Giáo án các môn học lớp 1 - Tuần 10 - Nguyễn Thị Hà

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ngày soạn: Ngày dạy: I Mục tiêu: Qua bài học học sinh cần nắm được: 1 Về kiến thức : Học sinh nắm được: Các tính chất của bất đẳng thức, phương [r]

Chương 4 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Tiết 40 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Ngày soạn:

Ngày dạy:

I) Mục tiêu: Qua bài học học sinh cần nắm được:

1) Về kiến thức : Học sinh nắm được: Các tính chất của bất đẳng thức, phương pháp chứng

minh các bất đẳng thức ; các tính chất của bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối; các

phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào tính chất; Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân các số không âm

2) Về kĩ năng:

- Thành thạo các bước biến đổi để đưa về một bất đẳng thức đúng tương đương

- Ứng dụng được các tính chất của bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để CM các BĐT

- Thành thạo các bước biến đổi để đưa về một bất đẳng thức đúng tương đương

- Ứng dụng được các tính chất của bất đẳng thức để chứng minh các bất đẳng thức

- Sử dung được các tính chất của bđt để so sánh các số mà không cần tính toán

3) Về tư duy: - Rèn luyện tư duy linh hoạt trong làm toán - Biết quy lạ về quen.

4) Về thái độ: - Cẩn thận, chính xác - Biết ứng dụng toán học trong thực tiễn.

II) Phương tiện dạy học:

1) Phương tiện dạy học:

- Chuẩn bị phiếu học tập( hoặc các bảng con cho các nhóm)

- Chuẩn bị bảng phụ:

Bảng phụ 1: a > b và c > d  a + c ? b + d

a + c > b  a ? b – c

a > b  0 và c > d  0  ac ? bd

a > b  0 và n N*  an ? bn

a > b  0  a ? b

a > b  3 a ? 3b

2) Phương pháp: - Gợi mở vấn đáp - Hoạt động theo nhóm.

III) Tiến trình bài học và các hoạt động.

1) Các hoạt động

Hoạt động 1:Dạy học :Định nghĩa bất đẳng thức

- Cho hai số thực a, b

có các khả năng nào

xảy ra ?

- Các nhóm trả

lời vào bảng

I) Bất đẳng thức và các tính chất 1) Định nghĩa: Cho a, b là hai số thực.

Các mệnh đề ”a > b”, “a < b” , “a  b”, “a  b” gọi là các bất đẳng thức

+Lưu ý : a > b  a – b > 0 +Nhắc lại các tính

chất đã học ở lớp

dưới ?

-Các nhóm nhớ lại và ghi trả lời vào bảng

2) Các tính chất

+ a b a c

b c





 

 

 + a b    a c b c

+ a b  ac bc ,(c>0) + a b  ac bc ,(c<0)

+Treo bảng phụ số 1 - Suy nghĩ và

trả lời

3) Hệ quả

a > b và c > d  a + c > b + d

a + c > b  a > b – c

a > b  0 và c > d  0  ac > bd

a > b  0 và n N*  an > bn

a > b  0  a  b

a > b  3 a  3b

+HD: sử dụng HQ 4 + Hoạt động

nhóm: Bình phương các số

và so sánh

Ví dụ 1: So sánh hai số 2  3 và 3 Giải: Giả sử 2  3 3

 ( 2  3)2  9  5+2 6  9  6  2  6  4 ( vô lí ) Vậy: 2  3 > 3

+Cho các nhóm thực

hiện trao đổi

+Gợi ý: Dựa vào các

tính chất và hệ quả ở

trên

+Các nhóm trao đổi sau đó

cử đại diện lên trình bày

Ví dụ 2: CMR nếu a > b > 0 thì 1 1

ab

Giải:

Ta có: 1 1 b a 0(luôn đúng)



Ví dụ 3: CMR a2 + ab + b2  0 , a,b  R Giải: a2 + ab + b2 = (a + ) 2 +  0 a,b  R

2

4

b

Ví dụ 4: CMR nếu a,b,c là ba cạnh của tam giác

thì a2 < ab + ac Giải: vì a, b, c là 3 cạnh của tam giác nên a > 0 và

a < b + c Suy ra: a2 < ab + ac

Ví dụ 5: CMR  x R: x2 -2x +3 > 0 Giải: Ta có: x2 - 2x +3 = (x – 1)2 + 2 > 0  x R

*) Lưu ý: Nếu bất đẳng thức có chứa biến thì ta hiểu bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến

Hoạt động 2: Dạy - học bất đẳng thức về GTTĐ

+Hãy nhắc lại định

nghĩa về GTTĐ?

+Từ đó nhận xét gì về

quan hệ giữa a,

?

,

a  a

+Khi nào < a, x x

>a?

+CM: a b  a b ?

+HS trả lời

+HS trả lời

+HS trả lời

+HS trả lời

II/ Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

+ Định nghĩa:   



, 0

a a a

a a

+ Tính chất a)   a a a ,aR b) x     a a x a (với a > 0) c) x    a x a hoặc x a (với a 0) d) a    b a b a b

CM: Ta có a b  a b Thật vậy



a b  a  b

 a2  2ab b 2 a2  2ab b 2

+HD HS thực hiện

HĐ1

+HS thực hiện HĐ1

 ab  ab ( Hiển nhiên đúng )

áp dụng BĐT trên cho 2 số a+b và -b ta có :



a       a b b a b b a   b a b

Tóm lại : a   a b b   a b

- Giáo viên nhận xét,

đánh giá và hướng

dẫn cách làm bài:

( C1: ( 1 + a )( 1 - a2)

= ( 1+a )2 ( 1 – a)

C2: 1 + a  0 và

1 – a2  0

+Gợi ý:Dựa vào bất

dẳng thức chứa

GTTĐ

+ Các nhóm suy nghĩ và giải vào bảng con

- Chọn một học sinh của một nhóm lên bảng trình bày

VD1: CMR: nếu a  1thì (1 + a )( 1 - a2)  0 Giải: Ta có a  1 nên 1 2 1 2 0



   2 ( đpcm)

1 a 1 a 0

VD2:Chứng minh rằng với mọi  x R ta có:

x   2 x 3 5

VD3:Tìm GTLN – GTNN của hàm số:

f(x) = x  3 x 1

Hoạt động 3.Củng cố dặn dò.

Phát bảng phụ cho các nhóm thực hiện:

Bảng 1: Tìm phương án đúng ?

Câu 1: x  4khi và chỉ khi

A/ x < 4 B/ -4 < x < 4 C/ x < -4 hoặc x > 4 D/ cả A,B,C đều sai Câu 2: x2 < 4 khi và chỉ khi

A/ x < 2 B/ -2 < x < 2 C/ x < -2 hoặc x > 2 D/ cả A,B,C đều sai Bảng 2: Tìm phương án đúng ?

Câu 1: x  4khi và chỉ khi

A/ x < 4 B/ -4 < x < 4 C/ x < -4 hoặc x > 4 D/ cả A,B,C đều sai Bảng 3:

1) Cho a b R,  Câu nào đúng?

a b

 



   

 a     b b a b

2 2

a  b a b a b  a b

2) Chứng minh rằng a    2 a 2 ,  a R

Bảng 4:

Câu 1: Mệnh đề nào sai ?Giải thích.

A) a > b  a-c >b-c B) a > b  a.c > b.c

C) ac > bc  a >b D) a > b  3 a 3b

E) a > b  a  b F) a > b  a2 > b2

Câu 2: Chứng minh rằng nếu a  b  0 thì 

 1

b b

a a+1

Củng cố dặn dò: Qua bài học cần nắm được: Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến

đổi tương đương ? Nêu phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương ? Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi không tương đương ? Cách sử dụng ppbđ không tương đương để chứng minh BĐT ?

BTVN: Các bài tập trong SGK.

Tiết 41

Hoạt động 1:Kiểm tra bài cũ: Định nghĩa bất đẳng thức?

Chứng minh: Với a > 0, b > 0 chứng minh:   2

a

b b a

+Ta đã biết thế nào là

trung bình cộng 2 số,thế

nào là trung bình nhân

của 2 số.GV dẫn dắt vào

định lí

+Hãy pb bằng lời?

+HD HS thực hiện HĐ2

SGK

+HS theo dõi

GV giảng và kết hợp xem SGK

+HS trả lời

+HS trao đổi

và thực hiện HĐ2

3.Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân.

a.Đối với 2 số không âm

Định lý: a 0 ,b 0ta có:

2

a b

ab

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b CM:

 2

2

a b

+HĐ 2.SGK

HC HA.HB  ab

2

.OB a OA

OD

HC     R2 R

+Cho HS trao đổi theo

bàn

+Gọi 2 HS lên bảng giải

bài

+HS trao đổi

và giải bài

Ví dụ 1: a  b0 ,  0chứng minh a2 b2  2ab

Ta đã biết: a  b2  0 là bất đẳng thức đúng

(đpcm)

0 2 2

2   

a b ab a2 b2  2ab

Ví dụ 2: a > 0, b > 0 chứng minh:   2

a

b b a ab

b

a2  2  2

 ab2  0

+NX gì về VT của BĐT

cần CM?

+Theo CMT ta có kết

quả gì?

+HS trả lời

+HS trả lời

Ví dụ 3: a > 0, b > 0, c > 0, chứng minh:

6













a

c b b

c a c

b a

Giải:

VT = a b a c b c

a

c a

b b

c b

a c

b c

a     











 













 













 



c

b b

c a

c c

a a

b b a

Ta có:

(CM trên)

2





a

b b a

CMTT:   2 và

a

c c

a

2





c

b b c

b

c c

b a

c c

a a

b b a

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c +Hai số dương thay đổi -

có tổng không đổi ,nhận

xét gì về tích của chúng?

+Hai số dương thay đổi

,có tích không đổi nhận

xét gì về tổng của chúng

* Hình chữ nhật có chu

vi 2p không đổi, diện

tích lớn nhất khi nào?

* Hình chữ nhật có diện

tích không đổi, chu vi bé

nhất khi nào?

+HS trả lời

+HS trả lời

* Hai kích thước bằng nhau (Đó là hv

* Khi 2 kích thước bằng nhau

+Hệ quả:

* Hai số dương thay đổi - có tổng không đổi - tích lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau

* Hai số dương thay đổi - có tích không đổi có tổng bé nhất khi 2 số đó bằng nhau

+Ứng dụng:

* Hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông

có diện tích lớn nhất

* Hình chữ nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi bé nhất

+Với x > 0 có nhận xét

gì về tích các số hạng

trong hàm số?

+HD HS trình bày bài

+Với điều kiện đã cho,

có NX gì về tích các số

hạng của f(x)?

+HD HS trình bày bài

+HS trả lời

+HS trả lời

VD4: Tìm GTNN của hàm số: f(x) = 2x +1

x

với x > 0 Giải: Vì x > 0 nên ta có:

( ) 2 2 2 ( ) 2 2

Vậy GTNN của f(x) bằng 2 2 khi 1

2

x

VD5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số :

f(x) = (x - 2)(4 – x) với 2   x 4 Giải:

Với 2   x 4 ta có: x 2 0, 4 x 0 Suy ra:

f(x) = (x - 2)(4 – x) ( 2 4 )2

2

x  x

  f x( ) 1

Vậy GTLN của f(x) bằng 1 khi x – 2 = 4 – x

3

x

 

Ta có: f(x) = (x - 2)(4 – x) 0,  2   x 4 Nên GTNN của f(x) bằng 0 khi x = 2 hoặc

x = 4 +Với 3 số

, ta có bất

0 ,

0

,

a

đẳng thức tương tự như

với 2 số a, b

+HS nghe hiểu bài

b) Đối với 3 số không âm

3

0, 0, 0

3

a b c

a b c     abc

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c +Với 3 số a, b, c dương +HS trả lời Ví dụ 6: a > 0, b > 0, c > 0, chứng minh:

ta có bất đẳng thức nào?

+ Với 3 số dương 1 1 1, ,

a b c

ta có bất đẳng thức nào?

+HD HS thực hiện HĐ 3

+HS trả lời

+Thực hiện HĐ3

  1 1 1  9









  





c b a c b a

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Giải: Ta có:

1 1 1 1 1 1

a b c abc

a b c a b c

1 1 1

9

1 1 1

9

abc

a b c

a b c

a b c

      

      

đẳng thức xảy ra khi a = b = c (đpcm) HĐ3:

-Nếu 3 số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi 3 số bằng nhau

-Nếu 3 số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi 3 số bằng nhau

Hoạt động 4 Củng cố - dặn dò:

- Nắm chắc bất đẳng thức côsi và các hệ quả của nó

BTVN: Các bài tập trong SGK.

V.Rút kinh nghiệm:

Tiết 42 43 :LUYỆN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC(Tiết 1) Ngày soạn:

Ngày dạy:

I.Mục đích, yêu cầu:

1 Kiến thức: CM 1 số bất đẳng thức đơn giản và tìm được GTLN, GTNN của 1 hàm số hoặc

1 biểu thức.Vận dụng BĐT côsi vào bài toán: CM các BĐt khác và tìm GTLN, GTNN của hàm số, của biểu thức

2.Kỹ năng : Vận dụng các bất đẳng thức đã học vào giải các các bài tập, và ứng dụng vào các

bài toán thực thực tế.Biết cách vận dụng BĐT côsi vào các bài toán có liên quan

3.Tư duy : Thấy được sự liên quan của BDT Cauchy và hình học, ứng dụng của nó trong

việc đánh giá các số

4 Thái độ : Nghiêm túc, tích cực trong công việc.Chủ động, tích cực, biết liên hệ bài đã học

vào thực tế

II.Sự chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

1 Thực tiễn: Học sinh đã được học về cách CM BĐT

2.Phương pháp dạy học : Gợi mở giải quyết vấn đề đan xen họat động nhóm.

III Tiến trình bài học và các hoạt động:

Hoạt động 1: BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki :

HĐ của GV HĐ của HS Ghi bảng

+Nêu cách

CM?

+Đây gọi là

BĐT

Bu-nhi-a-cốp-xki

+Gợi ý:AD kết

quả trên

+Mở rộng cho

bộ ba số ta có

kết quả như thế

nào?

+Dùng PP biến đổi tương đương

+HS CM +HS trả lời

Bài 1:CMR: Với 4 số thực a,b,c,d ta luôn có:

(ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2) Đẳng thức xảy ra khi a b

c d

Áp dụng: CMR:

a.nếu x, y là 2 số thực thỏa: x2 + y2 = 1 thì 2   x y 2

b.nếu 4x – 3y = 15 thì x2 + y2 9 Giải:

Ta có: (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 0

a b abcd c d a b a d c b c d ad bc

AD:a Áp dụng bđt BCS với 2 bộ số 1,1 và x, y ta được:(1.x+1.y)2(12+12)(x2+y2) = 2 x+y 2

 - 2 x + y  2 b.Ta có: (4.x3 )y 2 (x2  y2)(42 ( 3) )2

225 25(x y ) x y 9

+Mở rộng: BĐT BCS với bộ 3 số thực bkì a1, a2, a3 và b1,

b2, b3 , ta có: (a1b1+a2b2+a3b3)2a12+a22+a32)(b12+b22+b32) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 3

a

a a

b  b  b

Hoạt động 2: Chữa bài 7b 8, 9, 10 SGK / 110.

HĐ của GV HĐ của HS Ghi bảng

+Nêu PP giải

bài?

+Gọi HS trình

bày

+HS trả lời +HS trình bày

Bài 7b / 110 SGK.

a b a b ab  a a b(  ) b b a(  ) 0

( a b ) ( a ab b ) 0

+a, b, c là 3

cạnh của 1 tam

giác ta có tính

chất gì?

+Gọi HS giải

bài

+HS trả lời

+HS giải bài

Bài 8 / 110 SGK.

Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác nên vai trò của a, b, c như nhau, ta giả sử a b c 

Khi đó: 0    a b c (a b ) 2 c2 a2 b2 c2  2ab

Tương tự: a2 + c2 < b2 + 2ac và b2 + c2 < a2 + 2bc Cộng vế, suy ra điều phải CM

+Gọi HS lên

bảng giải bài

+GV NX và

đánh giá

+HS lên bảng giải bài

Bài 9 / 110 SGK

+Gọi HS lên

bảng (cùng lúc

với bài 9)

+HS lên bảng giải bài

Bài 10 / 110 SGK.

a.với x   y 0 ta có:

(đúng)

x xy y xy x y

x  y      

b.Vì a b  a b nên theo câu a ta có:

+Gợi ý: AD

kết quả câu a

+Nghe hiểu

Hoạt động 3: Chữa bài 16 SGK / 112

HĐ của GV HĐ của HS Ghi bảng

+Khi MS có

chứa tích 2 số

liên tiếp ta

nghĩ đến việc

làm gì để phân

thức đơn giản

hơn?

+Có thể dựa

vào cách làm

đánh giá số

hạng như câu a

+Tách thành

2 phân thức đơn giản hơn

+Nghe hiểu

và giải bài

Bài 16/112 SGK

k k  k k  

1.2 2.3 3.4    n n( 1)



1 2 2 3 3 4 n n 1 n 1

           

Do đó:

1 2 3

n

          



*)Củng cố - dặn dò:

- Nhắc lại các phương pháp CM BĐT trong bài hôm nay?

- Về nhà ôn lại cách CM dựa vào BĐT côsi đã học

*)BTVN: các bài còn lại trong SGK.

VI.Rút kinh nghiệm:

Tiết 43:

Hoạt động 1: Nhắc lại BĐT côsi và các ứng dụng của nó?

Bài 1: Cho a, b là 2 số không âm thỏa ab=16 Chứng minh rằng a + b 8 Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của a+b

Hoạt động 2: Luyện tập hệ quả 1 và 2

+Gợi ý học

sinh nhận xét

tổng và tích

của các số

hạng từ đó áp

dụng các hệ

quả 1 và 2

Nắm nhiệm

vụ và thực hiện trao đổi

để thực hiện nhiệm vụ

Bài 2 Tìm GTNN của hàm số: 5

2

x

Suy ra: GTNN của f(x) bằng 10 khi x = 10

2

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của f x( ) x(1x) , x 0;1 Giải: x 0;1   0 x 1

Suy ra: GTLN của f(x) bằng 1 1

4 khi x 2

Bài 4 Tìm GTNN của hàm số: f(x) = x + 1 với x > 2

2

x

Giải: Ta có:

Với x > 2 thì f(x) = x + 1 = x – 2 + + 2 4

2

x

1 2

Suy ra: GTNN của hàm số là 4 khi x = 3

Hoạt động 3: CMBĐT dựa vào BĐT côsi

+HD dùng BĐT

côsi cho các số

không âm

+Gợi ý: với 2 số

dương a và b ta

có:

1 1

(a b)( ) 4

a b

+Áp dụng vào

bài

+HS trao đổi

và giải bài

+CM BĐT và

áp dụng vào bài

Bài 5.Cho 3 số không âm a, b, c.

CMR: a (a + b)(ab + 1) 4ab

b (a + b + c)(ab + bc + ca) 9abc Giải:

a.Theo bđt côsi ta có:

a b  ab ab  ab a b ab   ab

Đẳng thức xảy ra khi: a = b = 1

2

b.Theo bđt côsi ta có:

3 2 2 2 3

a b c abc ab bc ca a b c

a b c ab bc ca abc

Đẳng thức xảy ra khi: a = b = c

Bài 6.Cho tam giác ABC với 3 cạnh là a,b,c và p là

nửa chu vi

p a p b p c  a b c 

Giải: Ta có:

p a  p b      p a p b c

Tương tự ta có:

p b p c  a

p a  p c  b

p a  p b  p c  a b c 

Bài 7.Với a, b, c là 3 số dương,

2

b c c a a b  

Giải: Đặt b + c = x, c + a = y, a + b = z Suy ra: a = - x + y + z, ,

x y z x y z

b   c  

+Gợi ý: đặt các

mẫu số là 1 số để

tách phân thức

thành phân thức

đơn giản hơn

+Nghe hiểu

và giải bài

b c c a a b

x y z x y z x y z

x y x z z y

y x z x y z

*)Củng cố - dặn dò: Khi cho các số không âm ta nên nghĩ đến bđt côsi để CM các bất đẳng

thức được đơn giản hơn

*)Bài tập về nhà: Các bài tập còn lại trong SGK và SBT.

VI.Rút kinh nghiệm:

Tiết 48.Bài 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Ngày soạn:

Ngày dạy:

I Mục tiêu

1.Về kiến thức:

-Hiểu khái niệm bất phương trình, hai BPT tương đương

-Nắm được các ’’phép biến đổi tương đương’’ các BPT

2 Về kĩ năng:

- Nêu được điều kiện xác định của một BPT đã cho

- Biết cách xem xét hai BPT cho trước có tương đương với nhau hay không

3 Tư duy – thái độ: Chủ động tích cực xây dựng bài, tạo tư duy lôgic

II Chuẩn bị:

GV: Giáo án, bảng phụ, hệ thống ví dụ, bài tập

HS: Đọc trước SGK và chuẩn bị tốt đồ dùng học tập

III Tiến trình bài học và các hoạt động.

Hoạt động 1: Dạy - học Định nghĩa BPT

Hỏi: Nhắc lại khái

niệm PT một ẩn số

(Dựa vào khái niệm

bất đẳng thức), hãy

định nghĩa “bất

phương trình” một

ẩn ?

Hỏi: Định nghĩa

’nghiệm’ và tập

nghiệm của BPT ?

 Cần chú ý điều kiện xác định của BPT

 Vận dụng tính chất:

nÕu nÕu

a c b c c

a b

a c b c c







 

x     a a x a a

1 Khái niệm bất phương trình một ẩn.

1) Định nghĩa:

(xem SGK)

Chú ý: Đk xác định 2) Ví dụ

Ví dụ 1: Trả lời H1 ?

0,5



Tập nghiệm : S1    ; 4

 b) x      1 1 x 1 Tập nghiệm: S2   1;1

Hoạt động 2: Dạy - học Bất phương trình tương đương:

Hỏi: Nhắc lại khái niệm

hai PT tương đương ?

Củng cố bằng H2

Hỏi: Phép biến đổi sau

đúng hay sai ?

1

x    



Nếu sai, thì sửa lại như

thế nào cho đúng ?

(Cần điều kiện gì ?)

+HS trả lời

+HS trả lời HĐ2

+HS trả lời

II BPT tương đương.

1) Định nghĩa: (xem SGK) Nếu bpt f1(x) < g1(x) tương đương với bpt

f2(x) < g2(x) thì ta viết:

f1(x) < f2(x)  f2(x) < g2(x) 2) Ví dụ

Ví dụ 2: Trả lời H2 ?

 a) Sai

 b) Sai

Ví dụ 3: Phép biến đổi sau đúng hay sai ?

1

x    



Trả lời: Sai, nếu x  2 0 Chỉ đúng nếu

x   x