NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚA... Chứng minh rằng: a Tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương... Chứng minh rằng xy + 4 là số chính phương.
Trang 1NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
A LÝ THUYẾT: Các hằng đẳng thức đáng nhớ:
a b a 2ab b
a b a 2ab b
3) a 2 b 2 a b a b
6) a b 3 3 a b a ab b 2 2
7) a b 3 3 a b a 2 ab b 2
a b c a b c 2ab 2ac 2bc
a a a a a a 2a a
2a a 2a a 1 3 1 n 2a a 2a a 2 3 2 n 2a a n 1 n
10) a n b n a b a n 1 a b a b n 2 n 3 2 a b 2 n 3 ab n 2 b n 1 với n N � *
11) a 2k b 2k a b a 2k 1 a 2k 2 b a 2k 3 2 b a b 2 2k 3 ab 2k 2 b 2k 1
12) a n b n a b a n 1 a b a b a b n 2 n 3 2 2 n 3 ab n 2 b n 1 với n lẻ
B BÀI TẬP:
Bài 1 Rút gọn biểu thức:
a) 2 2 2 2 2 2 22
b) 2 2 2 2
Giải :
a) 2 2 2 2 2 2 22
Trang 2
b) 2 2 2 2
a 2 b 2 c 2 2ab 2bc 2ca a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ca
a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca a 2 b2 2ab b 2 c2 2bc c 2 a2 2ca
a 2 b 2 c 2
Bài 2 Tính giá trị biểu thức:
a) A 123 123 154 77 2
b) B 85 2752652552452352252152
c) C 1 2 22 32 42 2015220162
d) D = 324 – (274 + 1)(96 – 1)
e)
E
Giải:
a) Ta có: A 123 123 154 77 2 123 2 123.154 77 2
2 2 2
b) Ta có: B 85 2752652552452352252152
c) C 1 2 22 32 42 2015220162
2033136 2
d) D = 324 – (274 + 1)(96 – 1) = 324 – (312 + 1)(312 – 1) = 324 – (324 – 1) = 1
e)
2
135 65
E
Trang 3Bài 3 Tính giá trị biểu thức:
a) A x 66x56x46x36x26x 6 với x = 5.
b) B x 650x550x450x350x250x 50 với x 49
c) C x 33x23x với x = 99
d) D 3 x 2 y 2 2 x 3 y 3 với x + y =1
e) E = x3 – 3x2 + 3x2y + 3xy2 + y3 – 3y2 – 6xy + 3x + 3y + 2015 với x+y =101
Giải:
a) Ta có: x 5 �x 1 6 Suy ra:
b) Ta có: x 49 �x 1 50 Suy ra:
C x 3x 3x x 3x 3x 1 1 x 1 1 99 1 1 999999
d) D 3 x 2 y 2 2 x 3 y 3 3x 2 3y 2 2 x y x 2 xy y 2
3x 2 3y 2 2 x 2 xy y 2 x 2 2xy y 2 1
e) E = x3 – 3x2 + 3x2y + 3xy2 + y3 – 3y2 – 6xy + 3x + 3y + 2015
= (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) – (3x2 + 3y2 + 6xy) + (3x + 3y) + 2015
= (x + y)3 – 3(x + y)2 + 3(x + y) – 1 + 2016
= (x + y – 1)3 + 2016 = 1003 + 2016 = 1002016
Bài 4
a) Cho
1 D
b) Tính
Giải:
a) Đặt
, ta có:
Trang 42 2011
và
2015 155 1
155
D
�
�
b) Đặt
, ta có:
1975
* Nhận xét: Khi tính giá trị một biểu thức, tùy từng trường hợp có thể thay số
bằng chữ hoặc thay chữ bằng số cho phù hợp để bài toán đơn giản, thuận lợi hơn
Bài 5
a) Rút gọn biểu thức: A 24 5 2 1 5 4 1 5 8 1 5 16 1
b) So sánh A 10 9 2 1 9 4 1 9 8 1 9 16 1 và B 9 32 1
Giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
�
Vậy B = 8A
Bài 6 So sánh:
a) 2011.2013 + 2012.2014 và 20122 + 20132 – 2
b)
x y
x y
và
với x > y >0
Giải:
Trang 5a) Ta có:
* Cách 1: 2011.2013 + 2012.2014 = (2012-1)(2012+1) + (2013-1)(2013+1) = 20122 – 1 + 20132 – 1 = 20122 + 20132 – 2
* Cách 2: 20122 + 20132 – 2= = 20122 – 1 + 20132 – 1
= (2012-1)(2012+1) + (2013-1)(2013+1) = 2011.2013 + 2012.2014
b) Với x > y > 0, ta có:
x y x y
Bài 7 Tìm x, y, z biết:
x 2x y 4y 5 z 3 0
c) 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải:
�
x 2x y 4y 5 z 3 0
2
x 1 y 2 z 3 0
�
�
�
�
c) 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) = 0 (x + y + z)2 + (x + 5)2 + (y + 3)2 = 0
(x + y + z)2 = 0; ( x + 5)2 = 0; (y + 3)2 = 0
x = - 5 ; y = -3; z = 8
Bài 8 Chứng minh rằng:
a) 2 2 2 2 2 2
a b c a b c 3 a b b c c a
Trang 6a) Ta có:
a b c ��a b c �� a b c 3 a b c a b �� c ��
a 3 b 3 3ab a b c 3 3 a b ��ac bc c 2 ��
Bài 9.
a) Cho a2 b2 c2 ab bc ca, chứng minh a = b = c
b) Cho 2 2 2
Q x y y z y z z x z x x y
Chứng minh rằng: Nếu P = Q thì x = y = z
Giải:
a) Ta có:
a b o
a c 0
�
�
�
�
�
�
b) Đặt x + y = a; y + z =b; z + x = c, ta có: P a 2 b2 c2; Q = ab + bc + ca
Trang 7
a b 0
a c 0
�
�
�
�
�
�
�
Bài 10 Chứng minh rằng:
a) Nếu a + b + c = 0 thì a3 b3 c3 3abc
b) Nếu a + b + c + d = 0 thì a 3 b 3 c 3 d 3 3 ab cd c d
Giải:
a) Ta có:
3 3
3
3ab a b 3abc
a b c d 0 � a b c d � a b c d
� a 3 b 3 3ab a b c 3 d 3 3cd c d
� a 3 b 3 c 3 d 3 3ab a b 3cd c d
� a 3 b 3 c 3 d 3 3ab c d 3cd c d
� a 3 b 3 c 3 d 3 3 c d ab cd
Bài 11 Chứng minh rằng:
a) Tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương b) n2 n 1 không là số chính phương n N * �
Giải:
a) Xét 4 số nguyên liên tiếp a, a+1, a+2, a+3 a Z � , ta có:
Trang 8
2
2 2
Vậy tích của 4 số nguyên liên tiếp cộng với 1 là số chính phương
n n n 1 n 2n 1 � n n n 1 n 1
Số n2 n 1 nằm giữa 2 số chính phương liên tiếp nên n2 n 1 không là số chính phương
Bài 12
a) Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính: B = a4 + b4 + c4
b) Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a4 + b4 + c4 =
1
2(a2 + b2 + c2)2
Giải:
a) Từ a2 + b2 + c2 = 14 => (a2 + b2 + c2)2 = 196
� a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2 = 196
�B = a4 + b4 + c4 = 196 – 2 (a2b2 + b2 c2 + a2c2)
Từ a + b + c = 0 => (a + b + c)2 = 0 � a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = 0
� ab + bc + ac =
(a 2 b 2 c ) 2 14
7
2 2 � (ab + bc + ac)2 = 49 � a2b2 + b2c2 + a2c2 + 2ab2c + 2a2bc + 2abc2 = 49
� a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 – 2abc(a + b + c) = 49
Vậy B = 196 – 2 49 = 196 – 98 = 98
b) Từ a + b + c = 0 � a = – (b + c) � a2 = (b + c)2
� a2 – b2 – c2 = 2bc � (a2 – b2 – c2)2 = 4b2c2
� a4 + b4 + c4 – 2a2b2 + 2b2c2 – 2a2c2 = 4b2c2
� a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2
� 2(a4 + b4 + c4) = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2 c2 + 2a2c2
� 2(a4 + b4 + c4) = (a2 + b2 + c2 )2
� a4 + b4 + c4 =
1
2(a2 + b2 + c2)2
Trang 9Bài 13 Cho ba số x, y, z thoả mãn x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = a2 Tính giá trị của biểu thức x4 + y4 + z4
Giải:
Từ x + y + z = 0 � x = – (y + z) � x2 = (y+ z)2
� x2 = y2 + z2 + 2yz � x2 – y2 – z2 = 2yz � (x2 – y2 – z2)2 = 4y2z2
� x4 + y4 + z4 – 2x2y2 – 2x2z2 + 2y2 z2 = 4y2z2
� x4 + y4 + z4 = 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2 z2
� 2(x4 + y4 + z4 ) = x4 + y4 + z4 + 2x2y2 + 2x2z2 + 2y2 z2 = (x2 + y2 + z2)2 = a4
� x4 + y4 + z4 =
4 a
2
Bài 14 Cho a + b + c = 1 và 1 1 1 0
a b c Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 = 1
Giải:
Từ a + b + c = 1 � (a + b + c)2 = 1 � a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1
� a2 + b2 + c2 + 2(ab+ bc+ ac) = 1 (*)
Từ
Từ (*) và (**) suy ra a2 + b2 + c2 = 1
Bài 15 Chứng minh nếu 1 1 1
a b c = 2 và a + b + c = abc thì 12 12 12 2
Giải:
Từ 1 1 1
2
1 1 1
� 12 12 12
ab bc ac = 4 � 12 12 12
c a b abc = 4
Vì a + b + c = abc �
c a b abc = 1 � 12 12 12
a b c = 4 – 2 = 2
Bài 16 Cho a, b, c là các số hữu tỉ, đôi một khác nhau Chứng minh rằng:
N =
Trang 10Xét
2
a b b c c a
= N +
2(c a) 2(a b) 2(b c)
� N =
2
a b b c c a
Vậy N là bình phương của một số hữu tỉ
Bài 17 Cho a + b + c = 1; a2 + b2 + c2 = 1; x y z
P = xy + yz + zx
Giải:
Đặt x y z
a b c = k => x = ak ; y = bk ; z = ck
� P = xy + yz + zx = k2ab + k2bc + k2ac = k2(ab + bc + ac)
Từ a + b + c = 1 � (a + b + c)2 = 1 � a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac = 1
� 1 + 2(ab + bc + ac) = 1 � ab + bc + ac = 0
� P = k2.0 = 0
Bài 18: Cho x y z
a b c = 1 và a b c
x y z = 0 Tính A = x22 y22z22
Giải:
Từ x y z
a b c)2 = 1 � x22y22 z22
� A = 1 – 2(xy yz zx
xyc yza xzb abc
Từ a b c
xyc yza xzb abc = 0 � yza + xzb + xyc = 0
Trang 11� A = 1 – 2
0 abc = 1
Bài 19 Cho a, b, c thoả mãn (a + b – 2c)2 + (b + c – 2a)2 + (c + a – 2b)2 = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Chứng minh rằng a = b = c
Giải:
Ta có:
(a + b – 2c)2 = a2 + b2 + 4c2 + 2ab – 4bc – 4ac
(b + c – 2a)2 = b2 + c2 + 4a2 + 2bc – 4ac – 4ab
(c + a – 2b)2 = a2 + c2 + 4b2 + 2ac – 4ab – 4bc
� (a + b – 2c)2 + (b + c – 2a )2 + (c + a – 2b)2 = 3(a – b)2 + 3(b – c)2 + 3(c – a)2
� 3(a – b)2 + 3(b – c)2 + 3(c – a)2 = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2
Bài 20 Cho a > b > 0, thỏa mãn:
a) 3a2 + 3b2 = 10ab, tính
a b M
-= +
b) 2a2 + 2b2 = 5ab, tính
N
a b
+
=
-Giải:
a) Ta có:
2
M
-�
�
1
M
2
=
�
(vì a > b > 0 nên M > 0)
b) Tương tự
Bài 21 Cho x =
1 2 3
11 15
n ch� � so� 1; y = 1 2 3
11 19
n ch� � so� 1 Chứng minh rằng xy + 4 là số chính
phương
Giải:
Ta có: y =
1 2 3
11 19
n ch� � so� 1 = 1 2 3
11 15
n ch� � so� 1+ 4 = x + 4
Do đó: xy + 4 = x(x + 4) + 4 = x2 + 4x + 4 = ( x + 2 )2
Trang 12hay xy + 4 =
14 2 432
11 17
n ch� � so� 1 là số chính phương.
Bài 22 Cho x 0 � và x 1 a
x Tính các biểu thức sau theo a:
2
1
A x
3
1
B x
x 6
6
1
C x
7
1
D x
x
Giải:
Ta chứng minh được, khi n>1, ta có:
Ta tính được A a 2 2 B a 3a 3 C a 6a 9a 2 6 4 2
Bài 23: Tìm GTNN của các biểu thức:
a) A 4x 2 4x 11
b) B = (x – 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)
c) C x 2 2x y 2 4y 7
Giải:
a) A 4x 2 4x 11 4x 2 4x 1 10 2x 1 2 10 10 �
� Min A = 10 khi x 1
2.
b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3)
= (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 � -36
� Min B = -36 khi x = 0 hoặc x = -5.
c) C x 2 2x y 2 4y 7
= (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + 2 = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 � 2
� Min C = 2 khi x = 1; y = 2.
Bài 24: Tìm GTLN của các biểu thức:
a) A = 5 – 8x – x2
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y
Trang 13c) C 2x 1 2 32x 1 2 2x 1 2 32x 1 2
Giải:
a) A = 5 – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 � 21
� Max A = 21 khi x = -4
b) B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + 7
= -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 � 7
� Max B = 7 khi x = 1, y 1
2.
c) C 2x 1 2 32x 1 2 2x 1 2 32x 1 2
Đặt t 2x 1 thì t � 0 Do đó N = t2 – 3t + 2 = 3 2
2
1
4
4.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi t 3 0 � t 3
Do đó N 1
4 khi
Vậy min N 1� x 5
4 4 hay x 1
4.
Bài 25: Cho x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức M = x3 + y3
Giải:
M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2
2
2
Ngoài ra: x + y = 1 � x2 + y2 + 2xy = 1 � 2(x2 + y2) – (x – y)2 = 1
=> 2(x2 + y2) ≥ 1
Do đó x2 y2 � 1
2 và x2 y2 1 �x y 1
Ta có: M� 1(x2 y )2
2 và (x2 y )� 2 1 M 1 1 1.
Trang 14Do đó �
1
M
4 và dấu “=” xảy ra � x y 1
2
Vậy GTNN của M 1� x y 1
Bài 26: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức x2 + y2
Giải:
(x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
�[(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
�x4 + 2x2 + 1 + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = 0
�x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + 1 = 0
�x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + 1 = -4x2
�(x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2
Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + 1 = -4x2
Suy ra: t2 – 3t + 1 ≤ 0
�
2
Vì t = x2 + y2 nên : GTLN của x2 + y2 =
2
GTNN của x2 + y2 =
2
Bài 27: Cho 0 ≤ a, b, c ≤ 1 Tìm GTLN và GTNN của biểu thức:
P = a + b + c – ab – bc – ca
Giải:
Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca)
= a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) 0 (vì 0 a,b,c 1� � )
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = b = c = 0
Vậy GTNN của P = 0
Theo giả thiết ta có: 1 – a � 0; 1 – b � 0; 1 – c � 0;
Trang 15� (1-a)(1-b)(1-c) = 1 + ab + bc + ca – a – b – c – abc � 0
� P = a + b + c – ab – bc – ac � 1 abc 1 �
Dấu “=” có thể xảy ra chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý � 0;1
Vậy GTLN của P = 1
Bài 28: Cho x + y = 2 Tìm GTNN của biểu thức: A = x2 + y2
Giải:
Ta có: x + y = 2 � y = 2 – x
Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + 4 – 4x + x2 = 2x2 – 4x + 4
= 2( x2 – 2x) + 4 = 2(x – 1)2 + 2 � 2
Vậy GTNN của A là 2 tại x = y = 1
Bài 29: Cho M = a 3 4 a 1 a 15 8 a 1 Tìm TGNN của M
Giải:
M = a 3 4 a 1 a 15 8 a 1
= a 1 4 a 1 4 a 1 8 a 1 16 = a 1 2 2 a 1 4 2
Điều kiện để M xác định là a – 1 � 0 a 1 �
Ta có: M a 1 2 a 1 4
Đặt x = a 1 điều kiện x �0, ta có:
M = M x 2 x 4 x 2 4 x x 2 4 x 2 �
Dấu “=” xảy ra � 2 x 4� � �2� a 1 4- � �4 a 1 16� - � �5 a 17� �