Đề tài Giải các bài toán điển hình lớp 4 bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng

Việc giải toán điển hình bằng phương pháp dùng cơ sở đoạn thẳng là rất quan trọng vì “Sơ đồ đoạn thẳng” là một phương tiện trực quan được sử dụng trong việc dạy, giải toán ngay từ lớp 1 [r]

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

-o0o -Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

A Sơ yếu lý lịch

- Họ và tên: Tạ Bớch Chi

- Ngày tháng năm sinh: Ngày 27/08/1985

- Năm vào ngành: 09/2005

- Chức vụ: Giáo viên

- Đơn vị công tác: Giáo viên trường tiểu học Thiện Hưng B, Bự Đốp, Bỡnh Phước

- Trình độ chuyên môn: Đại học sư phạm

- Khen thưởng: Nhiều năm liên tục là giáo viên giỏi cấp Huyện

B Nội dung của đề tài

- Tên đề tài: Giải các bài toán điển hình lớp 4 bằng phương pháp dùng sơ đồ

đoạn thẳng

I Lý do chọn đề tài

Cùng với Tiếng Việt – Toán học là môn học có vị trí và vai trò vô cùng quan trọng ở bậc tiểu học Toán học giúp bồi dưỡng tư duy lô gíc, bồi dưỡng

và phát sinh phương pháp suy luận, phát triển trí thông minh, tư suy lô gíc sáng tạo, tính chính xác, kiên trì, trung thực

Việc giải toán điển hình bằng phương pháp dùng cơ sở đoạn thẳng là rất quan trọng vì “Sơ đồ đoạn thẳng” là một phương tiện trực quan được sử dụng trong việc dạy, giải toán ngay từ lớp 1 bởi nó đáp ứng được nhu cầu tăng dần mức độ trừu tượng trong việc cung cấp các kiến thức toán học cho học sinh

Phương tiện trực quan thì có nhiều nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy sơ đồ đoạn thẳng là phương tiện cần thiết, quan trọng và hết sức hữu hiệu trong việc dạy giải toán (Một kỹ năng cần thiết nhất) ở bậc tiểu học nói chung và ở các lớp cuối cấp nói riêng Trong phạm vi đề tài này tôi xin

đề cập đến vấn đề “ứng dụng phương pháp giải toán điển hình”

Để giúp học sinh có kỹ năng giải toán nói chung và kỹ năng giải bằng phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng nói riêng Tôi đã giúp cho học sinh nắm một số bước cơ bản sau đây:

II Các bước cơ bản để giải một bài toán bằng

“Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng”

Bước 1: Tìm hiểu đề bài

Sau khi phân tích đề toán, suy nghĩ về ý nghĩa bài toán, nội dung bài toán đặc biệt chú ý đến câu hỏi của bài toán

Bước 2: Lập luận để vẽ sơ đồ

Sau khi phân tích đề, thiết lập được mối quan hệ và phụ thuộc giữa các

đại lượng cho trong bài toán đó Muốn làm việc này ta thường dùng sơ đồ

đoạn thẳng thay cho các số (số đã cho, số phải tìm trong bài toán) để minh hoạ các quan hệ đó

Khi vẽ sơ đồ phải chọn độ dài các đoạn thẳng và sắp xếp các đoạn thẳng đó một cách thích hợp để có thể dễ dàng thấy được mối quan hệ phụ thuộc giữa các đại lượng, tạo ra một hình ảnh cụ thể giúp ta suy nghĩ tìm tòi cách giải một bài toán

Có thể nói đây là một bước quan trọng vì đề toán được làm sảng tỏ: mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài toán được nêu bật các yếu tố không cần thiết được lược bỏ

Để có thể thực hiện những bài toán bằng sơ đồ đoạn thẳng thì nắm

được cách biểu thị các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) các mối quan hệ (quan hệ về hiệu, quan hệ về tỷ số) là hết sức quan trọng Vì nó làm một công cụ biểu đạt mối quan hệ và phụ thuộc giữa các đại lượng “Công cụ” này học sinh đã được trang bị từ những lớp đầu cấp nhưng cần được tiếp tục củng cố, “mài giũa” ở các lớp cuối cấp

Bước 3: Lập kế hoạch giải toán

Dựa vào sơ đồ suy nghĩ xem từ các số đã cho và điều kiện của bài toán

có thể biết gì? có thể làm gì? phép tính đó có thể giúp ta trả lời câu hỏi của bài toán không? trên có sở đó, suy nghĩ để thiết lập trình tự giải bài toán

Bước 4: Giải và kiểm tra các bước giải

+ Thực hiện các phép tính theo trình tự đã thiết lập để tìm ra đáp số + Mỗi khi thực hiện phép tính cần kiểm tra xem đã đúng chưa? Giải song bài toán phải thử xem đáp số đã tìm được có trả lời đúng câu hỏi của bài toán có phù hợp với các điều kiện của bải toán không

Tóm lại, để học sinh có thể sử dụng thành thạo “phương pháp dùng sơ

đồ đoạn thẳng” trong việc giải toán thì việc giúp cho các em hiểu rõ ý nghĩa của từng dạng toán sau đó có thể mô hình hoá nội dung từng dạng bằng sơ

đồ đoạn thẳng từ đó tìm ra cách giải bài toán là một việc làm hết sức quan trọng Làm được việc này giáo viên đã đạt được mục tiêu lớn nhất trong giảng dạy đó là việc không chỉ dừng lại ở việc “dạy toán” mà còn hướng dẫn học sinh “học toán sao cho đạt hiệu quả cao nhất”

Để khẳng định cụ thể hơn lợi ích của việc sử dụng sơ đồ đoạn thẳng để dạy giải toán ở tiểu học tôi xin trình bày một số dạng toán cơ bản mà khi giải

có thể sử dụng sơ đồ đoạn thẳng

Dạng 1: Dạng toán có liên quan đến số trung bình cộng

Đối với dạng toán này, học sinh nắm được khái niệm số trung bình cộng Biết cách tìm số trung bình cộng của nhiều số Khi giải các bài toán dạng này, thông thường các em thường sử dụng công thức

Số trung bình = Tổng : số các số hạng

1 Tổng = số trung bình cộng x số các số hạng

2 Số các số hạng = tổng : số trung bình cộng

áp dụng kiến thức cơ bản đó học sinh được làm quen với rất nhiều dạng toán về trung bình cộng mà có những bài toán nếu không tóm tắt bằng sơ đồ, học sinh sẽ rất khó khăn trong việc suy luận tìm ra cách giải

Ví dụ: An có 20 nhãn vở, Bình có số nhãn vở bằng An Chi có số nhẵn

vở ít hơn trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là 6 nhãn vở Hỏi chi có bao nhiêu nhãn vở?

Sau khi đọc kỹ đề toán, phân tích mối quan hệ giữa các đại lượng trong bài, học sinh tóm tắt bài toán bằng sơ đồ:

+ Trước hết vẽ đoạn thẳng:

Biểu thị tổng số nhẵn vở của 3

bạn

+ Dựa vào đó học sinh nêu cách

vẽ đoạn thẳng thể hiện mức

Tổng số nhãn vở Bình + An Chi Trug bình cộng

trung bình cộng số nhãn vở của

3 bạn (1/3 tổng trên)

+ Từ đó vẽ đoạn thẳng biểu thị

số nhẵn vở của Chi (ít hơn mức

trung bình cộng là 6 chiếc)

Nhãn vở của chi

Nhãn vở của An

và Bình Bình + An

Sau khi hướng dẫn tìm hiểu đề và tóm tắt bằng sơ đồ, nhiều học sinh

đã biết từng bước tìm cách giải Những em chưa làm được bài, sau khi nghe bạn trình bày cách suy luận của sơ đồ các em đều nắm được và bết tự giải quyết các bài toán dạng tương tự

Số nhãn vở của An và Bình là:

20 + 20 = 40 (nhãn vở)

Nhìn vào sơ đồ ta thấy, trung bình cộng số nhãn vở của 3 bạn là

(40 – 6) : 2 = 17 (nhãn vở)

Bạn Chi có số nhãn vở là:

17 – 6 = 11 (nhãn vở)

Đáp số: 11 nhãn vở

Ví dụ 2:

Dùng sơ có thể giúp học sinh hiểu hoặc các em có thể giải thích cách làm dạng toán tìm 2 số khi biết hiệu và trung bình cộng của 2 số đó một cách ngắn gọn

Ta thấy: Hiệu

Số lớn:

Số bé:

TBC:

Qua sơ đồ ta có thể tìm ra:

Ví dụ một bài toán cụ thể dạng này:

Trung bình cộng của 2 số tròn chục liên tiếp là 2005 Tìm hai số đó Vì hai số tròn chục liên tiếp kém nhau 10 đơn vị nên ta có sơ đồ:

10

Số lớn:

Số bé:

TBC:

Bài giải:

Số lớn là:

2005 + (10 : 2) = 2010

Số bé là:

2005 – (10 : 2) = 2000

Hoặc 2010 – 10 = 2000

Đáp số: Số lớn 2010

Số bé 2000

Số lớn = trung bình cộng + (hiệu : 2)

Số bé = Trung bình cộng – (Hiệu : 2)

Ví dụ 3:

Một tổ công nhân đường sắt sửa đường, ngày thứ nhất sửa được 15m

đường, ngày thứ 2 sửa được nhiều hơn ngày thứ nhất 1m, ngày thứ 3 sửa

được nhiều hơn ngày thứ nhất 2m Hỏi trung bình mỗi ngày sửa được bao nhiêu mét đường?

Ta có sơ đồ:

15 m Ngày thứ nhất:

1m

2m Ngày thứ ba:

Thông thường ta giải bài toán như sau:

Ngày thứ hai sửa được là:

15 + 1 = 16 (m) Ngày thứ 3 sửa được

15 + 2 = 17 (m) Trung bình mỗi ngày sửa được

(15 + 16 + 17) : 3 = 16 (m)

Đáp số: 16 (m)

Nhận xét: Quan sát kỹ sơ đồ ta thấy nếu chuyển một mét từ ngày thứ 3 sang

ngày thứ nhất thì số m đường sửa được trong các ngày đều bằng 16m

15m 1m Ngày thứ nhất:

1m

1m 1m

Ngày thứ ba:

Ta thấy ngay trung bình mỗi ngày tổ đó sửa được 16m đường

Như vậy, sơ đồ giúp ta hình dung rõ khái niệm, đôi khi sơ đồ còn giúp

ta tính nhẩm nhanh kết quả

Dạng 2: Dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng

Bài toán: Tổng hai số là 48, hiệu hai số là 12 Tìm hai số đó?

Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, căn cứ sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm ra phương pháp giải

Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về hiệu, các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dưới đây

Số lớn:

12 48

Số bé:

Nhìn vào sơ đồ, yêu cầu học sinh nhận xét:

+ Nếu lấy tổng trừ đi hiệu, kết quả đó có quan hệ như thế nào với số bé? (Giáo viên thao tác che phần hiệu là 12 trên sơ đồ) từ đó học sinh sẽ dễ dàng nhận thấy phần còn lại là 2 lần số bé

Dựa vào suy luận trên, yêu cầu học sinh nêu cách tìm số bé

Hơn 80% số em nêu được tìm số bé là:

(42 – 12) : 2 = 18 Tìm được số bé suy ra số lớn là:

18 + 12 = 30 Hay: 48 – 18 = 30

Từ bài toán ta xây dựng được công thức tính:

Cách giải vừa nêu trên là dễ nhất với học sinh Tuy nhiên cũng có thể giới thiệu thêm phương pháp sau đây:

Cũng biểu thị mối quan hệ hiệu nhưng sử dụng sơ đồ

Số lớn:

12 48

Số bé:

Suy luận: nếu thêm một đoạn thẳng hiệu (12) vào số bé ta được hai

đoạn thẳng bằng nhau tức là hai lần số lớn

Từ đó suy ra:

Số lớn là:

(48 + 12) : 2 = 30 Vậy số bé là: 30 – 12 = 18 Hoặc: 48 – 30 = 18

Sau khi học sinh đã nắm được cách giải ta xây dựng công thức tổng quát:

có thể áp dụng để giải các bài tập về tìm hai số khi biết tổng và hiệu ở nhiều dạng khác nhau

Ví dụ 1:

Số bé = (tổng – hiệu) : 2

Số lớn = Số bé + hiệu

Hay = Tổng – số

bé

Số lớn = (tổng + hiệu) :2

Số bé = số lớn – hiệu

Hay = Tổng – số lớn

Ba lớp A, B, C mua tất cả 120 quyển vở Tính số vở của mỗi lớp biết rằng nếu lớp 4A chuyển cho lớp 4B 10 quyển và cho lớp 4C 5 quyển thì số

vở của 3 lớp sẽ bằng nhau:

Phân tích nội dung bài toán sẽ vẽ được sơ đồ

5 Lớp 4A:

10 Lớp 4B:

Lớp 4C:

Dựa vào sơ đồ ta có:

Sau khi lớp 4A chuyển cho hai lớp thì mỗi lớp có số vở là:

120:3 = 40 (quyển)

Lúc đầu lớp 4C có là:

40-5 = 35 (quyển)

Lúc đầu lớp 4B có là:

40-10 = 30 (quyển)

Lúc đầu lớp 4A có là:

40 + 10 + 5 = 55 (quyển)

ĐS: 4A: 55 quyển; 4B: 30 quyển; 4C: 35 quyển

Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và tỉ của chúng

Bài toán: Một đội tuyển học sinh giỏi toán có 12 bạn, trong đó số bạn

gái bằng 1/3 số bạn trai Hỏi có mấy bạn gái, mấy bạn trai trong đội tuyển

đó?

Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ, cắn cứ vào sơ đồ hướng dẫn học sinh tìm

ra phương pháp giải:

Sử dụng sơ đồ biểu thị mối quan hệ về tỷ số và các em sẽ tóm tắt bài toán bằng sơ đồ dưới đây:

Số bạn trai:

12 bạn

Số bạn gái:

Vẽ sơ đồ đoạn thẳng thế này học sinh dễ dàng thấy được hai điều kiện của bài toán: cả trai và gái có 12 bạn (biểu thị mối quan hệ về tổng) và có số bạn trai gấp 3 lần số bạn gái (biểu thị mối quan hệ về tỷ)

Sơ đồ trên gợi cho ta cách tìm số bạn gái bằng cách

lấy 12 chia cho 3 + 1 = 4 (vì số bạn gái ứng với 1/4 tổng số bạn)

Cũng dựa vào sơ đồ ta dễ dàng tìm được số bạn trai

Bài giải Tổng số phần bằng nhau là

1 + 3 = 4 (phần)

Số bạn gái trong đội tuyển là

12 : 4 = 3 (bạn)

Số bạn trai trong đội tuyển là

3 x 3 = 9 (bạn) Hoặc 12 – 3 = 9 (bạn)

Đáp số: Trai: 9 bạn

Gái: 3 bạn

Từ bài toán cơ bản trên ta xây dụng quy tắc giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của 2 số đó

Nắm được quy tắc giải học sinh sẽ biết áp dụng để giải nhiều bài toán cùng dạng, học sinh giỏi sẽ biết áp dụng quy tắc để giải các bài toán khó dạng này (đó là các bài toán cùng dạng như tổng, tỷ được thể hiện dưới dạng ẩn)

Ví dụ 1:

Hai đội xanh và đỏ có tất cả 45 quả bóng Tính xem mỗi đội có bao nhiêu quả bóng Biết 3 lần số bóng đội xanh bằng 2 lần số bóng đội đỏ

Bước 1: Vẽ sơ đồ

Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau

Bước 3: Tìm giá trị một phần

Giá trị một phần = Tổng : Tổng số phần bằng nhau

Bước 4: Tìm số bé

Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé Bước 5: Tìm số lớn

Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn Hoặc = tổng – số bé

Bước 1: Ta vẽ sơ đồ biểu thị 3 lần số bóng đội xanh = 2 lần số bóng

đội đỏ

2 lần đội đỏ:

3 lần đội xanh:

Nhìn vào sơ đồ ta thấy nếu chia số bóng của đội xanh thành 2 phần và chia số bóng của đội đỏ thành 3 phần thì các phần sẽ bằng nhau Với tỷ số bóng 2 đội là 2/3 Ta có sơ đồ biểu thị số bóng của 2 đội

Đội xanh:

45 quả

Đội đỏ:

Bài giải Tổng số phần bằng nhau là

2 + 3 = 5 (phần)

Số bóng ứng với một phần là

45 : 5 = 9 (quả)

Số bóng đội xanh là

9 x 2 = 18 (quả)

Số bóng đội đỏ là

9 x 3 = 27 (quả)

Đáp số: Đội xanh: 18 quả

Đội đỏ: 27 quả

Ví dụ 2: Tổng số tuổi của 2 anh em hiện nay là 25 tuổi Trước đây khi

anh bằng tuổi em hiện nay thì tuổi anh gấp hai lần tuổi em Tính tuổi của mỗi người hiện nay?

Đây thực sự là bài toán về tìm 2 số khi biêt tổng và tỷ số nhưng không

ở dạng cơ bản mà đã được nâng cao lên bằng cách diễn đạt tỷ số dưới dạng

ẩn Vì vậy khi nhận được đề bài này học sinh rất lúng túng khi xác định được cách giải đúng Sau khi gợi ý, phân tích và hướng dẫn từng bước sơ đồ hoá nội dung bài toán các em nhận ra ngay dạng toán quen thuộc tìm hai số khi biết tổng bà tỷ số

+ Trước hết yêu cầu học sinh vẽ sơ đồ biểu thị số tuổi của 2 anh em trước đây

Tuổi em trước đây:

Tuổi anh trước đây:

Nhận xét: Hiệu số tuổi của hai anh em là 1 “phần” Hiệu số phần bằng nhau giữa tuổi anh và tuổi em không thay đổi theo thời gian (vì sau cùng một số năm thì 2 anh em cùng tăng một số tuổi như nhau) Như vậy tuổi anh hiện nay bằng 3 lần tuổi em trước đây

Ta có sơ đồ:

Tuổi em hiện nay:

Tuổi anh hiện nay:

Dùng phương pháp giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của 2

số đó học sinh đễ dàng tìm ra đáp số bài toán

TK: Qua các ví dụ trên ta có thể thấy sơ đồ đoạn thẳng không chỉ đơn thuần dùng để tóm tắt bài toán mà còn là một công cụ giúp cho việc suy luận tìm ra cách giải toán Sử dụng sơ đồ ta có thể làm cho các bài toán khó, phức tạp trở thành các bài toán đơn giản theo dạng cơ bản nên có thể dễ dàng giải

được

Dạng 4: Tìm hai số khi biết hiệu và tỷ của chúng

25 tuổi

Bài toán: Tim hai số tự nhiên biết hiệu của chúng là 27 và số này bằng 2/5

số kia

Học sinh phân tích để vẽ sơ đồ vừa biểu thị mối quan hệ về hiệu, vừa biểu thị mối quan hệ về tỷ số:

Số lớn:

Dựa vào sơ đồ tiến hành tương tự như khi dạy dạng toán “Tìm hai số khi biết tổng và tỷ số của hai số đó” Học sinh tìm ra cách giải bài toán

Tổng kết thành quy tắc giải dạng toán tìm hai số khi biết hiệu và tỷ số của hai số

đó

Nắm vững quy tắc giải học sinh cũng sẽ biết áp dụng để giải các bài toán nâng cao

Việc dùng sơ đồ đoạn thẳng một lần nữa lại thể hiện vai trò vô cùng quan trọng vì sơ đồ chính là chỗ dựa giúp học sinh dễ dàng trong việc suy luận tìm ra cách giải Ta có thể lấy một số bài toán sau đây làm ví dụ

Bước 1: Vẽ sơ đồ Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau Bước 3: Tìm giá trị một phần

Giá trị một phần = Hiệu : Hiệu số phần bằng nhau Bước 4: Tìm số bé

Số bé = giá trị 1 phần x số phần của số bé Bước 5: Tìm số lớn

Số lớn = giá trị 1 phần x số phần của số lớn Hoặc = Số bé + hiệu

Ví dụ 1: Hiệu hai số là 7, nếu gấp số thứ nhất lên 5 lần và giữ nguyên

số thứ 2 thì hiệu mới là 29 Tìm hai số đó?

Hướng dẫn học sinh sơ đồ hoá nội dung bài toán như sau:

Trước hết vẽ hai đoạn thẳng biểu thị hai số mà hiệu của chúng là 7 Tiếp theo kéo dài đoạn thẳng biểu thị số thứ nhất để hiển thị số đó

được gấp lên 5 lần

Yêu cầu học sinh xác định trên sơ đồ đoạn thẳng chỉ hiệu mới

Sơ đồ bài toán

Số thứ nhất:

7

5 lần số thứ nhất:

39

Số thứ hai:

Với sơ đồ trên học sinh có thể thấy ngay

Bốn lần số thứ nhất là:

39 – 7 = 32

Số thứ nhất là:

32 : 4 = 8

Số thứ hai là:

8 – 7 = 1 Vậy hai số đó là 8 và 1

Ví dụ 3: Hiện nay cha gấp 4 lần tuổi con Trước đây 6 năm tuổi cha

gấp 13 lần tuổi con Tính tuổi cha và tuổi con hiện nay?

Đây là một bài toán khó, học sinh sẽ lúng túng vì cả hiệu và tỷ số đều dưới dạng ẩn Nhưng sử dụng sơ đồ đoạn thẳng các em sẽ có số dựa vào suy luận và đưa ra bài toán về dạng điển hình