Vì vậy để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.. Nếu h x nhận cả giá [r]
Trang 1ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Khái niệm bất phương trình một ẩn
Định nghĩa: Cho hai hàm số yf x và y g x có tập xác định lần lượt là D f
và D g
Đặt
f g
D D D
Mệnh đề chứa biến “ f x g x ” được gọi là bất phương trình một ẩn, x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D được gọi là tập xác định của bất phương trình.
- Số x0D được gọi là một nghiệm của bất phương trình f x g x nếu “ f x 0 g x 0
” là một mệnh đề đúng
- Giải bất phương trình f x g x là đi tìm tất cả các nghiệm của nó
2 Hệ bất phương trình một ẩn
Định nghĩa: Hệ bất phương trình một ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm
các nghiệm chung của chúng
- Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một
nghiệm của hệ bất phương trình đã cho
- Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó
- Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm của các bất phương trình đó
3 Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương các bất phương trình
3.1 Bất phương trình tương đương
Định nghĩa: Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình
tương đương
3.2 Biến đổi bất phương trình tương đương
Định nghĩa: Phép biến đổi tương đương và phép biến đổi một bất phương trình thành một bất
phương trình tương đương với nó
Định lý: Cho bất phương trình f x g x có tập xác định là D; y h x là một hàm số xác
định trên D Khi đó trên D, ta có:
+ f x g x f x h x g x h x
+ f x g x f x h x . g x h x . nếu h x 0 x D
Trang 2+ f x g x f x h x . g x h x . nếu h x 0 x D.
+ f x g x f2 x g x2 nếu f x 0;g x 0 x D
Hệ quả: f x g x h x f x h x g x
Lưu ý:
- Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi Vì vậy để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị
của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.
- Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình f x g x với biểu thức h x ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của h x Nếu h x nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình
- Khi giải bất phương trình f x g x mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp
+ f x g x , cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình
+ f x g x , cùng có giá trị âm, ta viết: f x g x f x g x rồi bình phương hai vế bất phương trình mới
B BÀI TẬP
I BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1 Xét xem hai bất phương trình sau có tương đương hay không? x2 và x x 1
Câu 2 Xét xem hai bất phương trình sau có tương đương hay không?
1 0
x và x1 2 x1 0
Câu 3 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình:
3 2
x x x
Câu 4 Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của bất phương trình: x 3 1 x 3
Câu 5 Chứng minh bất phương trình sau vô nghiệm:
2
2
1
1
x x
x x
Trang 3Câu 6 Giải hệ bất phương trình:
3
5
6 3
2 1 2 2
x
x
Câu 7 Giải bất phương trình :
2 3
x x x
Câu 8 Giải bất phương trình sau: x2 2 x 3 0
Câu 9 Giải bất phương trình sau: x 1 x 1
Câu 10 Cho bất phương trình x 1x 2m 2 0
Tìm m để mọi x 2;3 đều là nghiệm
của bất phương trình đã cho
II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Số 2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?
A 2x 1 1 x B 2x1 1 x x2
C
1
2 0
2
2 x x 2 0
Câu 2 Điều kiện của bất phương trình 2
1
2
4 x
x là
Câu 3 Tập xác định của bất phương trình
x
là
A 2; B 3; C 3; \ 0 D 2; \ 0
Câu 4 Điều kiện của bất phương trình
3
x x
x
A x ³ 1 và x ³ - 3 B x ³ - 1 và x ³ - 3
C 1- x³ 0 và x ¹ - 3 D 1- x³ 0 và x + >3 0
Câu 5 Điều kiện của bất phương trình
2 3
1
x
+ là:
A x ³ 3 B x ³ - 1 C x £ 3và x ¹ - 1 D x ¹ - 1
Trang 4Câu 6 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 2 - x x+ < + 2 1 2 - x
A x Î ¡. B x Î - ¥( ;2 ] C
1
; 2
xÎ - ¥æçççè ùúúû D xÎ éêêë12;2 ùúúû
Câu 7 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình
1
5
x
x
-+
A x Î -[ 5;4 ] B x Î -( 5;4 ] C x Î [4;+¥ ). D x Î - ¥ -( ; 5 )
Câu 8 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình ( )2
1
1.
2
x
x x
+
< +
-A x Î - +¥[ 1; ). B x Î - +¥( 1; ). C x Î - +¥[ 1; ) { }\ 2 D x Î - +¥( 1; ) { }\ 2
Câu 9 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y= m- 2x- x+1 có tập xác định
là một đoạn trên trục số
1 2
Câu 10 Bất phương trình nào sau đây không tương đương với bất phương trình x 5 0?
A x x2 50 B x5x50
C
2
Câu 11 Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất
phương trình 3x (*).1 0
x
3 1 2
x
A Bất phương trình (1)
B Bất phương trình (2)
C Bất phương trình (1) và (2)
D Cả hai bất phương trình (1), (2) đều không tương đương với bất phương trình (*) Câu 12 Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình x - 3 0>
A ( ) (2 )
x- x- >
B x- 3+ 1- x> 1- x
C (x- 3) x- 3>0
D x x -( 3) > 0
Trang 5Câu 13 Cặp bất phương trình tương đương là:
A.
x
và 3x 3 B. 1 x x và 1 x x 2
C. x 1x và 2x 1 x 1 x x2 1
D.3x 1 1 x và 3x 12x 32
Câu 14 Tập nghiệm của bất phương trình x22 x 1
A S B
1
; 2
S
C 1; D
1
; 2
Câu 15 Tập nghiệm của hệ bất phương trình
x
A 3; 2 B ; 3 C 2; D 3;
Câu 16 Tập xác định của hàm số y x m 6 2 x là một đoạn trên trục số khi và chỉ khi:
A m 3 B m 3 C m 3 D
1 3
m
Câu 17 Tập nghiệm của bất phương trình x 2020 2020 x là
A 2020 B 2020; C D ;2020
Câu 18 Tập nghiệm của hệ bất phương trình
1 3
4 3
3 2
x
x x
x
A
3
2;
5
B
4 2;
5
C
1 1;
3
D
4 2;
5
Câu 19 Bất phương trình
x
+ < +
A 2x<3. B
3 2
x<
và x ¹ 2 C
3 2
x<
D Tất cả đều đúng.
Câu 20 Bất phương trình
x
+ < +
- - tương đương với:
A 2x<5. B
5 2
x<
và x ¹ 2 C
5 2
x<
D Tất cả đều đúng.
Trang 6Câu 21 Bất phương trình 2x- ³1 0 tương đương với bất phương trình nào sau đây?
A
x
x
C (2x- 1) x- 2020³ x- 2020.D
x
-Câu 22 Cặp bất phương trình nào sau đây là tương đương?
A x- 2 0£ và x x-2( 2)£ 0. B x- 2 0< và x x-2( 2)>0
C x- 2 0< và x x-2( 2)<0. D x- 2 0³ và x x-2( 2)³ 0
Câu 23 Bất phương trình (x+1) x£ 0 tương đương với
A ( )2
B (x+1) x<0
C ( )2
x+ x<
Câu 24 Bất phương trình x- ³1 x tương đương với
A (1 2- x x) - ³1 x(1 2 - x) B (2x+1) x- ³1 x x(2 +1 )
C (1 - x2) x- ³ 1 x(1 - x2).
D x x- £1 x2. Câu 25 Với giá trị nào của a thì hai bất phương trình (a+1)x a- + >2 0
và (a–1)x a- + >3 0 tương đương:
A a=1. B a=5. C a=- 1. D a=2.
Câu 26 Với giá trị nào của m thì hai bất phương trình (m+2)x m£ +1 và 3m x( - 1)£ - -x 1 tương đương:
A m=- 3. B m=- 2. C m=- 1. D m=3.
Câu 27 Tập nghiệm S của bất phương trình
2
5
x
là:
A S = ¡. B S = - ¥( ;2 )
C
2
S= -æçççè +¥ ÷ö÷÷ø D
23
S=éêê +¥ ÷÷÷øö ë
Câu 28 Tập nghiệm S của bất phương trình (1- 2)x< -3 2 2
là:
Trang 7A S = - ¥ -( ;1 2 )
B S = -(1 2;+¥ )
Câu 29 Bất phương trình
x+ - £ x+ +x
có bao nhiêu nghiệm nguyên lớn hơn - 10?
Câu 30 Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình x(2- x)³ x(7- x)- 6(x- 1) trên đoạn [- 10;10] bằng:
Câu 31 Bất phương trình (2x- 1)(x+ -3 3) x+ £1 (x- 1)(x+ + -3) x2 5 có tập nghiệm
A
2
3
S= - ¥ - ÷æçççè ö÷÷ø B
3
S= -éêê +¥ ÷ö÷÷ø
ë C S = ¡. D S =Æ.
Câu 32 Tập nghiệm S của bất phương trình ( ) (2 )2
là:
A
6
S=éêê +¥ ÷ö÷÷÷
ø
ê B
6
S=æççç +¥ ö÷÷÷
÷
çè ø C
3
6
S= - ¥æççç çè ùúú ú D
3
6
S= - ¥æççç ö÷÷÷
÷
Câu 33 Tập nghiệm S của bất phương trình ( )2 ( )2 2 ( )2
x- + -x + <x + -x là:
A S = - ¥( ;0 ) B S =(0;+¥ ). C S = ¡ . D S =Æ.
Câu 34 Tập nghiệm S của bất phương trình x+ x<(2 x+3)( x- 1)
là:
A S = - ¥( ;3 ) B S =(3;+¥ ). C S = +¥[3; ) D S = - ¥( ;3 ]
Câu 35 Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
x
-£
A 15 B 11 C 26 D 0
Câu 36 Tập nghiệm S của bất phương trình (x- 3) x- 2 0³ là:
A S = +¥[3; ) B S =(3;+¥ ) C S ={ } [2 È +¥3; ) D S ={ } (2 È 3;+¥ )
Trang 8Câu 37 Tập nghiệm S của bất phương trình
ì - < + ïï
A S = -( 3;5 ) B S = -( 3;5 ] C S = -[ 3;5 ) D S = -[ 3;5.]
Câu 38 Biết rằng bất phương trình
2
x x
ì - < -ïï
ïï
-íï ïï
ïî có tập nghiệm là một đoạn [ ]a b; Hỏi a b+ bằng:
A
11
9
47 10
Câu 39 Tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 ( )2
2
ì - < + ïï
íï < +
Câu 40 Cho bất phương trình:
8
1 1
3 x Một học sinh giải như sau:
1
x
x x
5
x
x Hỏi học sinh này giải sai ở bước nào?
A I
và III .
Câu 41 Tìm tập nghiệm của bất phương trình: 1 x3 2 1 x 5 1 x 3
A S ; 5 B S C 5; S ; 5 D S ;5
Câu 42 Tìm tập nghiệm của bất phương trình: x1 2x2 1 0
A 1 1;
2
S
2
S
C
1
; 2
S
1
; 2
S
Câu 43 Tập nghiệm S của bất phương trình x+ x- 2 2£ + x- 2 là:
A S =Æ. B.S = - ¥( ;2 ] C S ={ }2 D.S =[2;+¥ )
Trang 9Câu 44 Tập nghiệm của bất phương trình:
1
5
x
x x
là:
A S B S C S ; 1 D S 1;
Câu 45 Tập nghiệm của bất phương trình: 2x1x là S a b;
Tính P a b ?
A
1
2
P
B
1 6
P
C P 1 D
1 3
P
Câu 46 Cho bất phương trình:
1 1 2
x x
Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là:
A 1 B 1 C 3 D 0
Câu 47 Tập nghiệm của bất phương trình
x 2 x
2 x
là:
A 0;1 B ; 21; C ;01; D 0;1
Câu 48 Cho bất phương trình:
x 13 9 Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là:
A 2 B 3 C 4 D 5
Câu 49 Cho bất phương trình: 1 x mx. 20 * Xét các mệnh đề sau:
(I)Bất phương trình tương đương với mx 2 0
(II) m 0 là điều kiện cần để mọi x 1 là nghiệm của bất phương trình (*)
(III) Với m 0 , tập nghiệm của bất phương trình là
2
1
x
m Mệnh đề nào đúng?
A Chỉ I B Chỉ III C II và III D I , II và III
Câu 50 Hãy chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:
A x 1 x1 B x 1 1 x 1
Trang 10C HƯỚNG DẪN GIẢI
I BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1 Hai bất phương trình không tương đương, vì x không là nghiệm của bất phương 2
trình x2 nhưng lại là nghiệm của bất phương trình x x 1
Câu 2 Ta có: +) x 1 0 x1
+) 1 2 1 0 1 0 1
Vậy hai bất phương trình trên không tương đương với nhau
Câu 3 Đkxđ là :
Câu 4 Đkxđ: x 3 0 x 3
Với điều kiện x , thì 3 x 3 1 x 3 0 1 (luôn đúng)
Vậy S 3;
Câu 5 Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
2
2
1
1
x x
Nên bất phương trình đã cho vô nghiệm
Câu 6
2 1
x
Trang 11Vậy
7 5
;
10 2
S
Câu 7 Ta có:
3
x x
x
x
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S 3;
Câu 8 Ta có: 2 2 3 0 2 2 3 0 2 0 2
Vậy S 3;
Câu 9 +) Với x , ta có 1 x 1 0,x 1 0 suy ra nghiệm của bất phương trình là x 1
+) Với x , bất phương trình tương đương với 1 2 2
1
x
1
x x
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S
Câu 10 Bất phương trình đã cho tương đương với
1
1 0
* 1
1 0
x x
x x
+) TH1:
3
2
m m
, ta có * 1
x
Suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 122;Sm.
Do đó mọi x 2;3 đều là nghiệm của bất phương trình đã cho khi và chỉ khi
2
thõa mãn yêu cầu bài toán
+) TH2:
3
2
m m
Ta có
1
1
x
x x
3 2
m
thõa mãn ycbt
Trang 12+) TH3:
3
2
m m
Ta có
1
1
x
x x
3 2
m
thõa mãn ycbt
Vậy giá trị cần tìm là m 2
II BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1 Chọn B
2
2 2 1 1 2 2
” là một mệnh đề đúng Vậy 2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình 2x1 1 x x2
Câu 2 Chọn A Điều kiện: x 2 4 0 x2
Câu 3 Chọn C Điều kiện xác định:
3 0 0
x x
3 0
x x
Vậy D 3; \ 0
Câu 4 Chọn D.
Câu 5 Chọn C.
Câu 6 Chọn C Bất phương trình xác định khi
x x
ì - ³ ïï
íï - ³ ïî
2
1 1
2 2
x
x x
ì £ ïï ï
Û íï £ïïî Û £
Câu 7 Chọn B Bất phương trình xác định khi
x
ì + > ì
Câu 8 Chọn C Bất phương trình xác định khi
( ) 2
1
2 0
x
x
x
ï - ¹ ïî
Câu 9 Chọn D Hàm số xác định khi
2
m
ìïï
m
m
thì tập xác định của hàm số là D= -{ }1
m
m
<- Û
thì tập xác định của hàm số là D = Æ
m
m
>- Û
thì tập xác định của hàm số là D 1;2.
m
=
Câu 10 Chọn D Ta có x 5 0 x5 Ta xét các bất phương trình:
Trang 13
x x x
x 1 2 x 5 0 x 5
x x x
Câu 11 Chọn B.
Câu 12 Chọn C.
Câu 13 Chọn C.
Câu 14 Chọn A Ta có x22 x 1 2 2
1 0
x
1
x x
1 1 2
x x
Vậy bất phương trình vô nghiệm
Câu 15 Chọn A Ta có:
x
2
3
x
x x
Câu 16 Chọn B Điều kiện:
0
Tập xác định của hàm số y x m 6 2 x là một đoạn trên trục số khi và chỉ khi m 3
Câu 17 Chọn C Điều kiện:
2020 0
2020
2020 0
x
x x
Thay x 2020 vào bất phương trình x 2020 2020 x, dễ thấy x 2020 không phải là nghiệm Vậy bất phương trình vô nghiệm
Câu 18 Chọn D Ta có
2 1
4
4
5
3 2
x
x
x
Vậy hệ bất phương trình có tập nghiệm
4 2;
5
S
Câu 19 Chọn D Điều kiện:x ¹ 2 Với điều kiện đó, bất phương trình tương đương với:
3
2
x< Û x<
(thỏa điều kiện)
Trang 14Câu 20 Chọn B Điều kiện:x ¹ 2Bất phương trình tương đương với:
5
2
x< Û x<
, kết
hợp với điều kiện ta có
5 2
x <
và x ¹ 2
Câu 21 Chọn B Nếu ta cộng
1 3
x- vào hai vế bất phương trình 2x- ³1 0 thì điều kiện của bất phương trình sẽ thay đổi suy ra đáp án A sai Tương tự nếu ta nhân hoặc chia hai vế bất phương trình đã cho với x- 2018 thì điều kiện của bất phương trình ban đầu cũng sẽ thay đổi suy ra đáp án C và D sai
Câu 22 Chọn A Ta xét từng bất phương trình trong đáp án A:
x- £ Û x£
x x- £ Û x£
Cả hai bất phương trình có cùng tập nghiệm nên chúng tương đương
Câu 23 Chọn C Bất phương trình (x+1) x£ có điều kiện 0
Ta có:
0
x
x
é =-ê
ê =
ë Đáp án A sai.
Ta có: (x+1) x< vô nghiệm vì từ điều kiện 0 x³ 0Þ (x+1) x³ 0 Đáp án B sai.
Ta có: ( )2
x+ x£ Û x= Đáp án C đúng
Ta có:
1 0 1
đúng
Câu 25 Chọn B Thay lần lượt từng đáp án vào hai phương trình.
● Thay a= , ta được 1
( )
1
2
ìïï + - + > ¾¾® + > « >-ïïí
Trang 15● Thay a= , ta được 5
( )
1
2 1
2
ìïï + - + > ¾¾® - > « >
ïïï íï
ï - + > ¾¾® - > « >
Câu 26 Chọn D.
Câu 27 Chọn D
2
5
x
23
Câu 28 Chọn B (1- 2)x< -3 2 2 ( )2
3 2 2
-Câu 29 Chọn B
x+ - £ x+ +x
-Vì xÎ ¢, 10- < £ -x 5 nên có 5 nghiệm nguyên
x
Î
Câu 31 Chọn D
BPT Û x + x- - x+ £ x + x x+ - Û x£ - Û xΠƾ¾® =ÆS
Câu 32 Chọn A
BPT Û
x + x+ ³ x - x+ + Û x³ Û x³ Þ S=éêê +¥ ÷ö÷÷÷
ø ë
Câu 33 Chọn D BPT Û x2- 2x+ +1 x2- 6x+ +9 15<x2+x2- 8x+16
0.x 9
Û <- Þ S=Æ
Câu 34 Chọn B Điều kiện: x ³ 0.
Với đk đó, BPT Û x+ x<2x- 2 x+3 x- 3Û - <- Ûx 3 x> Þ3 S=(3;+¥ )
Câu 35 Chọn B Điều kiện: x> 4
Với đk đó,BPT Û x- 2 4£ Û x£ Þ6 4< £x 6,xÎ ¢Þ x=5;x= Þ6 S=11
Câu 36 Chọn C Điều kiện: x ³ 2. Với đk đó, BPT tương đương với
2
3
3 0
x x
x x
ë
Câu 37 Chọn C Ta có