Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán: Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài Với một bài toán công việc của người giải toán cần [r]
Trang 1Mục lục
Trang
Mở đầu
Chương I Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho
học sinh
5
1.3 Cách thức dạy học tìm lời giải các bài toán 12
Chương II Xây dựng một số phương pháp giải phương
trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh 14
A Kiến thức cơ sở và kiến thức phục vụ giải phương trình vô tỷ 14
Trang 2Mở đầu
I Lý do chọn đề tài
Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, nó có vai trò giá mang hoạt động của học sinh thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Vì vậy, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề quan trọng trong dạy học, nó phải được tiến hành có kế hoạch, thường xuyên, hệ thống, bền bỉ, liên tục qua tất cả các lớp
Việc giải một bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biết của người giải toán Có người phải mò mẫm rất lâu, thử hết cách này đến cách khác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giải rất nhanh Vậy đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như thế nào? Những con đường mà người giải toán
có thể trải qua để đi đến các lời giải thoả đáng là gì?
Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động" Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
Trong chương trình môn toán, phương trình vô tỷ được đưa vào từ lớp 9 và xuyên suốt trong chương trình môn toán trường phổ thông Nó có vai trò quan trọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toán học có liên quan
Trang 3Trong chương trình toán THPT, phương trình vô tỷ được thể hiện dưới các hình thức chủ yếu: Các phương trình vô tỷ thông thường, các phương trình vô tỷ chứa các hàm lượng giác, các phương trình vô tỷ chứa hàm lôgarit Việc giải thành thạo các phương trình vô tỷ thể hiện khả năng lựa chọn công cụ, sự linh hoạt và sáng tạo trong suy luận và phân tích bài toán
Từ những lý do đã nói trên với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là:
"Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một
số phương pháp giải phương trình vô tỷ"
II Mục đích nghiên cứu
Xác định nội dung và phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trên cơ sở trình bày các phương pháp giải phương trình vô tỷ, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán
III Nhiệm vụ nghiên cứu
3.1 Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng
giải toán cho học sinh
3.2 Xây dựng các phương pháp giải phương trình vô tỷ theo hướng rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
3.3 Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải
toán cho học sinh
IV Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được một hệ thống các phương pháp giải phương trình
vô tỷ theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán và sử dụng có hiệu quả hệ thống các phương pháp đó thì có thể phát triển kỹ năng giải toán cho học
Trang 4sinh, đồng thời góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ở trường phổ thông
V phương pháp nghiên cứu
5.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học,
phương pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán
Nghiên cứu về SGK, sách tham khảo về phương trình vô tỷ để thấy được vị trí và tầm quan trọng của phương trình vô tỷ, những vấn đề về nội dung và phương pháp giảng dạy phương trình vô tỷ
5.2 Điều tra quan sát
+ Thực tiễn dạy học giải phương trình vô tỷ ở trường THPT
+ Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải phương trình vô tỷ
VI Cấu trúc luận văn
- Mở đầu
- Chương I: Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
- Chương II: Xây dựng các phương pháp giải phương trình vô tỷ nhằm rèn
luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
- Chương III: Kiểm chứng sư phạm.
Trang 5Chương I Yêu cầu của việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
1.1 Vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán
* Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Khái niệm, cách thức, phương pháp …) để giải quyết một nhiệm vụ mới Thực chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một
hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể
Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho học sinh cần:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng
* Việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh bao gồm hai nội dung chủ yếu đó là: Rèn luyện việc tìm lời giải bài toán và rèn luyện việc giải bài toán Trong quá trình rèn luyện, hai nội dung này có khi tiến hành đồng thời nhưng cũng có khi tách thành hai quá trình riêng biệt Tuy vậy về mặt nhận thức cần phân biệt hai nội dung trên là hoàn toàn khác nhau, độc lập với nhau nhưng chúng có mối quan hệ hỗ trợ lẫn nhau Mỗi nội dung đảm nhận một yêu cầu riêng biệt trong công việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
Trang 6Trong quá trình dạy học người giáo viên cần làm cho học sinh nhận thức rõ ý nghĩa, tác dụng của mỗi nội dung và mối quan hệ giữa hai nội dung đó
1.1.1 Vấn đề giải bài toán
Đây là vấn đề quan trọng trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán
Vì rằng, từ chỗ tìm ra được phương hướng giải bài toán đến việc giải hoàn chỉnh bài toán là cả một quá trình rèn luyện bao gồm nhiều khâu: Từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lý thuyết và các phương pháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và thao tác có tính chất kỹ thuật Nói một cách ngắn gọn lời giải phải đúng và tốt Điều này đòi hỏi người giải toán phải học tập nghiêm túc, chăm chỉ và hiệu quả
Để phát huy tác dụng của việc giải bài toán trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Theo [6], tác giả Nguyễn Bá Kim, để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá học sinh, có thể cụ thể hoá các yêu cầu sau:
(i) Kết quả đúng, kể cả các bước trung gian;
Kết quả cuối cùng phải là một đáp số đúng thoả mãn yêu cầu đề ra Kết quả các bước trung gian cũng phải đúng Như vậy, lời giải không thể chứa những sai lầm tính toán, suy luận, biến đổi biểu thức …
(ii) Lập luận chặt chẽ;
(iii) Lời giải đầy đủ;
Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không được bỏ sót một trường hợp nào, một khả năng, một chi tiết cần thiết nào Cụ thể là giải phương trình không được thiếu nghiệm, phân chia trường hợp không được thiếu một khả năng nào …
(iv) Ngôn ngữ chính xác;
Trang 7Đây là một yêu cầu về giáo dục tiếng mẹ đẻ đặt ra cho tất cả các bộ môn Việc dạy học môn toán cũng phải tuân thủ yêu cầu này
(v) Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật;
Yêu cầu này đặt ra đối với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, ký hiệu, …) trong lời giải
(vi) Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất; Ngoài các yêu cầu (i) - (v), cần khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho cùng một bài toán, phân tích, so sánh những cách giải khác nhau để tìm ra lời giải ngắn gọn, hợp lý nhất trong số các lời giải đã tìm được hay nói cách khác là nhìn nhận bài toán dưới nhiều góc độ
(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề
Bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản, (v) là yêu cầu
về mặt trình bày còn (vi) và (vii) là những yêu cầu đề cao
Quá trình phân tích trên chứng tỏ tính chất quan trọng trong việc rèn luỵện giải bài toán (khi đã có đường lối giải) Nhưng dù sao vẫn phải xem việc rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán là khâu có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh
1.1.2 Vấn đề rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán
Đây là khâu rất quan trọng có tính chất quyết định trong việc rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh Vì vậy, trong quá trình dạy học giải bài tập toán, giáo viên cần tổ chức cho học sinh tập luyện khâu này thật kỹ lưỡng, làm cho họ ý thức được vai trò đặc biệt quan trọng của khâu này, thể hiện ở chỗ:
- Khi giải bài tập toán, dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong thực hiện các thao tác, các phép tính hay các phép biến đổi nhưng khi chưa có
Trang 8phương hướng giải hoặc chưa có phương hướng giải tốt thì chưa thể có lời giải hoặc lời giải tốt
- Khi đã có phương hướng giải thì việc thực hiện các thao tác khi trình bày lời giải có tính chất kỹ thuật, không thể có những sáng tạo, những phân tích quan trọng lớn như khi tìm phương hướng giải
- Mặt khác, ý thức được tầm quan trọng của khâu rèn luỵên phương pháp tìm lời giải của bài toán chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập sáng tạo, một khả năng không thể thiếu được đối với người giải toán
Như vậy, từ hai vấn đề đã nêu trên, ta có thể khẳng định: Trong quá trình rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thì khâu giải bài toán tuy rất quan trọng nhưng quyết định vẫn là khâu tìm lời giải của các bài toán
1.2 Phương pháp tìm lời giải các bài toán
Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể
và cần thiết
Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài
Với một bài toán công việc của người giải toán cần đặt ra là tìm hiểu nội dung bài toán: phân biệt cái đã cho bao gồm các giả thiết, các điều kiện cho trong bài toán để từ đó xác định được dạng bài toán, tìm được phương hướng giải bài toán và lựa chọn công cụ thích hợp
Bước 1 là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài toán Năng lực của người giải toán thể hiện rõ ở bước này Nhiều
Trang 9người khi giải toán, không tìm hiểu kỹ nội dung đề ra, không phân tích các giả thiết hay tìm ra mối liên hệ quan trọng trong bài toán mà cứ ghi chép, nháp lia lịa, mặc dù chưa biết mình giải quyết cái gì Đó là cách tìm lời giải máy móc và không hiệu quả Có thể nói bước này là thước đo năng lực của người giải toán, vì rằng không thể đánh giá kỹ năng giải toán tốt mà chỉ thể hiện ở khâu tiếp thu và vận dụng tốt
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán hay liên hệ các giả thiết, các điều kiện đã cho với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan
Bước này nhằm rèn luyện những kỹ năng đi sâu vào mỗi bài toán: Việc phân tích các giả thiết, các điều kiện bài toán và cả kết quả của
nó giúp cho người giải toán hiểu rõ quá trình xảy ra có tính quy luật của mọi bài toán Nghĩa là, người giải toán sẽ biết được với các giả thiết, các điều kiện đã cho như vậy thì tất yếu kết quả phải diễn ra như thế nào?
Làm tốt bước này người giải toán có đủ lòng tin vào đường lối mình
đã tiến hành và hy vọng ở tính đúng đắn của mọi thao tác, biến đổi Ngoài
ra, nó còn giúp ích nhiều cho người giải toán trong việc tìm kiếm các bài toán liên quan, sáng tạo ra các bài toán mới
Bước 3: Trình bày cách giải
Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự nhất định và thực hiện các bước đó
Bước này nhằm rèn luyện cho người giải toán khả năng trình bày một lời giải chính xác, chặt chẽ, lôgic và thẩm mỹ
Trang 10Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ đó sáng tạo ra bài toán mới Để làm tốt việc này trước hết người giải toán phải phân tích
kỹ để nắm được đặc điểm và bản chất của bài toán, các yếu tố tạo nên bài toán đó Như thế mới có thể thấy được mối liên hệ giữa các bài toán trong cùng một loại bài toán và giữa các loại bài toán khác nhau
Ví dụ:
Giải phương trình:
(1)
5x 14x 9 x x 20 5 x 1
ĐKXĐ: x 5
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài
Phương trình có vẻ khá phức tạp, nếu bình phương hai vế của (1) thì
sẽ thu được một phương trình phức tạp và không có hướng giải tiếp Tuy nhiên có thể biến đổi phương trình về dạng tương đương:
5x 14x 9 x x 20 5 x 1
Do hai vế không âm, bằng cách bình phương hai vế, rút gọn ta thu được: 2x2 - 5x + 2 = x2 x 20 x 1 (2)
Nếu bình phương hai vế lần nữa ta thu được phương trình mới tương đương nhưng có bậc 4 nên việc giải chắc chắn khó khăn
Bước 2: Tìm cách giải
Việc giải bài toán sẽ dễ dàng hơn nếu ta xác định được mối liên hệ giữa các biểu thức có mặt trong hai vế của phương trình (2)
Ta có: x2 - x - 20 = (x + 4) (x -5)
(x2 - x - 20)(x+ 1) = (x + 4) (x -5) (x + 1)
= (x + 4) (x2 -4x - 5)
Trang 11và 2x2 - 5x + 2 = 2(x2 - 4x - 5) + 3 (x+4)
Việc phát hiện ra được mối liên hệ đó cho phép ta thu được phương trình:
2(x2 - 4x - 5) + 3 (x+4) = 5 x2 4x 5 x 4
Để giải phương trình này, ta có thể chuyển về phương trình bậc hai hay phương trình thuần nhất
Bước 3: Trình bày cách giải
Ta có (1) 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x 1
Do hai vế không âm, bình phương hai vế ta thu được:
(1) 2x2 - 5x + 2 = 5 x2 x 20 x 1
2x2 - 5x + 2 = 5 x 4 x 5 x 1
2x2 - 5x + 2 = 5 x 4 x 2 4x 5
2(x2 - 4x - 5) + 3 (x+4) = 5 x2 4x 5 x 4
(Chú ý 2x2 - 5x + 2 > 0, x 5)
Do x 5 nên x + 4 > 0, chia hai vế cho (x + 4) ta được:
2
3 5
Đặt t = x2 4x 5 0, ta được:
x 4
2t2 - 5t + 3 = 0, t 0 t = 1 hoặc t = 3
2
2
x 4
Trang 12 = 1
2
x 4
x2- 4x - 5 = x +4
x2 - 5x - 9 = 0
x = 5 61
2
Đối chiếu điều kiện x 5, chỉ có x = 5 61 thoả mãn
2
2
2
x 4
3 2
2
x 4
9 4
4x2 - 25x - 56 = 0
x = 8 hoặc x= -7
4
Chỉ có x = 8 thoả mãn ĐKXĐ
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 8 và x = 5 61
2
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Từ ví dụ này ta có thể đưa ra một phương pháp chung để giải những phương trình tương tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế và phân tích theo các biểu thức trong dấu căn
1.3 Các thức dạy học phương pháp tìm lời giải bài toán
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để học sinh hiểu được và vận dụng được phương pháp tìm lời giải bài toán vào việc giải những bài toán cụ thể
mà họ gặp trong chương trình Học phương pháp tìm lời giải không phải là học một thuật giải mà học những kinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm