Giáo án Hình học nâng cao lớp 10 - Chương 3

- Học sinh biết sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến theo ba cạnh của tam gi¸c vµ c¸c c«ng thøc tÝnh diÖn tÝch tam gi¸c.. - Học sinh biết giải tam giác và biết thực hành việc [r]

Trang 1

Tiết 17,18,19

Đ2 tích vô hướng của hai vectơ

A Mục đích yêu cầu

- Học sinh nắm định nghĩa tích vô của hai vectơ và các tính chất của tích vô cùng với ý nghĩa vật lí của tích vô *

- Học sinh biết sử dụng biểu thức toạ độ của tích vô để tính độ dài của một vectơ, tính khoảng cách giữa hai điểm, tính góc giữa hai vectơ và chứng minh hai vectơ vuông góc với nhau

B Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 GV: Chuẩn bị một số các ví dụ về vật lí để chọn làm ví dụ thực tế về góc của hai vectơ.Chuẩn bị một số hình sẵn ở nhà vào giấy để chiếu

2 HS: Chuẩn bị tốt một số công cụ để vẽ hình

C Nội dung bài giảng

I/ Kiểm tra bàI cũ Vào đề Câu hỏi 1 Góc giữa hai vectơ đợc xác định thế nào?

2

    cos , tan , cot 

II/ bàI mới Hoạt động 1 Trong vật lí, ta biết rằng nếu có một lực F tác động lên một vật tại điểm O và làm cho vật đó di chuyển một quãng R s = OO’ thì công A của lực F tính theo công thức:

GV: treo hình 2.8 để thực hiện thao tác này.

'

A F OO cos  

trong đó F là R độ của lực tính bằng Niutơn (viết tắt là N), là độ

F



'

OO

dài của vectơ OO' tính bằng mét (m), là góc giữa hai vectơ và , còn công A

F



tính bàng Jun (viết tắt là J)

Trong toán học, giá trị A của biểu thức trên (không kể đơn vị) gọi là tích vô

của hai vectơ và F

'

OO

1 Định nghĩa

Cho hai vectơ và khác vectơ Tính vô của và là một số, kí a

b

0



a

b hiệu là , xác định bởi công thức sau:a

b



Trang 2

( , )

a b  a b cos a b   

LR hợp ít nhất một trong hai vectơ và bằng vectơ ta quy = a

b

0

a



b 0

GV lấy một ví dụ để minh hoạ định nghĩa.

Ví dụ

Cho hình tam giác để ABC, cạnh a Hãy tính

a) AB AC b)

ABBC



GV: Thực hiện thao tác này trong 5’

Câu hỏi 1

Hãy xác định góc giữa hai vectơ AB và

AC



Câu hỏi 2

Tính AB AC

Câu hỏi 3

Hãy xác định góc giữa hai vectơ AB và

BC



Câu hỏi 4

Tính ABBC

Gợi ý trả lời câu hỏi 1.

Góc giữa hai vecơ AB và là Góc A

AC



Theo công thức ta có

2 1

2

AB AC AB AC Aa

  

Góc giữa hai AB và bù với góc B

AC



Theo công thức ta có

2 1 cos

2

ABBC  AB AC B  a

  

Chú ý

a) Với và khác vectơ ta có a 

b

0

0

a b  a b Khi a btích vô a a  ký hiệu 2 và số này gọi bình ]" vô

a

của vectơ a

a a a cos  a

Ví dụ Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và có chiều cao AH

Khi đó ta có (h.2.9)

0 1 2

AB AC a a cos  a

 

Trang 3

0 1 2

2

AC CBa a cos  a

 

0 2

2

a

 

GV treo hình 3.9 thực hiện thao tác này

Hoạt động 2

2 Các tính chất của tích vô

UR ta chứng minh các tính chất sau đây của tích vô ;

Với ba vectơ a b c  , , bất kì và mọi số k ta có:

(tính chất giao hoán);

a b a  

(tính chất phân phối);

a b c   a b a c   

     k a b  k a b  a kb  ;

a  a   a 

Nhận xét Từ các tính chất của tích vô của hai vectơ ta suy ra:

 2 2

2

a b  a  a b b 

a b  a  a b b  

;

   2 2

a b a b     a b

1 Cho hai vectơ và đều khác vectơ Khi nào thì tích vô của hai a

b

0

 vectơ là số -"; Là số âm? Bằng 0/

GV: Thực hiện thao tác này trong 5’

Câu hỏi 1

Dấu của a b  phụ thuộc vào yếu tố

nào?

Câu hỏi 2

khi nào?

0

a b 

Câu hỏi 3

khi nào?

0

a b 

Câu hỏi 4

khi nào?

0

a b 

Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Phụ thuộc vào cos  a b , Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Khi cos a b , 0 hay góc giữa a b  là góc nhọn

Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Khi cos a b , 0hay góc giữa a b  là góc tù

Trang 4

Gợi ý trả lời câu hỏi 4 Khi cos  a b , 0hay góc giữa a b  là góc vuông

III/ Củng cố , mở rộng

của HS

1 Tam giác ABC vuông ở A, AB =c, AC = b, tích vô

bằng?

BA BC

 

2 Tam giác ABC vuông ở A, AB = c, AC = b, tích vô

bằng?

CA CB 

bằng

AB AC

 

(a) 2 2 (b)0;

;

b c

(c) 2 (d)

;

bằng

BA AC

 

(a) 2 2 (b)

;

b c

(c) 2; (d)

2

c

2

;

b

Đáp Chọn (b)

Đáp Chọn (d)

Tiết 18

I/ Kiểm tra bàI cũ

? Tam giác ABC vuông ở A, Ab = c, AC = b, tính tích vô CA AB 

II/ bàI mới

Hoạt động 1

3 Biểu thức toạ độ của tích vô

GV nêu và nhấn mạnh công thức, yêu cầu học sinh chứng minh:

Trên mặt phẳng toạ độ  0; ; i j cho hai vectơ

( ; ), ( ; )

a a a b b b 

Khi đó tích vô a b  là

=

a b

 

a b a b

Trang 5

Nhận xét Hai vectơ a( ;a a1 2),b ( ;b b1 2)khác vectơ vuông góc với nhau khi 0

và chỉ khi:

=0

1 1 2 2

a b a b

2.Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A (2;4), B (1;2), C (6;2)

Chứng minh rằng AB

AC



GV Thực hiện thao tác này trong 5’

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh

Câu hỏi 1

Hãy xác định toạ độ của AB

Câu hỏi 2

Hãy xác định toạ độ của AC

Câu hỏi 3

Hãy tính  AC AB

Câu hỏi 4

Kết luận

Gợi ý trả lời câu hỏi 1

= (-1;-2)

AB



= (4;-2)

AB



= 4.(-1)+(-2).(-2)= 0

AC AB

 



AB



AC



Hoạt động 2

4 ứng dụng

a) Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ a ( ;a a1 2) tính theo công thức :

2 2

a  a a

a a a a a a a a

1 2



Ví dụ Cho ba điểm A (1;1),B (2;3), C (-1;-2)

a) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

b) Tính BD

GV Thực hiện thao tác này trong 3’

a) Xác định điểm D sao cho ABC là hình bình hành

Trang 6

ABCD là hình bình hành khi nào?

Câu hỏi 2

Hãy xác định toạ độ của AB

Câu hỏi 2

Gọi D (x;y) Hãy xác định DC

Câu hỏi 4

Để AB= cần điều kiện nào?

DC



=

AB



DC



= (1;2)

AB



= (-1-x;-2-y)

DC





     

b) Tính BD

Câu hỏi 1

Hãy xác định toạ độ BD

Câu hỏi 2

Tính BD

= (-4;-7)

BD



( 4) 7  65

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô của hai vectơ ta suy ra nếua ( ;a a1 2)và b( ;b b1 2)

đều khác thì ta có:0

a b



 

Ví dụ Cho OM  ( 2; 1),ON(3; 1)

2

5 10

OM ON MON cos OM ON

OM ON

 

 

  

 

( OM ON, ) 135

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A x A;y Avà B (x B;y B) tính theo công thức:

x x  y y

Thật vậy, vì ABx B x A;y By Anên ta có:

Trang 7

AB =   2 2

AB  x x  y y



Ví dụ Cho hai điểm M (-2;2) và N (1;1) Khi đó MN 3;1 và khoảng cách MA

3 ( 1) 10



Một số bài tập trắc nghiệm

1 Cho tam giác đều ABC có cạnh a,      AB AC BC CA CA AB  bằng

(a) (b)

2 3

; 2

a

2

a

(c) (d)

2

; 2

2

a



Đáp Chọn (a)

2 Cho tam giác đều ABC có cạnh a,  AB BC    BC CA CA CB  bằng

(a) (b)

2

;

2

; 2

a



(c) (d)

2

3 2

2

a



Đáp Chọn (b)

3 Cho tam giác đều ABC có cạnh a,      AB AC BC BA CA AB  bằng

(a) (b)

2

;

2

; 2

a



(c) (d)

2

3 2

2

a



Đáp chọn (a)

Tiết 19

I/ Kiểm tra bàI cũ

? Cho tam giác đều ABC có cạnh a,      AB CB BC CA CA AB  bằng?

II/ bàI mới

Bài tập sách giáo khoa

Hoạt động của GV Hoạt động của HS

Trang 8

1 Cho tam giác

vuông cân Abc có Ab =

AC = a tính các tích vô

   AB AC AC CB ,

2 Cho ba điểm O,

A, B thẳng hàng và biết

OA = a, OB = b Tính tích

vô OA OB  trong

hai LR hợp:

a) Điểm O nằm

ngoài đoạn AB;

b) Điểm O nằm

trong đoạn AB;

3 Cho nửa R

tròn tâm O có R kính

AB = 2R Gọi M và N là

hai điểm thuộc nửa R

tròn sao cho hai dây cung

AM và BN cắt nhau tại I

a) Chứng minh

và

AI AM BI BN

   

BI BN BI BA

  

b) Hãy dùng kết

quả câu a) để tính

theo R

AI AM AI AB

   

4 Trên mặt phẳng

Oxy, cho hai điểm A

(1;3),B (4;2)

a) Tìm toạ độ

điểm D nằm trên trục Ox

sao cho DA = DB;

b) Tìm chu vi tam

giác OAB;

1

0

2



 

   

 

2.a) Khi OM nằm ngoài đoạn AB ta có:

0

OA OBa b cos a b



b) Khi O nằm giữa hai điểm A và B ta có

0 180 1 ( 2.8)

OA OBa b cos   b h

 

3.a

;

     

Từ (1) và (2 ta suy ra ) AI AM  AI AB H ( 2.9(3)

" tự ta chứng minh BI BN   BI BA (4) b) Từ hai đẳng thức (3 và (4) ở câu a) ta có:

4

AI AM BI BN AI AB BI BA

AI AB IB AB

AI IB AB

       

   

  



4.a) Vì điểm D nằm trên trục Ox nên toạ độ của nó

có dạng (x;0)

Theo giả thiết ta có DA =DB, nên 2 2

DA DB

(1x) 3 (4x) 2

5 3

x

 

Vậy D có toạ độ là 5; 0

3

b) Gọi 2p là chu vi tam giác OAB, ta có:

Trang 9

c) Chứng tỏ OA

vuông góc với AB và từ

đó tính diện tích tam giác

OAB

Oxy hãy tính góc giữa hai

vectơ và trong các a

b

LR hợp sau:

a) =(2;-3),a

b

=(6;4);

b) =(3;2), = a

b (5;-1);

c) =(-2;a

2 3),b (3; 3)

toạ độ Oxy cho 4 điểm

A(7;-3), B(8;4), C(1;5),

D(0;-2)

Chứng minh rằng

tứ giác ABCD là hình

vuông

2p=

p

c) Vì OA =OB = 10và OB  20nên ta có

OB OA AB

Vậy tam giác OAB vuông cân tại A

OAB

OA OB

(Có thể chứng minh OA bằng cách chứng minh

AB



)

OA AB

 

5.a) a b  2.6 ( 3).4  0.Vậy a hay

b

0 ( )a b  90 b) .a b 3.5 2.( 1)  13

(

13 26

a b cos a b

a b

 

Vậy ( )a b  450 c) a b  ( 2).3 ( 2 3) 3      6 6 12

( )

2 4.2 3 2 3

a b cos a b

a b



 

( ) 150 a b  

6 Muốn chứng minh tứ giác ABCD là hình vuông, ta

có nhiều cách Chẳng hạn các cách sau đây:

Cách 1: Chứng minh ABCD là hình thoi có một góc vuông, cụ thể là cần chứng minh AB  BC  CD  DA và

AB AD

 

Cách 2: Chứng minh áBCD là hình thoi và có hai

R chéo bằng nhau, cụ thể là cần chứng minh

và

AB  BC  CD  DA

   

AC  BD

 

Cách 3: Chứng minh ABCD là hình chữ nhật có hai

Trang 10

R chéo vuông góc với nhau nghĩa là cần chứng minh:

và

ACABAD

  

AB AD

 

AC BD

 

Cách 4: Chứng minh ABCD là hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau nghĩa là cần chứng minh:

và

ACABAD

  

AB AD

 

AB  AD

 

Trên mặt phẳng Oxy cho điểm

A(2;-1) Gọi B là điểm đối xứng với điểm

A qua gốc toạ độ O Tìm toạ độ của điểm

C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC

vuông ở C

Theo giả thiết ta có B (2;-1) và (C (x;2)(h.2.11)

Do đó CA   ( 2 x; 1) (2 ; 3)

CB  x

Tam giác ABC vuông tại C nên:

2

( 2 )(2 ) 3 0 1

1

CA CB

x x



 

 

Vậy ta có hai điểm C (1;2) và C’ (-1;2)

IV/ hướng dẫn về nhà Làm các BT SGK

Trang 11

Tiết 20,21

Đ3 Các hệ thức lượng trong tam giác

và giải tam giác

A Mục đích yêu cầu

- Học sinh nắm định lí sin trong tam giác và biết vận dụng các định lí này

để tính cạnh hoặc góc của một tam giác trong các bài toán cụ thể

- Học sinh biết sử dụng công thức tính độ dài R trung tuyến theo ba cạnh của tam giác và các công thức tính diện tích tam giác

- Học sinh biết giải tam giác và biết thực hành việc đo đạc trong thực tế

B Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 GV: Chuẩn bị một số kiến thức ở lớp - để đặt câu hỏi

2 Chuẩn bị một số hình sẵn ở nhà vào giấy để chiếu

HS: Chuẩn bị tốt một số công cụ để vẽ hình

C Nội dung bài giảng

I/ Kiểm tra bàI cũ GV: Kiểm tra bài cũ trong 5’

Câu hỏi 1: Định nghĩa và tính chất của tích vô ớng của hai vectơ

Câu hỏi 2: Nêu công thức tính góc của hai vectơ

Câu hỏi 3

Nêu công thức tình khoảng cách giữa hai điểm

Câu hỏi 4 Nêu biểu thức toạ độ của hai vectơ

II/ bàI mới

Hoạt động 1

Chúng ta biết rằng một tam giác hoàn toàn xác định nếu biết một số yếu tố, chẳng hạn biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh đó

U vậy giữa các cạnh và các góc của một tam giác có một mối liên hệ xác định nào đó mà ta sẽ gọi là các hệ thức ) trong tam giác Trong phần này chúng ta sẽ nghiên cứu những hệ thức đó và các ứng dụng của chúng

Đối với tam giác ABC ta R kí hiệu: a = AB, b = CA, c = AB

1 Tam giác ABC vuông tại A có R cao AH = h và có BC = a, CA = b, AB

= c Gọi BH = c’ và CH = b’ Hãy điền vào các ô trống trong các hệ thức sau đây để các hệ thức ) trong tam giác vuông:

Trang 12

2 2

2

2 2

'

tan cot ; cot tan

ah b

 

 

 

Câu hỏi 1:

áp dụng định lí nào để điền

2 2

a b 

Câu hỏi 2:

Hãy điền vào các chỗ trống còn lại

Gợi ý trả lời câu hỏi 1:

Định lý Py – ta – go

a b c Gợi ý trả lời câu hỏi 2:

2 2 2

' ' ' '

sin cos ;sin cos

h b c

ah b c

 



 

L tiên ta tìm hiểu hai hệ thức ) cơ bản trong tam giác bất kì là định lí côsin và định lí sin

1 Định lí côsin

a) Bài toán Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh BC (hình 2.12)

GV: treo hình 2.12 để thực hiện thao tác chứng minh này

Trang 13

Ta có 2  2 2 2

2

BC  BC   ACAB AC AB   AC AB

2

BC AC AB   AC AB A

Vậy ta có 2 2 2

2 cos

BC AC AB  AC AB A

2 cos

BC AC AB  AC AB A

Từ kết quả của bài toán ta suy ra định lí sau đây:

b) Định lí côsin

Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c ta có:

2 cos ;

2 cos

2 Hãy phát biểu định lí côsin bằng lời

GV cho học sinh phát biểu thành lời định lí trên và kết luận:

Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng các cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó và côsin của góc xen giữa hai cạnh d đó.

3 Khi ABC là tam giác vuông, định lí côsin trở thành định lí quen thuộc nào?

Câu hỏi 1

Giả sử tam giác ABC vuông tại A và có

các cạnh " ứng là a, b, c Hãy viết biểu

thức liên hệ giữa các cạnh theo định lí

côsin

cos

a b c Ab c

Đây là định lý Py – ta – go

Từ định lý côsin ta suy ra:

Hệ quả

cos

2 cos

2

A

bc

B

ac

c

ab

 



 



 



c) áp dụng Tính độ dài R trung tuyến của tam giác

Trang 14

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c Gọi ma, mb và mc là độ dài các R trung tuyến lần ) vẽ từ các đỉnh A, B và C của tam giác, ta có:

2

; 4

a

b

c

m



Thật vậy, gọi M là trung điểm của cạnh BC, áp dụng định lí côsin vào tam giác AMB ta có:

a

m c    c Bc  ac B

 

 

cos

2

B

ac

 



a

ac

Chứng minh " tự ta có:

4

b

4

c

4 Cho tam giác ABC có a = 7 cm, b = 8 cm và c = 6cm Hãy tính độ dài R trung tuyến ma của tam giác ABC đã cho

Câu hỏi 1

Hãy áp dụng công thức để tính ma

Gợi ý trả lời câu hỏi 1

a

d) Ví dụ

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có các cạnh AC = 10 cm, BC = 16 cm bà góc Tính cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó

110

C

Giải

Đặt BC = a, CA = b, AB = c

Theo định lí côsin ta có:

Định dạng
Số trang	20
Dung lượng	310,37 KB