Một trăm bài toán Hình học ôn tập tốt nghiệp thcs

d CA.CE + DA.DF = CD2 e Các tiếp tuyến tại E và F của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CFED đồng quy tại một điểm trên MB.â Bài 23: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn O ,R có hai đường c[r]

! " # $

!

/ 0 " &

% ' () 4 " )%+, *-& 2 ,) 4

)%03 " %0 "$ &

& < )%03 " %0 () "$

&

)%+, 2

%0" ! - 0) < " B" 7 5 ∈

&

1 %0" : ! - 0) < , " B" 4 5 :∈(O)&

EF

#) )%03 EKF∆ &

() ! 4

8& 2 9 &

2 ,) -2: 5 15 &

&2 ,) & 2 -& : &

2 ,) 4 &4 7 4 &42 &

! &72 7& 4 &

% 2 ,) 7 )%03 <" ! )

() )%03 , ) 4&

!

1 , ) 24: !" &

89 @@ &

"$ 4 %+ 2 & : 0 &

3

R

2:& 2 28 &2 -& : 9&

: HI: HI :2HI :4H % &

" 2 5 !%6 )%0 ) đư ng tròn (O;R)

và (O’;R’) ti p xúc ngoài t i A CD )%03 " %0

) '

(O

∈

1 ' () " )%+, "$ 2: &2 ,)

#

,)

) 24: % &

/ H & M" !%6 ) )%03 " %0

& 2 )%+, 1 0 5 " # " $

&.)%03 " %0 () 2 ; ! > ( ()

8 ! 9 &

1 " !) "$ , ) 89 % &

8 Ô 9 &

' () 4 ! 7 > ( ) )%+, "$ 8 !

" " # , # &

! ; )%03 " %0 () "$

$ 2 ! : & 2 ,)

& 2 & : &

1 ) :2 #) )%03 &

"$ , ) 74O&

1

DE

DM CE

CM

=

2 2

" )%+, "$ 9&

2:&

) &M" )%+, !%6 ) )%03 " %0

2 D : &' () 4 " )%+, "$ 2: &

&

1 4 & 7 H

- & 2& : 2Ĥ: H2Â:

%

AD

AC BD

BC

=

!

P &M" !%6 ) )%03 " %0 ! !

!Cho đư ng tròn tâm (O;R) có AB và

CD là hai đư ng kính vuông góc nhau I là m t

đi m n m trên OB sao cho OI = OB

3

1 Đư ng

th ng CI c t đư ng tròn t i E và c t BD t i K

Đư ng th ng AE c t CD t i F Ch ng minh:

&

2 ,) 9 " )%+, "$ :&

!

2: ⊥

1 2 ,) 27 &2: 24H&&

' () - ) )%+, "$ 2 ! 74 8

) 2-48 #) )%03 &

1 8 H 82&8

8 " )%+, "$ &

2& 2 &

&

!

5 !%6&

1 2 ,) 28 &29 2:H

2-:7 #) )%03 &

!

2 ,) 8- @@ &

CD

CK DI

KI

= 2

2

&

" !2 $

& !%6 ) )%03 " %0 < !

&M" , # )%+, " # $

%$ )%03 " %0 1 ; )%03 " %0 <

() 8 ! 9

2 ,) A& 8 M& 9 ! 8& 9

H

-! 8 &* / 7 ! -7&

#) )%03 , ) 8 9 &2 ,)

2

1

3

1

<

<

R

r

%$ )%03 " %0 < ! ) $

2 1 N " 2 & % " 2 0 )%+, :

; < > ( () 8 ! 9 & 2 ,)

1 ) 289: #) )%03 &

P &M" !%6 ) )%03 " %0 ! !

" # &' () 8 " )%+, "$

1 8 H 82&8 : @@ &

2& 2 &

" () ! &.)%03 " %0 () "$ J ; () 2 )%03 " %0 () "$ ; J () :&' () 7 )%+, 0) < "$ B" 2 ,)

8H & ! " )%+, "$ 89&

'

R

R AD

AC

=

' () ) )%+, "$ 29 ! :8 & 2 ,)

) F +) &

7 ) * " 2: 1 N SLL! 7 " # )

! " !) "$ ) 2:98 % &

& )%+, ) 6 A "$ "

! M4 ; " () 7 &2 ,)

) A:74 #) )%03 &

1 24&2A 27&2:

, ) 4 &

" ) B" , # )%+, 0 F &

&M" %$ ) )%03 " %0

! &' () - " )%+, "$ 2: ! )

&

#) )%03 8 9&

2 &28 I : &:9 2:H

)%03 ) 298: > B" () , # )%+, %

&

" () )%+, 4 &7%$ 28 "$

&2 ,)

4 &42 4 &4:

" )%+,

"$ 2:&

C B" 4 ! " )%+, "$ 2 5

!" :&

V H

!

1 H 2 : ! 2& : 4&

94 & 84

4

2

AB

! - & 9 4&

C ) B" )%+, 0 F &

!

2

&

% &

!

S ,

2 V , & : 8 29 1

; " ()

2&

2 S ,

SLL Ĉ UWL

- "$ , ) 2&

() )%03 1

#) )%03 "$ , ) 2&

2 V ,

2 QH , & 7

&

7

() )%03

#) )%03

"$ , ) 2&

H &M" !%6 ) )%03 " %0 !

% ' () 7 " )%+, -2 &2 ,)

) 89:7 #) )%03 &

) *2&

1 ' () 8 ! 9 > ( ) )%+, "$ A

4* #) )%03 &

%

! " " %0 "$ , ) 2

" ( "$ ( 2& 2 ,)

%0" - ) )%+, "$ : ! )

)

2 () 8 &2 ,) 8 " )%+,

G - 6 ) $) () " % ) ) )%+, "$ )

#

"$ -4 ! 2 5 7 ⊥ 2&

"$ -7 ! 2 5 4 ⊥ 2&

*

2 5 - ( , "$ , ) 2&

1 %0" ' ) )%+, "$ ! )

" B" , &2 )%03 " %0 ()

2 $ : &

1 A " )%+, "$ ( C :8 &

28&2: 2 H Z 8H

) 8 2 % &

%$ ) )%03 " %0 2 ! 2

! " # &' [) - " )%+,

, "$ 2 &

) &M" !%6 , # " %0 +)

) ' ( ), (O N∈ O

"$ ) ; " () 7&&- ) )%03

() : ! 2&

+)&

+) &

" () - &2 ,)

&

& 2 2

Q 2 - " " # , # &

H 7 &72 7-&7

P 4 %>" 2 2

9 &

%>" 1 ( "$ , ) &

H ' () 2 )%+, 0) < "$ B"

5R

" %0 2: N, )"6 ! :

Q 2 ,) H 2& :&

8 1 0 )%+, " " # , #

&

&2 ,) 7 )%03 " %0 "$ &

79 @@ 2:&

W , !F "$ " %0 2: %> )%# ,

& ! 2 5 !" 2: # )

2: () 7&

&] F , 4&

)%03 &

0) "$ ) ; () 2 & ' () :

; ! : () 4 ! ' &

#& ! ] F ! 2 "$ ,

2 3

" )%+, "$ &M" 4 !%6 " M

)

cungAC

H ' () * G ) )%+, "$ A ! 2M & / 0

2*A&

P ' () - ) )%+, "$ A ! M &2

-& M AH

!"

1

"$

! 2 &: ! 7 ; " () 9

&

1 2 ,) :9&: :7&:2 &

C () 4 &2 ,) 48 49 &

KA

KE FB

EB

=

)%03 " %0 () &' () )%+,

! 4 " )%+, "$ AM&

1 A )%03 " %0 "$ ()

)%03 , ) M-A&

Bài 42: Cho đư ng tròn (O ; R), đi m A n m

ngoài đư ng tròn (O) K ti p tuy n AM, AN ;

đư ng th ng ch a đư ng kính, song song v i

MN c t AM, AN l n lư t t i B và C Ch ng

minh :

a) T giác MNCB là hình thang cân

b) MA MB = R2

c) K thu c cung nh MN K ti p tuy n t i K

c t AM, AN l n lư t t i P và Q Ch ng minh :

BP.CQ = BC2/4

Bài 45 : Cho hai đư ng tròn (O) và (O’) c t

nhau t i A và B, ti p tuy n chung v i hai

đư ng tròn (O) và (O’) v phía n a m t ph ng

b OO’ ch a đi m B, có ti p đi m th t là E

và F Qua A k cát tuy n song song v i EF c t

đư ng tròn (O), (O’) th t t i C, D Đư ng

th ng CE và đư ng th ng DF c t nhau t i I

1) Ch ng minh IA vuông góc v i CD

2) Ch ng minh t giác IEBF là t giác n i ti p

3) Ch ng minh đư ng th ng AB đi qua trung

đi m c a EF

! A &

QL ,

%& ! ] F ! 2 "$ , )

2 2

Bài 43 : Cho n a đư ng tròn tâm O đư ng kính

AB = 2R C là trung đi m c a đo n th ng AO,

đư ng th ng Cx vuông góc v i đư ng th ng AB,

Cx c t n a đư ng tròn trên t i I., K là m t đi m

b t kì n m trên đo n th ng CI (K khác C ; K khác I), tia AK c t n a đư ng tròn đã cho t i M Ti p tuy n v i n a đư ng tròn tâm O t i đi m M c t Cx

t i N, tia BM c t Cx t i D

1) Ch ng minh r ng b n đi m A, C, M, D cùng

n m trên m t đư ng tròn

2) Ch ng minh ∆MNK cân

3) Tính di n tích ∆ABD khi K là trung đi m c a

đo n th ng CI

4) Ch ng minh r ng : Khi K di đ ng trên đo n

th ng CI thì tâm c a đư ng tròn ngo i ti p ∆AKD

n m trên m t đư ng th ng c đ nh

Bài 44 :Cho đư ng tròn (O), m t đư ng kính AB

c đ nh, m t đi m I n m gi a A và O sao cho AI = 2/3AO K dây MN vuông góc v i AB t i I G i C

là đi m tùy ý thu c cung l n MN, sao cho C không

Bài 46 : Cho đư ng tròn tâm O bán kính R,

hai đi m C và D thu c đư ng tròn, B là trung

đi m c a cung nh CD K đư ng kính BA ;

trên tia đ i c a tia AB l y đi m S, n i S v i C

c t (O) t i M ; MD c t AB t i K ; MB c t AC

t i H

a) Ch ng minh ∠ BMD = ∠ BAC, t đó suy ra

t giác AMHK n i ti p

b) Ch ng minh : HK // CD

c) Ch ng minh : OK.OS = R2

$ %> ) 0 )%#3 LU ZLW Z

_

"$ : & 0) ! ) 8 & C B" 8

&] F , 4 "$

&

8 H 89 &

-trùng v i M, N và B N i AC c t MN t i E

a) Ch ng minh t giác IECB n i ti p đư c trong

đư ng tròn

b) Ch ng minh ∆AME đ ng d ng v i ∆ACM và

AM2 = AE.AC

c) Ch ng minh AE.AC - AI.IB = AI2 d) Hãy xác đ nh v trí c a đi m C sao cho kho ng cách t N đ n tâm đư ng tròn ngo i ti p tam giác CME là nh nh t

Bài 47: T đi m A ngoài đư ng tròn (O), k

các ti p tuy n AB, AC v i đư ng tròn (B, C là các

ti p đi m) Trên tia đ i c a tia BC l y đi m D G i

E là giao đi m c a DO và AC Qua E v ti p tuy n

th hai v i đư ng tròn (O), ti p tuy n này c t

đư ng th ng AB K

Ch ng minh b n đi m D, B, O, K cùng thu c m t

đư ng tròn

Bài 48 1 : Cho tam giác ABC vuông t i A có M

là trung đi m c a BC Có hai đư ng th ng lưu

đ ng và vuông góc v i nhau t i M c t các đo n

AB và AC l n lư t t i D và E Xác đ nh các v trí

c a D và E đ di n tích tam giác DME đ t giá tr

nh nh t

" N, ) 6 ! &

> B")&

( ! " +) %$

! J? J & % $ , ^ 3 C

!%6 J )%03 " %0 " "$ )

" # ! J " # J &' () 4

) )%+, "$ ! J&2 ,)

H 4.H 4 &4 /" 4 " )%+,

Bài 48.2: Cho hai đư ng tròn (O) và (O’) c t nhau hai đi m A và B Qua A v hai đư ng

th ng (d) và (d’), đư ng th ng (d) c t (O) t i C và

c t (O’) t i D, đư ng th ng (d’) c t (O) t i M và

c t (O’) t i N sao cho AB là phân giác c a góc MAD

Ch ng minh r ng CD = MN

%> ) 0 )%#3 LU ZLW Z 3 0 - > 2 )

" () - :∈BC,E∈AC,AB< AC)

#) )%03 &

1 2 ,) 28&2 2:&2

: &:2 :-&:

2

2

3

I J

! " +) %$

,)

Q &2 ,)

4 ⊥ AM

1 7 & 4&

H ' () - ) )%+, "$ 4 ! 7 &

AH

KI

" %> ) -*' LP ZLUZ =

)% a -"%0 Z E Q

, # )%+, " #

%> ) 3 QL LHZLP Z - $) 3

# )%03 <" ! ) ) ( < !

"$ < > ( () ! & )%+, !%6

CA

CB EA

EB

=

&2 ,) H 1

"$ , ) 2 & ' () M > ( ) )%+, "$ : 8 29 ! )

CF

CQ BE

BN AD AM

# ) 7 ! )%# , ) 2

4

1

! PL ,&

#! %> ) -*' LP ZLUZ =

)% a -"%0 Z E H

; () : &.)%03 " %0 "$

C : :2 () A ! M &

Q 2 ,) : &4 A&4

MQ

MP

! %> ) " %+ ! 3 QL KW ZKS

C 2: () 7 &

! 2 % ( & 9 ; 28 () )%+, &

AE AF

AC AB ME

MC MF

MB

2

≥

0" b b< $

!" 2 ; )%03 " %0 B" ! "$

Q 7 ) 0 F 2 ) # &.5, !F "$ 2 %+ 8& 9 0 &

H 7 ) 2 0 F ) # &.5, !F "$ %+

$ %> ) -*' LP ZLU Z 3 0 - >

! 7 " )%+, 4 &

Q 2 ,) 9 :7 /" 79

!"

H ' () 4 " )%+, "$ 97 &2 ,)

" %+

% 2:&

U 2 :8 < L D < ≤a & # )

( "$ 87 % ! < &

W - 6 = !F "$ 8 %+ 87 ; 0 &

! %> ) " %+ ! 3 QL LH Z

! &2: ; " "$

() 8 8 N, ) 6 2 ! : &2

,)

1) Ê: : Â8 ! :8H : &:

,)

) ! )%03 <" ! ) 2 2 > ( ()

! &.)%03 " %0 "$ () ; )%03 " %0 () ! "$ $

() 2 ! :

Q '( ) * +,- /01 / 2+ 341 !

2 :&

5 '( ) * +,- 67* ./ 2+ 341

%& ! %> ) " %+ ! 3 QL LH ZLP > () c A - > 2 )

: 3 ) &.)%03 " %0 () "$

: 1 ? 2: & 8 &

&' () )%03 " %0 "$

⊥ &

: 8 9 &E%6

7 ⊥ 4 () 7 ! - ⊥ 4 () - &

> ( 5 )%0" "$ - % 3 )

) 2&

Q 2 ,) ) B" " )%+, * "$

-&

( ! ) , ) - &

2

1

- &

!%6 ) )%03 " %0 4 ! 4 %0 &' ()

< "$ B" C J2J&

&

% )%>" ), > > 0 %

PLL / " 2 UWL / " 2: QHLL

2: % &

" )%+, "$ 4 ; () ! 7 &

H ' () 2 ) )%+, "$ 4 !

( /" H H 7 &

() )%03 , ) 47 &

< ! ) : B" ! ' ) )%+, "$

! ) :8 & ) )%+, - "$ ! ) 28

( 4- ⊥ 2 () )%+, 4 &2 ) 2- ! 4' ;

" () 7 & 2 ,)

Q ) '-:4 ! 7-4 #) )%03 &

+)

Q 2 ,) * 3&

c b

h r

1 1 1 1

+ +

"& !

)%03 , #

, ) !"( ( " %>

!

" !) H3&

, &` 0 )%+, : % " 2

:8 ; ( 2 () 9 &- ( :- :4 :7 >

) :2&

) :&

DK

AC DI

AB DH

BC

+

=

? " )%+, "$ !

, )

() 7 &2 ,) 7 7 &

-: #) )%03 &

1 ) - 7 #) )%03 &

J !" 7 &

() 9 ! 8 &' () )%+, 0) < "$ B" 4

4 &4 &

89 " " ) B" ) )%+, 0 F ! ,

2