Sử dụng phương pháp không lưới galerkin kriging phân tích tấm dày theo lý thuyết reissner mindlin

Hồ Chí Minh, ngày…..tháng...năm…...2010 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp MSHV: 09210207 1-TÊN ĐỀ TÀI: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI

Đại Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cán bộ hướng dẫn khoa học:

Cán bộ chấm nhận xét 1: Lương Văn Hải

Cán bộ chấm nhận xét 2 : Nguyễn Minh Long

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG ĐỘC LẬP-TỰ DO-HẠNH PHÚC

Tp Hồ Chí Minh, ngày… tháng năm… 2010

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Xây dựng công trình dân dụng và công nghiệp

MSHV: 09210207

1-TÊN ĐỀ TÀI:

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI GALERKIN KRIGING PHÂN TÍCH

TẤM DÀY THEO LÝ THUYẾT REISSNER-MINDLIN 2-NHIỆM VỤ LUẬN VĂN

- Xây dựng lý thuyết phân tích tĩnh và dao động tự do tấm dày theo mô hình Mindlin bằng phương pháp không lưới Galerkin Kriging

Reissner Sử dụng lý thuyết trên để phân tích tĩnh và dao động tự do tấm mỏng, tấm dày với vài loại điều kiện biên khác nhau Lập trình tính toán tự động cho các tấm nói trên bằng ngôn ngữ lập trình Matlab

- Phân tích kết quả số, từ đó đưa ra kết luận và kiến nghị

3-NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 4-NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 5-HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN:

PGS TS ĐỖ KIẾN QUỐC; BÙI QUỐC TÍNH

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN 2 KHOA QLCHUYÊN NGÀNH

Thực hiện luận văn cao học không những là một thử thách lớn mà còn là cơ hội để tiếp thu kiến thức, học hỏi kinh nghiệm quý báu trong công việc nghiên cứu khoa học

Tác giả xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn PGS TS Đỗ Kiến Quốc Có thể nói rằng mỗi dịp gặp Thầy là một cơ hội tốt để tác giả nhận thấy những khuyết điểm của mình trong nghiên cứu Những lời động viên của Thầy trong những ngày đầu làm luận văn và những ngày tham dự Hội Nghị Cơ Học tại Thái Nguyên là nguồn động lực lớn lao

để tác giả hoàn thành luận văn trong thời gian sớm nhất có thể Một lần nữa xin cảm ơn Thầy

Tác giả xin gởi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành nhất đến Thầy đồng hướng dẫn TS Bùi Quốc Tính, trưởng bộ môn Cơ kết cấu, Đại học Siegen, Cộng hòa liên bang Đức Luận văn này chắc sẽ không hoàn thành kịp thời hạn nếu không có sự nhiệt tình hướng dẫn của Thầy Thầy không những đề xuất đề tài luận văn mà còn cung cấp những tài liệu cần thiết, chỉ bảo cho tác giả cách nghiên cứu, cách thể hiện kết quả cũng như là cách thể hiện nội dung để hoàn thành luận văn trong thời gian nhanh nhất có thể Tác giả rất biết ơn sự giúp đỡ này

Xin cảm ơn quý Thầy, Cô đã truyền đạt kiến thức cho tác giả trong suốt thời gian của khóa học Cảm ơn những người bạn, những người thân trong gia đình đã luôn bên cạnh động viên tác giả về mặt tinh thần

Sau cùng, tác giả xin gởi lời chúc sức khỏe, sự thành công trong công việc đến với quý Thầy, Cô giảng dạy tại trường Đại học Bách khoa

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 06 tháng 12 năm 2010

Dành cho gia đình của tôi!

Tóm tắt

Phân tích kết cấu tấm Reissner–Mindlin bằng một phương pháp không lưới mới Phép nội suy Moving Kriging, được dùng để xây dựng hàm dạng, kết hợp với phương pháp không lưới phần tử tự do Galerkin Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động được thay thế bằng phép nội suy Moving Kriging, có tính chất hàm kronecker delta Vì vậy điều này làm cho phương pháp đề xuất hiệu quả trong việc áp đặt điều kiện biên chính và quá trình thực hiện của nó giống như phương pháp phần tử hữu hạn Độ võng và các góc xoay của tấm dày được xấp xỉ bằng phép nội suy Moving Kriging Dạng yếu được sử dụng để rời rạc phương trình chủ đạo của tấm Phân tích tĩnh và dao động tự do của tấm được xem như là nội dung chính Một vài thí dụ số với vài loại điều kiện biên khác nhau của tấm được khảo sát để chứng minh tính ứng dụng, chính xác và hiệu quả của phương pháp này

Abstract

Reissner-Mindlin plate structures are analyzed by a novel meshfree method The moving Kriging interpolation method used for constructing the shape function is employed to be incorporated with the standard element-free Galerkin method The moving least square is obviously replied by such the moving Kriging interpolation, which possesses the Kronecker’s delta property This consequently makes the proposed method effective in imposing the essential boundary condition and its procedure is carried out similar as of the finite element method Obviously, the deflection and rotations of the thick plate are approximated by the Moving Kriging interpolation method A standard weak form is employed to discrete the governing equation of the plate Static and free vibration analyses of such the plates are in the main considered Several numerical examples with different boundary conditions are thus examined in order to demonstrate the applicability, accuracy and effectiveness of the present method

Lời cảm ơn……… i

Tóm tắt……… iii

Mục lục……… v

Danh mục hình vẽ……… vii

Danh mục bảng tính……… ix

1 Giới thiệu……… 1

1.1 Tổng quan……… 1

1.2 Mục đích của đề tài……… 4

1.3 Kết cấu luận văn……… 4

2 Các phương trình cơ bản của tấm Reissner–Mindlin……… 6

2.1 Phương trình chủ đạo của tấm dày với bài toán tĩnh……… 6

2.2 Phương trình chủ đạo của tấm dày với bài toán dao động tự do………… 11

3 Phương pháp không lưới Galerkin Kriging (phương pháp MGK)……… 12

3.1 Miền giá đỡ……… 12

3.2 Miền ảnh hưởng……… 13

3.3 Xác định kích thước miền giá đỡ……… 13

3.4 Phép nội suy Moving Kriging……… 15

3.5 Tính chất toán học của nội suy Moving Kriging……… 22

3.6 Ảnh hưởng của hệ số  lên hàm Gaussian……… 24

3.7 Dạng yếu Galerkin……… 26

3.8 Tích phân Gauss (phép cầu phương Gauss)……… 31

4 Áp dụng phương pháp MGK phân tích tấm Reissner–Mindlin……… 34

4.1 Xấp xỉ độ võng và góc xoay……… 34

4.2 Các phương trình rời rạc cho bài toán tĩnh……… 37

4.3 Các phương trình rời rạc cho bài toán dao động tự do……… 41

5 Kết quả số……… 45

5.1.3 Ảnh hưởng của hệ số α lên độ võng tại tâm tấm……… 51

5.1.4 Áp dụng phương pháp MGK để tính nội lực tấm theo 2 mô hình Reissner–Mindlin và mô hình tấm cổ điển Kirchhoff……… 53

5.2 Thí dụ 2: Phân tích tĩnh tấm dày theo lý thuyết Reissner–Mindlin………… 57

5.2.1 Ảnh hưởng của lưới nút lên độ võng tại tâm tấm……… 60

5.2.2 Ảnh hưởng của hệ số θ lên độ võng tại tâm tấm……… 61

5.2.3 Ảnh hưởng của hệ số α lên độ võng tại tâm tấm……… 63

5.3 Thí dụ 3: Phân tích dao động tự do tấm mỏng theo lý thuyết Reissner– Mindlin 64

5.3.1 Ảnh hưởng của lưới nút lên hệ số tần số dao động tự do………… 68

5.3.2 Ảnh hưởng của θ lên hệ số tần số dao động tự do……… 72

5.3.3 Ảnh hưởng của α lên hệ số tần số dao động tự do……… 74

5.4 Thí dụ 4: Phân tích dao động tự do tấm dày theo lý thuyết Reissner– Mindlin……… 77

5.4.1 Ảnh hưởng của lưới nút lên hệ số tần số dao động tự do………… 81

5.4.2 Ảnh hưởng của θ lên hệ số tần số dao động tự do……… 84

5.4.3 Ảnh hưởng của α lên hệ số tần số dao động tự do……… 86

5.4.4 Ảnh hưởng của chiều dày tấm lên hệ số tần số dao động tự do… 89

5.4.5 Ảnh hưởng của điều kiện biên tấm lên hệ số tần số dao động tự do 91

6 Kết luận và kiến nghị hướng phát triển đề tài……… ….102

6.1 Kết luận 102

6.2 Kiến nghị hướng phát triển đề tài 105

Tài liệu tham khảo 106 Phụ lục

2.1 Mô hình Kirchhoff và mô hình Reissner–Mindlin……… …7

3.1 Miền giá đỡ hình tròn và hình chữ nhật……… 12

3.2 Miền ảnh hưởng của nút……… 13

3.3 Bố trí nút trong bài toán 1 chiều……… 18

3.4 Hàm dạng và các đạo hàm của nó trong bài toán 1 chiều……… 20

3.5 Hàm dạng tại tâm tấm và các đạo hàm của nó……… 21

3.6 Hàm Gaussian tại tâm tấm ứng với các giá trị θ khác nhau……… 25

4.1 Thuật toán phân tích tĩnh tấm dày theo lý thuyết Reissner–Mindlin bằng phương pháp không lưới MGK……… …43

4.2 Thuật toán phân tích dao động tự do tấm dày theo lý thuyết Reissner–Mindlin bằng phương pháp không lưới MGK……… 44

5.1 Sự phân bố nút trong tấm 2 m x 2 m ……… 47

5.2 Ảnh hưởng của lưới nút lên độ võng max tại tâm tấm……….48

5.3 Độ võng tấm tính theo lý thuyết tấm cổ điển (trái) và Reissner–Mindlin (phải) 49

5.4 Ảnh hưởng của θ lên độ võng tại tâm tấm………50

5.5 Ảnh hưởng của hệ số α lên độ võng tại tâm tấm……… 52

5.6 Mômen Mx tính theo mô hình Reissner–Mindlin và mô hình tấm cổ điển…… 54

5.7 Mômen My tính theo mô hình Reissner–Mindlin và mô hình tấm cổ điển…… 55

5.8 Mômen Mxy tính theo mô hình Reissner–Mindlin và mô hình tấm cổ điển……56

5.9 Phân bố nút 21 x 21 của tấm 10 m x 10 m………57

5.10 Độ võng và các góc xoay của tấm……….59

5.11 Ảnh hưởng của lưới nút lên độ võng tại tâm tấm……… 60

5.12 Ảnh hưởng của hệ số θ lên độ võng tại tâm tấm………62

5.13 Ảnh hưởng của hệ số α lên độ võng tại tâm tấm………63

5.14 Phân bố nút 21 x 21 của tấm 10 m x 10 m……….65

5.15 Hệ số tần số của dao động tự do theo phương ngang……….66

5.16 Các dạng dao động đầu tiên……… …68

giải giải tích khi lưới nút thay đổi……… 71

5.19 Ảnh hưởng của θ lên hệ số tần số 1 của dao động tự do……… ……73

5.20 Sai số (%) của hệ số tần số 1 giữa lời giải tính theo phương pháp MGK và lời giải giải tích khi θ thay đổi……… …73

5.21 Ảnh hưởng của α lên hệ số tần số1 của dao động tự do……… …76

5.22 Sai số (%) của hệ số tần số 1 giữa lời giải tính theo phương pháp MGK và lời giải giải tích khi α thay đổi……… 76

5.23 Lưới nút 21 x 21 của tấm vuông 10 m x 10 m……… 78

5.24 Hệ số tần số góc  của dao động tự do theo phương ngang……… 79 1 5.25 Các dạng dao động đầu tiên………81

5.26 Ảnh hưởng của lưới nút lên hệ số tần số dao động tự do……… …82

5.27 Sai số (%) của hệ số tần số 1 giữa lời giải tính theo phương pháp MGK và

lời giải giải tích khi lưới nút thayđổi……… 83

5.28 Ảnh hưởng của θ lên hệ số tần số 1 của dao động tự do……… …85

5.29 Sai số (%) của hệ số tần số 1 giữa lời giải tính theo phương pháp MGK và

lời giải giải tích khi θ thay đổi……… 85

5.30 Ảnh hưởng của α lên hệ số tần số 1 của dao động tự do……… 88

5.31 Sai số (%) của hệ số tần số 1 giữa lời giải tính theo phương pháp MGK và lời giải giải tích……… 88

5.32 Ảnh hưởng của chiều dày lên hệ số tần số dao động tự do của tấm………… 90

5.33 Hệ số tần số tính theo phương pháp MGK, EFG, lời giải giải tích – biên SSSS 92

5.34 Hệ số tần số tính theo phương pháp MGK, EFG – biên CCCC……….92

5.35 Hệ số tần số tính theo phương pháp MGK, EFG – biên SCSC……… 93

5.36 Các dạng dao động đầu tiên, trường hợp biên CCCC……… 95

5.37 Các dạng dao động đầu tiên, trường hợp biên SCSC……… 97

5.38 Các dạng dao động đầu tiên, trường hợp biên CCCF……… 99

5.39 Các dạng dao động đầu tiên, trường hợp biên CFFF………101

3.1 Tích phân Gauss hai chiều……….33

5.1 Ảnh hưởng của mật độ lưới nút lên độ võng tại tâm tấm……… 47

5.2 Ảnh hưởng của θ lên độ võng tại tâm tấm……… 49

5.3 Ảnh hưởng của hệ số α lên độ võng tại tâm tấm……… 51

5.4 Mômen Mx tính theo mô hình Reissner–Mindlin và mô hình tấm cổ điển… 54

5.5 Mômen My tính theo mô hình Reissner–Mindlin và mô hình tấm cổ điển… 55

5.6 Mxy tính theo mô hình Reissner–Mindlin và mô hình tấm cổ điển……… 56

5.7 Độ võng tại tâm tấm được tính theo phương pháp MGK và lời giải giải tích… 58

5.8 Ảnh hưởng của lưới nút lên độ võng tại tâm tấm……… 60

5.9 Ảnh hưởng của θ lên độ võng tại tâm tấm……… 61

5.10 Ảnh hưởng của hệ số α lên độ võng tại tâm tấm………63

5.11 Hệ số tần số 1 của dao động tự do theo phương ngang……… 65

5.12 Hệ số tần số 1 của dao động tự do theo phương ngang………68

5.13 Hệ số tần số  của dao động tự do theo phương ngang………69 1 5.14 Hệ số tần số  của dao động tự do theo phương ngang………69 1 5.15 Bảng tổng hợp sai số của 1tính theo phương pháp MGK so với lời giải tích ứng với các lưới nút khác nhau……… 70

5.16 Ảnh hưởng của θ lên hệ số tần số dao động tự do theo phương ngang……… 72

5.17 Sai số (%) của hệ số tần số 1 giữa lời giải tính theo phương pháp MGK và lời giải giải tích khi θ thay đổi……… 72

5.18 Ảnh hưởng của α lên hệ số tần số 1 của dao động tự do……… 75

5.19 Sai số (%) của hệ số tần số 1 giữa lời giải tính theo phương pháp MGK và lời giải giải tích khi α thay đổi……… 75

5.20 Hệ số tần số  của dao động tự do theo phương ngang……… 78 1 5.21 Ảnh hưởng của lưới nút lên hệ số tần số dao động tự do……… 81



giải giải tích khi θ thay đổi……… 84

5.26 Sai số (%) của hệ số tần số 1 tính theo phương pháp MGK so với lời giải tích khi

α thay đổi……… 87 5.27 Ảnh hưởng của chiều dày lên hệ số tần số dao động tự do theo phương ngang…90 5.28 Ảnh hưởng của điều kiện biên lên hệ số tần số dao động tự do……….91

Vì vậy, việc phát triển các phương pháp số cho tính toán xấp xỉ thì hoàn toàn cần thiết nhằm đáp ứng cho nhu cầu trong phân tích ứng dụng của các bài toán kỹ thuật Như được biết rằng, phương pháp tính toán số đã ra đời và phát triển không ngừng cho tới ngày nay

và hầu hết chúng được ứng dụng rộng rãi trong tính toán kỹ thuật hiện đại Phương pháp phần tử hữu hạn (được gọi tắt là phương pháp PTHH) được biết như là một phương pháp được áp dụng rộng rãi, phổ biến, và hữu hiệu nhất Vài năm gần đây, một lớp phương pháp tính toán số mới, hiệu dụng, đã xuất hiện và có tên là phương pháp không lưới (meshfree hay meshless) ví dụ như phương pháp không lưới phần tử tự do Galerkin (element-free Galerkin method được gọi tắt là phương pháp EFG), phương pháp không lưới Local Petrov Galerkin (meshless local Petrov-Galerkin method được gọi tắt là phương pháp MLPG), phương pháp không lưới nội suy vòng tròn điểm (meshless radial point interpolation method được gọi tắt là phương pháp RPIM), phương pháp không lưới nội suy vòng tròn điểm địa phương (meshless local radial point interpolation method

truyền thống Trong phương pháp không lưới, miền bài toán được rời rạc bởi một tập các nút sử dụng cho việc tính toán nội suy, xấp xỉ vì vậy khái niệm phần tử hay chia lưới trong phương pháp PTHH không còn được dùng nữa

Cho đến nay đã có nhiều nghiên cứu áp dụng phương pháp không lưới để phân tích tấm Reissner-Mindlin Điển hình là các nghiên cứu sau : sử dụng phương pháp không lưới dựa vào phép nội suy tái sinh nhân chất điểm (RKPM) để phân tích dao động tự do

và ổn định tấm biến dạng trượt [26], sử dụng phương pháp không lưới MLPG phân tích dao động tự do và dao động cưỡng bức tấm dày hình chữ nhật theo lý thuyết tấm biến dạng trượt bậc cao [33], áp dụng và phát triển phương pháp EFG phân tích tĩnh và phân tích dao động tự do tấm biến dạng trượt [27] [12] [31], trong khi đó phương pháp nội suy vòng tròn điểm cũng đã được áp dụng cho phân tích tấm dày [43]

Trong phân tích tấm Reissner-Mindlin, một hiện tượng rất đáng chú ý là shear-locking khi dùng lý thuyết tấm dày để phân tích tấm mỏng Kỹ thuật loại bỏ shear-locking đã được phát triển rất đầy đủ trong phương pháp PTHH [34] [23] [10] [40], và trong phương pháp không lưới cũng đã có nhiều cách tiếp cận khác nhau để xử lý loại bỏ shear-locking

Ví dụ chẳng hạn, sử dụng cơ sở đa thức bậc cao trong phương pháp h-p cloud [18], kỹ thuật tích phân nút ổn định được áp dụng cho cả phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (được gọi tắt là phép xấp xỉ MLS) và phép xấp xỉ tái sinh nhân chất điểm (được gọi tắt là phép xấp xỉ RK) [42], sử dụng hàm xấp xỉ góc xoay là đạo hàm của hàm xấp xỉ độ võng

để khử shear-locking [13] [21] và kỹ thuật loại bỏ shear-locking của Kanok-Nukulchai được áp dụng trong luận văn này

Hầu hết các phương pháp không lưới đều có những khó khăn giống nhau trong việc áp đặt các điều kiện biên vì hàm dạng không thỏa mãn tính chất hàm kronecker delta và vì thế việc áp đặt các điều kiện biên không được thực hiện trực tiếp như trong phương pháp PTHH Vì lý do này nên đã có nhiều nghiên cứu được giới thiệu để điều chỉnh điều kiện biên nhằm khắc phục những khó khăn trên bằng các phương pháp khác nhau, ví dụ chẳng hạn, phương pháp nhân tử Lagrange [3], phương pháp phạt [27] [11] hay là phương pháp

kết hợp với phương pháp PTHH [5] [22] [17] [20],v.v Phương pháp được sử dụng trong luận văn này, phương pháp không lưới Galerkin Kriging (MGK), được phát triển dựa trên phương pháp EFG Phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (MLS) được thay thế bằng phép nội suy Moving Kriging (MK) có hàm dạng thỏa tính chất hàm kronecker delta và

do đó đã khắc phục được những khó khăn liên quan đến điều kiện biên và quá trình thực hiện của phương pháp MGK hoàn toàn giống như phương pháp PTHH

Phương pháp MGK lần đầu tiên được áp dụng để giải bài toán truyền nhiệt một chiều [19] Những nghiên cứu sau đó của phương pháp MGK được tìm thấy trong bài toán phẳng 2 chiều [38] [39], kết cấu vỏ [35], phân tích tĩnh tấm mỏng [6], kết cấu thông minh [7], phân tích động lực học kết cấu [8], phân tích ổn định và dao động tấm trực hướng [9], phân tích tĩnh và dao động tự do tấm dày theo lý thuyết Reissner-Mindlin [44]

Tại Việt Nam phương pháp không lưới vẫn còn mới mẻ, sau đây là các nghiên cứu trong

thời gian qua: Nguyễn Hoài Sơn đã trình bày phương pháp điều chỉnh nhân tử

(Reproduccing Kernel Particle Method(RKPM)) là một trong những phương pháp không

lưới, tại hội nghị quốc tế Nha Trang (2000) Phạm Tiến Cường-luận văn cao học trường

đại học Bách Khoa TPHCM với đề tài ứng dụng phương pháp không lưới

Petrov-Galerkin giải bài toán dầm chịu uốn(2005) Bùi Quốc Tính, Ngô Thành Phong-tạp chí

phát triển khoa học và công nghệ với nghiên cứu áp dụng phương pháp không lưới

meshless cho bài toán ứng suất phẳng(2005) Trương Tích Thiện, Nguyễn Ngọc Minh,

Hà Long Vân (đại học Bách Khoa TPHCM) đã nghiên cứu giải quyết bài toán đàn hồi

trường hợp ứng suất phẳng bằng phương pháp không lưới Meshless Dương Quốc

Hùng- luận văn cao học trường đại học Bách Khoa TPHCM với đề tài ứng dụng phương

pháp Element Free Galerkin(EFG) giải bài toán phẳng lý thuyết đàn hồi (2006) Nguyễn

Thành Quốc- luận văn cao học trường đại học Bách Khoa TPHCM với đề tài phân tích

động lực học bài toán đàn hồi 2D bằng phương pháp không lưới (Meshless) (2008) Bùi

Quốc Tính, Vũ Đỗ Huy Cường, Ngô Thành Phong - Phân tích tấm mỏng bằng phương

pháp không lưới Galerkin cho bài toán uốn tấm(2008)

1.2 Mục đích của đề tài

Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu, áp dụng phương pháp MGK để phân tích tĩnh và dao động tự do tấm dày theo lý thuyết Reissner-Mindlin với vài loại điều kiện biên khác nhau

Moving Kriging Phương trình của tấm thì được rời rạc trở thành dạng yếu thông qua nguyên lý biến phân Galerkin Trong phép xấp xỉ này, hiện tượng shear-locking khi sử dụng lý thuyết tấm dày để phân tích tấm mỏng thì được loại bỏ bởi việc sử dụng kỹ thuật : hàm dạng sử dụng để xấp xỉ góc xoay là đạo hàm của hàm dạng sử dụng để xấp xỉ độ võng Các thí dụ số thì được tính toán lập trình trên ngôn ngữ Matlab

Trong phân tích tĩnh, độ võng và các góc xoay là các biến chính của bài toán Kết quả

số tính toán bằng phương pháp MGK thì được so sánh với lời giải giải tích hoặc là các kết quả thu được từ các phương pháp số khác Tương tự, trong phân tích dao động tự do, tần số dao động được xem là nghiệm của bài toán cũng được so sánh với lời giải giải tích hoặc là các kết quả số hiện có

1.3 Kết cấu luận văn

Luận văn được trình bày trong 6 chương như sau :

Chương 1: Trình bày tổng quan về phương pháp không lưới Tình hình áp dụng các phương pháp không lưới cho phân tích tấm dày theo lý thuyết Reissner-Mindlin cũng như

là tình hình phát triển của phương pháp không lưới Galerkin Kriging (phương pháp MGK)

Chương 2: Chương này trình bày các phương trình cơ bản của tấm Reissner-Mindlin gồm có: các phương trình chủ đạo cho bài toán tĩnh và bài toán dao động tự do, các công thức tính chuyển vị, ứng suất, biến dạng, nội lực

Chương 3: Trình bày nội dung của phương pháp MGK Các khái niệm miền giá đỡ, miền ảnh hưởng, phép nội suy Moving Kriging, dạng yếu Galerkin, phương pháp tích phân Gauss sẽ được trình bày chi tiết

Chương 4: Chương này trình bày lý thuyết tính tấm dày theo mô hình Mindlin bằng phương pháp không lưới MGK Phép nội suy Moving Kriging được dùng

Reissner-để xấp xỉ độ võng và các góc xoay Nguyên lý Hamilton được dùng Reissner-để thiết lập các phương trình rời rạc cho bài toán tĩnh và bài toán dao động tự do của tấm dày

Chương 5: Trình bày các thí dụ số phân tích tĩnh và dao động tự do các tấm có các dạng hình học với các điều kiện biên khác nhau Kết quả được so sánh với lời giải giải tích nhằm chứng minh tính chính xác và hiệu quả của phương pháp sử dụng

Chương 6: Trình bày kết luận: những ưu điểm, khó khăn thường gặp khi sử dụng phương pháp MGK Từ đó đề xuất những hướng nghiên cứu mới trong tương lai

Chương 2

Các phương trình cơ bản của tấm Reissner–Mindlin

2.1 Phương trình chủ đạo của tấm dày với bài toán tĩnh [25] [41]

Trong lý thuyết tính tấm mỏng, với giả thiết Kirchhoff, các biến dạng trượt  ZXvà

ZY

là kích thước nhỏ nhất của mặt trung bình tấm) là không đủ nhỏ thì sự bỏ qua các biến dạng này là không đầy đủ và không thể bỏ qua

Đầu tiên, Reissner xem rằng các góc xoay của các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung bình tấm trong các mặt phẳng xz và yz, cùng với hàm độ võng được xem là các biến độc lập trong lý thuyết tính toán Nhưng sau đó, Mindlin đã đơn giản hóa giả thiết này và xem rằng các đoạn thẳng pháp tuyến này trước và sau biến dạng vẫn còn thẳng nhưng không

trung bình) vẫn xem như bỏ qua và bằng 0 (như giả thiết Kirchhoff)

Hình 2.1 Mô hình Kirchhoff và mô hình Reissner–Mindlin

Theo giả thiết Reissner–Mindlin chuyển vị của tấm có thể biểu diễn bởi:

U =

u v w

y yy

zz

y x

xy

z x z y

y xz

yz

z x z y w

z z

y x x

với

ε=

xx yy xy xz yz

z z

y x x

Cũng tương tự trong sức bền, hợp lực của các ứng suất phân bố theo bề dày tấm trên 1 đơn vị dài được gọi là các thành phần ứng lực của tấm hay thường gọi là nội lực tấm

x

y x

y

y x

Q KGh

x W

xy x

x

y

y x

M M

x y

3 2 2

12 12

xy x

y x

Chương 3

Phương pháp không lưới Galerkin

Kriging (phương pháp MGK)

3.1 Miền giá đỡ [27]

Ta tạo miền đại diện của bài toán bằng cách bố trí một tập các nút bên trong và trên

biên miền bài toán Các nút có thể được bố trí có quy tắc hoặc là bất quy tắc Độ dày đặc

của các nút phụ thuộc vào yêu cầu tính chính xác của bài toán và tốc độ xử lý của máy

tính đang dùng

Để tăng tính chính xác của bài toán thì những nơi có biến dạng lớn ta bố trí nút dày

đặc hơn những vị trí khác Để nội suy chuyển vị của 1 điểm nào đó trong miền bài toán,

ta cần xây dựng miền giá đỡ và xác định chuyển vị của điểm thông qua chuyển vị của các

nút trong miền giá đỡ Miền giá đỡ có nhiều dạng hình học khác nhau hình vuông, hình

chữ nhật, hình tròn, v.v

Hình 3.1 Miền giá đỡ hình tròn và hình chữ nhật

3.2 Miền ảnh hưởng [27]

Miền ảnh hưởng là miền 1 nút có ảnh hưởng ở đó Nó đi liền với nút, ngược lại với

miền giá đỡ đi liền với 1 điểm không nhất thiết là 1 nút Dùng miền ảnh hưởng là 1 cách

khác để chọn nút cho việc nội suy, và nó vẫn tốt cho các nút phân bố không đều Miền

ảnh hưởng được xác định cho mỗi nút trong miền bài toán, và nó có thể khác nhau từ nút

này sang nút khác

Hình 3.2 Miền ảnh hưởng của nút

Hình 3.2 biểu diễn miền ảnh hưởng của 3 nút 1, 2, 3 Bán kính của 3 miền ảnh hưởng

3.3 Xác định kích thước miền giá đỡ [6][27]

Trong phương pháp không lưới, tính chính xác của phép nội suy phụ thuộc vào số nút

trong miền giá đỡ của điểm muốn nội suy

Trong đó

dm là bán kính miền giá đỡ,

dc là khoảng cách trung bình giữa các nút,

 là hệ số của bán kính miền giá đỡ

)11

(2

2(

2

1

ntheta

R R

nR

nR R

L, H: chiều dài các cạnh theo phương x, y,

nL, nH: số nút trên các cạnh theo phương x, y,

R, nR: bán kính miền bài toán, và số nút trên bán kính, ntheta: số nút trên cung tròn

sẽ cho lời giải tốt Trong bài toán 2D,  được chọn sao cho bán kính dm đủ lớn để có ít

nhất là 6 nút trong miền ảnh hưởng của 1 điểm, nhằm tránh sự suy biến của ma trận

momen A (sẽ được trình bày chi tiết ở 3.6) Cận trên và cận dưới của  , tức là số 4 và số

2, ta có được là do kinh nghiệm tính toán  không được quá bé và cũng không được

quá lớn vì nếu  quá bé thì ma trận A bị suy biến dẫn đến kết quả không chính xác

Ngược lại, nếu như  quá lớn thì sẽ có quá nhiều nút trong miền ảnh hưởng của 1 điểm,

dẫn đến kích thước ma trận cứng, véctơ tải trọng, ma trận khối lượng sẽ là quá lớn và khi

ghép nối các ma trận nút để được các ma trận và véctơ tải trọng tổng thể ta sẽ ghép nối

những ma trận, véctơ có kích thước lớn như vậy, điều này là không cần thiết Như vậy

trong bài toán 2D ta nên chọn 2 4

3.4 Phép nội suy Moving Kriging [6] [19] [38] [39]

Giống như phép xấp xỉ bình phương tối thiểu động (gọi tắt là phép xấp xỉ MLS), nội

lân cận của điểm x, xbao gồm các nút Si, i=1,2…,nc, với nc là tổng số nút trong miền

xỉ uh(x) tại một điểm x trong xđược định nghĩa như sau:

)()

(

1

x

x x

p

m p p

(3.6)

Cơ sở tuyến tính trong bài toán 1 chiều là:

với

R[R(si,sj)]: là ma trận tương thích nc x nc,

R(si,sj): là hàm tương thích giữa nút si và nút sj trong miền  x

) ,

) , ( ) (

1

x s

x s x

jI j

j

jI i

i(x) p ,(x)A r,(x)B

,

Sau đây là 1 vài hình ảnh của hàm dạng và các đạo hàm của nó trong bài toán 1 chiều,

miền bài toán [0, 1] gồm 6 nút như hình vẽ, hệ số tương thích  = 50

Hình 3.3 Bố trí nút trong bài toán 1 chiều

a Hàm dạng trong bài toán 1 chiều

b Đạo hàm bậc nhất của hàm dạng trong bài toán 1 chiều

c Đạo hàm cấp 2 của hàm dạng trong bài toán 1 chiều

Hình 3.4 Hàm dạng và các đạo hàm của nó trong bài toán 1 chiều

Sau đây là 1 vài hình ảnh của hàm dạng tại tâm tấm và các đạo hàm của nó ứng với

tấm vuông kích thước 2 m x 2 m, lưới nút 5 x 5, α = 2.5,  = 3.5

Hình 3.5 Hàm dạng tại tâm tấm và các đạo hàm của nó

3.5 Tính chất toán học của nội suy Moving Kriging [6] [19] [38]

[39]

Tính chất Kronecker-Delta

Một trong những tính chất quan trọng nhất của hàm dạng Moving Kriging là tính chất

kronecker delta Tính chất này giúp ta có thể áp đặt điều kiện biên trực tiếp, không cần

phải điều chỉnh điều kiện biên như những phương pháp không lưới khác

Hàm dạng của phép nội suy Moving Kriging:

j

jI j

I(x) p (x)A r (x)B

Có thể viết dưới dạng ma trận:

Trong đó P, R, A, B đã được định nghĩa trong (3.10), (3.12), (3.16), (3.17) Thay B

trong (3.17) vào (3.22) ta được:

)]

(

Tính ổn định

Một tính chất khác của hàm dạng MK là nội suy MK có thể tạo ra bất kỳ hàm nào

với α là véctơ chứa các hệ số tùy ý Xét trên toàn miền bài toán thì:

Trong thực hành, nếu cơ sở đa thức bao gồm tất cả là các hằng số và đa thức tuyến tính,

nó sẽ tạo ra chính xác một đa thức tổng quát, nghĩa là:

1

( ) 1x

n I

3.6 Ảnh hưởng của hệ số θ lên hàm Gaussian [6] [19] [38] [39]

Với bài toán tĩnh, hàm Gausian được tính thông qua công thức

2

) ,

r  x  x : khoảng cách giữa 2 nút xi và xj,

:

 là hệ số tương thích,  0

Xét tấm vuông 10 m x 10 m, lưới nút 101 x 101 Ta vẽ hàm Gaussian tại điểm tâm tấm

ứng với các giá trị θ khác nhau nhằm mục đích khảo sát sự ảnh hưởng của θ lên hàm

Gausian

c Hàm Gaussian tại tâm với θ=5 d Hàm Gaussian tại tâm với θ=20

Hình 3.6 Hàm Gaussian tại tâm tấm ứng với các giá trị θ khác nhau

Hàm Gaussian tại tâm tấm ứng với 6 giá trị θ khác nhau được biểu diễn trên 6 hình vẽ

Ta nhận thấy khi hệ số tương thích θ thay đổi thì hàm Gaussian có sự thay đổi mạnh mẽ

về hình dạng Điều này cho thấy sự ảnh hưởng của hệ số θ lên hàm Gaussian

3.7 Dạng yếu Galerkin [27]

Theo nguyên lý Hamilton, ta có:

2 1

0

t

t Ldt

 là năng lượng biến dạng,

Wf là công của ngoại lực

Động năng của hệ được định nghĩa như sau:

1

T m

 : khối lượng riêng của tấm

Năng lượng biến dạng của vật thể đàn hồi được biểu diễn như sau:

Công của ngoại lực được định nghĩa như sau:

z

b b b

t: véctơ tải tác dụng trên biên  của vật thể

Từ (3.33), (3.34), (3.36), (3.37) hàm Lagrange được viết lại như sau: