydrodynamics-SPH) 5

2.2 Động lực học lưu chất – Phương trình Navier-Stocks dưới dạng Lagrangian 24

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 32

3.1 Áp dụng phương pháp SPH trong việc giải phương trình Navier-Stocks 32

3.3 Các bước tính toán sử dụng phương pháp SPH để mô phỏng – tính toán dòng chảy

4.1 Bài toán 1: Couette flow 47

4.2 Bài toán 2: Poiseuille flow 61

CHƯƠNG 5 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 86

5.2 Kiến nghị, định hướng nghiên cứu 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89

PHỤ LỤC 90

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

1.1 Giới thiệu đôi nét sự ra đời của phương pháp không lưới

Mô hình và mô phỏng ngày càng trở nên quan trọng trong việc tạo nên hệ thống kỹ thuật cao

cấp một cách nhanh chóng và có tính hiệu quả kinh tế cao Hàng trăm năm qua, con người đã

sử dụng phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference Method – FDM) để thực hiện mô

hình và mô phỏng của hệ thống kỹ thuật, cụ thể là dùng để giải hệ thống các phương trình đạo

hàm riêng Điều này chỉ được thực hiện tốt cho bài toán có hình học đơn giản Hàng chục năm

trở lại đây, phương pháp phần tử hữu hạn (Finite Element Method – FEM) được sử dụng

nhằm đáp ứng tính linh động, hiệu quả và tính chính xác trong những bài toán có hình học

phức tạp hơn Ngoài những phương pháp số vừa kể trên, ta không thể không kể đến những

phương pháp như phương pháp thể tích hữu hạn (Finite Volume Method – FVM), phương

pháp phần tử biên (Boundary Element Method – BEM), phương pháp không lưới (Meshfree

Methods – MFM) Tất cả những phương pháp số trên đã đóng một vai trò vô cùng quan trọng

trong việc tính toán mô phỏng trong nhiều lĩnh vực như cơ học, điện từ, nhiệt và lưu chất

Trong việc mô phỏng và phân tích, bài toán động lực học lưu chất được thực hiện bằng các

phương pháp phổ biến như phương pháp sai phân hữu hạn (FDM), phương pháp thể tích hữu

hạn (FVM) và phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) Những phương pháp số thông dụng này

được sử dụng một cách rộng rãi và chiếm ưu thế trong lĩnh vực tính toán động lực học lưu

chất Điều quan trọng là tương ứng với lưới Eulerian (cho FDM và FVM) hoặc là lưới

Lagrangian (cho FEM) hoặc dùng cả hai (như ALE) để làm khung tính toán cho việc giải

phương trình chủ đạo Các phương pháp trên đều có ý tưởng chung là chia nhỏ mô hình phức

tạp thành nhiều mô hình nhỏ gọi là lưới Lưới được định nghĩa như là dạng kết nối giữa các

nút Trong nhiều bài toán phức tạp đòi hỏi phải cập nhật lưới lại trong quá trình giải ra kết quả

bài toán, nếu mô hình hình học phức tạp thì việc chia lưới lại thực sự khó khăn và mất rất

nhiều thời gian Đây chính là nhu cầu cấp thiết để một loạt phương pháp số mới ra đời nhằm

giảm thiểu việc chia lưới để có thể giải bài toán tốt hơn như phương pháp phần tử biên (BEM)

và đặc biệt là phương pháp không lưới (MFM)

Phương pháp không lưới được sử dụng để thiết lập hệ thống của các phương trình đại số cho

tất cả các miền của bài toán mà không cần phải sử dụng đến việc chia lưới Phương pháp

không lưới sử dụng tập các nút phân bố trên biên và trên miền bài toán làm đại diện Tập các

nút phân bố này không phải là một dạng lưới, điều này có nghĩa là không có bất kì yêu cầu

nào về thông tin mối liên hệ giữa các nút

1.2 Tình hình nghiên cứu trong và ngoài nước

Một cách tổng quát, phương pháp không lưới có rất nhiều phương pháp như phương pháp nội

suy điểm (The point interpolation method – PIM) (G.R.Liu và Gu, 1999), phương pháp lắp

ráp nút (The point assembly method – PAM) (G.R.Liu, 1999), phương pháp không lưới cục bộ

Petrov-Galerkian (the meshless local Petrov–Galerkian method – MLPG) (Atluri và Zhu,

1998), phương pháp phương trình tích phân biên cục bộ (Local Boundary Integral Equation

method – LBIE) (Zhu, Zhang và Atluri, 1998), phương pháp sự phân chia đồng nhất (Partition

of Unity method – PUM) (Babuska và Melenk, 1997), phương pháp những đám mây HP

(hp-clouds method) (Duarte và Oden, 1996), phương pháp nút hữu hạn (Finite Point Method –

FPM) (O˜nate, Idelsohn, Zienkiewicz và Taylor, 1996), phương pháp không phần tử

Galerkian (Element Free Galerkian method – EFG) (Belytschko, Lu, và Gu, 1994), phương

pháp phần tử lõi tái tạo (Reproducing Kernel Particle Method – RKPM) (Liu, Jun và Zhang,

1993), phương pháp phần tử khuếch tán (Diffuse Element Method – DEM) (Nayroles, Touzot

và Villon, 1992), phương pháp sai phân hữu hạn với lưới bất quy tắc (Finite Difference

method with arbitrary irregular grids) (Liszka, Orkisz và Jensen, 1980), phương pháp mịn

hóa thủy động lực học hạt (Smoothed Particle Hydrodynamics – SPH) (Lucy, Gingold và

Monaghan, 1977)

Phương pháp không lưới đã được ứng dụng trong việc tính toán mô phỏng ở rất nhiều lĩnh

vực trong kỹ thuật như tính toán bài toán biến dạng dẻo kim loại, bài toán nứt, động lực học

va chạm, kỹ thuật truyền nhiệt, điện từ, âm học, lưu chất … Sử dụng phương pháp không lưới

để tính bài toán động lực học lưu chất mở ra một cơ hội mới cho lĩnh vực tính toán mô phỏng

bài toán động lực học lưu chất Trong các phương pháp không lưới kể trên, có 3 loại phương

pháp cơ bản được sử dụng cho bài toán động lực học lưu chất như phương pháp đại diện cho

tích phân hữu hạn bao gồm phương pháp SPH (Monaghan, 1988) và RKPM (Liu, 1995),

phương pháp đại diện cho chuỗi hữu hạn bao gồm phương pháp MLPG(Atluri, 2001) và

LRPIM(G.R.Liu, 2001) và phương pháp đại diện cho sai phân hữu hạn bao gồm phương pháp

nút hữu hạn (Onate, 1996) và phương pháp sai phân hữu hạn với lưới bất quy tắc (Jensen,

1980)

Trong thực tế, các phương pháp không lưới có thể kết hợp cặp đôi với nhau hoặc có thể kết

hợp với phương pháp số khác để có thể tận dụng hết những ưu điểm của từng phương pháp

mang lại Ví dụ như phương pháp SPH có thể kết hợp với FEM (Attaway và cộng sự, 1994;

Johnson, 1994; Century Dynamics, 1997), EFG có thể kết hợp với phương pháp phần tử biên

(BEM) (Gu và Liu, 2001) và MPLG kết hợp với BEM hoặc FEM (Liu và Gu, 2000)

Hiện nay, Liu và Gu đang nghiên cứu một phương pháp không lưới mới là phương pháp

không lưới dạng mạnh và dạng yếu (meshfree weak-strong form method – MWS) Đây là

phương pháp kết hợp cả dạng mạnh và dạng yếu của bài toán Trong phương pháp MWS, công

thức dạng mạnh được sử dụng để tính toán cho các nút nằm bên trong bài toán và những nút

nằm ở vị trí có tính chất là biên của bài toán Còn dạng yếu chỉ được sử dụng để tính toán các

nút gần biên tự nhiên Vì thế, không cần thiết phải tính tích phân số cho các nút nằm bên

trong miền bài toán và những nút có tính chất như biên bài toán Việc tính toán tích phân số

chỉ áp dụng cục bộ cho các nút gần biên tự nhiên và chỉ những phần tử nền cục bộ dành cho

nút ở trên biên tự nhiên được yêu cầu Phương pháp MWS là phương pháp không lưới sử dụng

ít lưới nhất trong lúc tính toán và cho ra được lời giải ổn định cho bài toán cơ học vật rắn sử

dụng phân bố nút không có nguyên tắc Đây là một bước tiến rất dài trong việc nghiên cứu

xây dựng một phương pháp tính toán không lưới mới có tính ổn định và cho ra được lời giải

có tính chính xác cao

1.3 Mục tiêu của đề tài

Theo Liu, lý thuyết của hàm xấp xỉ được sử dụng trong phương pháp không lưới có thể được

phân loại thành ba loại chính là phương pháp biểu diễn dạng tích phân, phương pháp biểu

diển dạng chuỗi, phương pháp biểu diễn dạng đạo hàm

Trong luận văn này tập trung vào phương pháp phần tử không lưới và ra đời sớm nhất trong

các phương pháp không lưới, đặc biệt dựa trên phương pháp mịn hóa thủy động lực học hạt

(Smoothed Particle Hydrodynamics – SPH), sử dụng phương pháp biểu diễn dưới dạng tích

phân cho hàm xấp xỉ Phương pháp SPH rất giống với phương pháp dạng yếu Sự khác biệt

chính là SPH là sử dụng giai đoạn xấp xỉ hàm dạng yếu, còn phương pháp dạng yếu thông

thường (EFG, MLPG, RKPIM, PIM …) thì phân mảnh ra thành các hệ phương trình Dùng

phương pháp biểu diễn dưới dạng tích phân trên một miền sẽ chuyển thành phép lấy vi phân

trên miền đó dựa trên hàm mịn hóa (hay còn gọi là hàm trọng số)

Vì thế, phương pháp SPH đưa ra được sự ổn định cho việc xây dựng các nút bất kì cho nhiều

bài toán biến dạng cực lớn Sự chính xác của phương pháp SPH phần lớn phụ thuộc vào việc

chọn hàm mịn hóa thích hợp

Trong phạm vi giới hạn của luận văn, tác giả sẽ xây dựng chương trình tính toán sử dụng

phương pháp không lưới SPH để giải các bài toán động lực học lưu chất nén được trong

không gian hai chiều có hệ số Reynolds thấp (dòng chảy tầng)

Chương 1 được tham khảo từ tài liệu [1], [2] và [4]

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Sử dụng phương pháp không lưới SPH để giải bài toán động lực học lưu chất dựa trên hai cơ

sở lý thuyết là lý thuyết về toán học của phương pháp SPH và lý thuyết động lực học lưu chất

sử dụng phương trình Navier-Stockes dưới dạng Lagrangian

2.1 Phương pháp không lưới – Phương pháp mịn hóa thủy động lực học hạt (Smoothed

Particle Hydrodynamics - SPH)

Phương pháp SPH là một phương pháp không lưới ra đời sớm nhất (Lucy, 1977; Gingold và

Monaghan, 1977) Phương pháp này đã được sử dụng để giải các bài toán đáp ứng động lực

học trong sức bền vật liệu một cách khá tốt tương tự như việc giải bài toán động lực học lưu

chất với chuyển vị lớn Ưu điểm của phương pháp này so với các phương pháp không lưới

khác đáng kể nhất là tính tương thích một cách tự nhiên Khả năng tương thích cho việc xấp

xỉ biến tại mỗi thời điểm dựa trên tập các dữ liệu cục bộ của việc xây dựng phần tử ở thời

điểm hiện tại Cũng do tính tương thích này nên ta không cần xây dựng phần tử để kết nối các

nút Vì thế, ta có thể áp dụng cho các loại bài toán có biến dạng lớn vì ta không cần quan tâm

đến việc phải chia lưới lại cho mô hình như ở các phương pháp có lưới khác như FEM hoặc

FDM Ngoài tính tương thích còn có sự phối hợp hài hòa của công thức Lagrangian và xấp xỉ

hạt

2.1.1 Giới thiệu đôi nét về phương pháp SPH

Trong phương pháp SPH, mô hình bài toán sẽ được biểu diễn dưới dạng các hạt Những hạt

này có thuộc tính vật liệu riêng và cách di chuyển của hạt tùy thuộc vào phương trình chủ đạo

của bài toán Kể từ khi việc tìm ra cách giải bài toán thiên văn học trong không gian mở ba

chiều (Lucy, 1977; Gingold và Monaghan, 1977) thì phương pháp SPH được phổ biến rộng

rãi và áp dụng mở rộng cho bài toán đáp ứng động lực học trong sức bền vật liệu thì cũng tốt

như áp dụng cho bài toán động lực học lưu chất

¾ Những ứng dụng của phương pháp SPH:

• Tương tác giữa đất và vật rắn

Hình 2.1 Mô phỏng ứng xử của dòng nước và tường chắn trong quá trình tương tác

• Tương tác giữa cát và nước

Hình 2.2 Mô phỏng tương tác giữa các và nước có tường chắn

• Bài toàn đập nước

Hình 2.3 Mô phỏng dòng nước tương tác với đập chắn

• Tương tác giữa lưu chất và vận rắn

• Chuyển động với vận tốc siêu âm

Hình 2.6 Mô phỏng tên lửa bay với vận tốc siêu âm

• Bài toán va chạm giữa vật rắn và vật rắn

Hình 2.7 Mô phỏng va chạm vật rắn

Hình 2.8 Mô phỏng va chạm trong bài toán cắt

• Bài toán dòng chảy trong ống

Hình 2.9 Mô phỏng dòng chảy trong ống

Phương pháp SPH có những ưu điểm so với những phương pháp sử dụng lưới nền để thu

được kết quả Ưu thế tuyệt đối của phương pháp này là mô phỏng mặt thoáng dòng lưu chất

Ở bài toán mặt thoáng, Nếu xử dụng phương pháp FDM hoặc FVM thì rất khó khăn trong

việc chia lưới lại mô hình, hơn nữa việc giải lặp theo thời gian cũng là vấn đề không nhỏ

trong hai phương pháp dựa trên lưới nên phổ biến kể trên

Phương pháp SPH là một phương pháp không lưới dưới dạng Lagrangian và cũng là một

phương pháp hạt nên mang đầy đủ những tính chất về hạt Một vài ưu điểm đặc biệt hơn hẳn

những phương pháp số dựa trên lưới nền thông thường là khả năng thích ứng một cách tự

nhiên của phương pháp SPH Khả năng thích ứng của SPH là thu được kết quả ở giai đoạn rất

sớm của biến xấp xỉ Biến xấp xỉ này được thực hiện tại mỗi bước thời gian dựa trên một tập

hạt được phân bố bất kỳ ở thời điểm hiện tại Do khả năng thích ứng tự nhiên của xấp xỉ SPH

mà công thức của SPH không bị ảnh hưởng bởi sự phân bố hạt một cách bất kỳ Vì thế, SPH

có thể giải bài toán một cách tự nhiên với chuyển vị cực lớn Đây là điều thú vị nhất mà ta có

được từ phương pháp SPH

Để có được tính tự nhiên của phương pháp SPH cũng là do những công thức có tính thích ứng

như đề cập ở trên và do sử dụng một tập các hạt để biểu diễn miền bài toán Phép xấp xỉ SPH

không cần yêu cầu phải định nghĩa trước lưới để kết nối các hạt trong quá trình xử lý tính toán

và không cần phải làm mịn hạt trong quá trình giải Phương pháp không lưới có tính tự nhiên

này là rất hấp dẫn vì nó đã giải quyết được những vấn đề khó khăn gặp phải trong phương

pháp FEM hay FDM như đã đề cập ở phần trước

Bên cạnh việc không cần chia lưới và khả năng thích ứng tự nhiên, phương pháp SPH còn là

sự kết hợp hài hòa giữa công thức Lagrangian và phép xấp xỉ hạt Không giống như những

phương pháp không lưới khác mà các nút chỉ được sử dụng để nội suy điểm, các hạt SPH

cũng mang những thuộc tính vật liệu và có khả năng di chuyển trong điều kiện tương tác bên

trong và ngoại lực tác động

Phần chính và cũng là phần cốt lõi của phương pháp SPH này là mang ý nghĩa một cách đầy

đủ của ba từ “SMOOTHED PARTICLE HYDRODYNAMICS” Từ thứ nhất là “SMOOTHED”

là biểu diễn sự mịn hóa của phép xấp xỉ bằng cách lấy trung bình có trọng số trên các hạt

xung quanh để ổn định Từ thứ ba là “HYDRODYNAMICS” là phương pháp này áp dụng cho

bài toán động lực học lưu chất

2.1.2 Ý tưởng cơ bản của phương pháp SPH

Như đã đề cập ở trên, phương pháp SPH phát triển để giải bài toán động lực học lưu chất Bài

toán động lực học lưu chất dựa trên các phương trình đạo hàm riêng của các biến như là khối

lượng riêng, vận tốc, năng lượng … Việc thu được lời giải giải tích là điều không phải lúc nào

cũng làm được ngoại trừ một số ít trường hợp đơn giản Hơn nữa phải cố gắng tìm lời giải

bằng phương pháp số Việc làm đầu tiên là phải chia nhỏ miền bài toán ở những nơi định

nghĩa các phương trình đạo hàm riêng Kế đến, phương pháp phải cung cấp sự xấp xỉ cho giá

trị của các hàm và đạo hàm tại mọi điểm Hàm xấp xỉ sau đó được áp dụng cho các phương

trình đạo hàm riêng để tạo ra một tập các phương trình vi phân dưới dạng bài toán đã được

chia nhỏ theo thời gian Tập các phương trình vi phân được chia nhỏ này có thể sau đó được

giải bằng cách sử dụng một trong những phép lấy tích phân thông thường như của phương

pháp sai phân hữu hạn

Những ý tưởng chính khi sử dụng phương pháp SPH là:

1 Miền bài toán được biểu diễn bởi tập các hạt phân bố bất kỳ Không cần sự kết nối

giữa các hạt (tính không lưới)

2 Biểu diễn dưới dạng tích phân để lấy phép xấp xỉ của một hàm (biểu diễn hàm dưới

dạng tích phân)

3 Phép xấp xỉ tại nhân trong phương pháp SPH cũng là phép xấp xỉ hạt Điều này có

nghĩa là ta có thể xấp xỉ tích phân và các đạo hàm thành tổng tất cả các giá trị của hạt

lân cận trong miền cục bộ gọi là miền hỗ trợ (support domain) (miền gắn kết)

4 Phép xấp xỉ hạt được thực hiện tại mỗi thời điểm và việc sử dụng các hạt hoàn toàn

phụ thuộc dựa trên phân bố cục bộ hiện tại của các hạt (tính tương thích)

5 Các phép xấp xỉ phần tử được thực hiện có liên quan đến hệ các phương trình vi phân

dưới dạng chia nhỏ chỉ phụ thuộc vào thời gian (hàm Lagrangian)

6 Giải các hệ phương trình vi phân bằng giải thuật tích phân dạng hiện được thực hiện

một cách nhanh chóng tại các bước thời gian và thu được kết quả của các biến của tất

cả các hạt theo thời gian (bài toán động lực học)

Ý thứ nhất xác định đây là một phương pháp không lưới có tính tự nhiên Không phải là quá

khó để có được công thức của phương pháp số mà không cần sử dụng lưới Nhưng cái khó

chính là làm thế nào để chắc chắn có được sự ổn định của lời giải của phương pháp số, nhất là

với tập nút không có nguyên tắc bên trong miền hỗ trợ gắn kết được sử dụng trong bài toán

với điều kiện biên Neumann

Ý thứ hai, về mặc toán học, sự ổn định cần thiết cho phương pháp SPH Khi phép biểu diễn

dưới dạng tích phân có hiệu quả của việc mịn hóa thì có ứng xử như là công thức dạng yếu

Công thức dạng yếu thì thường xuyên cho kết quả ổn định cũng như là phép lấy tích phân số

được thực hiện một cách chính xác

Ý thứ ba là xây dựng một hệ thống ma trận dạng băng hoặc là dạng vuông Điều này cực kỳ

quan trọng ảnh hưởng đến việc tính toán bởi vì một bài toán biến dạng lớn thì cần một số

lượng lớn các hạt để biểu diễn miền bài toán Điều này có thể sẽ làm thời gian tính toán lâu

hơn một cách không thể chấp nhận được của máy tính do phải giải một hệ thống phương trình

lớn nếu là ma trận đầy đủ

Khả năng tương thích của SPH là đạt được bằng ý thứ tư tại mỗi bước thời gian dựa trên các

hạt được phân bố một cách bất kỳ nằm bên trong miền hỗ trợ hiện tại Lưu ý rằng phép xấp xỉ

hạt là một phương pháp để tính tích phân số đã được yêu cầu trong ý thứ hai Để chắc chắn về

tính chính xác của tích phân và tính ổn định của phương pháp số thì các hạt phải được dùng

trong phép lấy tổng một cách đầy đủ Các hạt này sẽ mang khối lượng sau phép xấp xỉ hạt,

điều này có nghĩa là các hạt vật liệu mang tính vật lý

Việc sử dụng mô hình Lagrangian ở ý thứ năm cho phép phương pháp SPH tất cả các đặc

tính của phương pháp Lagrangian

Ý thứ sáu mang ý nghĩa thông thường để giải bài toán động lực học thay đổi theo thời gian

Tất cả những điều phải làm trong phương pháp SPH là chỉ ra một cách hợp lý để xác định

bước thời gian để phép lấy tích phân theo thời gian được ổn định

Kết hợp sáu ý trên sẽ tạo ra được phương pháp SPH vừa có tính chất không lưới, tính tương

thích, tính ổn định và lời giải Lagrangian cho bài toán động lực học

2.1.3 Những khái niệm trong phương pháp SPH

2.1.3.1 Miền hỗ trợ và miền ảnh hưởng

Theo định nghĩa, miền hỗ trợ cho một điểm tại x=( , , )x y z

x

là một miền mà tại đó ta có thông tin của tất cả các điểm nằm bên trong miền này và được sử dụng cho việc tính các thông số tại

điểm Miền ảnh hưởng được định nghĩa là một miền mà tại đó một nút sử dụng sự ảnh

hưởng của miền đó Do đó, miền ảnh hưởng được gắn với một nút trong phương pháp không

lưới, còn miền hỗ trợ sẽ được gắn với điểm có tọa độ nhưng không cần thiết phải là một

nút

x

Từ những định nghĩa trên, ta có những nhận xét sau:

• Khái niệm miền hỗ trợ được xét dựa trên điểm có tọa độ x Khái niệm miền ảnh

hưởng được xét chỉ dựa trên các tập nút

• Nếu nút i nằm trong miền hỗ trợ của điểm x thì nút i sử dụng sự ảnh hưởng với điểm

x và điểm x nằm bên trong miền ảnh hưởng của nút i

• Nếu điểm x trùng với nút i thì nút này sẽ có cả miền hỗ trợ lẫn miền ảnh hưởng

(giống như các hạt trong phương pháp SPH) Trong tình huống như vậy, miền hỗ trợ

của nút i tại điểm x có thể được hiểu như là miền ảnh hưởng của nút i đó

Miền hỗ trợ trong phương pháp không lưới cho một điểm là cục bộ khi là miền con của toàn

miền bài toán hoặc là toàn cục khi là toàn miền bài toán Trong trường hợp cuối cùng, lời giải

của điểm đó có liên quan đến tất cả các nút hoặc phần tử trong miền bài toán Để tiết kiệm

thời gian tính toán, ta thường dùng miền hỗ trợ cục bộ vì các nút và phần tử nằm bên trong

miền cục bộ của miền kích thước hữu hạn của điểm được sử dụng cho việc xấp xỉ của các

biến tại điểm đó Kích thước và hình dạng của miền hỗ trợ cho nhiều điểm khác nhau thì có

thể khác nhau Theo hình 2.10, các miền hỗ trợ thông thường được sử dụng có hình dạng ê-líp

hoặc hình tròn và hình chữ nhật hoặc hình vuông

1 2

Hình 2.10 Miền hỗ trợ có hình dáng và kích thước khác nhau tại các điểm khác nhau

Miền ảnh hưởng cho nút cũng có thể là toàn cục trên toàn miền bài toán hoặc là cục bộ trên

một miền con của toàn miền bài toán với hình dáng và kích thước hữu hạn Hình dáng và kích

thước của miền ảnh hưởng cho các nút khác nhau thì có thể khác nhau như hình 2.11 Điểm

x nằm trong miền ảnh hưởng của nút 1, 3 và 4 Tuy nhiên, nó không nằm trong miền ảnh

hưởng của nút 2 mặc dù khoảng cách giữa và nút 2 ngắn hơn là khoảng cách giữa và nút

1

Hình 2.11 Miền ảnh hưởng cho nút 1, 2, 3 và 4 khi xấp xỉ biến tại điểm x

Phương pháp SPH chỉ xấp xỉ các biến nằm trên các hạt và điểm thường biểu diễn là một

hạt (nút) Vì vậy, một hạt trong phương pháp SPH có cả miền hỗ trợ lẫn miền ảnh hưởng

x

Trong phương pháp SPH, khái niệm miền hỗ trợ và miền ảnh hưởng dành cho một hạt có

quan hệ với độ dài mịn hóa của hạt đó Để xác định kích thước của miền hỗ trợ và miền

ảnh hưởng, ta lấy kích thước mịn hóa nhân với hệ số

h

h κ khi muốn tìm hàm mịn hóa Chú ý rằng hàm mịn hóa rất đa dạng như là số vô hướng trong 1 chiều, dạng vector trong 2 chiều

hoặc dạng tensor trong 3 chiều Miền hỗ trợ và miền ảnh hưởng của hạt trong phương pháp

SPH có quan hệ trực tiếp đến miền κ của hạt đó h

Sử dụng khái niệm miền hỗ trợ và miền ảnh hưởng trong phương pháp SPH là do hai mô hình

lần lượt là mô hình phân tán (hình 2.12) và mô hình tập trung (hình 2.13) trong việc xấp xỉ

biến tại phần tử thứ i (Hernquist và Katz, 1989) Trong mô hình phân tán, việc xấp xỉ hạt tại

hạt thứ i được tiến hành trên hạt của miền ảnh hưởng xung quanh hạt thứ i Trong mô hình tập

trung, việc xấp xỉ trên hạt thứ i được thực hiện ở các hạt nằm bên trong miền hỗ trợ của hạt

Hình 2.12 Mô hình phân tán sử dụng cho khái niệm miền ảnh hưởng với vòng tròn biểu diễn

miền ảnh hưởng tương ứng với hạt thứ i

Hình 2.13 Mô hình tập trung sử dụng cho khái niệm miền hỗ trợ với vòng tròn biểu diễn miền

hỗ trợ của hạt thứ i

Độ dài mịn hóa cho hai hạt không cần thiết phải giống nhau, hạt thứ i nằm trong miền ảnh

hưởng của hạt thứ j nhưng nó không ảnh hưởng đến kết quả của hạt thứ j Ở khía cạnh khác,

hạt thứ j ảnh hưởng đến hạt thứ i trong khi đó hạt thứ i lại không ảnh hưởng đến hạt thứ j

Trong phương pháp SPH, sự ảnh hưởng mất cân bằng hoặc không cân xứng này sẽ cho ra lời

giải không phù hợp với tự nhiên và nhỏ hơn thì miền ảnh hưởng của hạt thứ j có thể bao h i h j

lấy hạt thứ j nhưng không phải lúc nào cũng đúng Vì thế, hạt thứ j tác động lực lên hạt thứ i

mà hạt thứ i không có phản lực tác động ngược lại lên hạt thứ j thì điều này vi phạm đến định

luật 3 của Newton Để giải quyết vấn đề này, ta sử dụng giá trị trung bình cho độ dài mịn hóa

cho sự tương tác giữa hai hạt và áp dụng cho cả hai miền là miền hỗ trợ và miền ảnh hưởng

Trong tình huống được đề cập ở trên, mô hình phân tán sẽ giống như là mô hình tập trung Do

đó, miền hỗ trợ và miền ảnh hưởng trong phương pháp SPH trong thực tế là như nhau

2.1.3.2 Hàm mịn hóa hay hàm trọng số

Một trong những điểm chính của phương pháp không lưới là làm thế nào để thực hiện phép

xấp xỉ hàm một cách hiệu quả, dựa trên tập các nút được phân bố bất kỳ mà không cần sử

dụng việc làm mịn lưới hoặc cung cấp thông tin về sự kết nối giữa các nút Phương pháp để

xấp xỉ hàm được chia làm 3 loại: 1) biểu diễn dưới dạng tích phân, 2) biểu diễn dưới dạng

chuỗi và 3) biểu diễn dưới dạng đạo hàm Phương pháp SPH là phương pháp không lưới biểu

diễn dưới dạng tích phân sử dụng một hàm mịn hóa hay còn gọi là hàm trọng số Việc xác

định hàm mịn hóa là cực kỳ quan trọng, nó không chỉ để xác định hàm xấp xỉ và định nghĩa

kích thước của miền hỗ trợ của các hạt mà còn khẳng định tính chính xác của cả bài toán

Hàm mịn hóa phải có những đặc tính chính như sau:

1 Hàm mịn hóa phải có tính trực giao trên miền hỗ trợ của nó

Kích thước của miền hỗ trợ kín được định nghĩa bằng độ dài mịn hóa h và hệ số tỉ lệ

với h và được dùng để xác định miền hỗ trợ | |

3 W(x x'− ) 0≥ khi bất kỳ điểm x' nằm bên trong miền hỗ trợ của hạt tại điểm x(sự

ràng)

rõ

4 Giá trị hàm mịn hóa dùng cho một hạt sẽ giảm khi ta tăng khoảng cách từ hạt đó

đến hạt khác (sự phân rã)

5 Hàm mịn hóa phải thỏa mãn điều kiện của hàm Dirac delta khi kích thước mịn hóa

tiến về 0 (thuộc tính hàm Delta)

→ x x'− = x x' −

6 Hàm mịn hóa nên chọn là hàm chẵn (thuộc tính đối xứng)

7 Chọn hàm mịn hóa phải đủ mịn (tính mịn hóa)

¾ Hàm mịn hóa dựa trên hàm spline bậc 3 được hiểu như là hàm B-spline (hình 2.14)

Với αd là 1/ , và lần lượt được áp dụng trong bài toán 1 chiều, 2

chiều và 3 chiều Trong công thức trên,

h 15 / (7πh2) 3 / (2πh3)

R là khoảng cách tương đối giữa 2 hạt có tọa độ

và ,

x x' R r

−

= = x x' với r khoảng cách giữa hai điểm

1 0.7

-0.75 Hàm trọng số

Đạo hàm bậc nhất của hàm trọng số

-1

Hình 2.14 Hàm trọng số spline bậc ba và đạo hàm bậc nhất của nó, αd là 1/ ,

và lần lượt được áp dụng trong bài toán 1 chiều, 2 chiều và 3 chiều

Hình 2.15 Hàm trọng số Gaussian và đạo hàm bậc nhất của nó, αd là , và

lần lượt được áp dụng trong bài toán 1 chiều, 2 chiều và 3 chiều

Hình 2.16 Hàm trọng số spline bậc 5 và đạo hàm bậc nhất của nó, αd là 120 ,

và lần lượt được áp dụng trong bài toán 1 chiều, 2 chiều và 3

chiều

/ h

2

7 / (478πh ) 3 / (359πh3)

2.1.4 Những công thức chính của phương pháp SPH

2.1.4.1 Sự biểu diễn tích phân của một hàm số

Trong công thức SPH được chia thành hai bước chính Bước thứ nhất là biểu diễn dưới dạng

tích phân hay còn gọi là xấp xỉ nhân của hàm số và bước thứ hai là xấp xỉ hạt Sự biểu diễn

của một hàm dưới dạng tích phân được xấp xỉ bằng tổng các giá trị ở các hạt lân cận gần nhất

Dạng biểu diễn dưới dạng tích phân của một hàm ( )f x trong phương pháp SPH như sau:

Với f là hàm của vector vị trí trong không gian ba chiều và x δ(x x' được gọi là hàm − )

delta Dirac được định nghĩa:

Trong phương trình (2.1), Ω là thể tích khối của tích phân đó chứa vector x Phương trình

(2.1) cho thấy là một hàm số có thể biểu diễn được dưới dạng tích phân Nếu ta thay thế hàm

80

)nhân delta δ(x x' bằng một hàm mịn hóa (− W x x'− ,h) thì biểu diễn hàm f x dưới dạng ( )

mịn hóa W

h

Trong phương pháp SPH, để cho thuận tiện người ta sử dụng toán tử xấp xỉ nhân là dấu < >

nên phương trình (2.3) được viết lại:

1 Hàm phải thỏa điều kiện trực giao:

Với là hằng số liên quan đến hàm mịn hóa tại điểm và được định nghĩa là miền hỗ trợ

của hàm mịn hóa tại điểm đó Do đó miền

x Ω trong biểu diễn hàm dưới dạng tích phân chính là miền hỗ trợ

Hàm xấp xỉ nhân có độ chính xác hay còn gọi là độ chính xác bậc hai vì sai số của phép

biểu diễn tích phân SPH có thể dự đoán được bằng cách khai triển chuỗi Taylor của hàm

( ) ( ) ( )

Từ phương trình trên ta thấy rằng trong phép xấp xỉ nhân thì độ chính xác đạt đến bậc hai

Tuy nhiên, trong trường hợp ta không cần phép xấp xỉ nhân đạt đến độ chính xác cấp hai thì ta

phải chọn hàm mịn hóa sao cho không phải là hàm chẵn hoặc không thỏa điều kiện trực giao

2.1.4.2 Sự biểu diễn tích phân của đạo hàm riêng của một hàm số

Phép xấp xỉ cho toán tử div của hàm ( ) f x ký hiệu là ∇ ⋅ f( )x thu được như sau:

Tích phân thứ nhất bên vế phải của phương trình (2.13) có thể được chuyển thành tích phân

mặt S của miền tích phân Ω :

Với n là vector pháp tuyến đơn vị của mặt S G

Hàm mịn hóa W được định nghĩa trên miền hỗ trợ, miền hỗ trợ nằm bên trong miền của bài

toán (hình 2.17) Do miền hỗ trợ là miền kín nên tích phân mặt bên vế phải của phương trình

(2.14) bằng không Nếu miền hỗ trợ chồng chéo lên miền bài toán (hình 2.18) thì hàm mịn

hóa W sẽ bị cắt bỏ bằng biên, điều này có nghĩa là tích phân mặt không bằng không Trong

tình huống như vậy, ta có thể hiệu chỉnh trên biên để tích phân mặt bằng không trong phương

trình (2.14) Vì các điểm của miền hỗ trợ nằm bên trong miền bài toán nên phương trình

Từ phương trình trên, ta có thể thấy rằng toán tử div trên hàm được chuyển thành gradient

trên hàm mịn hóa Phép biểu diễn tích phân SPH của toán tử div của hàm được tính từ giá trị

của hàm và đạo hàm riêng hàm mịn hóa, điều này thích hợp hơn là lấy toán tử div trên chính

hàm đó Việc làm này rất giống với hàm dạng yếu cho kết quả ổn định của phương trình vi

phân

Miền bài toán

W

κMiền hỗ trợ của hàm mịn hóa

Hình 2.17 Miền hỗ trợ của hàm mịn hóa W nằm bên trong miền bài toán

W

x

Miền bên trong miền bài toán

Biên Miền bài toán

Miền hỗ trợ W

Hình 2.18 Miền hỗ trợ của hàm mịn hóa W giao với miền bài toán tại biên bài toán

2.1.4.3 Phép xấp xỉ hạt

Trong phương pháp SPH, hệ các hạt được biểu diễn bằng một tập hữu hạn các hạt, những hạt

này mang khối lượng và không gian chiếm giữ riêng Điều này giúp ta thu được xấp xỉ hạt,

đây chính là điểm chính trong phương pháp SPH

Việc biểu diễn tích phân liên tục có liên quan đến xấp xỉ nhân SPH (đã khai triển ở phương

trình (2.4) và (2.15)) có thể được chuyển thành dạng tổng tất cả các hạt trên miền bài toán

Nếu vi phân thể tích dx' trong biểu diễn tích phân trên tại tọa độ của hạt thứ j được thay thế

bằng thể tích hữu hạn của hạt thì thể tích hữu hạn của hạt này có quan hệ với khối lượng

của hạt bằng công thức sau:

Hàm xấp xỉ hạt cho hàm số tại hạt thứ i được viết như sau:

Phương trình (2.19) cho ta thấy giá trị của hàm tại hạt thứ i được xấp xỉ bằng cách sử dụng giá

trị trung bình có trọng số của hàm tại tất cả các hạt nằm trong miền hỗ trợ của hạt thứ i nhân

Với gradient trong phương trình trên được tính đối với hạt thứ j Xấp xỉ hạt cho hàm tại

hạt thứ i được viết như sau:

Với là khoảng cách giữa hạt thứ i và hạt thứ j Chú ý rằng r ij ∇i W ij được tính đối với hạt thứ i

nên dấu trừ trong phương trình (2.22) được loại bỏ ta được:

( )

1

( )

N j

Phương trình (2.24) cho ta thấy giá trị gradient của một hàm tại hạt thứ i được xấp xỉ bằng

cách sử dụng giá trị trung bình có trọng số của hàm bằng tổng các hạt trong miền hỗ trợ của

hạt thứ i nhân với gradient của hàm mịn hóa

Ta biết rằng khối lượng riêng ρ trong phương trình (2.19), xấp xỉ SPH cho khối lượng riêng

được tính như sau:

Phương trình (2.25) là một dạng phổ biến nhất của việc tính khối lượng riêng trong phương

pháp SPH Phương trình này cho ta thấy khối lượng riêng của hạt là trung bình có trọng số

của tất cả các hạt nằm bên trong miền hỗ trợ của hạt đó

Có thể thấy rằng, phép xấp xỉ hạt trong phương trình (2.19) và (2.24) có thể được chuyển sang

biểu diễn dưới dạng tích phân liên tục của một hàm và lấy toán tử div trên một hàm, nó sẽ

được chia ra thành tổng các tập hạt bất kỳ Việc sử dụng lấy tổng các xấp xỉ của tích phân là

điều then chốt làm cho phương pháp SPH không sử dụng lưới cho tích phân số

Chú ý là xấp xỉ hạt được tạo từ khối lượng và khối lượng riêng của hạt bên trong phương

trình Điều này có thể được áp dụng cho bài toán lưu chất với khối lượng riêng là biến số

chính Đây là lý do chính giải thích vì sao phương pháp SPH là một phương pháp phổ biến

cho bài toán động lực học lưu chất

2.2 Động lực học lưu chất – Phương trình Navier-Stocks dưới dạng Lagrangian

Phương trình chủ đạo cơ bản của động lực học lưu chất được dựa trên ba định luật bảo toàn

sau:

1) Bảo toàn khối lượng

2) Bảo toàn động lượng

3) Bảo toàn năng lượng

Phương trình chuyển động của phương pháp SPH sẽ được biểu diễn dựa trên phương trình

chủ đạo dưới dạng Lagrangian

2.2.1.Thể tích kiểm soát và vi phân của phần tử lưu chất

Đường dòng

Hình 2.20 Thể tích kiểm soát hữu hạn V dạng Lagrangian và bề mặt bao quanh S

Xét một thể tích kín có kích thước hữu hạn trong hệ thống dòng chảy lưu chất như hình 2.20

Thể tích này định nghĩa một thể tích kiểm soát V kết hợp với diện tích kiểm soát S bao lấy thể

tích kiểm soát Trong dạng Lagrangian, thể tích kiểm soát này có thể di chuyển cùng với

S

V

dòng lưu chất Vì thế, kết quả là dòng lưu chất này có thể làm giản nở, nén lại và làm biến

dạng thể tích kiểm soát, khối lượng của dòng lưu chất chứa bên trong thể tích kiểm soát

Lagrangian được giữ sao cho không đổi Thể tích kiểm soát dạng Lagrangian có kích thước

lớn và hữu hạn và nằm bên trong dòng lưu chất Các định luật bảo toàn chủ đạo được áp dụng

một cách trực tiếp đến dòng lưu chất bên trong thể tích kiểm soát Việc áp dụng định luật bảo

toàn cho lưu chất dưới dạng Lagrangian có thể cho ra kết quả dưới dạng phương trình chủ

đạo dạng tích phân

Một cách xấp xỉ khác để có thể thu được phương trình chủ đạo là sử dụng khái niệm vi phân

của phần tử lưu chất Vi phân của phần tử lưu chất (hình 2.21) có thể được xem như là một

khối rất nhỏ của dòng lưu chất đi kèm với thể tích kiểm soát rất nhỏ δV và một bề mặt kiểm

soát rất nhỏ δS bao quanh thể tích δV δV và δS có thể khác thể tích và bề mặt

Vi phân của phần tử thể tích này một mặt phải đủ lớn sao cho các giả thuyết của cơ học liên

tục vẫn còn có giá trị Mặc khác, nó phải đủ nhỏ sao cho thuộc tính vật liệu nằm bên trong nó

liên quan đến những phần tử khác Trong dạng Lagrangian, vi phân của phần tử lưu chất có

thể di chuyển dọc theo đường dòng với vector vận tốc

( , , )v v v x y z

=

v bằng với vận tốc dòng chảy tại điểm đó Ta có thể áp dụng định luật bào toàn cho vi phân của phần tử lưu chất và

phương trình chủ đạo dưới dạng phương trình đạo hàm riêng có thể được thiết lập

tích kiểm soát V dẫn đến sự thay đổi bề mặt kiểm soát S Sự thay đổi của bề mặt kiểm soát S

một lần nữa là kết quả của sự thay đổi thể tích của thể tích kiểm soát Theo hình 2.22, sự thay

đổi thể tích của thể tích kiểm soát V là do sự dịch chuyển của trong khoảng biến thiên thời

gian là:

dS t

Δ

(2.26)

Δ = Δ ⋅v n S

Với là vector đơn vị vuông góc với bề mặt n dS

Đường dòng

S V

n v dS

Hình 2.22 Sự thay đổi thể tích của thể tích kiểm soát dạng Lagrangian

Tổng sự thay đổi thể tích của thể tích kiểm soát dạng Lagrangian là tích phân trên bề mặt

2.2.2.Phương trình liên tục

V

Phương trình liên tục dựa trên bảo toàn khối lượng Áp dụng cho vi phân của phần tử lưu chất

với thể tích δ thì khối lượng của thể tích kiểm soát là:

Với m và ρ lần lượt là khối lượng và khối lượng riêng

Khi khối lượng được bảo toàn thì sự thay đổi của khối lượng theo thời gian sẽ bằng không

= − ∇ ⋅v (2.35)

2.2.3.Phương trình động lượng

Phương trình động lượng dựa trên định luật bào toàn động lượng được sử dụng trong cơ học

môi trường liên tục dựa trên định luật 2 Newton Theo định luật 2 Newton thì tổng lực tác

động lên phần tử lưu chất Lagrangian sẽ bằng khối lượng nhân với gia tốc của phần tử lưu

chất đó

Theo hình 2.23, vector định vị x=( , , )x y z và thành phần gia tốc của vi phân phần tử lưu chất

trong không gian 3 chiều là Dv x

Dt Tổng lực tác dụng lên phần tử lưu chất bao

gồm lực khối và các lực bề mặt Lực khối có thể là trọng lực bản thân, lực từ trường và có thể

là lực hoạt động tác dụng lên khối lưu chất Lực bề mặt bao gồm:

1) Áp suất tác dụng lên mặt ngoài bao quanh khối lưu chất

2) Ứng suất pháp tuyến và ứng suất tiếp sinh ra do biến dạng trượt hoặc sự thay đổi thể

tích

Hình 2.23 Lực tác động theo phương x lên phần tử lưu chất vi phân dạng Lagrangian

Xét phương x, tổng tất cả các lực tác dụng lên vi phân phần tử lưu chất Lagrangian là:

τττ

Với p là áp suất, τij là ứng suất theo phương j và vuông góc với phương trục i Nếu lực thể

tích trên một đơn vị khối lượng là F thì định luật 2 Newton được viết như sau: x

Với δij là hàm delta Dirac

2.2.4.Phương trình năng lượng

Phương trình năng lượng dựa trên định luật bảo toàn năng lượng theo nguyên lý thứ nhất của

nhiệt động lực học Năng lượng biến đổi theo thời gian bên trong vi phân phần tử lưu chất thì

sẽ bằng tổng lượng nhiệt bên trong phần tử lưu chất và công thay đổi theo thời gian do lực

hoạt động tác dụng lên thể tích và bề mặt của khối lưu chất Nếu bỏ qua nhiệt và lực thể tích

thì sự thay đổi theo thời gian của nội năng e của vi phân phần tử lưu chất được chia làm 2

phần sau:

1) Công do áp suất đẳng hướng tác dụng lên biến dạng thể tích

2) Năng lượng hao tán là do lực nhớt trượt