Viết phương trình của parabol P có trục đối xứng là trục 0x, có đường chuÈn lµ trôc 0y vµ ®i qua ®iÓm A5; 4 Trần Hải Nhân_Trường THPT Lệ Thủy Lop10.com... Tìm tọa độ tiêu điểm và phương [r]
Trang 1Ba đường cônic
Lý thuyết
I.Elíp
1)Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2= 2c (c > 0) và hằng số a>c Elíp (E) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1+MF2= 2a
(E) = { M: MF1+MF2= 2a}
Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E)
Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E)
2)Phương trình chính tắc của elip:
(E): 2 1
2 2
2
b
y a
x
( với b2 = a2- c2 )
3)Hình dạng và tính chất của (E):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)
Tiêu điểm phải F2( c; 0)
*Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0); B1(0; - b); B2(0; b)
*Trục lớn : A1A2= 2a, nằm trên trục Ox
Trục nhỏ :B1B2= 2b, nằm trên trục Oy
*Tâm sai : e =
a
c <1 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:
Bán kính qua tiêu điểm trái: MF1= a + e.xM= a+
a
c
xM
Bán kính qua tiêu điểm phải: MF2= a - e.xM=
a-a
c
xM
*Đường chuẩn: x =
e
a
*Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x = a; y = b ( Độ dài hai cạnh
là 2a và 2b)
*Trục đối xứng: Ox; Oy
Tâm đối xứng: O
4)Tiếp tuyến của elip
Định nghĩa: Cho elip (E) và đường thẳng (d) Đường thẳ ng (d) gọi là tiếp tuyến của (E) nếu (d) có một điểm chung duy nhất với (H)
Định lý :Cho elip (E) có phương trình chính tắc:
Trang 2(E): 2 1
2 2
2
b
y a
x
với b2 = a2- c2
Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 0) là tiếp tuyến của (E) khi và chỉ khi : A2a2+B2b2=C2
( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (E) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
0
1
2 2 2 2
C By Ax b
y a x
0
1
2 2
C b
y Bb a
x Aa
b
y a
x
(I)
Đặt X=
a
x
, Y=
b
y
ta có hệ:
0
1
2 2
C Y Bb X Aa
Y X
(II)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất
Đường thẳng (d’): AaX+BbY+C=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X2+Y2=1
Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1
2 2 2
B b a A C
A2a2+B2b2=C2
Hệ quả: Cho elip (E) có phương trình chính tắc:
(E): 2 1
2 2
2
b
y a
x
với b2 = a2- c2
Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (E) thì tiếp tuyến của (E) tại M có phương trình là (d):
1
.
2
b
y
y
a
x
Chứng minh
Do M thuộc (E) nên có : 2 1
2 2
2
b
y a
Hiển nhiên M thuộc (d)
Ta có (d): .2 .2 1
b
y y a
x
x M M .2 . 2 1 0
b
y y a x
Trang 3Theo điều kiện của định lý có :
2 2 2 2 2
b
y a a
2 2
2
b
y a
Vậy (d) là tiếp tuyến của (E) tại M
II.Hypebol
1.Định nghĩa:Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2= 2c (c > 0) và hằng số
a<c.Hypebol (H) là tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1-MF2= 2a
(H) = { M: MF1-MF2= 2a}
Ta gọi : F1, F2 là tiêu điểm của (E)
Khoảng cách F1F2 = 2c là tiêu cự của (E)
2.Phương trình chính tắc của hypebol:
(H): 2 1
2 2
2
b
y a
x
( với b2 = c2- a2 )
3.Hình dạng và tính chất của (H ):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm trái F1(- c; 0)
Tiêu điểm phải F2( c; 0)
*Các đỉnh : A1( -a ; 0); A2( a; 0)
*Trục thực: A1A2= 2a, nằm trên trục Ox
Trục ảo: B1B2= 2b, nằm trên trục Oy
*Tâm sai : e =
a
c
>1 *Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (E) là:
Bán kính qua tiêu điểm trái: MF1= a + e.xM= a+
a
c
xM
Bán kính qua tiêu điểm phải: MF2= a - e.xM=
a-a
c
xM
*Đường chuẩn: x =
e
a
*Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở: x= a; y = b ( Độ dài hai cạnh là 2a và 2b)
*Phương trình các đường tiệm cận: y =
a
b
* Trục đối xứng: Ox; Oy
Tâm đối xứng: O
4.Tiếp tuyến của hypebol
Trang 4của (H) nếu (d) không song song với các đường tiệm cận của (H) và (d) có một
điểm chung duy nhất với (H)
Định lý :Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc:
(H): 2 1
2 2
2
b
y a
x
với b2 = c2- a2
Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 0) là tiếp tuyến của (H) khi và chỉ khi :
A2a2-B2b2=C20
( gọi là điều kiện tiếp xúc)
Chứng minh:
Hai đường tiệm cận của (H) có phương trình là:
y= x
a
b
bxay= 0
Điều kiện để (d) không song song với hai đườn g tiệm cận là:
b
B a
A A2b2- B2b2 0
Đường thẳng (d) tiếp xúc với (H) khi A2b2- B2b2 0 (*)và hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
(I)
0
1
2 2 2 2
C By Ax b
y a
x
0
1
2 2
C By Ax
b
y a
x
0
1
2 2
x
C x
By A
bx
ay x
a
0
1
2 2
A bx
ay a
Bb x
a a C
bx
ay x
a
Đặt X=
x
a, Y=
bx
ay ta có hệ:
0
1
2 2
A Y a
Bb X a C
Y X
(II)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi hệ (II) có nghiệm duy nhất
Đường thẳng (d’):
a
CX+
a
BbY+A=0 tiếp xúc với đường tròn (C ): X2+Y2=1
Khoảng cách từ tâm O(0;0) đến đường thẳng (d’) bằng bán kính R = 1
Trang 5 1
2
2 2 2
a
b B a C A
A2a2-B2b2=C2
Kết hợp với điều kiện (*) thì (d) là tiếp tuyến của(H) khi và chỉ khi
A2a2-B2b2=C20
Hệ quả: Cho (H) có phương trình chính tắc:
(H): 2 1
2 2
2
b
y a
x
với b2 = a2- c2
Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (H) thì tiếp tuyến của (H) tại M có phương trình là (d):
1
.
2
b
y
y
a
x
Chứng minh
Do M thuộc (H) nên có : 2 1
2 2
2
b
y a
Hiển nhiên M thuộc (d)
Ta có (d): .2 . 2 1
b
y y a
x
x M M .2 . 2 1 0
b
y y a
x
Theo điều kiện của định lý có :
2 2 2 2 2
b
y a a
2 2
2
b
y a
Vậy (d) là tiếp tuyến của (H) tại M
III Parabol
1 Định nghĩa:Cho điểm cố định F và đường thẳng cố định không đi qua
F.Parabol (P) là tập hợp các điểm M cách đều điểm F và đường thẳng
(P) = { M: MF= d(M; )}
Ta gọi : F là tiêu điểm của (P)
Đường thẳng là đường chuẩn của
p= d(F; ) là tham số tiêu
2.Phương trình chính tắc của parabol:
(P): y2= 2px
3.Hình dạng và tính chất của (E):
*Tiêu điểm: Tiêu điểm F(
2
p
; 0)
Trang 6*Phương trình đường chuẩn : x =
-2
p
*Đỉnh : O(0; 0)
*Bán kính qua tiêu điểm của điểm M(xM; yM) thuộc (P) là:
MF = d(M; ) = xM+
2
p
*Trục đối xứng: Ox
4.Tiếp tuyến của parabol
Định nghĩa: Cho parabol (p) và đường thẳng (d) Đường thẳng (d) gọi là tiếp tuyến của (P) nếu (d) không song song với trục đối xứng của (P) và (d) có một điểm chung duy nhất với (P)
Định lý:Cho parabol (P) có phương trình chính tắc:
(P): y2= 2px
Đường thẳng (d): Ax+By+C=0 ( với A2+B2 0) là tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi :
pB2=2AC
( gọi là điều kiện tiếp xú c)
Chứng minh:
Ta thấy trục 0x cắt (P) tại một điểm nhưng không là tiếp tuyến của (P)
Để (d) không song song với trục 0x thì A 0
Khi đó (d) tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm duy nhất
(I)
0
2
2
C By Ax
px
A
C By x
A
C By p
( Do A 0)
Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất
y2 +2p
A
B y + 2p
A
C = 0 có nghiệm duy nhất
’=
A
pC A
B
2
pB2=2AC ( thỏa mãn A0) (đpcm)
Hệ quả: Cho parabol (P) có phương trình chính tắc:
(P): y2= 2px
Nếu điểm M(xM; yM) thuộc (P) thì tiếp tuyến của (P) tại M có phương trình là (d): y.yM= p(x+xM)
Chứng minh
Trang 7Vì M thuộc (P) nên
IV.Ba đường cônic
1.Định nghĩa:Cho điểm F cố định , một đường thẳng cố định không đi qua F và
một số dương e Cônic (C) là tập hợp các điểm M sao cho e
M d
MF
)
;
(C)=
M d
MF M
)
; ( :
Ta gọi: F là tiêu điểm
là đường chuẩn
e là tâm sai
2.Nhận xét
*Cho elip (E) có phương trình chính tắc:
(E): 2 1
2 2
2
b
y a
x
với b2 = a2- c2
Tâm sai e=
a
c
<1
Đường chuẩn: 1: x =
-e
a
ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0)
2: x =
e
a
ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)
Với mọi điểm M thuộc (E) thì:
)
;
1
M d
MF
=
)
;
2
M d
MF
= e Vậy đường (E) là đường cônic với e< 1
*Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc:
(H): 2 1
2 2
2
b
y a
x
với b2 = c2- a2
Tâm sai e=
a
c
>1
Đường chuẩn: 1: x =
-e
a
ứng với tiêu điểm trái F1(- c; 0)
2: x =
e
a ứng với tiêu điểm phải F2( c; 0)
Với mọi điểm M thuộc (H) thì:
)
;
1
M d
MF
=
)
;
2
M d MF
= e
Trang 8Vậy đường (H) là đường cônic với e> 1.
*Cho parabol (P): y2= 2px
Tiêu điểm F(
2
p
; 0)
Phương trình đường chuẩn : x =
-2
p
Với mọi điểm M thuộc (P) thì:
)
; (M
d
MF
= 1 Vậy đường (P) là đường cônic với e=1
Một số dạng bài tập
Dạng 1 Xác định các yếu tố của (E),(H),(P) khi biết phương trình chính tắc của chúng.
Phương pháp: Sử dụng các công thức xác định các yếu tố của (E) ,(H),(P)
Ví dụ 1 Cho elip (E) có phương trình 1
1 4
2 2
y
x
Tìm tiêu điểm , tâm sai, đường chuẩn của (E)
Giải
Từ phương trình của (E) a2= 4, b2=1c2=a2-b2=3
Vậy a = 2, b = 1, c = 3
Khi đó : Tiêu điểm của (E) là F1(- 3; 0), F2( 3; 0)
Tâm sai của (E) là e=
2
3
a c
Đường chuẩn của (E) là x=
3
4
Ví dụ 2 Cho hypebol (H) có phương trình 1
5 4
2 2
y
x
Tìm tiêu điểm , tâm sai, các đường tiệm cận của (H)
Giải
Từ phương trình chính tắc của (H) a2= 4, b2=5c2=a2+b2=9
Vậy a = 2, b = 5, c = 3
Khi đó : Tiêu điểm của (H) là F1(-3; 0), F2(3; 0)
Tâm sai của (H) là e=
2
3
a c
Đường tiệm cận của (H) là y=
2 5
Trang 9Ví dụ 3 Cho parabol (P) có phương trình y2= 4x
Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của (P)
Giải
Từ phương trình của (P)2p= 4p = 2
Ta có : Tiêu điểm của (P) là F( 1; 0)
Đường chuẩn của (P) là x = - 1
Dạng 2 Lập phương trình chính tắc của (E),(H),(P).
Phương pháp :Để lập phương trình chính tắc của (E)(H)(P) ta cần xác định các hệ
số a, b,p trong các phương trình đó
Ví dụ 4.Lập phương trình chính tắc của elip (E) , biết (E) đi qua điểm M( 5 ; - 2)
và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 10
Giải
Gọi phương trình chính tắc của (E) là: 2 1
2 2
2
b
y a
x
với b2=a2- c2
Phương trình đường chuẩn là: x =
e
a
Khoảng cách giữa hai đường chuẩn là
c
a e
a 2 2
2 = 10
a2= 5c
a4=25 c2a4=25(a2-b2)
b2=a2
-25
4
a (*)
Do (E) đi qua điểm M( 5; - 2) nên: 52 42 1
b
25
4 5
4 2
a a a
5(1-25
2
a
)+4= a2
-25
4
a
a4- 30a2+225 = 0
(a2- 15)2= 0 a2= 15 Thay vào (*) thì b2= 6
Vậy phương trình của (E) là: 1
6 15
2 2
y
x
Ví dụ 5 Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) , biết (H) đi qua M(- 2;1)và
góc giữa hai đường tiệm cận bằng 600
Giải
Trang 10Gọi phương trình chính tắc của (H) là: 2 1
2 2
2
b
y a
x
với b2=c2- a2
Vì M (H) nên 42 12 1
b
Phương trình hai đường tiệm cận là: 1: y =
a
bx bx- ay = 0
2: y =
-a
bx bx+ ay = 0 Góc giữa hai đường tiệm cận là:
cos(1;2) = 2 2
2 2
a b
a b
cos600 = 2 2
2 2
a b
a b
2
1
2 2
a b
a b
a
b = b2+a2
) (
) (
2
) (
2
2 2 2
2
2 2 2 2
a b a
b
a b a b
2 2
2 2
3
3
b a
a b
Với b2= 3a2 thay vào (*) được a2=
3
11
; b2= 11
11 3 11
2 2
y
x
Với a2=3b2 thay vào (*) được a2= 1; b2=
3 1
3
1 1
2 2
y
x
Ví dụ 6 Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết tâm sai e = 2 , các tiêu
điểm của (H) trùng với các tiêu điểm của elip
Giải
Ta có elip (E): 1
9 25
2 2
y
x
có a2 = 25, b2= 9 c2= a2-b2=16 c = 4
Tiêu điểm của (E) là F1(-4; 0), F2(4; 0)
Gọi phương trình chính tắc của hypebol (H) là: 2 1
2 2
2
b
y a
x
với b2= c2- a2 Vì các tiêu điểm của(H) trùng với các tiêu điểm của (E) nên có c = 4
Do (H) có tâm sai e =
a c
= 2 c = 2a a = 2
Trang 11 b2= c2- a2= 12 Vậy phương trình của (H) là : 1
12 4
2 2
y
x
Ví dụ 7.Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết tiêu điểm F(5; 0)
Giải
Gọi phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2= 2px
Do tọa độ tiêu điểm F(5; 0) nên
2
p
= 5 p = 10 Vậy phương trình của (P) : y2= 20x
Ví dụ 8.Viết phương trình chính tắc của elip biết elip tiếp xúc với hai
đường thẳng d1: x+ y - 5 = 0
d2: x- 4y - 10 = 0 Giải
Phương trình chính tắc của elip có dạng (E): 2 1
2 2
2
b
y a
x với b2= a2- c2
Do (E) tiếp xúc với hai đường thẳng d1 và d2 nên theo điều kiện tiếp xúc có
100 16
25
2 2
2 2
b a
b a
5
20
2 2
b a
Vậy phương trình của (E): 1
5 20
2 2
y
x
Ví dụ 9 Viết phương trình chính tắc của parabol (P) biết khoảng cách từ ttiêu điểm
F đến đường thẳng x + y- 12 = 0 là 2 2
Giải
Gọi phương trình chính tắc của (P) : y2= 2px
Tọa độ tiêu điểm F(
2
p
;0) Theo đầu bài , khoảng cách từ F đến đường thẳng : x +y – 12 = 0 bằng 2 2 nên:
d(F; )=
2
12
2p
=2 2 p= 16 hoặc p = 32
Vậy phương trình của (P): y2= 32x hoặc y2= 64x
Dạng 3 Lập phương trình tiếp tuyến của các đường cônic
Ví dụ 10.Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(1; 4) và tiếp xúc với
4 1
2 2
y
x
Tìm tọa độ tiếp điểm
Trang 12Gọi M(xo;yo) là tiếp điểm của (d) Khi đó đường thẳng d có phương trình dạng:
(d): x0
.x-4
.
0 y y
= 1 Vì (d) đi qua A(1; 4) nên: xo- yo = 1 (1)
Mặt khác M thuộc (H) nên: 1
4 1
2 0 2
0 y
x
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
0
1
0
0
y
x
hoặc
3 8 3 5
0
0
y x
M ( 1;0) hoặc M(
-3
5
; -3
8 )
Tiếp tuyến của (H) là: x = 1 x - 1 = 0
hoặc
-3
5
x + 3
2
y = 1 5x -2y + 3 = 0
Ví dụ 11.Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường elip:
1 4 5
2 2
y
5 4
2 2
y
x
Giải
Gọi tiếp tuyến chung của hai elip là (d): Ax+ By +C = 0 ( với A2+B20)
Theo điều kiện tiếp xúc có :
2 2 2
2 2 2
5 4
4 5
C B A
C B A
2 2
2 2
9B
C
B A
Chọn A= 1
3
1
C B
Vậy phương trình tiếp tuyến chung của hai elip là:
(d): x y 3 = 0 ( đây là 4 tiếp tuyến chung)
Dạng 4 Lập phương trình các đường cônic không ở dạng chính tắc
Xác định các yếu tố của các đường cônic không ở dạng chính tắc
Phương pháp: * Sử dụng phép tịnh tiến trục tọa độ đưa về dạng chính tắc
- Trong hệ tọa độ 0xy có I(x0; y0)
- Tịnh tiến hệ tọa độ 0xy theo vectơ OI được hệ tọa độ IXY
- Công thức đổi tọa độ là
0
0
y Y y
x X x
( Thật vậy, nếu lấy điểm M bất kỳ Giả sử tọa độ M= (x; y) trong hệ
Trang 13tọa độ 0xy và tọa độ M= (X; Y ) trong hệ tọa độ IXY Khi đó :OI= (x0; y0)= x0 i +y0 j
OM = (x; y)= x i +y j
IM= (X; Y)= X i +Y j
Do OM OIIM nên
0
0
y Y y
x X x
)
* Sử dụng định nghĩa để lập phương trình các đường cônic
Ví dụ 12.Cho đường cong (H) có phương trình x2-4y2- 2x- 16y -19= 0 Chứng minh rằng (H) là một hypebol Tìm tọa độ các tiêu đi ểm , các đỉnh , phương trình hai
đường tiệm cận của hypebol (H)
Giải
Ta có (H) : x2-4y2- 2x- 16y -19= 0
(x-1)2- 4(y+2)2= 4
1 1
2 4
12 2
x
Tịnh tiến hệ trục 0xy theo vectơ OI với I(1; - 2) thành hệ tọa độ IXY
Công thức đổi tọa độ :
2
1
Y y
X x
Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có phương trình:
1 1 4
2 2
Y
X
a2=4, b2=1 nên c2=a2+b2=5 a= 2, b = 1, c= 5
Trong hệ tọa độ IXY thì (H) có:
+ Tọa độ tiêu điểm: F1( - 5; 0), F2( 5;0)
+ Các đỉnh A1(- 2; 0), A2( 2; 0)
+ Phương trình hai đường t iệm cận: Y =
2
1
Chuyển kết qua trên về hệ tọa độ 0xy thì (H) có:
+ Tọa độ tiêu điểm : : F1( 1- 5; - 2), F2(1+ 5;- 2)
+ Các đỉnh A1(- 1; - 2), A2( 3; -2 )
+ Phương trình hai đường tiệm cận: y =
2
1
(x-1)-2
Ví dụ 13 Viết phương trình của parabol (P) có trục đối xứng là trục 0x, có đường
chuẩn là trục 0y và đi qua điểm A(5; 4)
Trang 14Theo đầu bài thì phương trình đường chuẩn của (P) là:
: x = 0 ( trục 0y) Vì trục đối xứng 0x đi qua tiêu điểm nên tọa độ tiêu điểm của (P)là F( c; 0)
Do điểm A thuộc (P) nên: AF = d(A; )
(c-5)2+(-4)2= 52
c= 8 hoặc c = 2
Với c = 8 thì F(8;0) Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)
MF= d(M, )
( 8 x) 2 y2 = x
(8-x)2 + y2 = x2
y2= 16x – 64 Vậy phương trình (P): y2= 16x – 64
Với c = 2 thì F(2;0) Lấy bất kì M(x; y ) thuộc (P)
MF= d(M, )
) 2 ( x y = x
(2-x)2 + y2 = x2
y2= 4x – 4 Vậy phương trình (P): y2= 4x – 4
Ví dụ 14 Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (P) có phương trình
16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0
Chứng minh rằng (P) là một parabol Tìm tọa độ tiêu điểm và phương trình đường chuẩn của parabol đó
Giải
Ta có M(x; y)(P) 16x2 + 9y2+ 24xy – 56x +108y +124 = 0
25( x2+y2-2x+4y+5) = 9x2+16y2-24xy+6x-8y+1
( x-1)2 + (y+2)2 =
2
5
1 4 3
(*)
Đặt F(1; -2) và đường thẳng : 3x- 4y + 1= 0
Khi đó (*) MF2= d2(M; )
MF = d(M; ) Vậy (P) là phương trình parabol với tiêu điểm F(1; -2) và đường chuẩn