Chuyên đề Phương trình và bất phương trình chứa căn thức

PHƯƠNG TRÌNH VAØ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC TOÙM TAÉT GIAÙO KHOA I... Baøi taäp reøn luyeän:.[r]

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

TÓM TẮT GIÁO KHOA

I Các điều kiện và tính chất cơ bản :

* A có nghĩa khi A 0

* A0 với A 0

* A2  A &













0 A nếu A

-0 A nếu

A A

*  A 2  A với A 0



* A.B  A B khi A , B 0

* A.B  A B khi A , B 0

II Các định lý cơ bản :

a) Định lý 1 : Với A 0 và B 0 thì : A = B    A2 = B2

b) Định lý 2 : Với A 0 và B 0 thì : A > B    A2 > B2

c) Định lý 3 : Với A, B bất kỳ thì : A = B  A3 = B3

A > B  A3 > B3

A = B  A2 = B2

III Các phương trình và bất phương trình căn thức cơ bản & cách giải :

* Dạng 1 : A B A 0 (hoặc B 0 )

A B





   

* Dạng 2 : A B B 0 2

A B





 





* Dạng 3 :

2

A 0

A B

 



 







* Dạng 4:

2

A 0

B 0

A B

B 0

A B

  



 





 







  



IV Các cách giải phương trình căn thức thường sử dụng :

* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) x2  x4 (x=6)

2) 3x2 9x1x20 1

2

 

Bài tập rèn luyện:

1) x2 4x32x5 ( )

5

14



x

2) 2x 2x17 (x5)

3) x2 2x32x1 ( )

3

15

3





x

2 4 4 4

2

2 x x



* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) 2x9  4x 3x1 ( 11

3

   2) 5x1 3x2 x10 (x=2)

Bài tập rèn luyện:

1) 3x2 x7 1 (x9)

2) x8 x  x3 (x1)

3) x x1 x2 ( )

3

3 2

3





x

4) x13 x4 (x0)

* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình hoặc hệ pt đại số

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) (x5)(2x)3 x2 3x (x   1 x 4) 2) x1 4x  (x1)(4x) 5 (x  0 x 3) 3) 2x1x2 3x10 (x   1 x 2 2 ) 4) 3 2x 1 x1 (x    1 x 2 x 10)

Bài tập rèn luyện:

1) x2 5x (x2)(5x) 4 ( )

2

5 3

3



x

2) x4 x4 2x122 x2 16 (x=5)

4) x2 3x3 x2 3x63

5) 3x2 x14x92 3x2 5x2

* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số : A.B = 0 hoặc A.B.C = 0

Ví dụ : Giải phương trình sau :

x x

x

x









3 2

* Phương pháp 5 : Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất

* Ta thường sử dụng các tính chất sau:

 Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C

có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b)

( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x 0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C)

 Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là một hàm giảm trong

khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) ( do đó nếu tồn tại x0 (a;b) sao cho f(x 0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = g(x))

Ví dụ : Giải các phương trình sau :

1) x9 5 2x4

2) 4x1 4x2 11

Bài tập rèn luyệnï:

1) x1 4x 1 (x=3)

2) x5 2x87 (x=4)

* Phương pháp 6 : Sử dụng bất đẳng thức định giá trị hai vế của phương trình

Ví dụ: Giải phương trình

V Các cách giải bất phương trình căn thức thường sử dụng :

* Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) x2 4x3x1 2) x2 4x52x3 3) x x2 4x 1

4) (x1)(4x)  x2

Bài tập rèn luyện:

1) x2 x6x2 (x3)

2) 2(x2 1)x1 (x11x3)

3) x2 x12x (x4)

4) 2x2 5x62x (x10x1)

5)

3

7 3 3

) 16 (















x

x x

x x

* Phương pháp 2 : Đặt điều kiện (nếu có) và nâng luỹ thừa để khử căn thức

Ví dụ : Giải bất phương trình sau :

x3 2x8 7x

Bài tập rèn luyệnï:

2) 3 x 5x51 (x4)

3) x2 x1 x ( )

3

3 2

3





x

* Phương pháp 3 : Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số

Ví dụ : Giải phương trình sau :

1) x2 2x54 2x2 4x3

2) 2x2 4x3 32xx2 1

Bài tập rèn luyệnï:

1) 5x2 10x17x22x (x3x1)

2) (x1)(x4)5 x25x28 (-9<x<4)

* Phương pháp 4 : Biến đổi phương trình về dạng tích số hoặc thương số

Ví dụ : Giải các bất phương trình sau :

1) (x2 3x) 2x2 3x2 0

12 19 4

7







x x x

3) 1

4

3







x x

Bài tập rèn luyệnï:

2

8 1







x

x

3

1 0

0 2

2

1











2) 1 1 4 3 ( )

2







x

x

2

1 0

0 2