*Yêu cầu: + Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức + Áp dụng đúng công thức không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót + Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng côn[r]
Trang 1Chương trình ôn thi vào lớp 10
Năm học: 2010-2011
Chuyên đề i: căn thức bậc hai- bậc ba Các phép biến đổi căn thức bậc hai- bậc ba
A Những công thức biến đổi căn thức:
1) A2 A
2) AB A B ( với A 0 và B 0 ) 3) ( với A 0 và B > 0 )
B
A
B A 4) A2B A B (với B 0 ) 5) A B A2B ( với A 0 và B 0 )
A B A2B ( với A < 0 và B 0 ) 6) ( với AB 0 và B 0 )
B
AB
7) ( với B > 0 )
B
B A B
A
8) ( 2 ) ( Với A 0 và A B2 )
B A
B A C B A
C
B A
B A C B A
C
)
B Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
1 2
3
2
1
x
2
3
x
2
1
x
1
0
x
x
0
x
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x 0 )
HD: a) 2 3 21 b) x 5x 5 c) x 2 x 2 d) x1x x1
Bài 3: Đưa các biểu thức sau về dạng bình phương.
1
1
2
7
4
Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) 2 b) c) (với x 5) d) ( với )
17
4
28 3 2
14 6
5
5 2
x
x
1
1
x
x x
1 ,
0
x
x
Trang 2HD: a) 174 b) c) d)
2
2
5
Bài 5: Tìm giá trị của x Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên.
a) ( với x 0) b) ( với x 0) c) ( với x 0 và x 4)
2
3
1
5
x
2
2
x
HD: a) x1 b) x 0;1;9 c) x0;1;9;16;36
Bài 6: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
3
3
x
x
1 1
3
x
2
3
1
C Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho biểu thức: A =
1
1 1
1
x
x x
x x
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =
4 9 c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1
HD: a) ĐKXĐ là: , rút gọn biểu thức ta có: A =
1
0
x
x
1
x x
b) x = thì A = 3
4
9
c) 0 x1
Bài 2: Cho biểu thức: B =
4
5 2 2
2 2
1
x
x x
x x
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B
b) Tìm x để B = 2
HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: B =
4
0
x
x
2
3
x x
c) B = 2 x = 16
Bài 3: Cho biểu thức: C =
2 2
1 :
1 1
1
a
a a
a a
a
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C
b) Tìm giá trị a để C dương
HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: C =
1 4 0
a a
a
a
a
3
2
b) C dương khi a > 4
Bài 4: Cho biểu thức D =
x
x x
x x
x
4
4 2 2
Trang 3a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D.
b) Tính giá trị của D khi x = 62 5
HD: a) Điều kiện: , rút gọn biểu thức ta có: D =
4
0
x
x
x
b) D = 51
Bài 5: Cho biểu thức E =
1
3 1
x x
x x
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức E
b) Tìm x để E = -1
HD: a) Điều kiện: ,rút gọn biểu thức ta có: E =
1
0
x
x
x
1 3 c) x = 4
Bài 6: Cho biểu thức:F =
8
4 4 2
2 2
x x x
x
a) Tỡm TXẹ roài ruựt goùn bieồu thửực F
b) Tớnh giaự trũ cuỷa bieồu thửực F khi x=3 + 8;
c) Tỡm giaự trũ nguyeõn cuỷa x ủeồ bieồu thửực F coự giaự trũ nguyeõn ?
HD: a) ĐKXĐ: ,rút gọn biểu thức ta có: F =
4
0
x
x
2
2
x x
1 2 2 2 3
A = 2 21
c) Biểu thức A nguyên khi: x 24;2;1 x = {0; 1; 9; 16; 36}
D Bài tập luyện tập:
Bài1: Cho biểu thức :
6
5 3
2
a a a
a P
a
2 1
a) Tìn ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi: a = 74 3
c) Tìm giá trị của a để P < 1
Bài2 : Cho biểu thức: Q= a11 1a: a a21 a a12
a Rút gọn Q
b Tìm giá trị của a để Q dương
Bài3: Cho biểu thức: A =
x
x x
x x
x
x
3
1 2 2
3 6
5
9 2
a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A
b, Tìm các giá trị của x để A > 1
c, Tìm các giá trị của x Z để A Z.
Bài4 : Cho biểu thức: C =
1
2 1
3 1
1
x
Trang 4a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức C.
b, Tìm các giá trị của x để C = 1
Bài5: Cho biểu thức: M =
2
x) (1 1 x 2 x
2 x 1
x
2
a) Rút gọn M
b) Tìm các giá trị của x để M dương
c) Tìm giá trị lớn nhất của M
Bài6: Cho biểu thức: P =
2 1
1 :
1
x x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6
Chuyên đề II PHƯƠNG TRèNH - HỆ PHƯƠNG TRèNH - BẤT PHƯƠNG TRèNH
(Bậc nhất)
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trỡnh bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là b
x a
2.Phương trỡnh chứa ẩn ở mẫu
-Tỡm ĐKXĐ của phương trỡnh
-Quy đồng và khử mẫu
-Giải phương trỡnh vừa tỡm được
-So sỏnh giỏ trị vừa tỡm được với ĐKXĐ rồi kết luận
3.Phương trỡnh tớch
Để giỏi phương trỡnh tớch ta chỉ cần giải cỏc phương trỡnh thành phần của nú Chẳng hạn: Với phương trỡnh A(x).B(x).C(x) = 0
A x 0
B x 0
C x 0
4.Phương trỡnh cú chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trỡnh)
Dạng phương trỡnh này sau khi biến đổi cũng cú dạng ax + b = 0 Song giỏ trị cụ thể của a, b ta khụng biết nờn cần đặt điều kiện để xỏc định số nghiệm của phương trỡnh
-Nếu a ≠ 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất b
x a
-Nếu a = 0 và b = 0 thỡ phương trỡnh cú vụ số nghiệm
-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm
5.Phương trỡnh cú chứa dấu giỏ trị tuyệt đối
Cần chỳ ý khỏi niệm giỏ trị tuyệt đối của một biểu thức
A khi A 0 A
A khi A 0
Trang 56.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc nhất Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 b) 7x 5 x 9 20x 1,5
2x x 21 2x 7 x 9
x 3 3 x 7 10
Giải
(Vô lý)
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7
Vậy phương trình vô nghệm
Vậy
phương trình có nghiệm x = 6
2x x 21 2x 7 x 9
x 3 2x 7 13 2x 7 1 x 3 x 3 6
x 3; x
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42
x 4 DKXD
Vậy phương trình có nghiệm x = - 4
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*) 3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x 7 (loại)
2
-Xét 3 x 7 :
(*) x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4 (t/mãn)
-Xét x 7 :
(*) x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x 17 (loại)
2
Trang 6Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
x a b x b a b a
2
a x 1
ax 1 2
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
-Nếu b – a ≠ 0 b a thì 2 b a b a
b a
-Nếu b – a = 0 b a thì phương trình có vô số nghiệm
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a)
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ: x 1
2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
-Nếu a + 1 ≠ 0 a 1 thì x a 3
a 1
-Nếu a + 1 = 0 a 1 thì phương trình vô nghiệm
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất a 3
x
a 1
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm
VD3.Giải các hệ phương trình sau
x 2y 3z 2
x 5y 1
x y x y 8
Giải
Trang 7
x 7 5y
a)
3 7 5y 2y 4
b) ĐK: x y
x y x y
Khi đó, có hệ mới
5
1
u
8 8
Thay trở lại, ta được: x y 8 x 5
c)
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
2
x 17 3x 7 a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2
c) d)
e) f ) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6
h) 2 x 3 2x 1 4
4x 3 x 1 2x 3 x 2 i) 5 3x x 3 3x 1 x 2 k)
2.Giải và biện luận các phương trình sau
2
2 2
b) a x 1 3a x
ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
d)
x a x 1 x a x 1
Trang 83.Giải cỏc hệ phương trỡnh sau
m n p 21
x y 24
q m n 22
4.Cho hệ phương trỡnh m 1 x y 3
mx y m
a) Giải hệ với m = - 2
b) Tỡm m để hệ cú nghiệm duy nhất sao cho x + y dương
Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị
i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a Khái niệm hàm số
- Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định
được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số tương ứng của x và x được gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phương trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trước và a 0
b Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đường thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đường thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đường thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bước 1 Cho x = 0 thì y = b ta được điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bước 2 Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm P và Q ta được đồ thị hàm số y = ax + b
d Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) Khi đó
'
a a
d d
b b
Trang 9+ d'd' A a a'
'
a a
d d
b b
+ d d'a a ' 1
e Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b (a 0)
Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox
- Góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương
Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phương trình y = ax + b được gọi là hệ số góc của đường thẳng y = ax +b
f Một số phương trình đường thẳng
- Đường thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0
- Đường thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là
0 0
1
x y
x y
1.2 Hàm số bậc hai
a Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
b Tính chất
- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dười trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2.Kiến thức bổ xung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB được tính bởi công thức
( B A) ( B A)
- Tọa độ trung điểm M của AB được tính bởi công thức
;
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax 2 (a 0) và đường thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (d): y = mx + n Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phương trình
2
y ax
y mx n
- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phương trình
ax2= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phương trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
II Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x – m + 6 (d)
a Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến
Trang 10b Tìm các giá trị của m, biết rằng đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm được của m
c Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2
d Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
e Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đường thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định Bài 2: Cho hai đường thẳng: y = (k – 3)x – 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2)
Tìm các giá trị của k để:
a (d1) và (d2) cắt nhau
b (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung
c (d1) và (d2) song song với nhau
d (d1) và (d2) vuông góc với nhau
e (d1) và (d2) trùng nhau
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m ≠ có đồ thị là đường thẳng d 5
2 Tìm giá trị của m để :
a Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)
b (d) đi qua điểm (2;-1)
c (d)// với đường thẳng y =3x-4
d (d) // với đường thẳng 3x+2y = 1
e (d) luôn cắt đường thẳng 2x-4y-3 =0
f (d) cắt đường thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung
Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đường thẳng (d) y = (2m-1)x – m2-9 Tìm m để :
a Đường thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b (d) tiếp xúc với (P)
c (d) và (P) không giao nhau
Bài 5: Cho hàm số: 1 2 cú đồ thị (P)
2
a) Tỡm cỏc điểm A, B thuộc (P) cú hoành độ lần lượt bằng –1 và 2
b) Viết phương trỡnh đường thẳng AB
c) Viết phương trỡnh đường thẳng song song với AB và tiếp xỳc với (P) Tỡm tọa độ tiếp điểm
Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 cú đồ thị (P)
a) Tỡm m để hàm số đồng biến khi x > 0
b) Với m = – 2 Tỡm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3
c) Tỡm m để (P) tiếp xỳc với (d): y = 2x – 3 Tỡm tọa độ tiếp điểm
Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luụn tiếp xỳc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2
b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2
Bài 8:
8.1)Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luụn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phõn biệt:
a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x2
b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x2
8.2)Tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong cỏc trường hợp trờn
Bài 9: Cho Parabol (P) cú phương trỡnh: y = ax2 và hai đường thẳng sau:
(d1): 4 (d2): 4x + 5y – 11 = 0
1 3
a) Tỡm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy
Trang 11b) Vẽ (P), (d1), (d2) trờn cựng hệ trục tọa độ với a vừa tỡm được.
c) Tỡm tọa độ giao điểm cũn lại của (P) và (d2)
d) Viết phương trỡnh đường thẳng tiếp xỳc với (P) và vuụng gúc với (d1)
Bài 10: Cho Parabol (P): 1 2 và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1
2
a) Tỡm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) cú hoành độ bằng – 2
b) Tỡm m để (d) tiếp xỳc với (P) Tỡm tọa độ tiếp điểm
c) Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm cú hoành độ cựng dương
d) Tỡm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm cú hoành độ x1 x2 thỏa món: 2 2
2
Bài 11: Cho hàm số: y = ax2 cú đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1cú đồ thị (d)
a) Chứng minh (d) luụn đi qua một điểm M cố định
b) Tỡm a để (P) đi qua điểm cố định đú
c) Viết phương trỡnh đường thẳng qua M và tiếp xỳc với Parabol (P)
Chuyên đề iv: phương trình bậc hai
PHẦN II KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG
1 Cụng thức nghiệm:
Phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a 0) cú = b2- 4ac
+Nếu < 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm
+Nếu = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp: x1 = x2 =
a
b
2
+Nếu > 0 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt:
x1 = ; x2 =
a
b
2
a
b
2
2 Cụng thức nghiệm thu gọn:
Phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a 0) cú ’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu ’ < 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm
+Nếu ’= 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp: x1 = x2 =
a
b
+Nếu ’> 0 thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt:
x1 = ; x2 =
a
b '
a
b '
3 Hệ thức Vi-ột
a) Định lớ Vi-ột:
Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a0)
thỡ : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 =
a
b
a c
b) Ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a 0) cú: a+b+c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm: x1 = 1; x2 =
a c
+Hệ quả 2: