Phân tích tĩnh và dao động tự do kết cấu tấm composite lớp có chứa lớp áp điện bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES FEM

TPHCM, ngày 05 tháng 07 năm 2010 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành: Xây dựng dân dụng và công nghiệp MSHV: 09210196 I - TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO TẤM COMPOSITE

CHUYÊN NGÀNH: XÂY DỰNG DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP

MÃ SỐ NGÀNH: 60.58.20

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 12 NĂM 2010

TPHCM, ngày 05 tháng 07 năm 2010

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Chuyên ngành: Xây dựng dân dụng và công nghiệp MSHV: 09210196

I - TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH TĨNH VÀ DAO ĐỘNG TỰ DO TẤM COMPOSITE

LỚP CÓ CHỨA LỚP ÁP ĐIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN DỰA TRÊN CẠNH ES-FEM

II - NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

Phát triển và áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM kết hợp với lý thuyết tấm Reissner-Mindlin có kể đến biến dạng trượt bậc nhất FSDT cho:

1 Phân tích tĩnh tấm composite lớp và tấm composite lớp có chứa lớp áp điện

2 Phân tích dao động tự do tấm composite lớp và tấm composite lớp có chứa lớp áp điện

III - NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 05/07/2010

IV - NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 06/12/2010

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CN BỘ MÔN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học : TS NGUYỄN XUÂN HÙNG

Cán bộ chấm nhận xét 1: PGS.TS NGUYỄN THỊ HIỀN LƯƠNG

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn của mình đến các Thầy hướng dẫn

khoa học là TS.Nguyễn Xuân Hùng và NCS.Thái Hoàng Chiến, những người đã

đã đưa ra gợi ý đầu tiên để hình thành nên ý tưởng của đề tài, khuyên bảo tôi rất

nhiều về cách nhận định đúng đắn trong những vấn đề nghiên cứu, các tiếp cận

nghiên cứu hiệu quả cũng như nguồn tài liệu quý báu Với sự hướng dẫn tận tình, và

luôn động viên tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn của các Thầy hướng dẫn

đã giúp Tôi đạt đến kết quả nghiên cứu cuối cùng

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến PGS.TS Bùi Công Thành (Cơ kết cấu nâng cao),

PGS.TS Nguyễn Thị Hiền Lương (Cơ học vật rắn biến dạng và Ổn định công trình),

PGS.TS Chu Quốc Thắng (Phương pháp phần tử hữu hạn và Kết cấu Tấm vỏ),

PGS.TS Đỗ Kiến Quốc (Động lực học công trình), TS Lê Đình Hồng (Phương

pháp phần tử hữu hạn), TS Nguyễn Trọng Phước (Động lực học công trình),

TS Hồ Hữu Chỉnh (Kết cấu Bê tông cốt thép nâng cao), TS Ngô Hữu Cường

(Phân tích phi tuyến kết cấu), TS Nguyễn Minh Long (Cơ học rạn nứt) là các

thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức và phương pháp

học tập, nghiên cứu mới

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy và những người bạn trong Phòng Cơ học

Tính toán (Division of Computational Mechanics) – Đại học Tôn Đức Thắng

TPHCM đã luôn động viên, chia sẻ và giúp đỡ tôi trong thời gian làm việc tại Phòng

Và cuối cùng tôi muốn gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, cha mẹ và

em gái đã luôn bên cạnh động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể hoàn

thành tốt luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn!

TP.Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2010.

TÓM TẮT

Phân tích tĩnh và dao động tự do kết cấu tấm composite lớp

có chứa lớp áp điện bằng phương pháp phần tử hữu hạn trơn

dựa trên cạnh ES-FEM

Phan Đào Hoàng Hiệp

Trong đề tài luận văn thạc sỹ này, phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa

trên cạnh ES-FEM (the edge-based smoothed finite element method) được phát triển

cho bài toán phân tích tĩnh và dao động tự do của kết cấu tấm composite lớp và tấm

composite lớp có chứa lớp áp điện Biến dạng trượt do lực cắt sẽ được kể tới theo lý

thuyết tấm Reissner-Mindlin, do đó cơ sở lý thuyết tấm được dựa trên lý thuyết biến

dạng trượt bậc nhất FSDT Miền hình học được rời rạc thành lưới phần tử tam giác

ba nút với năm bậc tự do cơ cho mỗi nút và một bậc tự do điện thế cho mỗi lớp áp

điện Trong phương pháp ES-FEM, ma trận độ cứng được tính toán bởi kỹ thuật

trơn hóa biến dạng trên miền trơn (smoothing domains) dựa trên cạnh của phần tử

Để giải quyết hiện tượng “shear locking” khi tấm có chiều dày mỏng dần, các công

thức của phương pháp ES-FEM được thiết lập kết hợp với phương pháp “rời rạc

lệch trượt” DSG3 (discrete shear gap method) và được gọi là phương pháp PTHH

ổn định khe cắt trên miền trơn dựa trên cạnh phần tử ES-DSG3 Tính hiệu quả và độ

chính xác của phương pháp ES-DSG3 được kiểm chứng thông qua các ví dụ số

phân tích cho bài toán tĩnh và dao động tự do của kết cấu tấm composite lớp và tấm

composite lớp có chứa lớp áp điện

Ngôn ngữ lập trình MATLAB được sử dụng để xây dựng và tính toán trong

các ví dụ số Kết quả của phương pháp ES-DSG3 được tác giả lập bảng so sánh với

lời giải giải tích và một số lời giải bằng phương pháp số khác đã được công bố

trước đây

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

TÓM TẮT ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC HÌNH VẼ vii

DANH MỤC BẢNG BIỂU x

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN 1

1.1 Giới thiệu chung 1

1.1.1 Tổng quan về vật liệu composite 1

1.1.2 Vật liệu composite nhiều lớp 2

1.1.2.1 Vật liệu composite nhiều lớp 2

1.1.2.2 Vật liệu composite được gia công bằng phương pháp trát lớp 5

1.1.3 Vật liệu áp điện piezoelectric 5

1.1.4 Phương pháp PTHH “trơn” dựa trên cạnh ES-FEM 7

1.2 Tình hình nghiên cứu đề tài 10

1.2.1 Trên thế giới 10

1.2.2 Trong nước 11

1.3 Tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài luận văn 12

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT 15

2.1 Giới thiệu kết cấu tấm 15

2.2 Lý thuyết tấm có kể đến biến dạng trượt của Mindlin hay tấm Reissner-Mindlin 16

2.3 Lý thuyết tấm tấm Reissner-Mindlin áp dụng cho lớp lamina 16

2.3.1 Định luật Hooke 16

2.3.2 Lớp lamina gia cường cốt sợi một phương 17

2.4 Quan hệ ứng suất – biến dạng 18

2.4.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng trong hệ trục tọa độ vật liệu 18

2.4.2 Quan hệ ứng suất – biến dạng trong hệ trục tọa độ tổng thể 19

2.5 Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất – FSDT 20

2.6 Phương trình chủ đạo 25

2.7 Phương pháp số (phương pháp PTHH truyền thống) 28

2.8 Phương pháp “rời rạc lệch trượt” – Discrete Shear Gap (DSG3) 33

2.9 Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh (ES-DSG3) 37

2.10 Điều kiện biên 41

2.10.1 Điều kiện biên cơ học cho kết cấu tấm composite lớp 41

2.10.2 Điều kiện biên điện cho lớp áp điện 42

2.11 Sơ đồ khối giải bài toán phân tích tĩnh và dao động tự do kết cấu tấm composite lớp và tấm composite lớp có chứa lớp áp điện bằng phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh ES-DSG3: 44

CHƯƠNG 3 CÁC VÍ DỤ SỐ 45

3.1 Phân tích kết cấu tấm composite lớp 46

3.1.1 Bài toán phân tích tĩnh 46

3.1.1.1 Bài toán 01: Ảnh hưởng của việc chia lưới phần tử đến sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm composite lớp 46

3.1.1.2 Bài toán 02: Ảnh hưởng của số lượng lớp lamina đến độ võng tại tâm của tấm composite lớp 56

3.1.1.3 Bài toán 03: Phân tích kết cấu tấm vuông sandwich 3 lớp Srinivas 63

3.1.1.4 Bài toán 04: Phân tích kết cấu tấm vuông composite phản xứng 8 lớp góc sợi xiên 450, biên tựa đơn 4 cạnh 68

3.1.2 Bài toán phân tích dao động tự do 71

3.1.2.1 Bài toán 01: Ảnh hưởng của tỷ lệ mô-đun đàn hồi đến sự hội tụ tần số dao động tự nhiên cơ bản không thứ nguyên của tấm composite lớp 72

3.1.2.2 Bài toán 02: Ảnh hưởng của tỷ lệ chiều dài cạnh trên độ dày đến sự hội tụ tần số dao động tự nhiên cơ bản không thứ nguyên của tấm composite lớp 74

3.1.2.3 Bài toán 03: Ảnh hưởng của một số điều kiện biên khác nhau đến tần số dao động tự nhiên cơ bản không thứ nguyên của tấm composite lớp 77

3.1.2.4 Bài toán 04: Ảnh hưởng của góc sợi thay đổi đến tần số dao động tự nhiên cơ bản không thứ nguyên của tấm tròn composite lớp 81

3.2 Phân tích kết cấu tấm composite lớp có chứa lớp áp điện 84

3.2.1 Bài toán phân tích tĩnh 84

3.2.1.1 Bài toán 01: Ảnh hưởng cơ-điện của kết cấu tấm composite lớp áp điện 85

3.2.1.2 Bài toán 02: Ảnh hưởng cơ-điện, trật tự sắp xếp lớp và phương của góc sợi đến độ võng tại tâm của kết cấu tấm composite lớp có chứa lớp áp điện 88

3.2.2 Bài toán phân tích dao động tự do 93

3.2.2.1 Bài toán 01: Ảnh hưởng cơ-điện của kết cấu tấm composite lớp

áp điện 94

CHƯƠNG 4 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 98

4.1 Tóm tắt công việc đã đạt được 98

4.2 Kết luận và kiến nghị 99

4.3 Hướng phát triển 101

TÀI LIỆU THAM KHẢO 102 PHỤ LỤC CODE MATLAB V7.8.0 108

CHƯƠNG 5 CHƯƠNG TRÌNH CHÍNH 108

5.1 KẾT CẤU TẤM COMPOSITE LỚP 108

5.1.1 Bài toán phân tích tĩnh 108

5.1.1.1 Bài toán 01: Ảnh hưởng của việc chia lưới phần tử đến sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm composite lớp 108

5.1.1.2 Bài toán 02: Ảnh hưởng của số lượng lớp lamina đến độ võng tại tâm của tấm composite lớp 113

5.1.1.3 Bài toán 03: Phân tích kết cấu tấm vuông sandwich 3 lớp Srinivas 114

5.1.1.4 Bài toán 04: Phân tích kết cấu tấm vuông composite phản xứng 8 lớp góc sợi xiên 450, biên tựa đơn 4 cạnh 119

5.1.2 Bài toán phân tích dao động tự do 123

5.1.2.1 Bài toán 01: Ảnh hưởng của tỷ lệ mô-đun đàn hồi đến sự hội tụ tần số dao động tự nhiên cơ bản không thứ nguyên của tấm composite lớp 123

5.1.2.2 Bài toán 02: Ảnh hưởng của tỷ lệ chiều dài cạnh trên độ dày đến sự hội tụ tần số dao động tự nhiên cơ bản không thứ nguyên của tấm composite lớp 128

5.1.2.3 Bài toán 03: Ảnh hưởng của một số điều kiện biên khác nhau đến tần số dao động tự nhiên cơ bản không thứ nguyên của tấm composite lớp 132

5.1.2.4 Bài toán 04: Ảnh hưởng của góc sợi thay đổi đến tần số dao động tự nhiên cơ bản không thứ nguyên của tấm tròn composite lớp 142

5.2 KẾT CẤU TẤM COMPOSITE LỚP CÓ CHỨA LỚP ÁP ĐIỆN 148

5.2.1 Bài toán phân tích tĩnh 148

5.2.1.1 Bài toán 01: Ảnh hưởng cơ-điện của kết cấu tấm composite lớp áp điện 148

5.2.1.2 Bài toán 02: Ảnh hưởng cơ-điện, trật tự sắp xếp lớp và phương của góc sợi đến độ võng tại tâm của kết cấu tấm composite lớp có chứa lớp áp điện 154

5.2.2 Bài toán phân tích dao động tự do 160

5.2.2.1 Bài toán 01: Ảnh hưởng cơ-điện của kết cấu tấm composite lớp áp điện 160

CHƯƠNG 6 CHƯƠNG TRÌNH CON 167

6.1 mesh2_triang 167

6.2 plot_mesh 168

6.3 connect_edge 169

6.4 CALCQ 172

6.5 CALCQBAR 172

6.6 CALCQBARS 172

6.7 cal_area 173

6.8 cal_side 174

6.9 ESFEM_Bmat_T3 174

6.10 FEELDOF 176

6.11 FEASMBL1 176

6.12 ForceVectorMindlinQ45dof_sinusoidal 177

6.13 ForceVectorMindlinQ45dof 178

6.14 bcdof_SSSS_composite 179

6.15 bcdof_SSSS2_piezo 179

6.16 bcdof_CCCC_composite 180

6.17 bcdof_CFFF_composite 180

6.18 feaplyc2 181

6.19 FEAPLYCS_mass 181

6.20 SrinivasMaterial 182

6.21 MassMatrixMindlinQ4laminated5dof 185

6.22 MAT_TYPE_PIEZO_PVDF 186

6.23 ES_CALCQ 186

6.24 ES_CALCQBAR 186

6.25 ES_CALCQBARS 186

6.26 ES_CALCED_PIEZO_PVDF 187

6.27 MAT_TYPE_COMPOSITE 187

6.28 triangulation_order3_neighbor_triangles 188

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Phương của cốt gia cường 1

Hình 1.2 Kết cấu tấm composite nhiều lớp 3

Hình 1.3 Tấm sandwich composite 3 lớp 3

Hình 1.4 Kết cấu tấm sandwich composite được sử dụng trong xây dựng 4

Hình 1.5 Vật liệu áp điện piezoelectric 6

Hình 2.1 Kết cấu tấm composite gia cường sợi một phương trong hệ trục vật liệu  x x x1, ,2 3 với trục x1 dọc theo phương cốt sợi 17

Hình 2.2 Kết cấu tấm composite gia cường sợi một phương trong hệ trục vật liệu  x x x1, ,2 3 và hệ trục tọa độ tổng thể  x y z 19 , , 

Hình 2.3 Hình học ban đầu và hình học bị biến dạng một cạnh của tấm với các giả thuyết CLPT, FSDT, HSDT (TSDT) 21

Hình 2.4 Phương và chiều của các thành phần hợp lực tổng và mômen tổng trên phần tử tấm phẳng 26

Hình 2.5 Phần tử tam giác ba nút 28

Hình 2.6 Thành phần lệch trượt (shear gap) 33

Hình 2.7 Phân chia miền trơn Ω(k) , Ω(m) 38

Hình 2.8 Điều kiện biên cơ học cho kết cấu tấm composite lớp 41

Hình 3.1 Tấm vuông composite 3 lớp đối xứng góc sợi chéo [0/90/0] chịu tải trọng hình sin (SSL) và tải trọng phân bố đều (UDL) 47

Hình 3.2 Tấm vuông composite 4 lớp đối xứng góc sợi chéo [0/90/90/0] chịu tải trọng hình sin (SSL) và tải trọng phân bố đều (UDL) 47

Hình 3.3 Tấm vuông composite 3 lớp [0/90/0] chịu tải trọng hình sin (SSL), điều kiện biên tựa đơn SS-1: sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm 50

Hình 3.4 Tấm vuông composite 3 lớp [0/90/0] chịu tải trọng phân bố đều

(UDL), điều kiện biên tựa đơn SS-1: sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm 50 Hình 3.5 Tấm vuông composite 3 lớp [0/90/0] chịu tải trọng hình sin (SSL)

và tải trọng phân bố đều (UDL), điều kiện biên tựa đơn SS-1: sai số phần trăm

độ võng tại tâm của tấm khi tấm mỏng dần 52 Hình 3.6 Tấm vuông composite 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải trọng hình sin

(SSL) và tải trọng phân bố đều (UDL), điều kiện biên tựa đơn SS-1: sai số

phần trăm độ võng tại tâm của tấm khi tấm mỏng dần 52 Hình 3.7 Tấm vuông composite 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải trọng hình sin

(SSL), điều kiện biên tựa đơn SS-1: sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm 55 Hình 3.8 Tấm vuông composite 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải trọng phân bố đều

(UDL), điều kiện biên tựa đơn SS-1: sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm 55 Hình 3.9 Tấm vuông composite lớp chịu tải trọng phân bố đều (UDL) và tải

trọng hình sin (SSL), biên tựa đơn SS-1, (a/h = 10): độ võng tại tâm của tấm 59 Hình 3.10 Tấm vuông composite lớp chịu tải trọng phân bố đều (UDL) và tải

trọng hình sin (SSL), biên tựa đơn SS-1, (a/h = 20): độ võng tại tâm của tấm 60 Hình 3.11 Tấm vuông composite lớp chịu tải trọng phân bố đều (UDL) và tải

trọng hình sin (SSL), biên tựa đơn SS-1, (a/h = 100): độ võng tại tâm của tấm 61 Hình 3.12 Tấm vuông composite sandwich 3 lớp, biên tựa đơn SS-1: ứng suất

của lời giải ES-DSG3 và (b) ảnh hưởng của tỷ lệ mô-đun đàn hồi lên tần số

dao động cơ bản không thứ nguyên 73

Hình 3.16 Tấm vuông composite 4 lớp [0/90/90/0], điều kiện biên tựa đơn

SS-1: ảnh hưởng của tỷ lệ chiều dài cạnh trên độ dày đến tần số dao động tự

a h E E E

Hình 3.17 Tấm vuông composite 3 lớp [0/90/0], điều kiện biên ngàm 4 cạnh

Hình 3.18 Miền hình học và rời rạc lưới nút phần tử 212 nút cho kết cấu tấm

tròn composite 4 lớp   /   /    /  81 Hình 3.19 Tấm tròn composite 4 lớp đối xứng  45 / 45 / 45 / 45    , điều kiện

biên ngàm quanh chu vi,  E E1/ 2  40, / a h  10  : sáu dạng dao động tự nhiên

đầu tiên 83 Hình 3.20 Tấm công-xôn áp điện Bimorph 85 Hình 3.21 Tấm công-xôn áp điện Bimorph: độ võng đường trung bình dưới

điện áp đơn vị 86 Hình 3.22 Tấm công-xôn áp điện Bimorph: sai số phần trăm độ võng đường

trung bình dưới điện áp đơn vị 87 Hình 3.23 Tấm composite lớp có chứa lớp áp điện, biên tựa đơn chịu tải trọng

phân bố đều 100 N/m2 và điện áp thay đổi: sai số phần trăm độ võng tại tâm

của tấm 90 Hình 3.24 Tấm composite lớp có chứa lớp áp điện [p/-45/45]s và [p/-45/45]a ,

biên tựa đơn SS-2 chịu tải trọng phân bố đều 100 N/m2 và điện áp thay đổi:

ảnh hưởng trật tự sắp xếp lớp lên độ võng đường trung bình 91 Hình 3.25 Tấm composite lớp có chứa lớp áp điện, biên tựa đơn SS-2 chịu tải

trọng phân bố đều 100 N/m2 và điện áp thay đổi: ảnh hưởng phương của góc

sợi lên độ võng đường trung bình 92 Hình 3.26 Tấm vuông composite lớp có chứa lớp áp điện [p/0/90/0/p] với

điều kiện biên điện khác nhau: so sánh tần số dao động tự nhiên cơ bản không

thứ nguyên  *    a2/ 2  h    103Hz(kg/m)1/2 với một số lời giải khác 96

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 3.1 Thuộc tính vật liệu cho tấm graphite epoxy composite 46

Bảng 3.2 Tấm vuông composite 3 lớp [0/90/0] chịu tải trọng hình sin (SSL),

điều kiện biên tựa đơn SS-1: sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm 48

Bảng 3.3 Tấm vuông composite 3 lớp [0/90/0] chịu tải trọng phân bố đều

(UDL), điều kiện biên tựa đơn SS-1: sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm 49

Bảng 3.4 Tấm vuông composite 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải trọng hình sin

(SSL), điều kiện biên tựa đơn SS-1: sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm 53

Bảng 3.5 Tấm vuông composite 4 lớp [0/90/90/0] chịu tải trọng phân bố đều

(UDL), điều kiện biên tựa đơn SS-1: sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm 54

Bảng 3.6 Tấm vuông composite nhiều lớp, biên tựa đơn SS-1: ảnh hưởng của

số lượng lớp lamina đến độ võng tại tâm của tấm 57

Bảng 3.7 Tấm vuông composite nhiều lớp, biên tựa đơn SS-1: sai số phần

trăm (%) độ võng tại tâm của tấm so với giải tích 58

Bảng 3.8 Tấm vuông composite sandwich 3 lớp, biên tựa đơn SS-1: độ võng

và thành phần ứng suất *

x

 không thứ nguyên tại tâm của tấm 64 Bảng 3.9 Tấm vuông composite phản xứng 8 lớp   45 / 45 4 chịu tải trọng

hình sin (SSL) và tải trọng phân bố đều (UDL), điều kiện biên tựa đơn SS-2:

sự hội tụ độ võng tại tâm của tấm 69

Bảng 3.10 Tấm vuông composite 4 lớp [0/90/90/0]: sự hội tụ tần số dao động

2

a h E a h

     72 Bảng 3.11 Tấm vuông composite 4 lớp [0/90/90/0] với nhiều tỷ lệ chiều dài

cạnh trên độ dày khác nhau: sự hội tụ tần số dao động tự nhiên cơ bản không

E E     a h  E 75

Bảng 3.12 Tấm vuông composite 3 lớp [0/90/0] với một số điều kiện biên

khác nhau và tỷ lệ cạnh trên chiều dài: so sánh tần số dao động tự nhiên cơ bản

E E     a h  E với một số lời giải khác 78

Bảng 3.13 Tấm vuông composite 3 lớp [0/90/0], điều kiện biên ngàm: so sánh

năm tần số dao động tự nhiên đầu tiên không thứ nguyên

Bảng 3.14 Tấm tròn composite 4 lớp   /   /    /  , điều kiện biên ngàm:

so sánh năm tần số dao động tự nhiên đầu tiên không thứ nguyên

Bảng 3.15 Thuộc tính vật liệu áp điện PVDF, PZT-G1195N và composite

graphite-epoxy T300/976 84

Bảng 3.16 Tấm công-xôn áp điện Bimorph: độ võng đường trung bình (10-7

m) dưới điện áp đơn vị 86

Bảng 3.17 Tấm composite lớp có chứa lớp áp điện, biên tựa đơn chịu tải trọng

phân bố đều 100 N/m2 và điện áp thay đổi: độ võng tại tâm của tấm 89

Bảng 3.18 Thuộc tính vật liệu áp điện PZT-4 và composite Graphite-Epoxy

Gr/Ep 93

Bảng 3.19 Tấm vuông composite lớp có chứa lớp áp điện [p/0/90/0/p] với

điều kiện biên điện khác nhau: so sánh tần số dao động tự nhiên cơ bản không

thứ nguyên  *    a2/ 2  h    103Hz(kg/m)1/2 với một số lời giải khác 95

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN

TỔNG QUAN

1.1 Giới thiệu chung

1.1.1 Tổng quan về vật liệu composite

Vật liệu composite là vật liệu tổ hợp từ hai loại vật liệu có bản chất khác nhau Vật liệu tạo thành có đặc tính trội hơn của từng vật liệu thành phần khi xét riêng rẽ

Hình 1.1 Phương của cốt gia cường

Cơ tính của vật liệu composite sẽ phụ thuộc vào [43]:

 Cơ tính của các vật liệu thành phần

 Quy luật phân bố hình học của cốt gia cường

 Tác dụng tương hỗ của cốt thành phần,…

Để có thể mô tả vật liệu composite, cần phải biết rõ:

 Nguồn gốc và tính chất của các vật liệu thành phần

 Dạng hình học của vật liệu làm cốt gia cường và quy luật phân bố của nó

 Đặc điểm của mặt tiếp xúc giữa vật liệu cốt gia cường và vật liệu nền

Đặc trưng hình học của vật liệu cốt gia cường được xác định bởi: hình dạng, kích thước, độ tập trung và phương phân bố…

Độ tập trung của vật liệu cốt thường được xác định qua tỉ lệ thể tích hoặc tỉ lệ khối lượng; và là thông số quan trọng quyết định cơ tính của vật liệu composite Với một tỉ lệ khối lượng cho trước, quy luật phân bố của cốt gia cường trong vật liệu nền rất quan trọng và quyết định khả năng chịu lực, độ bền của kết cấu composite Cốt gia cường có thể là liên tục, bất liên tục, phân bố đơn hướng, song hướng, và phân bố ngẫu nhiên Cốt gia cường phân bố đều theo thể tích, ta được kết cấu vật liệu đồng nhất nhưng khi phân bố không đều sẽ dẫn đến hiện tượng kết cấu vật liệu composite sẽ bị phá hủy đầu tiên ở nơi ít cốt gia cường và độ bền kết cấu sẽ giảm Tấm gia cường cốt đơn hướng có cường độ cao và mô-đun lớn theo phương cốt gia cường, nhưng phương còn lại sẽ có cường độ thấp và mô-đun nhỏ

Trong trường hợp vật liệu composite cốt sợi, bao gồm cốt gia cường (fibers)

có cường độ cao và mô-đun lớn bên trong một vật liệu nền (matrix); lấy ví dụ là cốt thép trong bê tông Phương của cốt gia cường sẽ quyết định tính dị hướng của vật liệu Tức là ta có thể điều khiển được tính dị hướng và chọn những phương án công nghệ phù hợp với những tính chất mong muốn

1.1.2 Vật liệu composite nhiều lớp

Vật liệu composite gồm nhiều lớp liên tục được gọi là vật liệu composite nhiều lớp

1.1.2.1 Vật liệu composite nhiều lớp

Đây là dạng cơ bản nhất của vật liệu composite nhiều lớp, được tổ hợp từ các lớp sợi và phương của sợi không nhất thiết phải giống nhau Chiều dày của các lớp thành phần trong kết cấu tấm composite nhiều lớp thường là những lớp mỏng, gọi là

liệu composite nhiều lớp (laminated composite) có những ưu điểm sau: cường độ

cao, độ cứng lớn, trọng lượng nhẹ, chống ăn mòn – mài mòn, tính chất nhiệt, giới hạn mỏi,…

y x

z

Hình 1.2 Kết cấu tấm composite nhiều lớp

Dạng vật liệu được sử dụng trong xây dựng là kết cấu dạng tấm composite ba

lớp được gọi là tấm sandwich composite Vật liệu composite “ba lớp” (sandwich)

Việc lựa chọn vật liệu composite phụ thuộc vào mục đích của người sử dụng

và điều kiện làm việc (chế độ nhiệt, môi trường, giá thành,…)

α=00+α α=900–α

Một số ứng dụng của kết cấu tấm sandwich trong xây dựng:

Hình 1.4 Kết cấu tấm sandwich composite được sử dụng trong xây dựng

1.1.2.2 Vật liệu composite được gia công bằng phương pháp trát lớp

Vật liệu composite được gia công bằng phương pháp trát lớp là loại vật liệu gồm nhiều lớp mỏng, tính chất vật liệu được xét như là vật liệu trực hướng, liên kết giữa các lớp là liên kết bền Các lớp không trượt lên nhau trong quá trình biến dạng

Từ yêu cầu đặt ra của thực tế, hai vấn đề lớn trong nghiên cứu cơ học của loại vật liệu mới này:

 Nghiên cứu ứng xử cơ học theo cách tiếp cận vi mô, tức là nghiên cứu ứng xử của từng lớp vật liệu

 Nghiên cứu ứng xử cơ học theo cách tiếp cận vĩ mô, tức là nghiên cứu ứng xử của cả vật liệu gồm nhiều lớp

Bằng cách áp dụng các phương pháp tính toán kết cấu, ta hoàn toàn có thể biết được ứng xử cơ học của toàn kết cấu composite khảo sát Để tính toán các kết cấu dạng thanh, dạng tấm, ta có thể sử dụng lời giải giải tích, nhưng đối với các kết cấu composite có dạng hình học phức tạp hơn thì ta phải áp dụng các phương pháp

áp dụng để nghiên cứu ứng xử cơ học vĩ mô của kết cấu composite

 Các lớp ứng xử như là vật liệu đàn hồi Định luật Hooke được áp dụng để nghiên cứu ứng xử cơ học vi mô của kết cấu composite

1.1.3 Vật liệu áp điện piezoelectric

Trong xu hướng phát triển những năm gần đây, kết cấu thông minh (smart or

dựng, hàng không vũ trụ, công nghiệp tự động, ô tô,…

Kết cấu thông minh là kết cấu được gắn vào bộ phận cảm biến (sensor), bộ phận kích thích (actuator) và hệ thống điều khiển (controller) để có thể thay đổi

ứng xử hình dạng và động lực học để phản ứng lại điều kiện môi trường bên ngoài

Kết cấu này sử dụng loại vật liệu đặc biệt được gọi là vật liệu thông minh Vật liệu này với những thuộc tính đặc biệt: có thể thay đổi hình dạng khi bị tác động nhiệt hoặc điện, sản sinh dòng điện khi bị nén hoặc tác dụng nhiệt, và thay đổi trạng thái vật lý dưới tác dụng của trường từ hoặc trường điện Một trong những vật liệu thông minh có thể sử dụng như là một cặp cảm biến – kích thích, được nhiều sự quan tâm

nghiên cứu là vật liệu áp điện piezoelectric

Hai hiện tượng đặc trưng cơ bản của vật liệu áp điện piezoelectric cho phép chúng sử dụng như là những bộ cảm biến và kích thích trong kết cấu thông minh:

 Hiệu ứng áp điện thuận (direct piezoelectric effect): vật liệu áp điện có

thể tạo ra điện thế khi bị biến dạng cơ học

 Hiệu ứng áp điện nghịch (converse piezoelectric effect): khi một

trường điện tác dụng lên vật liệu áp điện sẽ tạo ra ứng suất và biến dạng cơ học bên trong nó

Hình 1.5 Vật liệu áp điện piezoelectric

Dựa trên hai hiện tượng trên, trong những năm gần đây, có nhiều nghiên cứu cho tấm composite lớp có chứa các lớp hoặc miếng áp điện

Phạm vi ứng dụng: điều khiển kết cấu (hình dạng và dao động), cơ học nano

(nanopositioning), cơ học chính xác (precision mechanics),…

1.1.4 Phương pháp PTHH “trơn” dựa trên cạnh ES-FEM

Bài toán phân tích tĩnh, dao động tự do và ổn định kết cấu tấm (plate) đóng vai trò quan trọng trong kỹ thuật xây dựng Hiện nay, cùng với sự phát triển của máy tính và ngôn ngữ lập trình, nhiều phương pháp số đã được nghiên cứu cho tấm

như: phương pháp phần tử hữu hạn (FEM), phương pháp không lưới (meshless),…

Do sự giới hạn của phương pháp giải tích, PTHH được sử dụng rộng rãi hơn cả

Phân tích kết cấu tấm dựa trên hai lý thuyết tấm:

 Lý thuyết tấm Kirchhoff: chỉ áp dụng cho kết cấu tấm mỏng, bỏ qua biến dạng uốn

 Lý thuyết tấm Reissner-Mindlin: áp dụng cho tấm có chiều dày vừa phải, có kể đến ứng suất cắt

Trong nỗ lực phát triển xa hơn phương pháp PTHH, tác giả Liu và cộng sự

đã ứng dụng kỹ thuật làm trơn hóa biến dạng [21] để thiết lập công thức phương pháp PTHH trơn dựa trên phần tử con (cell) còn được gọi là SFEM hoặc CS-FEM cho bài toán 2D cơ vật rắn và sau đó CS-FEM được phát triển cho tấm và vỏ Bằng cách sử dụng các phần tử con (cell) trong mỗi phần tử (element) (ví dụ phần tử con

4 nút), CS-FEM đã làm tăng mức độ chính xác của lời giải Kỹ thuật làm trơn hóa biến dạng còn được kết hợp với phương pháp PTHH mở rộng (XFEM) để giải quyết bài toán rạn nứt 2 chiều trong cơ học vật rắn liên tục và kết cấu tấm Với cách

tiếp cận khác của phương pháp PTHH trơn là kết hợp với nút (Node-based

nghi (adaptive analysis) Sau đó bằng cách kết hợp NS-FEM và FEM với hệ số tỷ lệ

  0,1

  , một phương pháp mới được đặt tên là phương pháp PTHH alpha (αFEM) được đề xuất và kết quả thu được năng lượng biến dạng gần với lời giải chính xác,

sử dụng phần tử tam giác và phần tử tứ diện

Năm 2008, tác giả Liu và cộng sự [23] đã đề xuất phương pháp PTHH trơn với cách tiếp cận dựa trên cạnh (the Edge-based Smoothed Finite Element Method –

dụng cho bài toán phân tích cơ học vật rắn hai chiều Kết quả số đã chứng minh

rằng phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh ES-FEM [23] có một số ưu điểm như sau:

 Mô hình ES-FEM cho kết quả hội tụ nhanh và chính xác hơn phương pháp PTHH truyền thống sử dụng phần tử tứ giác 4 nút với cùng số nút

 Không xảy ra hiện tượng dạng mode bị suy biến (spurious) và do đó phương pháp này cho lời giải ổn định nhất là với bài toán phân tích dao động tự do

 Phương pháp này thiết lập trực tiếp và không cần sử dụng thông số phạt, và hiệu quả tính toán tốt hơn phương pháp PTHH truyền thống với cùng số nút khảo sát

Trong phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh ES-FEM, sử dụng lưới phần tử tam giác ba nút, việc tính toán ma trận độ cứng được thực hiện bằng kỹ thuật trơn hóa biến dạng trên miền trơn dựa trên cạnh của phần tử

Để giải quyết hiện tượng “shear locking” xảy ra đối với phần tử tấm Reissner-Mindlin bậc thấp (low order) khi chiều dày tấm có xu hướng mỏng dần về

zero, đồng thời tăng mức độ chính xác và ổn định lời giải, nhiều phương pháp được

đề xuất: phương pháp phần tử ứng suất bậc cao (Hybrid Stress Element), phương pháp giả định biến dạng nâng cao (Enhanced Assumed Strain Method – EAS), phương pháp giả định biến dạng tự nhiên (Assumed Natured Strain – ANS),… Tuy

nhiên những phương pháp trên không phải lúc nào cũng sử dụng tốt cho mọi trường hợp, đặc biệt trong trường hợp chia lưới cho phần tử là bất kỳ, thì kết quả tính toán

sẽ không tốt Gần đây, phương pháp “rời rạc lệch trượt” (Discrete shear gap – DSG3) được đề xuất bởi tác giả Bletzinger và Bischoff (2000) [4] Phương pháp

“rời rạc lệch trượt” hơi giống phương pháp giả định biến dạng tự nhiên ANS và làm việc tốt cho phần tử có hình dáng và bậc khác nhau

Phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-FEM được tăng mức độ chính xác của lời giải bằng cách kết hợp với phương pháp rời rạc lệch trượt DSG3 cùng với kỹ thuật làm ổn định lời giải [27] đã cho ra đời phương pháp ổn định cắt

trên miền trơn dựa trên cạnh (Edge-based Smoothed Stabilized Discrete Shear Gap

trơn dựa trên cạnh ES-DSG3

Phương pháp ES-DSG3 thể hiện những ưu điểm [35]: là phương pháp đơn giản và hiệu quả cho việc phân tích tĩnh, dao động tự do và ổn định của tấm Reissner-Mindlin:

 Phương pháp ES-DSG3 được kiểm tra thỏa mãn bài toán patch test

 Sử dụng lưới tam giác ba nút nên dễ dàng chia lưới cho những miền phức tạp

 Mỗi nút chỉ có ba bậc tự do nên không đòi hỏi nhiều chi phí và thời gian tính toán

 Giải quyết được hiện tượng “shear locking”, kết quả thu được hội tụ

nhanh và mức độ chính xác cao Phần tử ES-DSG3 cho kết quả chính xác hơn so với phương pháp DSG3, phần tử tam giác MIN3, ANS4, Meshless và thường chính xác hơn phần tử MITC4 khi khảo sát với cùng số nút Kết quả thu được của phần tử ES-DSG3 phù hợp với giải tích và cho kết quả tốt khi so sánh với những phần tử khác đã được công bố

 Đối với bài toán phân tích dao động tự do và bài toán ổn định, không

có mode bị suy biến nên phần tử ES-DSG3 đạt được sự ổn định

Theo sự phát triển của phương pháp phần tử hữu hạn trơn SFEM, phần tử ES-DSG3 đã được áp dụng để phân tích bài toán lan truyền trong mặt phẳng của điện thế cho vật liệu áp điện piezoelectric và đạt được những kết quả khả quan [34]:

 Phương pháp ES-DSG3 được kiểm tra thỏa mãn bài toán patch test của vật liệu áp điện lan truyền điện thế trong mặt phẳng

 Phần tử tam giác 3 nút ES-DSG3 cho kết quả tin cậy hơn phần tử tam giác 3 nút và cũng đã chỉ ra rằng cho mức độ chính xác hơn phần tử tứ giác 4 nút của PTHH truyền thống khi áp dụng bài toán lan truyền tĩnh và phân tích trị riêng

 Cách thiết lập và tính toán rất đơn giản với lưới phần tử tam giác 3 nút

có thể chia lưới dễ dàng cho miền hình học phức tạp của các bài toán

kỹ thuật

1.2 Tình hình nghiên cứu đề tài

1.2.1 Trên thế giới

Nhiều mô hình phân tích và tính toán bằng số được phát triển để phân tích tấm composite lớp có chứa các lớp hoặc miếng áp điện Mô hình thường được sử

dụng trước đây là mô hình lớp tương đương (Equivalent Single-Layer), bao gồm các

lý thuyết tấm như sau:

 Lý thuyết tấm cổ điển (Classical Plate Theory – CPT) [29], [25]

 Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (First-order Shear Deformation

 Lý thuyết biến dạng trượt bậc cao (High-order Shear Deformation Theory – HSDT ) [15], [38]

Ngoài ra,

 Mô hình Layerwise: cho kết cấu tấm composite lớp dày [42]

Từ các lý thuyết tấm của mô hình lớp tương đương trên, những nghiên cứu tấm composite lớp gần đây:

 Tác giả Moita và cộng sự [29] (2002): phân tích phi tuyến hình học

của tấm/vỏ composite có chứa miếng hoặc lớp áp điện Sử dụng phần

tử tấm tam giác không tương thích với 18 bậc tự do cơ cho chuyển vị suy rộng và 1 bậc tự do điện thế

 Tác giả Fukunaga [15] (2001): phân tích bài toán tĩnh và động của tấm composite có chứa lớp áp điện sử dụng hàm phạt (penalty function) Sử dụng phần tử tấm không tương thích với 9 nút với 5 bậc

tự do cơ tại mỗi nút và 1 bậc tự do cho mỗi tấm/lớp áp điện

 Tác giả Liu và cộng sự [25] (1999): nghiên cứu phản ứng động

(dynamic response) của tấm composite có chứa lớp áp điện sử dụng phần tử tấm không tương thích hình chữ nhật 4 nút

 Tác giả Liu và cộng sự [26] (2008): sử dụng phương pháp không lưới (meshless) để phân tích ứng xử tĩnh và động của tấm composite lớp có

chứa lớp áp điện

Đồng thời phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh ES-DSG3 đã có những nghiên cứu sau:

 Tác giả Nguyễn Xuân Hùng và cộng sự [35] (2010): khảo sát bài toán

tĩnh, dao động tự do, và ổn định cho tấm Reissner-Mindlin sử dụng phần tử tam giác 3 nút dựa trên lý thuyết FSDT Giải quyết được hiện tượng “shear locking”, tăng mức độ chính xác lời giải

 Tác giả Nguyễn Xuân Hùng và cộng sự [34] (2009) cũng đã khảo sát

bài toán tĩnh và phân tích trị riêng lan truyền điện thế trong mặt phẳng của vật liệu áp điện piezoelectric

1.2.2 Trong nước

Kết cấu tấm composite lớp và tấm áp điện đang là hướng nghiên cứu mới ở nước ta theo yêu cầu đòi hỏi của nhiều ngành, đặc biệt là quân đội quốc phòng Đã

có nhiều nghiên cứu trước đây về tấm composite lớp (laminated composite plates):

 Tác giả Trần Ích Thịnh và Ngô Như Khoa [44] (2007): phát triển phần

tử không tương thích dựa trên lý thuyết HSDT, sử dụng phần tử tứ giác 4 nút, mỗi nút 7 bậc tự do

Nhưng về vấn đề tấm composite lớp có chứa các lớp hoặc miếng áp điện chỉ mới được quan tâm nghiên cứu ở nước ta trong vài năm gần đây:

 Tác giả Trần Ích Thịnh và Lê Kim Ngọc [47] (2010): nghiên cứu ứng

xử tĩnh và điều khiển dao động của tấm công-xôn composite lớp có chứa miếng áp điện Sử dụng phần tử tứ giác đẳng tham số 9 nút với

45 bậc tự do cơ và 2 bậc tự do điện thế

 Tác giả Trần Ích Thịnh và Lê Kim Ngọc [46] (2009): phát triển mô hình phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết FSDT để điều khiển tĩnh và điều khiển dao động của tấm composite có chứa các lớp hoặc miếng

áp điện Sử dụng phần tử tứ giác đẳng tham số 9 nút với 45 bậc tự do

cơ và 2 bậc tự do điện thế

 Tác giả Trần Ích Thịnh và Lê Kim Ngọc [45] (2009): bài toán tối ưu

vị trí miếng dán áp điện trên tấm composite, sử dụng giải thuật di truyền, phát triển mô hình phần tử hữu hạn dựa trên lý thuyết FSDT

để nghiên cứu ứng xử cơ điện của tấm composite có gắn những miếng kích thích áp điện lên bề mặt Sử dụng phần tử tứ giác đẳng tham số 9 nút với 45 bậc tự do cơ và 2 bậc tự do điện thế

1.3 Tính cấp thiết, ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài luận văn

Hiện nay, hầu như các phần mềm tính toán kết cấu trong xây dựng sử dụng lưới phần tử tứ giác (SAP2000, ETABS, SAFE,…) hoặc lưới phần tử tam giác bậc cao (PLAXIS, GEO-STUDIO,…)

Một số nhận xét được đưa ra đối với việc chia lưới phần tử như trên:

 Lưới phần tử tứ giác: việc chia lưới là tương đối dễ dàng cho kết cấu

xây dựng có hình dạng đơn giản (hình chữ nhật, hình vuông) nhưng gặp khó khăn cho kết cấu có dạng hình học phức tạp (hình tròn, tam giác, đa giác) cũng như sẽ tốn thời gian tính toán bởi số nút phần tử tứ giác là 4, phần tử tam giác chỉ là 3 Nếu bài toán cần chia lưới mịn hoặc số phần tử rất nhiều thì việc chia lưới phần tử tứ giác rõ ràng là chưa tiện dụng vì số bậc tự do sẽ tăng theo số nút

 Lưới phần tử tam giác bậc cao: phù hợp khi rời rạc kết cấu có hình

dạng phức tạp nhưng số lượng nút và bậc tự do nhiều sẽ tốn nhiều chi phí cũng như thời gian lập trình, tính toán Tuy nhiên kết quả là chính xác hơn phần tử bậc thấp

Vậy làm thế nào để có thể kết hợp cả hai ưu điểm của 2 cách chia lưới ở trên:

sử dụng lưới phần tử tam giác ba nút cho hình dạng kết cấu phức tạp mà kết quả lời giải vẫn đạt mức độ chính xác xấp xỉ như khi sử dụng phần tử tam giác bậc cao Đây là vấn đề được đặt ra cho hướng tiếp cận nghiên cứu của luận văn mà những ưu điểm của phương pháp phần tử hữu hạn trơn dựa trên cạnh ES-DSG3 (mục 1.1.4)

đã đề cập và được kiểm chứng trong các bài báo [33], [34], [35], [36]

Trong khối ngành kỹ thuật cũng như trong dân dụng, vật liệu composite đang dần chứng tỏ được ưu thế vượt trội của mình cũng như việc ứng dụng ngày càng nhiều vật liệu composite, đồng thời kết cấu thông minh đang là hướng nghiên cứu mới mẻ trên thế giới nói chung và ở nước ta nói riêng trong những năm gần đây Tuy nhiên với sự phức tạp trong bản thân cấu trúc vật liệu, được cấu tạo bởi các lớp liên kết với nhau bằng phương pháp trát lớp nên ứng xử của tấm composite lớp vẫn đang được quan tâm nghiên cứu rộng rãi Trong những nghiên cứu gần đây hiện nay hầu hết đều dùng phương pháp PTHH với lưới phần tử bậc cao hoặc phương pháp

“không lưới” (meshless) với đa thức xấp xỉ bậc cao Tuy nhiên trong phạm vi luận văn, dựa trên những ưu điểm của phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh (ES- DSG3) đã kiểm chứng [34], [35] tác giả sẽ phát triển phương pháp này để phân tích cho tấm composite lớp có chứa các lớp áp điện với mục tiêu hoàn thành như sau:

 Kết cấu tấm composite lớp khảo sát là tấm mỏng và tấm có chiều dày vừa phải, do đó để kể đến thành phần biến dạng trượt một cách đơn giản nhất, lời giải lý thuyết được tác giả thiết lập dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất FSDT

 Thiết lập lời giải xấp xỉ phần tử ES-DSG3 cho tam giác 3 nút từ 3 bậc

tự do cơ thành 5 bậc tự do cơ trên mỗi nút và 1 bậc tự do điện thế cho mỗi lớp áp điện trong kết cấu tấm composite lớp

 Bước đầu khảo sát ảnh hưởng hiệu ứng cơ-điện đến sự điều khiển hình dạng tấm composite lớp có chứa các lớp áp điện chịu tải trọng uốn Từ đó đánh giá ảnh hưởng của hiệu ứng cơ-điện chuyển vị và tần

số dao động của tấm composite lớp có chứa lớp áp điện

Cụ thể hơn, công việc cần phải làm trong luận văn của tác giả là dựa trên cơ

sở lý thuyết của phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh ES-DSG3 với lý thuyết tấm composite lớp có kể đến biến dạng trượt bậc nhất FSDT, tác giả lập trình tính toán phần tử ES-DSG3 để khảo sát một số vấn đề trong bài toán phân tích kết cấu tấm composite lớp có chứa lớp áp điện chịu lực tĩnh và điện áp thay đổi, phân tích tĩnh

và dao động tự do để hiểu rõ hơn bản chất của các hiện tượng cơ-điện lên kết cấu tấm nhiều lớp

Việc đánh giá mức độ chính xác và hiệu quả của phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh ES-DSG3 được thông qua bằng sự phân tích cho tấm composite lớp:

 Khảo sát sự hội tụ của lời giải ES-DSG3 thông qua việc chia lưới nút phần tử cho kết cấu tấm composite lớp và so sánh kết quả với lời giải giải tích và một số lời giải số khác đã được công bố gần đây

 Khảo sát số lượng, trật tự sắp xếp các lớp lamina, phương của góc sợi lên chuyển vị tại tâm của tấm và lên tần số dao động tự nhiên cơ bản của kết cấu tấm composite lớp

 Khảo sát ảnh hưởng của tỷ lệ chiều dài cạnh trên độ dày, phương góc sợi, tỷ lệ các môđun đàn hồi vật liệu trong bài toán dao động tự do

 Khảo sát ảnh hưởng điều kiện biên và dạng hình học thay đổi (hình vuông, hình tròn) đến tần số dao động tự nhiên của kết cấu tấm composite nhiều lớp

Từ đó, phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh ES-DSG3 được phát triển sang bài toán phức tạp hơn là tấm composite lớp có chứa lớp áp điện:

 Khảo sát ảnh hưởng cơ-điện lên chuyển vị của tấm composite lớp có chứa lớp áp điện dưới điện áp thay đổi

 Khảo sát ảnh hưởng trật tự sắp xếp lớp và phương của góc sợi đến độ võng tại tâm của kết cấu tấm composite lớp có chứa lớp áp điện dưới tác dụng tải trọng cơ và điện áp thay đổi

 Khảo sát ảnh hưởng cơ-điện thông qua ảnh hưởng của điều kiện biên điện lên tần số dao động tự nhiên của kết cấu tấm composite lớp có chứa lớp áp điện

Ngoài ra tác giả sẽ lập bảng so sánh chuyển vị, ứng suất và tần số dao động

tự nhiên giữa phương pháp PTHH trơn dựa trên cạnh ES-DSG3 sử dụng phần tử tam giác tuyến tính 3 nút với lời giải giải tích, một số lời giải sử dụng phần tử bậc cao, và so với phương pháp không lưới đã được công bố trước đây

CHƯƠNG 2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

2.1 Giới thiệu kết cấu tấm

Theo bản chất trạng thái ứng suất, kết cấu tấm có thể được phân thành 3 loại

như sau:

 Tấm dày: là tấm mà trạng thái ứng suất ba trục được triển khai, định

nghĩa bởi hệ phương trình vi phân đầy đủ của lý thuyết đàn hồi ba chiều

Tấm dày là tấm có tỉ lệ giữa chiều dày với kích thước cạnh ngắn nhất lớn

10

n

h l



 Tấm mỏng có chuyển vị bé: là tấm có ứng suất màng rất nhỏ so với ứng

suất uốn khi biến dạng do tải trọng ngang Loại này gồm các tấm có tỉ lệ

giữa chiều dày với kích thước cạnh ngắn nhất nhỏ hơn 1/10,

1 10

 Tấm mỏng có chuyển vị lớn: được đặc trưng bằng việc các ứng suất uốn

được đi liền bởi các ứng suất kéo hay nén tương đối trong mặt phẳng

trung bình Các ứng suất màng này ảnh hưởng đáng kể đến mômen uốn

Phạm vi nghiên cứu trong luận văn là khảo sát ảnh hưởng của tấm mỏng có

chuyển vị bé và tấm có chiều dày vừa phải

2.2 Lý thuyết tấm có kể đến biến dạng trượt của Mindlin hay tấm

Reissner-Mindlin

Các giả thiết của lý thuyết tấm Reissner-Mindlin như sau [41]:

 Các đoạn thẳng vuông góc với mặt trung gian của tấm trước và sau

khi biến dạng sẽ vẫn là thẳng nhưng không nhất thiết là vuông góc với mặt phẳng trung hòa khi biến dạng

 Độ võng của tấm là nhỏ, mặt trung gian không bị kéo nén và là mặt

trung hòa của tấm sau khi biến dạng

 Bỏ qua ứng suất pháp z

Theo mô hình Reissner-Mindlin, các đoạn thẳng vuông góc mặt trung gian

vẫn thẳng trong quá trình biến dạng nhưng không còn là vuông góc với mặt trung

gian nữa, và các góc vuông này bị thay đổi một lượng đúng bằng biến dạng trượt

trung bình gây ra bởi lực cắt Như vậy góc xoay tổng cộng của mặt cắt gồm hai

phần: phần thứ nhất do độ võng của tấm khi các pháp tuyến vẫn còn vuông góc với

mặt trung bình, phần thứ hai là do biến dạng trượt trung bình gây ra

2.3 Lý thuyết tấm tấm Reissner-Mindlin áp dụng cho lớp lamina

 Tấm lamina ứng xử đàn hồi tuyến tính

Định luật Hooke được viết cho vật liệu dị hướng [41]:

ij  ij ij

trong đó: Qij : ma trận hệ số vật liệu trong hệ tọa độ địa phương

2.3.2 Lớp lamina gia cường cốt sợi một phương

Theo cách tiếp cận của lời giải giải tích, ta cần phải xác định các hằng số kỹ thuật

của vật liệu liên tục composite gia cường cốt sợi dựa trên những giả định sau [41]:

 Liên kết giữa cốt gia cường và vật liệu nền là liên kết bền

 Cốt gia cường phân bố song song hoặc phân bố đều trong kết cấu tấm

 Vật liệu nền đồng nhất, không có vết nứt và ở trạng thái không ứng

suất ban đầu

 Cốt gia cường và vật liệu nền đều đẳng hướng và tuân theo định luật

Hình 2.1 Kết cấu tấm composite gia cường sợi một phương trong hệ trục vật liệu

 x x x1, ,2 3 với trục x1 dọc theo phương cốt sợi

Hệ trục vật liệu chính của kết cấu tấm composite gia cường sợi một phương bao

gồm: một trục theo phương của sợi hay phương cơ bản, hai trục kia vuông góc với

nhau và vuông góc với trục trên, tạo thành một tam diện thuận Mô-đun kĩ thuật và hệ

số Poisson của vật liệu composite nhiều lớp được tính toán dựa trên mô-đun đàn hồi

Young, hệ số Poisson và khối lượng thể tích của cốt gia cường và vật liệu nền [41]:

G G G

m m

m

E G

E G

2.4 Quan hệ ứng suất – biến dạng

2.4.1 Quan hệ ứng suất – biến dạng trong hệ trục tọa độ vật liệu

Tấm composite cốt gia cường một phương (Hình 1.1) được xem như là vật

liệu trực hướng với trục vật liệu x1 song song với phương của cốt gia cường, trục x2

vuông góc với trục x1, và trục x3 vuông góc với mặt phẳng tấm

Áp dụng cho bài toán ứng suất phẳng trong hệ trục tọa độ vật liệu, ma trận

hằng số vật liệu Qij của vật liệu trực hướng được rút gọn như sau [41]:

66 44 55

Các hệ số trong ma trận Qij của lớp thứ (k) trong kết cấu tấm composite lớp

được định nghĩa như sau:

E Q

2.4.2 Quan hệ ứng suất – biến dạng trong hệ trục tọa độ tổng thể

Vì vật liệu composite được tạo thành từ nhiều lớp liên tiếp, trong đó phương

của sợi hay phương cơ bản của mỗi lớp khác nhau, do đó để nghiên cứu ứng xử đàn

hồi của vật liệu này, ta phải chọn một hệ quy chiếu cho cả vật liệu, và biến đổi ứng

xử của mỗi lớp theo hệ quy chiếu chung đó (Hình 2.2)

Thông thường trục vật liệu  x x x1, ,2 3 không trùng với trục hình học  x y z , ,  ,

do đó định luật Hooke được viết lại:

ij

ij  ij

trong đó: Qij : ma trận chuyển hệ số vật liệu trong hệ tọa độ tổng thể

Hình 2.2 Kết cấu tấm composite gia cường sợi một phương trong hệ trục vật liệu

 x x x1, ,2 3 và hệ trục tọa độ tổng thể  x y z , , 

Bài toán ứng suất phẳng:

2.5 Lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất – FSDT

Kết cấu tấm composite được mô hình sử dụng lý thuyết tấm cổ điển sẽ cho

kết quả tốt đối với tấm mỏng Trong giới hạn nghiên cứu của luận văn, biến dạng

trượt được xét đến để kết quả thu được chính xác hơn và giải quyết hiện tượng

“shear locking”, áp dụng được cho tấm có chiều dày vừa phải Trong trường hợp

đơn giản, cơ sở lý thuyết được thiết lập dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất

(First-order shear deformation theory – FSDT)

Giả định bài toán kết cấu tấm là ứng suất phẳng, giả thiết được chấp nhận như

sau: sự thay đổi chuyển vị và ứng suất theo phương chiều dày xem như bằng zero

Trường chuyển vị theo lý thuyết FSDT như sau [41]:

0 0 0

x y

trong đó:  u v w , ,  : chuyển vị lần lượt theo phương , , x y z được khai

triển như là hàm của chuyển vị mặt trung bình  u v w0, ,0 0 và góc xoay   x, y của

pháp tuyến xung quanh lần lượt trục , y x

x

u z

v z

w0/x

x

(u,w)(u0,w0)

Viết gọn lại các biến dạng màng ε0, biến dạng uốn κ , và biến dạng trượt γ ;

biến dạng tổng trong mặt phẳng được viết lại như sau [41]:

ε

xy m

u x v y

xy b

y x

x y

xz s

x

w y w x

E : véctơ điện trường

D : véctơ chuyển vị điện

e : ma trận chuyển hệ số ứng suất áp điện

p : ma trận chuyển hằng số điện môi

d : ma trận chuyển hệ số biến dạng áp điện

Ma trận hệ số biến dạng áp điện d , ma trận hệ số ứng suất áp điện e , ma

trận hằng số điện môi p trong hệ tọa độ địa phương được cho lần lượt như sau [41]:

p p p

Chuyển đổi hệ trục tọa độ địa phương sang hệ trục tọa độ tổng thể, các ma

trận chuyển hệ số biến dạng áp điện d , ma trận chuyển hệ số ứng suất áp điện e ,

ma trận chuyển hằng số điện môi p được tính toán như sau:

Với  là điện áp tác dụng theo phương chiều dày, véctơ điện trường được

định nghĩa như sau:

h : chiều dày lớp piezoelectric thứ (k)

Ứng suất do trường điện tác dụng:

2.6 Phương trình chủ đạo

Phương trình cân bằng được phát triển cho dạng ứng suất tổng bằng cách

xem xét sự cân bằng lực và mômen của một diện tích phân tố vô cùng nhỏ Dưới tác

dụng của lực ngang p, phương trình cân bằng được cho bởi:

0 0

Hình 2.4 Phương và chiều của các thành phần hợp lực tổng và mômen tổng trên

phần tử tấm phẳng

Thay phương trình (11) vào phương trình (32), quan hệ giữa các thành phần

ứng suất tổng và biến dạng của lớp lamina thu được như sau: