(ii) Chứng minh rằng nếu M là hữu hạn sinh thì mỗi tự toàn cấu của M là một tự đẳng cấu.. Câu 2[r]
Trang 1Trường ĐHSP Hà Nội
Khoa Toán - Tin
— *** —
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
——-
****——-ĐỀ THI MÔN LÝ THUYẾT MODULE Khóa 60 - thời gian: 120 phút
Đề số 1 Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và M là một A-module
Câu 1 (3 điểm)
(i) Phát biểu và chứng minh Định lí Hamilton-Cayley mở rộng
(ii) Chứng minh rằng nếu M là hữu hạn sinh thì mỗi tự toàn cấu của M là một tự đẳng cấu
Câu 2 (3 điểm) Chứng minh rằng:
(i) A ⊗AM ∼= M
(ii) Nếu F là một A-module tự do có hạng n > 0 thì F ∼= An và F ⊗AM ∼= Mn (iii) (A/I) ⊗AM ∼= M/IM với mỗi ideal I của A
Câu 3 (2 điểm) Cho P là một A-module xạ ảnh Chứng minh rằng:
(i) Dãy khớp các A-module:
0 −→ N −→ M −→ P −→ 0
là chẻ ra
(ii) Tồn tại A-module xạ ảnh F sao cho P ⊕ F là một A-module tự do
Câu 4 (2 điểm) Cho N là một A-module con của M Chứng minh rằng: nếu N và M/N
là các A-module xạ ảnh thì M là một A-module xạ ảnh