a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.. b, Gọi P và Q lần l−ợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đ−ờng thẳng AB vµ AC.[r]
Trang 1Bài 1 : (2 )
a) Tính :
b) Gi i h ph ng trình :
Bài 2 : (2 i m)
Cho bi u th c :
a) Rút g n A
b) Tìm x nguyên A nh n giá tr nguyên
Bài 3 : (2 i m)
M t ca nô xuôi dòng t b n sông A n b n sông B cách nhau 24 km ; cùng lúc ó, c ng t A
v B m t bè n a trôi v i v n t c dòng n c là 4 km/h Khi n B ca nô quay l i ngay và g p bè
n a t i a i m C cách A là 8 km Tính v n t c th c c a ca nô
Bài 4 : (3 i m)
Cho ng tròn tâm O bán kính R, hai i m C và D thu c ng tròn, B là trung i m c a cung
nh CD K ng kính BA ; trên tia i c a tia AB l y i m S, n i S v i C c t (O) t i M ; MD
c t AB t i K ; MB c t AC t i H
a) Ch ng minh ∠ BMD = ∠ BAC, t ó => t giác AMHK n i ti p
b) Ch ng minh : HK // CD
c) Ch ng minh : OK.OS = R2
Bài 5 : (1 i m)
Cho hai s a và b khác 0 th a mãn : 1/a + 1/b = 1/2
Ch ng minh ph ng trình n x sau luôn có nghi m :
(x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0
áp án
8
2
4= !
"# $ % &' ()* ! +,!
−
20
x
x
=
=
Trang 26' ,
! - / BC=BD "-! → BMD=BAC 4 / 7
; BMD=BAC → < = > ?@ AB /
! 6D E 6 A BC=BD!< FD E F
(G ! → F6 &' HB I I3 D
→ D ⊥ 6 !
90
→ ?@⊥ 6 4!
- <4 → ?@ ** D
B
O
S
6' M
2
2
0 (*)
0 (**)
2
;;! → ∆ =b2− 4a NO P- / Q) > 2 1 1
2
Trang 32 thi g m có hai trang
PH N 1 TR C NGHI M KHÁCH QUAN : (4 i m)
1 Tam giác ABC vuông t i A có tg 3
4
B = Giá tr cosC b ng :
a) cos 3
5
C = ; b) cos 4
5
C = ; c) cos 5
3
C = ; d) cos 5
4
C =
2 Cho m t hình l p ph ng có di n tích toàn ph n S1 ; th tích V1 và m t hình c u có
di n tích S2 ; th tích V2 N u S1 = S2 thì t s th tích 1
2
V
V b ng : a) 1
2
2
V
π
2
2
π
=
3 ng th c x4− 8x2+ 16 = 4 −x2 x y ra khi và ch! khi :
a) x ≥ 2 ; b) x " –2 ; c) x ≥ –2 và x " 2 ; d) x ≥ 2 ho c x " –2
4 Cho hai ph ng trình x2 – 2x + a = 0 và x2 + x + 2a = 0 hai ph ng trình cùng vô nghi m thì :
a) a > 1 ; b) a < 1 ; c) 1
8
a > ; d) 1
8
a <
5 i u ki n ph ng trình 2 2
x − m + m− x+m= có hai nghi m i nhau là :
a) m < 0 ; b) m = –1 ; c) m = 1 ; d) m = – 4
6 Cho ph ng trình 2
x − −x = có nghi m x1 , x2 Bi u th c 3 3
A= x +x có giá tr :
a) A = 28 ; b) A = –13 ; c) A = 13 ; d) A = 18
7 Cho góc α nh n, h ph ng trình sin cos 0
+ = có nghi m :
a) sin
cos
x
y
α α
=
sin
x y
α α
=
0
x y
=
= ; d) cos
sin
x y
α α
= −
= −
8 Di n tích hình tròn ngo i ti p m t tam giác u c nh a là :
a) πa2 ; b)
2 3 4
a
π
; c) 3 aπ 2; d)
2 3
a
π
Trang 4PH N 2 T LU N : (16 i m)
Câu 1 : (4,5 i m)
1 Cho ph ng trình 4 2 2
x − m + m x + m− = nh m ph ng trình có 4 nghi m phân bi t và t#ng bình ph ng t t c các nghi m b ng 10
2 Gi i ph ng trình: 2 2
3
Câu 2 : (3,5 i m)
1 Cho góc nh n α Rút g n không còn d u c$n bi u th c :
2 Ch ng minh: (4 + 15)( 5 − 3) 4 − 15 = 2
Câu 3 : (2 i m)
V i ba s không âm a, b, c, ch ng minh b t ng th c :
2 1 3
Khi nào ng th c x y ra ?
Câu 4 : (6 i m)
Cho 2 ng tròn (O) và (O’) c t nhau t i hai i m A, B phân bi t ng th ng OA
c t (O), (O’) l n l %t t i i m th hai C, D ng th ng O’A c t (O), (O’) l n l %t t i
i m th hai E, F
1 Ch ng minh 3 ng th ng AB, CE và DF &ng quy t i m t i m I
2 Ch ng minh t giác BEIF n i ti p %c trong m t ng tròn
3 Cho PQ là ti p tuy n chung c a (O) và (O’) (P ∈ (O), Q ∈ (O’)) Ch ng minh
ng th ng AB i qua trung i m c a o n th ng PQ
-H T -
Trang 5ÁP ÁN
PH N 1 TR C NGHI M KHÁCH QUAN : (4 i m) 0,5 ×× 8
PH N 2 T LU N :
Câu 1 : (4,5 i m)
1
t X = x2 (X ≥ 0)
Ph ng trình tr' thành 4 2 2
X − m + m X + m− = (1)
Ph ng trình có 4 nghi m phân bi t ⇔ (1) có 2 nghi m phân bi t d ng +
0 0 0
S P
∆ >
⇔ >
>
2
m
− >
(I) +
V i i u ki n (I), (1) có 2 nghi m phân bi t d ng X1 , X2
ph ng trình ã cho có 4 nghi m x1, 2 = ± X1 ; x3, 4 = ± X2
5
m
m
=
V y m = 1
2
t t =x4+x2+ 1 (t ≥ 1)
%c ph ng trình 3 5 3(t 1)
3t2 – 8t – 3 = 0
t = 3 ; 1
3
V y 4 2
1 3
x +x + =
Trang 6Câu 2 : (3,5 i m)
1
2
2
1 cos
2
(4 + 15)( 5 − 3) 4 − 15 =( 5 − 3) (4 + 15) (2 4 − 15) +
= ( 5 − 3) 4 + 15
= ( 5 − 3) (2 4 + 15) + = (8 2 15 − )(4 + 15) +
Câu 3 : (2 i m)
T ng t , a+c≥ 2 ac
2
b+c≥ bc
C ng v v i v các b t ng th c cùng chi u ' trên ta %c i u ph i ch ng minh
+
ng th c x y ra ⇔ a = b = c = 1
+
Trang 7Câu 4 : (6 i m)
+
1
Ta có : ABC = 1v
ABF = 1v
AB, CE và DF là 3 ng cao c a tam giác ACF nên chúng &ng quy ++
2
Mà ECA = AFD (cùng ph( v i hai góc i !nh) +
3
G i H là giao i m c a AB và PQ
Ch ng minh %c các tam giác AHP và PHB &ng d ng +
L u ý :
- M)i d u “+” t ng ng v i 0,5 i m
- Các cách gi i khác %c h 'ng i m t i a c a ph n ó
- i m t ng ph n, i m toàn bài không làm tròn
& & / Q)C
6 D
W
X Y
P
Z
?
Trang 8!" #$%& '( )
?\2 &] )7 ^ H IB ( _ H` HS C
5 2 + 6
Da 4 ! " #$ % & '( ) #& * + * + , - ) / 0 1 /
C m ≠0
4
4
60 ; 45
-Da , ;2 & 1" < '3 ) #4 "= > ? % & @ / * )
&
* + ' (B 7
+
7 D& * 1 C ) E
17 FG )H 1 C
7 IJ ) " #$ % * & K
Da T L M4 'J N ) = M % 2 1 & O= 1 P ) 3 G Q = # R ) S ) M4
& M4 C T = O= 1 ( M4 C ) 3 LU V # R ) S ) M4 &
W M4 = 1 % 0 & O= 1 X
I[ '3 ) #4 0 56 \ 7 '3 ) < !H ] # ) I[ @0= ;Q M ^ ) ) MJ _ ]> ; ` '3 ) #4 0 6 \ _
7 DC ) " ; Q & )&X D_ P %X
17 C ) C ) " Q] 2 X
7 a" $ M$ # '( ) Y ] M '3 ) #4 0 567 MJ '3 ) #4 0 56 \ 7
Trang 9- :
- :
- :
- : :
1 0
x x
≥
− ≠
1
x x
≥
17 ,( 1)2 ( 1)
+
- :
1
c ? < / 0 7 Id= MJ 0 ≤x< 1 & K - : ) 3 G ,12
5 ) 3
!H 3 ) M4 C T = 2 & O= 1 * 5) 37 5 b< *Z-7
- :
D 3 ) M4 C = 2 & O= 1 *+ 5) 37
D#% ) ) 3 M4 C T = 'c 1
D#% ) ) 3 M4 C = 'c 1
2
2
D e% 1 # '( ) #& 1
2
12 5
- :
! f '( ) #& 'c * , g * ,h6
Id= D 3 ) M4 C T = 2 & O= 1 ) 3
D 3 ) M4 C = 2 & O= 1 + , 5) 37
- :
Trang 10I
D
N
O' O
A
C B
7 b'3 ) < ⊥ ;Q 5) 7 ] # ) ;Q 5b'3 ) < M @0=
)7
- :
] ,] 5) 7 DC ) " ; Q '( ) % M ;Q ` _ # )
W '3 ) M M ^ ) ) MJ R & %
- :
90
Q ⊥ Q
Qii ; 5 _ Y & % ; Q7
Q ⊥ ; 5 7
0
90
⊥ ; 5 7
DS 5 7 M 5 7 Q> > j ) ) @% 0
90
0
90
- :
DS 5 7 M 5 7 Q>]> > N ) k #R '3 ) #4 '3 ) < Q
66 \ ,6 + 6 \ '3 ) #4 567 M '3 ) #4 56 \ 7 *G )% _ - :
; Q M ^ ) _ R # ) = ] ,1
2 ;Q ,;] ; ] 0
IMD=IDM
D'( ) n O DC' =O CD' IMD+O CD' = 9005M& 0
90
- : 0
G o Q P " < " G ) Mp % Y
,
Trang 112
) 1 ( : 1
1 1
1
2 −
−
− +
+ +
−
−
x
x x x x
x x x
x
0 ≠ 2c±
C < d e # O
C ->) I` HO ER
0 C < " f Q Bg I>
= +
=
− +
−
12 3 2
4 ) ( 3 )
y x
y x y
x
C " f Bg I>
3
15 2 4
2
2 3
+ +
−
−
−
x x
x x x
h5
H O) ' K HB IL F! C "# @&' H O) DX ' W
C ) I , H O) W<6<X<@C ) I )7 HB IL
C - ) 6@D &' ) > l 0> m C l
x
x2 − 2
2 2 6
2 2 4 + +
C ERhE+ 4 R 4E5E+ E
2
17
3 ±
= +
=
− +
−
12 3 2
4 ) ( 3 )
y x
y x y
x
hE+
;
= +
=
−
12 3
2
1
y x
y
x
!
;
= +
−
=
−
12 3
2
4
y
x
y
x
4!
" f Q ! HBn ER< 2E4
" f Q 4! HBn E5< 2E,
0$2 Q Bg I> / Q) &' ER< 2E4 j E5c 2E,
! - / R , 4 4 ME M! 4i iR!
)' 4i iRE i *4!4i *,+5 )#
0 P Bg I> 4) ! 4 4) i E5
Trang 12O
K
F E
D
C B
A
• Jo 4) E5E+ )E *4 I1 ' p i E5E+ E
• Jo 4) ≠5E+ )≠ *4 ( H/ /
,
∆ E )4 4)i E ) !4≥5 )# )E+ / Q) )# )
1 2
1
−
+
−
m
m m
E
1 2
1
−
m
/ Q) I ( f <5!E+ h
1 2
1
−
<
−
>
+
−
0 1 2
0 1 1 2
1
m
<
−
>
− 0 1 2
0 1 2 2
m m
m
E+)h5
0$2 P / Q) I ( f <5! ( ' k ( )h5
0
C - / ∠@W6E b55
)j ( ∠6XDE b55 / 7 8 9 ^ HB IL !
A DX (o A' 9 W ]
E+ ∠6X@E b55E+ W<X 7 HB IL HB (G 6@
2 , H O) W<X<6<@ 7 HB IL HB (G 6@C
C ∠6DXE ∠6 X
=' ∠ 6 XE ∠6 WE,M5E+ ∠ 6DXE ,M5
- / ∠6@XE ∠ 6WX
=' ∠ 6WXE ∠ 6W E,M5 W &' HB o > 6W !E+ ∠6@XE,M5
0> ∠ 6@DE ∠ 6D@E ,M5E+ ) 6D@ a ] 6
−
+
− +
+
−
−
−
1
1 2 2 : 1 1
x
x x x
x
x x x x
x x
<dS # P
<->) 2 HO P / I` 2 C
D Bg I> 4 4) i ! i )4 i ) TE 5 ;!
C->) ) HO Bg I> ;! / 4 Q) a)C
C->) ) HO Bg I> ;! / 4 Q) c 4 f )\ 3
2 3
1 x
)
<D ) i 4i i 4 ≥,
Trang 13< J H` ` IG H r) HO 6?D &' > > ' C
< "# P ' Z &s &Bn &' H O) H% H O) t HB _ 6
< ->) ` IG H O) HO PZ / H7 A' & C
xy y x
501 1
2
+
7 N@ ≥ 0 ;x≠ 1
< dS # P E ( )
1
1 2
: 1
1
−
−
−
−
x
x x
x
x
1
1 )
1 (
1
+
=
−
−
x
x x
x
C P E
1
2 1 1
1
− +
=
−
+
x x
x
NO P 2 >
) ( 1 2
1
9 3
2
1
0 0
1
1
4 2
1
1
Loai x
x
x x
x
x x
x
x x
x
−
=
−
=
−
=
=
=
−
=
=
−
=
−
=
=
=
−
0$2 E {0 ; 4 ; 9} > P / I` 2 C
<
+
=
+
>
− +
=
≥
− +
− +
=
∆
0 1 2
0 6
0 6 4
1
2
2
1
2
2
1
2 2
m
x
x
m m
x
x
m m m
3 2
1
0 ) 3 )(
2 (
0 25
−
<
⇔
−
<
>
+
−
>
=
∆
m
m m
C " f Bg I> (m− 2)3 − (m+ 3 )3 = 50
Trang 14−
−
=
+
−
=
⇔
=
− +
⇔
= + +
⇔
2
5 1 2
5 1
0 1 50
) 7 3 3 ( 5
2
1
m m
m m m
m
0> + 5 E+ C 1 . 1 0
1
2
1 + +a=
x
b
1
1
I> 4 i i E 5c E
1
1
x 0> 4 &' Q) Bg I>
4 i i E 5 E+ 44 i 4 i E5
2 2
2
= +
x
b
2
1
x &' )7 Q) ABg
Bg I> 4 i i E 5 c 4E
2
1
x
1
1
2
1
x
C c c c 4 Hv &' ^ Q) ABg
1
1
2
1
H/ i 4 i i 4 ≥,
C " f mK H\ >) HBn H O) I 6D m 6?D &' > > ' C
@ H/ 6 **?Dc D **?6 > ? &' I3 a) ) 6D
D? ⊥ AB ' 6?⊥ AC E+ 6 ⊥ AB ' D ⊥ ACC
H/ ∠ 6 E b55 ' ∠ D E b55C
x Bn &] 8 &' Hs HB (G
HB IL a) F >
6?D &' > > ' C
H
O P
Q
D
C B
A
Trang 15H/ ∠ P6 E ∠ D6 =j (
∠ ?6 i ∠ D6 E [55 E+ ∠ P6 i ∠ ?6 E [55
=' ∠P 6 E ∠ 6 A H/ ∠P?6 E ∠ 6
0$2 ∠P?Z E ∠P?6 i ∠6?D i∠ D?Z E ∠6 D i ∠6?D E [55
6 H O) Pc ?c Z _ '
!C - 2 ∆ PZ &' ) a Hk
H] I` & P ' Z &' & 2 &' &
.
( ) ( x )( y)
xy x
y x
y y
y x
x P
− +
− + +
−
− +
=
1 1 1
) )
1 )(
(
!C ->) H v ( Q ' 2 HO P H` C dS # PC
!C ->) <2 2 u )\ g I> P E 4C
D I & P! 2 E 4 ' H _ A! / Q m% / ) H t H O) = c 4! C
Q
" f Q g I>
= + +
= + +
= + +
27
1 1 1 1
9
zx yz xy
z y x
z y x
D HB IL F! H (G 6 E 4d ' D &' )7 H O) 7 HB IL
)
;
IL F!< # = &' H O) G ^ u D C - 6D 9 ] Z < =
9 6D ] xC
Trang 16!C @ =6 E =Z < G 6D dC
D x,y,z∈R u )\
z y x z y
1 1
1 1
4
3
i [p 2[! 2bi {b! { 5p 5! C
!C N v ( Q HO P H` &' c x≥ 0 ; y ≥ 0 ; y ≠ 1 ; x + y ≠ 0 C
;!C dS #
P
=
=
( )(1 )(1 )
=
=
(1 )
y
=
−
1
y
=
−
.
0$2 P E x + xy − y.
!C P E 4 ⇔ x + xy − y.E 4
1 1 1
= +
−
⇔
= +
− +
⇔
y x
y y
x
- 2 ' / j I` ,c 5! ' 4 c 4! f )\
!C NB _ A! / Q m% / ) ' H t H O) = c 4! C x g I>
H _ A! &' 2 E ) i ) p 4C
? ' H7 H O) A! ' P! &' Q) g I>
4E ) i ) p 4
⇔ 4 i ) i ) p 4 E 5 ;!
0> g I> ;! / ∆ = m2 − 4m+ 8 =(m − 2)2 + 4 > 0 ∀m g I> ;! & /
Q) a Q < A H/ A! ' P! & 9 ] H O) a Q ' 6C
Q) I A ⇔ ) p 4 h 5 ⇔ ) h 4C
( )
( )
= + +
= + +
= + +
3 27
) 2 ( 1 1 1 1
1 9
xz yz xy
z y x
z y x
N@JN x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0
Trang 17Q
N
M
O
C
B A
2 2 2
z x
z x
=
- 2 ' ! E+ E 2 E { E R C
- 2 E 2 E { E R | )\ Q g I> C 0$2 Q g I> / Q) A 2
E 2 E { E RC
!C Jo ∆ABM ' ∆NBM C
- / 6 &' H (G H IL F!
=6 E x=6 E b5 C
6= E =6x E+ 6 = E 6x=
E+ ∆BAN a Hk 6C
!C Jo ∆ MCB ' ∆ MNQ /
=D E =x ) I =xD a ! c =6 E =Z !
∠ 6=D E∠ =xZ > ∠=D6 E ∠=xD c ∠=6D E ∠=Zx !C
E+ ∆ MCB = ∆ MNQ (c.g.c). E+ 6D E xZ C
E+ 64E 6D C 6 i 6D! E 6D 6D i 4d!
E+ ,d4E 6D 6D i 4d! E+ 6D E ( 5 − 1 )R
-z y x z y
1 1
1
1
+ +
− + +
z y x z y x
E+
( + + ) = 0
− + + +
+
z y x z
z z y x xy
y
x
0 )
(
0 1
1
2
= + +
+
= +
+
+ + + +
= + + + +
x z z y
y
x
z y x xyz
xy z zy zx
y
x
z y x z xy
y
z
- / [p 2[E i 2! 2! 4i24! , i 2,!CE
Trang 182bi {b E 2 i {! 2[ p 2U{ i 2T{4 CCCCCCCCCC i {[!
{ 5 5 E { i ! {, p {R i {4 4p { R i ,! {M M!
0$2 = E
4
3
i i 2! 2 i {! { i !C E
4 3
/
C2 E
2
1
i 4 c 6C2 E 4 c DC2 E
2
1
4 c C2 E 4 ,
?\2 # a If & HS C
' > )7 > s ( & 2 I )3 B I > L &]
3
2
> C -k m% ^ (G > Iz ' (G > s &' C4 c 6C3 2 c DC 3 3c C )7 (8 t f ( C
7 " f Bg I> 4 , R i b 4 i 4 E 5
D i 2 E + 5c 2 + 5! ->) I` & E x i y
7 D ) # 2< 6< D &s &Bn &' H O) % H` I < 2 m
6 h D< H O) = A H7 I / 2 m
MB
MA
E
2 1
J H` ` IG H O) = HO =6 i 4 =D H] I` u C
! ->) H O) = I < H O) x I D m Y & I H O) =xC
! D # DC -If & HS C
4! D # C @8 t f ( N m% &'
! E i !,i , i E 4 i 4 i !4 4i , i 4i !
E 4i R i ! 4i i ! i 4 i i ! 4 i !
E 4i i ! 4 4i 4 i 4! E 4 4i i !4
Trang 19M D
C
B
A
x
K
N
I C
Jo 4E xi y !4 E i 2 i 4 xy E i 4 xy !
2
y
x +
xy
E+ + 4 xy 4!
- ! ' 4! m 2 I 4E i 4 xy h i 4 E 4
= 4 E 4 hE+ E 2 E
2
1
< ) E 2 hE+ E 2 E
2 1
x E , > U E , i ! , i !
- / i 4! ,! U E i R! M!
5 >: 7
"# &' H O) I ] 6 m E
4
1
6C - / &' H O) % H`
='
AB
MA
E
2
1
! A H/
MA
AD
E
2 1
AB
MA
E
MA
AD
E
2 1
MD
MB
E
AD
MA
E 4 E+ = E 4= 5<4M H O)!
Jo H O) =< < D = i =D + D ( Hy !
H/ =6 i 4=D E 4 = i =D! + 4 D
" I` u =6 i 4 =D &' 4 D
; D A3 H O) =C
2
1
6
4
1
6
= &' H O) D ' HB IL c
2
1
6!
! 3 Y< Y ! 9 ] = 9 D ] x
= x E b55 =x &' HB (G 0$2 Y &' I H O) =x
Trang 20! @r =@ ** D / *YxD = *Y=@ (g.c.g)
E+ Dx E =@ E = > *=@ a !
0$2 =i xE =iDxiD E =i= iD
! - / Y E Y6 E Y= E Yx
0$2 HB IL ] 8 * =x H t H O) < 6 % H` C
4
D m% < 2< { \ )\ H€
" f Q Bg I>
2 2
18
I HB IL F! 9 8 28 ] ' 6 &s &Bn ] D ' C
C->) ` IG H O) = HO ) DF &' u C
CD < &' m% 3 ABg C D ) I
2
2 2 2