Chuyên đề Vectơ - Trường thpt Nguyễn Huê

Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tr[r]

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUÊ CHUYÊN ĐỀ VECTƠ

CHUYÊN ĐỀ 1 CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC VECTƠ

BÀI 1 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)

a)  AB CD AD CB   b)  AB CD AC DB   c)   AD BE CF AE BF CD     

BÀI 2 Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Chứng minh

rằng :

a)   AN BP CM O   b) AN AM AP  c)   AM BN CP O  

BÀI 3 (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B

a) Cho M là trung điểm A, B Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có :  IA IB  2IM b) Với điểm N sao cho NA  2NB CMR với I bất kì : IA 2IB 3IN

c) Vơi điểm P sao cho PA 3PB CMR với I bất ki : IA 3IB  2IP

d) Tổng quát tính chất trên

BÀI 4 (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng AG BG CG O     Với I bất kì ta có : IA IB IC     3IG

b) M thuộc đoạn AG và 1 CMR : Với I bki

4

MG GA 2MA MB MC O    

2IA IB IC     4IM

c) Tổng quát tính chất trên

d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G1 Chứng minh rằng :

+ AD BE CE     3GG1

+ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm

BÀI 5 (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O.

a) CMR : AO BO CO DO O      , Với I bất kì IA IB IC ID       4IO

b) M là điểm thoả mãn:

BÀI 6 (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N của AB và CD CMR :

a) AD BC   2MN b)  AC BD  2MN

c) Tìm vị trí điểm I sao cho IA IB IC ID O      

d) Với M bất kì, CMR : MA MB MC MD       4MI

BÀI 7 (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm

1 , 2 , , n

a) Gọi G là điểm thoả mãn GA 1GA2  GAn O CMR vơi bki M :

1 2 n

   

b) Gọi I là điểm thoả mãn n IA11n GA22  n GA nn O CMR với M bất kì :

n MA11n MA22  n MA nn  (n1  n MG n)

BÀI 8

a) Cho lục giác đều ABCDEF CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm

b) Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF,

BC, DE, FA CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm

c) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho :

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUÊ CHUYÊN ĐỀ VECTƠ

A B k A C B C kB A C A kC B'   ' , '   ' , '  ' và k 1 CMR hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm

d) Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA CMR hai tam giác ANP và CMQ cùng trọng tâm

BÀI 9 (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường

tròn nội tiếp)

Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp

a) 3OG OA OB OC    b) OH OA OB OC    c) 2HO HA HB HC   

d) aIA bIB cIC O   e) Tan HA TanBHBA  tanCHC O

f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC CMR : S BCM IA S ACM IB S ABMIC O (M nằm ngoài thì không còn đúng)

BÀI 10 (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp) Cho tam giác ABC Gọi M

là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm MN

a) CMR : 1 1 b) D là trung điểm BC CMR :

  

CHUYÊN ĐỀ 2 BIỂU DIỄN VECTƠ

BÀI 1 Cho tam giác ABC và G là trọng tâm B1 đối xứng với B qua G M là trung điểm BC Hãy biểu diễn các véc tơ AM, AG BC CB AB MB    , , 1, 1, 1 qua hai véc tơ AB AC ,

BÀI 2 Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo

dài sao cho 5JB = 2JC

a) Tính  AI AJ, theo hai véc tơ AB AC , Từ đó biểu diễn AB AC , theo  AI AJ, (Nhấn mạnh cách tìm biểu diễn)

b) Gọi G là trọng tâm tam giác Tính AG theo  AI AJ,

c)

CHUYÊN ĐỀ 3 CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG

Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB k AC 

Lưu ý : AB mx ny AC kmx kny    ,    thì AB k AC 

BÀI 1 (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn) Cho tam giác ABC và M,

N lần lượt là trung điểm AB, AC

a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC CMR : A, P , Q thẳng hàng

b) Gọi E, F thoả mãn : 1 , CMR : A, E, F thẳng hàng

3

  1

3

 

BÀI 2 Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.

a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng

TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUÊ CHUYÊN ĐỀ VECTƠ

b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hàng

c) Lấy điểm K là trung điểm EF Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng

BÀI 3 Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : MB 3MC O, AN 3NC,

PB PA O 

,

     

BÀI 4 Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn LB 2LC, 1 , CM :

2

 

NB NA O 

  

L, M, N thẳng hàng

BÀI 5 Cho tam giác ABC với G là trọng tâm I, J thoả mãn : 2IA 3IC O,

2JA 5JB 3JC O

a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC

b) CMR J là trung điểm BI

c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AE k AB  Xác định k để C, E, J thẳng hàng

BÀI 6 Cho tam giác ABC I, J thoả mãn : IA 2 , 3IB JA 2 JC O= CMR : Đường thẳng IJ đi qua G

CHUYÊN ĐỀ 4 XÁC ĐỊNH VỊ TRÍ MỘT ĐIỂM THOẢ MÃNG ĐẲNG

THỨC VECTƠ

Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định.

a) Nếu PB PA O   thì P là trung điểm của AB

b) Nếu PB PA PC O     thị P là trọng tâm tam giác ABC

c) Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của P hay không ?

BÀI 1 (Cho hai điểm) Xác định vị trí điểm I thoả mãn : IA 2IB O

NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn : mIA nIB O  Với điểm O bất kì ta có : OI m OA n OB

  

BÀI 2 (Bài toán 3 điểm) Cho 3 điểm A, B, C Tìm vị trí điểm M sao cho :

a) MB MC AB   (Trung điểm AC) b) 2MA MB MC O     c) MA 2 MB MC O 

d)  MA MB  2MC O e) MA MB MC O     f) MA 2MB MC O  

NX : Mở rộng với n điểm bất kì