Phân tích ứng xử kết cấu bê tông cốt thép bằng phương pháp MCFT

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG: - Nghiên cứu phương pháp MCFT để phân tích ứng xử của kết cấu bê tông cốt thép trong bài toán phẳng.. Tình hình nghiên cứu nước ngoài Năm 1985, một hội nghị q

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KỸ THUẬT XÂY DỰNG

- - - - ³ º - - -

NGUYỄN LÊ VŨ HÒA

Đề tài:

PHÂN TÍCH ỨNG XỬ KẾT CẤU BÊ TÔNG

CỐT THÉP BẰNG PHƯƠNG PHÁP MCFT

CHUYÊN NGÀNH : XÂY DỰNG DÂN DỤNG & CÔNG NGHIỆP

LUẬN VĂN THẠC SĨ

TP HCM, 01/2010

CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS HỒ HỮU CHỈNH

Cán bộ chấm nhận xét 1:

Cán bộ chấm nhận xét 2:

Luận văn thạc sĩ này được bảo vệ tại

HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP HỒ CHÍ MINH, ngày 26 tháng 01 năm 2010

Tp.HCM, ngày tháng năm 2010

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ tên học viên: NGUYỄN LÊ VŨ HÒA Phái : Nam Ngày, tháng, năm sinh: 07/03/1983 Nơi sinh : Bình Định

Chuyên ngành: Xây dựng dân dụng và công nghiệp MSHV : 02107457

Khóa (năm trúng tuyển): 2007

I- TÊN ĐỀ TÀI: PHÂN TÍCH ỨNG XỬ KẾT CẤU BÊ TÔNG CỐT THÉP

BẰNG PHƯƠNG PHÁP MCFT

II- NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG:

- Nghiên cứu phương pháp MCFT để phân tích ứng xử của kết cấu bê tông cốt thép trong bài toán phẳng

- Áp dụng mô hình tính MCFT giải quyết một số bài toán phẳng cụ thể về kết cấu bê tông cốt thép và so sánh với một số lý thuyết khác và với thực nghiệm

III- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 22/06/2009

IV- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 30/11/2009

V- CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS HỒ HỮU CHỈNH

Nội dung và đề cương Luận văn thạc sĩ đã được Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN

TS HỒ HỮU CHỈNH

TRƯỞNG BAN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh em đã tích lũy thêm được nhiều kiến thức hữu ích phục vụ cho công việc hiện tại của mình Quá trình này không thể thiếu được những người thầy, người cô đã đem hết tâm huyết của mình để truyền thụ kiến thức cho chúng

em Không biết nói gì hơn ngoài lời cảm ơn chân thành đến tất cả các thầy cô giáo

Trong quá trình hoàn thành luận văn này, em gặp phải rất nhiều vấn đề khó khăn, nhưng với sự động viên, định hướng, giúp đỡ rất nhiệt tình của thầy Hồ Hữu Chỉnh, em đã hoàn thành được nhiệm vụ Xin chân thành cảm ơn thầy!

Nhân đây, cũng xin cảm ơn các bạn học cùng lớp đã cùng nhau chia sẻ những kiến thức cũng như những nguồn tài liệu trong suốt quá trình học tập để cùng nhau tiến bộ

Một lần nữa xin được cảm ơn tất cả mọi người!

MỤC LỤC

KÝ HIỆU SỬ DỤNG 4

DANH MỤC HÌNH 6

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU 8

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN 9

1.1 Đặt vấn đề 9

1.2 Tình hình nghiên cứu hiện nay 10

1.2.1 Tình hình nghiên cứu trong nước 10

1.2.2 Tình hình nghiên cứu nước ngoài 10

1.3 Mục tiêu nghiên cứu 12

CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT VỀ VÙNG NÉN HIỆU CHỈNH (MCFT) 13

2.1 Các giả thiết 13

2.2 Các phương trình cơ bản 14

2.2.1 Điều kiện tương thích 14

2.2.2 Điều kiện cân bằng 15

2.2.3 Mối quan hệ ứng suất – biến dạng 17

2.2.4 Ứng xử ứng suất trung bình – biến dạng trung bình trong bê tông 18

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP PTHH TRONG GIẢI BÀI TOÁN MCFT 21

3.1 Cơ sở và các bước phân tích chung 21

3.2 Phương pháp PTHH trong giải bài toán phẳng 22

3.2.1 Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi tuyến tính 22

3.2.2 Bài toán phẳng trong phân tích phi tuyến 27

3.2.2.1 Thiết lập các phương trình MCFT sử dụng trong phương pháp PTHH 27

3.2.2.2 Phân tích trong phương pháp PTHH 31

CHƯƠNG 4: LẬP TRÌNH TÍNH TOÁN 40

CHƯƠNG 5: VÍ DỤ MINH HỌA 43

A VÍ DỤ CƠ BẢN 43

5.1 Ví dụ 01 43

5.1.1 Dữ liệu bài toán 43

5.1.2 Phân tích áp dụng phương pháp PTHH 44

5.1.3 Kết quả tính toán 49

5.1.3.1 Kết quả ứng với một cấp tải trọng 49

5.1.3.2 Biểu đồ quan hệ giữa ứng suất và biến dạng 51

5.1.4 Độ lệch giữa kết quả tính toán lý thuyết và thực nghiệm 52

5.2 Ví dụ 02 53

5.2.1 Dữ liệu bài toán 53

5.2.2 Phân tích áp dụng phương pháp PTHH 54

5.2.3 Kết quả tính toán 54

5.2.4 Độ lệch giữa kết quả tính toán lý thuyết và thực nghiệm 56

5.3 Ví dụ 03 57

5.3.1 Dữ liệu bài toán 57

5.3.2 Phân tích áp dụng phương pháp PTHH 58

5.3.3 Kết quả tính toán 59

5.3.4 Hình thái phá hoại 60

5.3.5 Độ lệch giữa kết quả tính toán lý thuyết và thực nghiệm 62

5.3.6 Phân tích sai số trong kỹ thuật chia lưới PTHH 63

5.4 Ví dụ 04 65

5.4.1 Dữ liệu bài toán 65

5.4.2 Phân tích áp dụng phương pháp PTHH 66

5.4.3 Kết quả tính toán 67

5.4.4 Hình thái phá hoại 68

5.4.5 Độ lệch giữa hai kết quả tính toán 71

5.4.6 Phân tích sai số trong kỹ thuật chia lưới PTHH 72

B ÁP DỤNG VÀ SO SÁNH VỚI MỘT SỐ LÝ THUYẾT KHÁC 76

CHƯƠNG 6: KẾT LUẬN & KIẾN NGHỊ 79

6.1 Kết luận chung 79

6.2 Kiến nghị 80

PHỤ LỤC 81

TÀI LIỆU THAM KHẢO 118

KÝ HIỆU SỬ DỤNG

E : môđun đàn hồi Young của vật liệu đẳng hướng tuyến tính

Ec : môđun đàn hồi của bê tông

1

E : môđun cát tuyến của bê tông theo phương biến dạng kéo chính

2

E : môđun cát tuyến của bê tông theo phương biến dạng nén chính

Es : môđun đàn hồi của thép

ν : ứng suất cắt trong phần tử theo phương trục x, y

t : chiều dày phần tử

α : góc xác định hướng của cốt thép trong hệ trục xy

β : góc xác định hướng của phần tử trong hệ trục tọa độ tổng thể XY

ε c : biến dạng của mẫu bê tông lăng trụ ứng với đỉnh ứng suất f 'c

ε : biến dạng trong bê tông khi bắt đầu nứt

γ : biến dạng cắt theo phương trục x, y

θ : góc xác định biến dạng chính với trục x

c

θ : góc xác định ứng suất chính trong bê tông với trục x

φ : góc xác định hướng của vết nứt trong hệ trục xy

ψ : góc đặc trưng trong ma trận chuyển đổi

sx

ρ : hàm lượng cốt thép theo phương x

sy

ρ : hàm lượng cốt thép theo phương y

μ : hệ số Poisson

[A] : ma trận chứa tọa độ các điểm nút

[B] : ma trận biến dạng của phần tử

[D] : ma trận độ cứng vật liệu

[D]c : ma trận độ cứng vật liệu của bê tông

[D]s : ma trận độ cứng vật liệu của cốt thép

{ } ε : ma trận biến dạng của phần tử

{ } f : ma trận ứng suất của phần tử

{F} : véc tơ lực nút của kết cấu

[k] : ma trận độ cứng phần tử

[K] : ma trận độ cứng toàn kết cấu

{r} : ma trận chuyển vị của kết cấu

[T] : ma trận chuyển đổi

DANH MỤC HÌNH

Hình 1.1 Tường công xôn (a), vách cứng (b), dầm cao (c) & dầm cầu (d) 9

Hình 1.2 Độ sai lệch của các tính toán lý thuyết so với thực nghiệm 11

Hình 2.1 Phần tử màng 13

Hình 2.2 Điều kiện tương thích của phần tử sau khi nứt 14

Hình 2.3 Ứng suất trong phần tử 15

Hình 2.4 Ứng suất trong bê tông sau khi nứt 17

Hình 2.5 Mối quan hệ ứng suất – biến dạng đối với thép 18

Hình 2.6 So sánh giữa hướng ứng suất nén chính và biến dạng nén chính 18

Hình 2.7 Mối quan hệ ứng suất – biến dạng nén trong bê tông sau khi nứt 19

Hình 2.8 Mối quan hệ cơ bản trong bê tông 20

Hình 3.1 Tấm mỏng trong trạng thái ứng suất phẳng 22

Hình 3.2 Các bậc tự do và các nút của phần tử chữ nhật 24

Hình 3.3 Các bậc tự do và các nút của phần tử tam giác 26

Hình 3.4 Phần tử BTCT sau khi nứt 28

Hình 3.5 Mối quan hệ cơ bản và module cát tuyến sử dụng trong phân tích 31

Hình 3.6 Các hệ trục tọa độ 32

Hình 4.1 Sơ đồ khối về thuật toán 42

Hình 5.1(a) Cấu tạo của tấm panel 43

Hình 5.1(b) Chia lưới phần tử hữu hạn tấm panel 44

Hình 5.1(c) Biểu đồ mối quan hệ ứng suất – biến dạng tấm panel 51

Hình 5.1(d) Độ lệch của ứng suất cắt giữa lý thuyết và thực nghiệm tấm panel 52

Hình 5.2(a) Tấm panel trên bệ thí nghiệm 53

Hình 5.2(b) Đặc trưng vật liệu và tải trọng của hai tấm panel 54

Hình 5.2(c) Chia lưới phần tử hữu hạn hai tấm panel A, C 54

Hình 5.2(d) Biểu đồ ứng suất cắt – biến dạng phương x hai tấm panel 55

Hình 5.2(e) Biểu đồ ứng suất cắt – biến dạng phương y hai tấm panel 55

Hình 5.2(f) Biểu đồ ứng suất cắt – biến dạng cắt hai tấm panel 55

Hình 5.2(g) Độ lệch của ứng suất cắt giữa lý thuyết và thực nghiệm panel A 56

Hình 5.2(h) Độ lệch của ứng suất cắt giữa lý thuyết và thực nghiệm panel C 57

Hình 5.3(a) Cấu tạo của dầm chịu tải trọng tập trung 58

Hình 5.3(b) Chia lưới phần tử hữu hạn của dầm 59

Hình 5.3(c) Biểu đồ mối quan hệ tải trọng – chuyển vị dầm 59

Hình 5.3(d) Hình thái phá hoại của dầm khi P=30%Pgh 60

Hình 5.3(e) Hình thái phá hoại của dầm khi P=100%Pgh 60

Hình 5.3(f) Ứng suất kéo chính trong dầm khi P=30%Pgh 61

Hình 5.3(g) Ứng suất nén chính trong dầm khi P=30%Pgh 61

Hình 5.3(h) Ứng suất kéo chính trong dầm khi P=100%Pgh 61

Hình 5.3(i) Ứng suất nén chính trong dầm khi P=100%Pgh 62

Hình 5.3(j) Độ lệch của tải trọng giữa lý thuyết và thực nghiệm của dầm 63

Hình 5.3(k) Chia lưới phần tử hữu hạn (dạng mịn) của dầm 64

Hình 5.3(l) So sánh biểu đồ mối quan hệ tải trọng – chuyển vị dầm 64

Hình 5.3(m) So sánh độ lệch về tải trọng của dầm 65

Hình 5.4(a) Cấu tạo của tấm tường BTCT 66

Hình 5.4(b) Chia lưới phần tử hữu hạn của tấm tường 67

Hình 5.4(c) Biểu đồ mối quan hệ ứng suất – biến dạng tấm tường 68

Hình 5.4(d) Hình thái phá hoại của tấm tường khi v=20%vgh 69

Hình 5.4(e) Hình thái phá hoại của tấm tường khi v=100%vgh 69

Hình 5.4(f) Ứng suất kéo chính trong tấm tường khi v=20%vgh 70

Hình 5.4(g) Ứng suất nén chính trong tấm tường khi v=20%vgh 70

Hình 5.4(h) Ứng suất kéo chính trong tấm tường khi v=100%vgh 70

Hình 5.4(i) Ứng suất nén chính trong tấm tường khi v=100%vgh 71

Hình 5.4(j) Độ lệch ứng suất cắt giữa luận văn và Trix của tấm tường 72

Hình 5.4(k) Chia lưới phần tử hữu hạn (dạng mịn) của tấm tường 73

Hình 5.4(l) So sánh biểu đồ mối quan hệ ứng suất – biến dạng tấm tường 73

Hình 5.4(m) So sánh độ lệch ứng suất cắt của tấm tường 74

Hình 5.5 Độ lệch giữa lý thuyết và thực nghiệm trong các ví dụ cơ bản 75

Hình 5.6 Cấu tạo của hai dầm B1, B2 76

Hình 5.7(a) Cấu tạo của dầm B3 77

Hình 5.7(b) Cấu tạo của dầm B4 78

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU

Bảng 1 Kết quả phân tích của tấm panel 50

Bảng 2 Kết quả ứng suất cắt cực hạn và biến dạng kéo chính của tấm panel 52

Bảng 3 Kết quả ứng suất cắt cực hạn của hai tấm panel A, C 57

Bảng 4 Kết quả tải trọng cực hạn và chuyển vị dầm 63

Bảng 5 Kết quả ứng suất cắt cực hạn và biến dạng cắt của tấm tường 72

Bảng 6 Đặc trưng vật liệu của bê tông và cốt thép 76

Bảng 7 Chi tiết dầm B1, B2 77

Bảng 8 Kết quả tính toán tải trọng cực hạn của dầm B1, B2 77

Bảng 9 Kết quả tính toán tải trọng cực hạn của dầm B3, B4 78

Chương 1 : TỔNG QUAN

1.1 Đặt vấn đề

Kết cấu bê tông cốt thép (BTCT) được sử dụng trong hầu hết các công trình xây dựng dân dụng, cầu đường, thủy lợi vì những ưu điểm nổi bật của nó so với các vật liệu khác Và trong tính toán kết cấu, ta gặp rất nhiều những bài toán ứng suất, biến dạng phẳng, khi vật thể dạng tấm mỏng (dầm cao, tấm panel, vách cứng ) như trong Hình 1.1, chịu tải trọng tác dụng trong mặt phẳng tấm (bài toán phẳng)

Hình 1.1 Tường công xôn (a), vách cứng (b),

dầm cao (c) & dầm cầu (d)

Tuy nhiên, trong thực tế thiết kế kết cấu trên thế giới nói chung và nước ta nói riêng ngày nay, phân tích phi tuyến ứng xử của BTCT sau khi bê tông nứt còn ít được quan tâm Phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) phát triển chủ yếu áp dụng cho phần tử vật liệu đẳng hướng, đàn hồi tuyến tính [1]

Phân tích tuyến tính này có thể được hiệu chỉnh để trở thành phân tích phi tuyến kết cấu BTCT chịu lực màng Quá trình trên dựa vào các vòng lặp, công thức độ cứng cát tuyến, và mối quan hệ cơ bản của bê tông và cốt thép dựa trên lý thuyết về vùng nén hiệu chỉnh (Vecchio và Collins 1986) ([2], [3])

1.2 Tình hình nghiên cứu hiện nay

1.2.1 Tình hình nghiên cứu trong nước

Hiện nay ở Việt Nam vẫn chưa có nghiên cứu nào cụ thể phân tích ứng xử phi tuyến kết cấu BTCT

1.2.2 Tình hình nghiên cứu nước ngoài

Năm 1985, một hội nghị quốc tế đã được tổ chức nhằm so sánh các phương pháp phân tích ứng xử của phần tử bê tông cốt thép chịu lực màng [4] với sự tham gia của 27 nhóm đến từ 13 quốc gia khác nhau Bốn tấm Panel thí nghiệm trong chương trình nghiên cứu của trường đại học Toronto được đưa ra đối chứng Yêu cầu được đưa ra là tính toán dự đoán cường độ cực hạn và mối quan hệ tải trọng – biến dạng của các tấm panel Nhiều phương pháp được đề suất từ tính tay đơn giản tới phân tích phi tuyến phức tạp PTHH Tuy nhiên, kết quả không thật sự tốt khi mô tả ứng xử của bê tông sau khi nứt Các tính toán về cường độ cực hạn nói chung lớn hơn so với kết quả thí nghiệm, và hệ số biến thiên là 40% Tính toán về biến dạng còn sai lệch nhiều hơn, hệ số biến thiên lên tới 50 – 100% Cho trong Hình 1.2 là mức độ sai lệch của các tính toán lý thuyết của nhiều tác giả khác nhau so với thí nghiệm về cường độ kháng cắt của các tấm Panel

Hình 1.2 Độ sai lệch của các tính toán lý thuyết so với thực nghiệm [4]

Trong đó, phương pháp về lý thuyết vùng nén hiệu chỉnh (Modified Compression Field Theory – MCFT) [5], [6] được phát triển để dự đoán ứng xử của phần tử màng BTCT Phương pháp này cho thấy đã phản ánh khá chính xác ứng xử phi tuyến của bê tông cốt thép và trở thành lý thuyết cơ bản trong tiêu chuẩn Canada [7] trong thiết kế bê tông cốt thép chịu cắt Nhiều phương pháp PTHH được phát triển kết hợp chặt chẽ các công thức của MCFT ([8], [9], [10]) Song song đó, cũng có nhiều phương pháp không sử dụng các công thức này ([11], [12], [13]) Và tất cả đều thu được những thành công nhất định

Phương pháp MCFT có thể biểu diễn rất chính xác quan hệ tải trọng – biến dạng đối với phần tử bê tông cốt thép chịu lực màng Trong phương pháp này, bê tông sau khi nứt xem như là một vật liệu mới với những đặc trưng quan hệ ứng suất – biến dạng riêng, đồng thời MCFT có xét tới ứng suất kéo trong bê tông sau khi nứt trong tính toán và độ giảm cường độ của bê tông trong vùng nén khi chịu biến dạng kéo lớn Điều kiện cân bằng, điều kiện tương thích, và mối quan hệ ứng suất – biến dạng được tính toán trên ứng suất trung bình và biến dạng trung bình Và tại vị trí khe nứt, có sử dụng hệ ứng suất địa phương

1.3 Mục tiêu nghiên cứu

Trong luận văn này, tác giả sẽ xây dựng các công thức tính độ cứng cát tuyến dựa trên phương pháp MCFT, ma trận độ cứng xây dựng cho phần tử tam giác, tứ giác trường chuyển vị tuyến tính, và lập trình tính toán nhằm phân tích ứng xử những kết cấu dạng tấm mỏng (dầm cao, tấm panel, vách cứng ) chịu tải trọng tác dụng trong mặt phẳng tấm (bài toán phẳng) bằng phương pháp PTHH sử dụng các phương trình của MCFT Kết quả phân tích sẽ được so sánh với kết quả của các tác giả khác và với thực nghiệm Từ đó rút ra những nhận xét và kết luận

Chương 2 : LÝ THUYẾT VỀ VÙNG NÉN

HIỆU CHỈNH (MCFT) 2.1 Các giả thiết

Phần tử màng trong Hình 2.1 là một phần của kết cấu bê tông cốt thép Nó có chiều dày không đổi, kích thước tương đối nhỏ, và bao gồm lưới thép trực hướng theo phương dọc (x) và phương ngang (y) Tải trọng tác dụng lên biên phần tử là ứng suất dọc trục f ,x fy và ứng suất cắt νxy Biến dạng của phần tử xảy ra xem các biên vẫn phẳng và song song Hình dáng phần tử sau biến dạng được quyết định bởi hai biến dạng thường εx, εy và biến dạng cắt γxy

Hình 2.1 Phần tử màng

Vấn đề đặt ra là ba ứng suất trong mặt phẳng ( fx, fy, νxy) quan hệ với ba biến dạng trong mặt phẳng ( εx, εy, γxy) như thế nào trong phần tử màng (Hình 2.1) Để giải quyết vấn đề này, một số giả thiết được hai tác giả Vecchio và Collins đưa ra:

1) Mỗi trạng thái biến dạng chỉ tương ứng với một trạng thái ứng suất Đồng thời không xét đến trạng thái mà đã chịu ảnh hưởng đáng kể của tải trọng tác dụng trước đó

2) Ứng suất, biến dạng được tính ở giá trị trung bình và kích thước phần tử phải đủ lớn để bao gồm nhiều vết nứt

3) Cốt thép và bê tông được liên kết chặt vào nhau tại biên của phần tử (không có hiện tượng trượt)

4) Thép dọc và thép ngang phân bố đều trong suốt phần tử

Ứng suất và biến dạng kéo mang giá trị dương, còn ứng suất và biến dạng nén mang giá trị âm

2.2 Các phương trình cơ bản

2.2.1 Điều kiện tương thích

Cho rằng thép được neo chặt vào bê tông, theo điều kiện tương thích thì biến dạng trong bê tông và cốt thép phải như nhau Mọi sự thay đổi biến dạng trong bê tông sẽ dẫn tới thay đổi tương đương trong thép và ngược lại

Cốt thép (không ứng lực trước) sẽ có biến dạng bằng với biến dạng của bê tông xung quanh Ta có:

x cx

Nếu biết được ba thành phần biến dạng εx, εy và γxy, biến dạng theo các phương khác có thể tìm được thông qua điều kiện về hình học Vòng tròn Mohr về biến dạng (Hình 2.2(b)) cho ta biết được mối quan hệ của các biến dạng Từ đó ta có được:

θ

ε ε γ

tan

) (

y x

y y

x

ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε θ

2 1

1 1

2

2 2

Trong đó, ε1 là biến dạng kéo chính, còn ε2 là biến dạng nén chính

2.2.2 Điều kiện cân bằng

Lực tác dụng vào phần tử bê tông cốt thép sẽ sinh ra ứng suất trong bê tông và ứng suất trong cốt thép Xét một phần của phần tử bê tông cốt thép như trong Hình 2.3:

Hình 2.3 Ứng suất trong phần tử

Theo điều kiện cân bằng lực, tổng lực tác dụng sẽ bằng không theo phương x

Ta có thể viết:

c cx A

sx sx cx

Cho rằng vcx = vcy = vcxy

Các thành phần ứng suất trong bê tông sẽ biết được nếu biết ba thành phần

(c) Vòng tròn Mohr về ứng suất trung bình trong bê tông

Hình 2.4 Ứng suất trong bê tông sau khi nứt

Từ vòng tròn Mohr về ứng suất trong bê tông (Hình 2.4(c)), ta có các phương trình về mối quan hệ giữa các ứng suất như sau:

c cxy c

và fc2 = fc1 − vcxy.(tan θc + 1 / tan θc) (2.13)

2.2.3 Mối quan hệ ứng suất – biến dạng

Mối quan hệ cơ bản này cần thiết để liên hệ biến dạng trung bình và ứng suất trung bình trong cả bê tông và cốt thép Những mối quan hệ ứng suất – biến dạng trung bình này có thể khác nhiều so với mối quan hệ ứng suất – biến dạng địa phương trong những thí nghiệm thông thường về vật liệu Hơn nữa, quan hệ ứng suất – biến dạng trung bình này đối với bê tông và cốt thép không hoàn toàn độc lập nhau Tuy nhiên, để đơn giản hóa trong quá trình tính toán, ta xem chúng độc lập với nhau Và ứng suất dọc trục trong cốt thép xem như chỉ phụ thuộc vào một đại lượng, đó là biến dạng dọc trục của thép Đồng thời xem rằng ứng suất trung bình trong mặt phẳng vuông góc với thép bằng không Trong liên hệ ứng suất dọc trục và biến dạng dọc trục trong cốt thép, đường quan hệ tuyến tính ứng suất – biến dạng như trong Hình 2.5 sẽ được sử dụng

Hình 2.5 Mối quan hệ ứng suất – biến dạng đối với thép

Từ đó ta có:

yx x s

2.2.4 Ứng xử ứng suất trung bình – biến dạng trung bình trong bê tông

Theo nghiên cứu của Vecchio và Collins, hướng của biến dạng chính trong bê tông hơi lệch so với hướng của ứng suất chính (Hình 2.6)

Hình 2.6 So sánh giữa hướng ứng suất nén chính và biến dạng nén chính [5]

Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta xem như trục của biến dạng chính và của ứng suất chính này trùng nhau

Ứng suất nén chính trong bê tông cho thấy không những là hàm của biến dạng nén chính

Hình 2.7 Mối quan hệ ứng suất – biến dạng nén trong bê tông sau khi nứt

Mối quan hệ giữa ứng suất nén chính và biến dạng nén chính được đề xuất là:

max 2 2

' '

2

c c

'

1 max

Trong đó Ec là module đàn hồi của bê tông, được lấy bằng 2 f 'c/ ε 'c

Công thức mối quan hệ giữa ứng suất kéo trung bình và biến dạng kéo trung bình cho bê tông sau khi nứt ( ε1 > εcr) được đề xuất là:

Chương 3 : PHƯƠNG PHÁP PTHH

TRONG GIẢI BÀI TOÁN MCFT 3.1 Cơ sở và các bước phân tích chung

Phương pháp phần tử hữu hạn [1], [14] là một phương pháp số đặc biệt có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định V của nó Tuy nhiên phương pháp PTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm cần tìm trên toàn miền V mà chỉ trong từng miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định N Do đó phương pháp này rất thích hợp với hàng loạt bài toán vật lý kỹ thuật, trong đó hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp gồm nhiều vùng nhỏ có đặc tính hình học, vật lý khác nhau, chịu những điều kiện biên khác nhau Phương pháp ra đời từ trực quan phân tích kết cấu, rồi được phát triển một cách chặt chẽ và tổng quát như một phương pháp biến phân hay phương pháp dư có trọng số nhưng được xấp xỉ trên mỗi phần tử

Trong phương pháp PTHH, miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử Các phần tử này nối kết với nhau tại các điểm định trước trên biên phần tử, gọi là nút Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ trong dạng của một hàm đơn giản gọi là các hàm xấp xỉ Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (và có khi cả các giá trị của đạo hàm của nó) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này được gọi là các bậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán

Với bài toán cơ học vật rắn biến dạng nói chung và bài toán phẳng nói riêng,

ta có thể phân tích bài toán theo ba loại mô hình sau:

o Mô hình tương thích: ta xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân Lagrange

o Mô hình cân bằng: hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của ứng suất hay nội lực trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng hay nguyên lý biến phân về ứng suất (nguyên lý Castigliano)

o Mô hình hỗn hợp: coi các đại lượng chuyển vị, ứng suất là 2 yếu tố độc lập Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reisser

Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một hệ phương trình đại số vừa nhận được thì cũng có nghĩa là ta tìm được các xấp xỉ biểu diễn đại lượng cần tìm trong tất cả các phần tử Và từ đó cũng tìm được các đại lượng còn lại

Trong 3 mô hình này thì mô hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn cả

3.2 Phương pháp PTHH trong giải bài toán phẳng

Trong bài toán phẳng phần tử màng BTCT, bê tông trước khi nứt được coi như vật liệu đàn hồi, đẳng hướng, tuyến tính Từ đó phân tích đàn hồi tuyến tính có thể được thực hiện Tuy nhiên, bê tông sau khi nứt thì sự tuyến tính này không còn nữa, cần thiết phải phân tích phi tuyến mối quan hệ ứng suất – biến dạng

3.2.1 Bài toán phẳng của lý thuyết đàn hồi tuyến tính

Như đã biết trong giáo trình lý thuyết đàn hồi, vật thể dạng tấm mỏng khi chịu tải trọng trong mặt phẳng tấm như Hình 3.1 thì mọi điểm của nó đều ở trạng thái ứng suất phẳng

z y

x

t

Hình 3.1 Tấm mỏng trong trạng thái ứng suất phẳng

Khi đó trạng thái ứng suất – biến dạng – chuyển vị mọi điểm được biểu diễn bởi các véctơ sau đây:

xy y

Các thành phần trong vectơ này chỉ là hàm của hai biến số độc lập x, y

Phương trình định luật Hooke (dạng ngược):

0 1

0 1

2 2

2

1

C C

C C

với E : module đàn hồi của vật liệu

μ : hệ số poisson

Ma trận độ cứng của phần tử dạng chữ nhật:

Xét phần tử chữ nhật trong mặt phẳng xy như Hình 3.2 Phần tử có chiều dày t và bốn điểm nút i, j, k và l là các đỉnh của chữ nhật Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị theo phương x và y

Hình 3.2 Các bậc tự do và các nút của phần tử chữ nhật

Tập hợp các bậc tự do này là vectơ chuyển vị nút phần tử { } q e và là:

ab

k k k

k k k

Trong đó các kij được xác định như sau:

6

2 4

3

2 2

13 2

12

2 2

11

b a k

C ab k

a b

4

2 16

2 2

15 2

14

C ab k

a b k

2 2

24 18

23

2 2

22

b a

k k

k b

Ma trận độ cứng của phần tử dạng tam giác:

Xét phần tử tam giác trong mặt phẳng xy như Hình 3.3 Phần tử có chiều dày t và ba điểm nút i, j, k là các đỉnh của tam giác Mỗi nút có 2 bậc tự do là 2 thành phần chuyển vị theo phương x và y

Hình 3.3 Các bậc tự do và các nút của phần tử tam giác

Tập hợp các bậc tự do này là vectơ chuyển vị nút phần tử { } q e và là:

k k k A

k k k

Trong đó các kij được xác định như sau:

2 2

y

jk kj jk

22 xjk yjk

k = + λ k46 = − xik xij − λ yik yij

jk ik ik

x

ij jk ij

x

3.2.2 Bài toán phẳng trong phân tích phi tuyến

Với một số điều chỉnh nhỏ, phương pháp PTHH đàn hồi tuyến tính kể trên có thể trở thành phân tích phi tuyến ứng xử của vật liệu bê tông cốt thép

3.2.2.1 Thiết lập các phương trình MCFT sử dụng trong phương pháp PTHH

Cho phần tử màng BTCT với lưới thép trực hướng như trong Hình 3.4 Phần tử bao gồm lưới thép phân bố theo phương dọc (x) và theo phương ngang (y) với lượng thép được cho bởi hàm lượng ρx, ρy và cường độ chảy dẻo là fxy, fyy Còn bê tông được đặc trưng bởi cường độ nén khối lăng trụ f 'c Tải trọng tác dụng lên biên phần tử coi như bao gồm ứng suất phân bố dọc trục fx, fy và ứng suất cắt

xy

v Biến dạng của phần tử xảy ra xem các biên vẫn phẳng và song song

Hình 3.4 Phần tử BTCT sau khi nứt

Dưới tác dụng của tải trọng, theo điều kiện cân bằng, trường biến dạng được xác định bởi hai biến dạng thường εx, εy và biến dạng cắt γxy Từ vòng tròn Mohr về biến dạng, biến dạng kéo chính ε1, biến dạng nén chính ε2, và góc nghiêng biến dạng (hay còn gọi là góc nghiêng của vết nứt) θc có thể được tính:

max 2 2

' '

2

c c

f f

' / 34 0 8 0

Công thức này mô tả sự giảm cường độ theo phương chịu nén của bê tông sau khi nứt

Đối với bê tông khi chịu kéo, trước khi nứt, mối quan hệ tuyến tính ứng suất – biến dạng được sử dụng Từ đó, ứng suất kéo chính fc1 là:

với fsx và fsy là ứng suất trong thép

Đối với thép, mối quan hệ tuyến tính ứng suất – biến dạng được sử dụng, từ đó

Ứng suất chính trung bình trong bê tông, từ vòng tròn Mohr về ứng suất cho ta xác định được ứng suất trong bê tông theo phương x, y là f ,cx fcy và ứng suất cắt

2 1 2

c cx

f f f

2 1 2

c cy

f f f

f

+ +

( )

2

2 sin

2

c cxy

f f

Ứng suất trong bê tông và trong cốt thép sẽ bằng với tải trọng đã biết tác dụng

lên phần tử , và Ta có: fx fy vxy

Tương thích giữa ứng suất và biến dạng, module cát tuyến có thể được xác định cho bê tông và cốt thép (Hình 3.5) Giá trị cần thiết cho các công thức PTHH bao gồm:

Trong đó Ec1, Ec2 liên hệ ứng xử ứng suất – biến dạng của bê tông và Esx, Esy

liên hệ ứng suất – biến dạng trong thép theo hai phương trực hướng nhau

(a) Bê tông chịu kéo (c) Cốt thép

(b) Bê tông chịu nén

Hình 3.5 Mối quan hệ cơ bản và module cát tuyến sử dụng trong phân tích

3.2.2.2 Phân tích trong phương pháp PTHH

Trong xây dựng ma trận độ cứng phần tử [k], ma trận độ cứng vật liệu [D] dùng để biểu thị mối quan hệ giữa ứng suất { } f và biến dạng { } ε Ta có:

(a) Tọa độ tổng thể (b) Thành phần bê tông (c) Thành phần cốt thép

Hình 3.6 Các hệ trục tọa độ

Coi hệ trục tọa độ tổng thể theo phương trục X, Y và hệ trục của mỗi phần tử là x, y như Hình 3.6 ở trên Ngoài ra, hướng của cốt thép trong phần tử được xác định bằng hệ trục xi’, xi’ Các góc β, φ, αi xác định phương của các hệ trục

Ma trận độ cứng vật liệu [D] của phần tử được xác định trong hệ trục tọa độ tổng thể X, Y bằng cách xác định ma trận của từng thành phần bê tông [D]c và cốt thép [D]si Ma trận độ cứng vật liệu của phần tử được tính toán bằng cách kết hợp

ma trận độ cứng vật liệu từng thành phần Ta có:

T c

c c

G E

E D

0 0

0 0

0 0 ]

i x y

E D

si i

0 0 0

0 0 0

0 0 ]

Ma trận chuyển đổi [T] dùng trong công thức (3.38) được cho bởi:

sin cos 2 sin cos 2

sin cos cos

sin

sin cos sin

cos ]

[

2 2

2 2

2 2

ψ ψ

ψ ψ ψ

ψ

ψ ψ ψ

ψ

ψ ψ ψ

[ ] [ ]

[

Trong đó [B] là ma trận biến dạng của phần tử

Đối với phần tử tam giác, tứ giác trường chuyển vị tuyến tính, các hệ số trong

ma trận độ cứng phần tử có thể tính được bằng phương pháp chính xác Để ý rằng

ma trận độ cứng phần tử và ma trận độ cứng tổng thể [K] là những ma trận đối xứng

Ma trận độ cứng của phần tử dạng chữ nhật:

Đối với phần tử chữ nhật như trong Hình 3.2 có vectơ chuyển vị nút phần tử { } r :

v u v u v u v u

r = 1 1 2 2 3 3 4 4

Như (3.45) ma trận độ cứng phần tử được tính k = ∫ B T D B dV

] ][

[ ] [ ]

Tuy nhiên việc tích phân trực tiếp sau khi nhân các ma trận trong dấu tích phân như trên sẽ phức tạp Có thể thực hiện bằng cách sau đây sẽ đơn giản hơn như sau:

a b ab

a b ab b

0 2

13 0 2 12 0

11 0 2

2 13 0 2 12 0

13 0 11

0 2

13 0 2 12 0

11 0 2

13 0 2 12 0

23 0 22

0 2

13 0 2 12 0

22 0 2

k25 = k16

23 0 22

0 2

13 0 2 12 0

22 0 2

13 0 11

0 2

13 0 2 12 0

0 2

13 0 2 12 0

23 0 22

0 2

0 2