Đề tài Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số đã áp dụng dạy học cho học sinh lớp 9 ở trường THCS Thiệu Long: 3.1.Phương pháp dùng hằng đẳng thức: Để dùn[r]

Phần thứ nhất: Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài:

Trong nhà trường THCS, môn Toán giữ một vai trò hết sức quan trọng Những

tri thức và kỹ năng toán học cùng với những phương pháp làm việc trong toán học trở thành công cụ để học tập các môn học khác, là công cụ của nhiều ngành khoa học và đời sống thực tế Vì vậy toán học là một phần không thể thiếu trong nền văn hóa của con người mới

Trong quá trình giảng dạy chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9 bản thân tôi thấy việc giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (hay bài toán cực trị) là một vấn đề khó đối với học sinh Vì các bài toán cực trị thường không cho sẵn điều phải chứng minh, chúng đòi hỏi học sinh phải tự tìm lấy kết quả của bài toán

Đối với bài toán cực trị thường có nhiều con đường để đi đến đích, trong đó có những cách giải ngắn gọn, hợp lí, đôi khi có cả những phưong án độc đáo và sáng tạo Các bài toán cực trị cũng gắn toán học với thực tiễn bởi việc đi tìm những giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,nhiều nhất, ít nhất,… chính là đi tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật

ở đề tài này, tôi mạnh dạn đưa ra một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất để giúp các em học sinh nâng cao kiến thức và kỹ năng tìm cực trị

2 Mục đích nghiên cứu:

- Giúp bản thân tự học hỏi, tự nâng cao kiến thức về phần này.

- Vận dụng vào quá trình giảng dạy, đặc biệt là ôn luyện cho học sinh khá giỏi

- Giúp học sinh nắm vững kiến thức, làm cơ sở để học những lớp trên

- Có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán thực tế

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

3.1 Đối tượng nghiên cứu:

Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số 3.2 Phạm vi nghiên cứu:

Học sinh lớp 9B trường THCS Thiệu Long

4 Các nhiệm vụ nghiên cứu:

Đề tài này nêu và giải quyết một số vấn đề sau:

- Một số cơ sở lý luận liên quan đến đề tài

- Cơ sở thực tế của vấn đề nghiên cứu

- Một số phưong pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

- Những kết quả đạt được

- Một số bài học kinh nghiệm

5 Giới hạn đề tài:

Đề tài này chỉ giới hạn trong việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số áp dụng cho học sinh lớp 9 Bắt đầu từ tháng 09 năm 2006 đến tháng

03 năm 2007

6 Phương pháp nghiên cứu:

- Quan sát sư phạm

- Điều tra giáo dục

- Nghiên cứu tài liệu

- Kiểm tra đánh giá

Phần thứ hai: Nội dung

1 Cơ sở lý luận của vấn đề nghiên cứu:

Dạy học là một quá trình luôn luôn vận động và phát triển không ngừng Sự vận động và phát triển mang tính quy luật thống nhất giữa hoạt động dạy của

Người giáo viên, với vai trò chủ thể tác động sư phạm phải biết thiết kế và tổ chức quy trình dạy học như: xác định mục tiêu, nhiệm vụ dạy học, lựa chọn nội dung, vận dụng các phương pháp, phương tiện và hình thức tổ chức dạy học

Trong quá trình dạy học, người thầy phải biết chọn lọc những kiến thức cơ bản quan trọng để truyền thụ cho học sinh Đồng thời phải dẫn dắt học sinh biết tìm tòi, phát hiện tri thức mới và từng bước giải quyết các vấn đề đó thông qua các phương pháp dạy học phong phú, linh hoạt, phù hợp với từng đối tượng học sinh

Trong quá trình dạy học, học sinh không ngừng phát huy tính tích cực nhận thức, tự mình rèn luyện các thao tác trí tuệ Vì vậy giáo viên phải giúp học sinh tự mình khám phá trên cơ sở tự giác và được tự do suy nghĩ, tranh luận, đề xuất các vấn đề cần được giải quyết Khi học sinh phát hiện được một bài toán hay, điều

đó sẽ giúp các em học toán có hiệu quả hơn và được hưởng trọn niềm vui khi tự mình giải được bài toán

Vậy khi dạy học toán là phải biết phát huy tính sáng tạo và khả năng tư duy toán học sẵn có của học sinh, tạo cho các em niềm tin vào môn học này Đặc trưng của toán học là tính trừu tượng cao độ, tính lôgic và tính thực nghiệm Vì thế, người giáo viên phải chú ý đến tất cả các phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện mục tiêu giáo dục toàn diện

2 Cơ sở thực tế của vấn đề nghiên cứu:

- Nhìn chung, nội dung kiến thức về tìm giá trị lớn nhất, được nói đến rất ít trong SGK đại số lớp 8 và lớp 9 bởi chúng là một phần kiến thức khó Đa số học sinh tiếp thu kiến thức này một cách mơ màng và khó khăn nên chưa thể tự mình tiến tới giải các bài toán dạng này Trong khi đó, phần nhiều giáo viên chưa dành nhiều thời gian để nghiên cứu sâu về các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất để đóng vai trò chủ thể trong quá trình dẫn dắt học sinh phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề

- Trường THCS Thiệu Long có đầy đủ cơ sơ vật chất tạo điều kiện tốt cho việc giảng dạy nói chung và bộ môn toán nói riêng Phần lớn học sinh chịu khó học hỏi, tìm tòi, say mê bộ môn toán Song do trình độ tiếp thu có hạn nên ít em có thể tự mình làm được các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

- Qua khảo sát và kiểm tra đầu năm học 2006-2007 về phần kiến thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ở lớp 9B kết quả đạt được như sau:

Tổng số học sinh được tham gia khảo sát: 44 em

Loại giỏi: 3 Tỉ lệ: 6,8%

Loại khá: 8 Tỉ lệ: 18,2%

Loại TB: 22 Tỉ lệ: 50%

Loại yếu,kém: 11 Tỉ lệ: 25%

Chất lượng trên thể hiện một bộ phận học sinh cũng đã biết cách giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số Vì vậy tôi tập trung nghiên cứu sâu hơn về các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất để

đưa ra cho học sinh tìm hiểu, áp dụng giúp các em có thêm công cụ để giải toán dạng này Đặc biệt là những em có năng khiếu về môn toán, càng làm cho các

em phát triển tư duy trí tuệ Trong quá trình giảng dạy, bản thân đã dạy cho học sinh các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau:

3 Một số phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

đại số đã áp dụng dạy học cho học sinh lớp 9 ở trường THCS Thiệu Long:

3.1.Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Để dùng hằng đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại

số thì trước hết học sinh phải nắm được các hằng đẳng thức thường sử dụng là:  2 2 2

2ab b a

b

ab2 a2  2abb2

abc2 a2 b2 c2  2ab 2bc 2ca

abc2 a2 b2 c2  2ab 2bc 2ca

abc2 a2 b2 c2  2ab 2bc 2ca

Phương pháp này thường dùng để tìm giá trị lớn, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

đại số là tam thức bậc hai, đa thức bậc cao hơn hai có thể đưa về được tam thức bậc hai, phân thức có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai

Vì ở lớp 8 học sinh đã được làm các bài tập tìm cực trị của biểu thức là tam thức bậc hai hoặc đa thức bậc cao có thể đưa được về tam thức bậc hai nên ở đây giáo viên chỉ củng cố lại cho học sinh

Giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số là tam thức bậc hai như sau:

- Đối với biểu thức đại số là tam thức bậc hai thì đưa tam thức đó về dạng

hoặc (trong đó a là hằng số) bằng cách áp dụng các hằng

 x a

đẳng

- Đối với biểu thức đại số là đa thức bậc cao sau khi đã đưa về được dạng tam thức bậc hai thì cũng làm tương tự như tam thức bậc hai

- Đối với biểu thức đại số là phân thức có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc

hai thì đưa biểu thức đó về dạng f  x a hoặc (a,b là các hằng số)

b



b



 2 Sau đây là một số ví dụ cụ thể:

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A 2x2  8x 11

Phần hướng dẫn của giáo viên Hoạt động của học sinh

Gv: Hãy đưa đa thức trên về dạng

bằng cách áp dụng hằng đẳng

 x a

thức bình phương của một hiệu

Gv: Có nhận xét gì về biểu thức

Từ đó rút ra được kết luận gì

2

)

2

(

2 x

về biểu thức A ?

Gv: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là

bao nhiêu ? Đạt được tại giá trị nào của

x ?

Hs: Ta có: A 2x2  8x 11

3 ) 2 ( 2

11 8 ) 4 4 ( 2

11 ) 4 ( 2

2 2 2























x

x x

x x

Hs: Do (x 2 ) 2  0 với mọi x

nên (x 2 ) 2  0 với mọi x

suy ra A  x2 (  2 ) 2  3  3 với mọi x

Hs: Ta nhận thấy:

A 3  x 2  0

2



 x

Vậy minA 3 khi và chỉ khi x 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B (x 1 )(x 3 )(x2  4x 5 )

Phần hướng dẫn của giáo viên Hoạt động của học sinh

Gv: Hãy so sánh kết quả của phép nhân

(x 1 )(x 3 ) với x2 x4  5

Hs: (x 1 )(x 3 )= x2  x4  3 suy ra: x2  x4  5 = (x 1 )(x 3 )+ 2

Gv: Nếu đặt y = x2 x4  3 hãy biễu

diễn x2  x4  5 qua y Khi đó biểu thức

B có dạng như thế nào ?

Gv: Có nhận xét gì về biểu thức B ?

Gv: Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức B ?

Hs: x2  4x 5  x2  4x 3  2  y 2

Khi đó: B y(y 2 )

 y2  2y

Hs: Biểu thức B là tam thức bậc hai Hs: B y(y 2 )

 1 1

1 1 2 2

2 2 2



















y

y y

y y

Do y 12  0 với mọi y

nên B  1 với mọi y

B  1  y 1  0

 

2

0 2

0 2

0 4 4

0 1 3 4

2 2 2



































x x x

x x

x x

Vậy minB  1 khi và chỉ khi x 2

= C

8 5

2

2  x

x

Phần hướng dẫn của giáo viên Hoạt động của học sinh

Gv: Có nhận xét gì về biểu thức C ?

Gv: Hãy biến đổi mẫu thức của C về

dạng f2 x a

Hs: Biểu thức C là một phân thức có tử

là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai

Hs: Ta có:

= C

8 5

2

2  x

x

Gv: Ta thấy: 0 với mọi

2

2

5











2

2

5











 x 

4

7  4

7

x

Từ đó hãy tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức C

=

8 4

25 2

5 2

5 2

2

2













x

=

4

7 2 5

2

2













 x

Hs: Vì với mọi

2

2

5











 x 

4

7  4

7

x

7 4

4

7 2 5

1













 x

7 8

4

7 2 5

2













 x

 7 8

=

C

7

8

0 2

5 



 x

2

5





 x

Vậy max = khi và chỉ khi C

7

8

2

5





x

3.2 Xét biểu thức phụ:

Có những biểu thức đại số mà việc trực tiếp đi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là khó khăn Ta sử dụng một phương pháp gián tiếp là xét biểu thức phụ Các biểu thức phụ thường xét là: A A A, hoặc sai khác một

A, , ,

hằng số

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

6 2 5

1

x

A







Phần hướng dẫn của giáo viên Hoạt động của học sinh

Gv: Hãy tìm tập xác định của biểu

thức trên

Gv: Có nhận xét gì về biểu thức A

(âm hay dương) ?

Gv: Hãy xét biểu thức phụ

A

A'  1

Gv: Biểu thức 6 x 2 nhận những giá

trị nào ? Từ đó hãy suy ra giá trị của

A’

Gv: Từ giá trị của A’ hãy tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A

Hs: Tập xác định là: x  6

Hs: Ta nhận thấy A 0

Hs: ' 1 5 2 6 x2

A

Hs: Ta có: 0  6 x2  6

 0  2 6 x2  2 6

 5  5  2 6 x2  5  2 6

 5  A'  5  2 6

Hs: Từ 5 A'  5  2 6

suy ra minA'  5  2 6 x2  0

 x  6

khi đó max

5

1



A

maxA'  5  2 6  6 x2  6

 x 0

6 2 5





A

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B x2 x 1  x2 x 1

Phần hướng dẫn của giáo viên Hoạt động của học sinh

Gv: Có nhận xét gì về giá trị

của biểu thức B (âm hay

dương) ?

Gv: Hãy xét biểu thức phụ B’=

B2

Gv: Biểu thức B’ nhận những

giá trị nào ? Từ đó hãy tìm giá

trị nhỏ nhất của B’

Gv: Từ minB'  4 x 0

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của B

Hs: Ta nhận thấy B 0 với mọi x

2 2

2 ' B  x x 1  x x 1

B

 1 1

2 1

2

 2x2  2  2 x2  12 x2  2x2  1  x4 x2  1

Hs: B'  2x2  1  x4 x2  1 4

B'  4  x2  0

 x 0

khi đó minB'  4  x 0

Hs: minB 2 khi và chỉ khi x 0

Giáo viên lưu ý cho học sinh khi xét các biểu thức phụ:

Chú ý: Khi xét biểu thức phụ ' 1;A' A2 phải chú ý là Khi đó:

A

A

A

2

' A

2

' A

3.3 Đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới:

Trong trường hợp việc tìm cực trị đối với biến của biểu thức đã cho là khá phức

tạp thì một trong những phương pháp để đưa bài toán về dạng đơn giản là đổi

biến và tìm cực trị đối với biến mới

A x 2 x 1  x 2 x 1

Phần hướng dẫn của giáo viên Hoạt động của học sinh

Gv: Đặt x1  y Cần có điều

kiện gì cho y ? Hãy biểu diễn A

qua y

Gv: Biểu thức A nhận những giá

trị nào ?

Gv: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A là bao nhiêu ? Đạt được tại giá trị

nào của x ?

Hs: Điều kiện y 0 Vì x1  y  x 1  y2 x y2  1

thay vào biểu thức , ta có:A

A y2  1  2y y2  1  2y

 2  2

1



 y 1  y 1

Hs: A y 1  y 1

 1  y  1 y  1 y 1 y  2

 A 2

Hs: Vì A 2 nên

min 0 1 1 2

0 1

0 1

0























y y

y A

Chú ý: Sau khi đổi biến và tìm được cực trị đối với biến mới.Cần chỉ ra được tồn

tại các giá trị của biến cũ để có cực trị đó

3.4 Vận dụng các bất đẳng thức đã biết:

Khi tìm cực trị của một biểu thức đại số, người ta thường sử dụng tính chất của bất đẳng thức, các hằng bất đẳng thức và hai bất đẳng thức quan trọng là bất đẳng thức Côsi và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki

Giáo viên giới thiệu cho học sinh một số các hằng bất đẳng thức, các bất đẳng thức thường dùng để tìm cực trị của biểu thức đại số

Các hằng bất đẳng thức thường dùng là:

- a2  0 ; a2  0 Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a 0

- a  0 Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a 0

- a a. Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a 0

- ab  a b. Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi ab 0

- ab  a  b. Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi ab 0 và a  b

(các điều kiện này còn có thể diễn đạt là a  b 0 hoặc a  b 0)

Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy):

Với n số a1,a2, a n  0 thì n

n

n

a a

a

2 1 2

1   

(dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a1 a2  a n)

Với n = 2 thì 1 2 1 2

a a





Với n = 3 thì 3

3 2 1 3 2 1

a a a







Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki:

a.mb.n2 a2 b2m2 n2

(dấu " " xảy ra khi và chỉ khi )

n

b

m a 

Giáo viên lấy ví dụ để hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp này

Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A 3x 5  7  3x

Phần hướng dẫn của giáo viên Hoạt động của học sinh

Gv: Điều kiện xác định của biểu

thức A là gì ?

Gv: Xét biểu thức:

2 3x 5 7 3x

Gv: Hai số 3x 5 và 7  3x âm hay

dương, tổng của chúng bằng bao

nhiêu ? Ta có thể áp dụng bất đẳng

thức nào cho chúng ?

Gv: Từ A2  4 hãy tìm giá trị lớn

nhất của A Giá trị lớn nhất đó đạt

được tại giá trị nào của x ?

Hs: Điều kiện xác định của biểu thức A

là:

3

7 3

5  x

3 7 5

 x  x

x x

x x

3 7 5 3 2 2

3 7 5 3 2 3 7 5 3























Hs: Từ điều kiện xác định ta thấy 3x 5

và 7  3x là hai số không âm và có tổng

là 2 nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số đó, ta có:

4

2 

 A

Hs: Do A2  4

 A2  4  3x 5  7  3x

 x 2 (thỏa mãn đkxđ) Vậy maxA2  4 khi và chỉ khi x 2 hay maxA 2 khi và chỉ khi x 2

Ngoài cách làm như trên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải ví dụ trên bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốpx-ki như sau:

A2 1 3x 5  1 7  3x2 1 2  1 2 3x 52  7  5x2