Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng như các hệ quả của các bất đẳng thức như côsi, bunhiacopski ,v…v… +Khi gi¶i ®îc bµi to¸n råi th× dõng l¹i, kh«ng tiÕp tôc t×m tßi khai t[r]
Trang 1Phát triển tư duy cho học sinh thông qua giải
bài toán bằng nhiều cách.
I.Lý do chọn đề tài.
Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng thức tôi nhận thấy các em
(
+Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán thế nào ? Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng các hệ quả của các bất đẳng thức côsi, bunhiacopski ,v…v…
+Khi giải > bài toán rồi thì dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác, biến đổi thay đổi giả thuyết và giải bài toán bằng nhiều cách, từ đó nếu có thể suy ra bài toán tổng quát
Để khắc phục > hạn chế trên, định L các em duy lôgíc Tôi mạnh dạn 9
ra một vài kinh nghiệm nhỏ trong bài viết này hy vọng các em học tập hiệu quả hơn
II Biện pháp thực hiện.
Để làm > việc này cần có nhiều việc phải làm
Thứ nhất: yêu cầu và rèn luyện cho học sinh nắm vững các lý thuyết cơ bản
…,v…và các cách chứng minh thông H
Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt L cho các em phân tích
các bài toán bằng cách trả lời câu hỏi:
-Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không?
-Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các số hạng phải thoả mãn điều kiện nào Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức hợp với giả thuyết của bài toán
Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng thức về bất đẳng thức quen
thuộc
Thứ tư: Sau khi khuyến khích các em giải bài toán theo nhiều cách, nhiều công
cụ Công việc này rất có lợi cho duy cũng khả năng tổng hợp kiến thức của các em
III Phạm vi nghiên cứu.
Sáng kiến này > thực hiện ở các lớp khối tại THPT Triệu Sơn 4
IV Nội dung.
Thực hiện nội dung bằng giải bằng nhiều cách qua bài toán sau qua bài toán sau
Cho 3 số A a,b,c Chứng ming rằng
(1)
2
2 2
2
c b a b a
c a
c
b
c
b
Trang 2V Thực hiện
Cách 1(áp dụng bất đẳng thức côsi)
b
a
z
a
c
y
c
b
x
2
Suy ra:a=p-x; b=p-y;c=p-z.Do đó
2 6
1 1 1 2
2 2
2
p z y x p z y x p p z
x p y
y p x
x
p
.áp dụng bất đẳng thức côsi cho bất đẳng
9 1 1
1
z y x z y x z
y
x
p
thức cuối ta có điều phải chứng minh
Cách 2(áp dụng bất đẳng thức côsi).
áp dụng bât đẳng thức côsi cho hai số ta có
4
;
2
c b c b
c b c b
a
2 4
2
b a
c b a c a c
b
2 2
Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta có
c b a b a b a
c a c a c
b c
b
c
b
a
2 2
2
Chuyển vế rút gọn ta có điều phải chứng minh
2
2 2
2
c b a b a
c a c
b c b
Cách 3(biến đổi tương đương).
Cộng hai bất đẳng thức (1) với biểu thức a+b+c ta có
2
) (
3
2 2
c b a b a
c a
c
b
c
b
(2)
3 2
(2) là bất đẳng thức quen thuộc và là bất đẳng thức đúng tứ đó suy ra điều phải chứng
minh
Cách 4:(áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski).
áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski cho hai dãy số sau
Trang 3Ta có
a bb cc a
b a
c a
c
b
c
b
2 2
2
2
2 2
2
2
) (
c
b
a
b a b a
c a c a c
b c b c b
a b
a a c c b b a
c a
c
b
c
b
a
Từ đó suy ra đpcm
Cách 5:(Biến đổi tương đương)
0 ( 3 )
4
4 4
4 4
4
0 4 4
4
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
b a
b a c a
c
a c b c
b
c b
a
b a b a
c a c a c
b c b
c
b
a
c b a b a
c a
c
b
c
b
a
Không mất tính tổng quát giả sử rằng:
0 ; 4 0 4
;
0 2 2 2 2
a
Từ đây ta có
H tự ta có:
a c
c b a c
b
c
b
a
4
4 4
Kết hợp với (3) ta có:
a c
b a c b
a
b
a
c
4
4 4
4 4 0
4 4
4 4
a c
a c c b b a c
a
b a c a
c
a c b c
a
c b a
Từđây suy ra điều phải chứng minh
Cách 6: (áp dụng bất đẳng thức trêbứsép).
Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng abc ta có
b a
c a c
b c b
a
áp dụng bất đẳng thức J=&3 cho hai hãy số A trên ta có:
b a
c a c
b c b
a b
a
c a c
b c b
a
c
b
a
2 2
2 3 ) (
Mặt khác theo chứng minh trên ta có
Từ đây suy ra điều phải chứng minh
2
3
c a
c
b
c
b
a
Cách 7:(áp dụng bất đẳng thức trêbứsep)
Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng:
Trang 4áp dụng bất đẳng thức J=&3 cho hai hãy
; 2 2 2
c b a
c
b
b a a c c
1 1
1
số A cùng chiều trên ta có:
b a
c a c
b c b
a b
a a c c b c
b
a
2 2
2 2
2
2
3 ) 1 1
1 (
Mặt khác theo bất đẳng thức bunhiacopski ta có
b a a c c b a c c b b a c
b
a
a c b a c b c b a b
a a c c b c
b
a
1 1
1 6
1
1 1
1 3
1 ) 1 1
1
2
2
2
áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
b a a c c b a c c
b
b
a
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Cách 8:(áp dụng bất đẳng thức côsi)
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 dãy số sau:ab;bc;ca và ta có
a c c b b
1
;
1
; 1
3
3
1 3
1 1
1
3
a c c b b a a
c c
b
b
a
a c c b b a a
c c
b
b
a
Nhân hai vế bất đẳng thức trên ta >(
a b c a b c
c a
b c b
a b a
c c
a
b c b
a
b
a
c
a c
c b a c b
c b a b a
c b a a
c c b b a
c
b
a
2
3 2
3
2
9 9
1 1
1 2
Nhân vào rút gọn ta có đpcm
Cách 9:
Ta có
2
4
4
a
b c
Cộng vế với vế ta có điều phải chứng minh
Trang 5VI Kết quả thực hiện
Đây là một phần khó thực hiện trên đối > học sinh đa dạng nên gặp không ít khó khăn.Tuy nhiên qua khảo sát học sinh kết quả thu > đối khả quan
Kết quả sau
Trên đây là môt số kinh nghiệm có > trong quá trình dạy học, tìm tòi tự bồi Aq nghiệp vụ chuyên môn Rất mong sự quan tâm đóng góp ý kiến của các đồng chí để bài viết này > hoàn thiện hơn
Triệu sơn 10/5/2008
Lê Xuân Thắng