Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - MTBT DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI Phibonacci Bài 1:.. a Tính 4 số hạng đầu tiên của dãy số.[r]
Trang 1DẠNG TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI
(Phibonacci)
Bài 1: Cho dãy u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …)
a) Tính u3 ; u4 ; u5 ; u6 ; u7
u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …)
Bài 2: cho dãy u0 = 2 ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, 3 …)
a) <=- ,>' quy trình tính un+1
b) Tính u2, u3, u4 , u5, u6
Bài 3: Cho dãy u0 = 2 ; u1 = 3 ; un+1 = un + un-12
a) <=- quy trình tính un
b) Tính u2 , u3, u4 , u5
Bài 4: Cho dãy C- '@ 'D u1 , u2 , u3 , …, un, un + 1… E&' u1 = 1; u2 = 2 ; u3 = 3
và un = un – 1 + 2un – 2 + 3un – 3
a) Tính u4 , u5 ; u6 ; u7
Bài 5: Cho dãy Un =
5 3
n ) 5 3 ( n ) 5 3
a) Tính 4
b) @4 minh: Un + 2 = 6Un + 1 – 4Un
n + 2 trên máy Casio
n 2
2 5 n 2
2 5
a) Tính 6
n + 2 trên máy casio
Bài 7: Cho dãy u1 = 8; u2 = 13 , un+1 = un + un-1 (n = 2; 3; 4 …)
b) 9: 04 quy trình trên tính giá ')5 u13 ; u17
3 2
) 3 2 ( ) 3 2
a) Tính 8
c) <=- ,>' quy trình tính un trên máy casio
2
5 3 2
5
Trang 2a) Tính 5 I4 1J tiên
c) <=- ,>' quy trình tính un+1 trên máy casio
d) @4 minh )O4 un = 5m2 khi n n = m2 khi n R
Bài 10: cho un 78 u1 = 0 ; u2 = 14 ; u3 = -18 và un+1 = 7un-1 – 6un-2 78 n = 3; 4 …
c) @4 minh 78 ,M nguyên ' p thì up chia &' cho p
7 2
) 7 5 ( ) 7 5
a)
b) <=- quy trình tính trên máy casio 12 tính un và tính u1; u2 ; u3 … u10
Bài 12: Cho dãy un =
n n
2
5 3 2
5 3
a)
Bài 13: Cho u1 = 1 ; u2 = 2 và dãy
2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - 1 V& n R : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1
a) <=- quy trình tính trên máy casio 12 tính u12, u13 , S12 ; S13
(S12
b) Tính u12 ; u13 và tính 'A4 S12 ; S13
Chú ý1: Dãy số u n = au n-1 + bu n-2 (1) gọi là công thức truy hồi để tính u n
Dãy số : u n = c 1 u 1 + c 2 u 2 (2) gọi là công thức tổng quát để tính của u n
Công thức (1) và (2) cùng biểu diễn để tính giá trị của u n và có quan hệ với nhau.
Ở công thức (2) u 1 và u 2 là nghiệm của phương trình: u 2 = au + b hay u 2 – au – b = 0
Do vậy nếu biết được công thức truy hồi ta tìm được công thức tổng quát và ngược lại.
Trang 3HƯỚNG DẪN
Ví dụ1: (Bài 2)
cho dãy u0 = 2 ; u1= 10 ; un+1 = 10un – un-1 (n = 1, 2, 3 …)
n = c1x1 + c2x2
[N pt (*) có x1 = 52 6; x2 = 5 - 2 6
un = c1( )n + c2(5 - 2 )n do u0 = 2 ; u1 = 10 nên ta có:
c1 = c2 = 1
10 c ) 6 2 5 ( c
)
6
2
5
(
2
c
c
2 1
2
1
n = (52 6)n + (5 - 2 6)n
Ví dụ 2: (Bài 8)
3 2
) 3 2 ( ) 3 2
n + 2 theo Un và Un + 1
Giải:
Cách 1: Ta 2 \ UnS8 I4 'A4 quát un = c1u1n + c2u2n S sau:
2-) 3 2 ( 3 2
1 )
3 2
(
3
2
3 2
1
3 2
1
Hay: u2 – 4u + 1 = 0 u2 = 4u – 1
n+2 = 4un + 1 - un78 u1 = 1 ; u2 = 4
Cách 2: ^_' a = 2 + 3 ; b = 2 - 3
Ta có: un = an / 2 3- bn / 2 3 ;
un + 2 = an(2 + 3)2 /2 3 – bn(2 - 3)2 / 2 3
= an(4 + 4 3 + 3) / 2 3 - bn(4 - 4 3 + 3) /2 3
= an (8 + 4 3 - 1)/2 3 - bn (8 - 4 3 - 1) / 2 3
= 4an(2 + 3) / 2 3 - 4bn(2 - 3) / 2 3 - (an /2 3- bn/2 3 )
= 4 un+1 - un
n+2 = 4un + 1 - un
Trang 4Chú ý 2: ^2 =- quy trình tính trên máy casio fx 570 MS có c quy trình ta nên
: 04 theo quy trình sau là 4C 4M +'
Ví dụ 1:
Cho dãy u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …)
n 78
u1 = 2 ; u2 = 20, un+1 = 2un + un-1 ( n= 2; 3 …)
Giải: 2 /shift / sto A (gán u1 vào A)
20 /shift / sto B (gán u2 vào B)
Alpha /A / Alpha / = /2 /Alpha /B / + / Alpha / A / Alpha / :
Alpha /B / Alpha / = /2 /Alpha /A / + / Alpha / B / Alpha / = 3)
Ví dụ 2: Cho dãy un = un – 1 + 2un – 2 + 3un – 3 E&' u1 = 1; u2 = 2 ; u3 = 3
n 78 n 4
1 /shift / sto A (gán u1 vào A)
2 /shift / sto B (gán u2 vào B)
3 /shift / sto C (gán u3 vào C)
Alpha /A / Alpha / = /Alpha /C / + / 2 / Alpha / B / + / 3 /Alpha /A / Alpha /:
Alpha /B / Alpha / = /Alpha /A / + / 2 / Alpha / C / + / 3 /Alpha /B / Alpha /:
Alpha /C / Alpha / = /Alpha /B / + / 2 / Alpha / A / + / 3 /Alpha /C / Alpha / = (u4)
Ví dụ 3:
Cho u1 = 1 ; u2 = 2 và dãy
2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - 1 V& n R : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1
<=- quy trình tính trên máy casio 12 tính u12 ; u13 ; S12 ; S13 (S12 O4
b) Tính u12 ; u13 và tính 'A4 S12 ; S13
Giải : &' =- quy trình tính trên máy S sau.
Gán u1 = 1 vào A .R ( 1 /shift / sto/ A )
u2 = 2 vào B
S2 = 3 vào C (3 /shift / sto /C)
V=-
A = 5B + 3A : (u3) (Alpha/A/Alpha/=/5/Alpha/B/+/3/Alpha/A/Alpha /:/)
C = C + A : (S3) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/A /:/)
B = 3A + 5B - 1: (u4) (Alpha/B/Alpha/=/3/Alpha/A/+/5/Alpha/B/-/1/Alpha /:/)
C = C + B (S4) (Alpha/C/Alpha/=/Alpha/C/+/Alpha/B/=/=/=/=/…
3)
3)
4)
Trang 5^h ÁN:
ijV[ TOÁN %l DÃY TRUY ]pq
Bài 1: a) u3 = 42 ; u4 = 104 ; u5 = 250 ; u6 = 604 ; u7 = 1458
1b) gán: 2 A ; 20 B ; ghi A = 2B + A : B = 2A + B
1c) u22 = 850268156 ; u23 = 1941675090 ; u24 = 4687618336; u25 = 11316911762
Bài 2: a) gán: 2 A ; 10 B ; ghi A = 10B - A : B = 10A - B
b) u2 = 89 ; u3 = 970 ; u4 = 9602 ; u5 = 95050 ; u6 = 940898
c) CTTQ: có I4 Un = C1x1n + C2x2n trong 1W x1 ; x2 là 4X, pt: x2 = 10x – 1 (*) (*) có 4X, x1 = 5 + 2 6 ; x2 = 5 - 2 6 thay vào un ta tìm 1 = c2 = 1
n = (5 + 2 6)n + (5 - 2 6)n
Bài 3: a) gán: 2 A ; 3 B ; ghi A = B2 + A2 : B = A2 + B2
b) u2 = 13 ; u3 = 178 ; u4 = 31853 ; u5 = 1014645293
Bài 4: a) gán: 1 A ; 2 B ; 3C ghi A = C + 2B + 3A : B = A + 2C + 3B :
C = B + 2A + 3C
b) u22 = 53147701 ; u25 = 711474236 ; u28 = 9524317645 ; u30 = 53697038226
Bài 5: a) u0 = 0 ; u1 = ; u2 = 4 ; u3 = 21
3
2
3 1
b) ^_' a = 3 + 5 ; b = 3 - 5 ta có: un = ; un + 1 =
5 3
b
5 3
5 3 b 5 3
5 3
5 3 b 5 3
5 3
4 5 6 18 b 4 5 6 18
= = 6un + 1- 4un7= un+2 = 6un + 1- 4un
5 3
b a 4 5
3
5 3 b 5 3
a
6
n n n
B6a) u1 = 2 ; u2 = 10,5 ; u3 = 35,75 ; u4 = 113,125 ; u5 = 354, 8125; u6 = 1118,34375 b) @4 minh 'SY4 'D bài 5b ta có: un + 2 = 5un + 1 – 23/4un – 21/4
c) gán: 2 A ; 10,5 B ; ghi A = 5B – 23/4A – 21/4 : B = 5A – 23/4B – 21/4
3) = = …
B7a) : gán: 8 A ; 13 B ; ghi A = B + A : B = A + B 2) = … b) u13 = 2584 ; u17 = 17711
Bài 8: u1 = 1 ; u2 = 4 ; u3 = 15; u4 = 56; u5 = 209; u6 = 780; u7 = 2911; u8 = 10864 b) C/m 'SY4 'D bài 5b ta có: un+2 = 4un + 1 - un78 u1 = 1 ; u2 = 4
d) ^2 un chia &' cho 3 khi n = 3k
Bài 9: a) u0 = 0 ; u1 = 1 ; u2 = 5 ; u3 = 16 ; u4 = 45
c) gán: 0A ; 1 B ; ghi A = 3B – A + 2 : B = 3A – B + 2 +, “=” (u2) = …
Trang 6Bài 10: a) gán: 0A ; 14 B ; -18C ghi A = 7B –6A : B = 7C – 6B :
C = 7A – 6C +, “=” (u4) = (u5) …
u4 = 98; u5 = -210; u6 = 794 ; u7 = -2058 ; u8 = 6818 ; u9 = -19170 ; u10 = 60074
u11 = -175098 ; u12 = 535538 ; u13 = -1586130 ; u14 = 4799354; u15 = -14316138
u16 = 43112258 ; u17 = - 129009090 ; u18 = 387682634 ; u19 = -1161737178;
u20 = 3487832978
10b) Công n = C1x1n + C2x2n + C3x3n (*)trong 1W x1 ; x2 ; x3
un = C12n + C2(-3)n + C3 Xét n = 1; n = 2 ; n = 3 ta tìm 1 = C2 = C3 = 1
n = 2n + (-3)n + 1
@4 minh O4 -SY4 pháp quy I- …
Bài 11: a) n + 2 = 10un+1 – 18un78 u1 = 1; u2 = 10
b) gán: 1 A ; 10 B ; ghi A = 10B -18A : B = 10A - 18B +, “=” ( u3) = …
u3 = 82; u4 = 640; u5 = 4924; u6 = 37720 ; u7 = 288568 ; u8 = 2206720;
u9= 16872976; u10 = 129008800
Bài 12: a) n+2 = 3un+1 - un78 u0 = 2 ; u1 = 3
b) gán: 2 A ; 3 B ; ghi A = 3B -A : B = 3A - B +, “=” ( u2) = …
u2 = 7; u3 = 18 ; u4 = 47; u5 = 123
Bài 13: Gán u1 = 1 vào A .R u2 = 2 vào B 2 = 3 vào C
V=- A = 5B + 3A : C = C + A : B = 3A + 5B - 1: C = C + B
3)
3)
4)
4)
3, S3, u4, S4) ; (u5, S5, u6, S6) (u7, S7, u8, S8) …
u12 =11980248 ; S12 =15786430 ; u13 =69198729 ; S13 =84985159
...Chú ý1: Dãy số u n = au n-1 + bu n-2 (1) gọi cơng thức truy hồi để tính u n
Dãy số : u n = c... bn(2 - 3)2 /
= an(4 + + 3) / - bn(4 - + 3) /2
= an (8 + - 1)/2 - bn (8 - - 1) /
... = dãy
2n+2 = 3u2n+1 + 5u2n - V& n R : u2n+1 = 5u2n + 3u2n-1
< =- quy trình tính máy casio 12 tính