Giáo án môn Đại số 10 nâng cao tiết 74, 75: Các số đặc trưng của mẫu số liệu

Kyõ naêng : Bieát tính caùc soá ñaëc tröng cuûa maãu lieäu : soá trung bình , soá trung vò , moát , phöông sai , độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên 3.. Thái độ : Tích cực xây dựng bài học[r]

Êtuần 28

Tiết 74, 75

Ngày soạn:

Ngày dạy:

§3 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU SỐ LIỆU

A Mục tiêu

1 Kiến thức: Khái niệm các số đặc trưng của mẫu liệu : số trung bình , số trung vị , mốt ,

phương sai , độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên

2 Kỹ năng : Biết tính các số đặc trưng của mẫu liệu : số trung bình , số trung vị , mốt , phương

sai , độ lệch chuẩn và hệ số biến thiên

3 Thái độ : Tích cực xây dựng bài học , tiếp thu và vận dụng kiến thức sáng tạo

4 Tư duy : Phát triển tư duy logic toán học , suy luận và sáng tạo

B Chuẩn bị : Sách giáo khoa , bài tập

C Tiến trình bài dạy:

1 Oån định lớp :

2 Kiểm tra bài cũ:

3 Dạy bài mới :

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Lưu bảng

Để nhanh chóng nắm bắt được những

thông tin quan trọng chứa đựng trong mẫu

số liệu ta tìm hiểu một vài chỉ số gọi là

các số đặc trưng của mẫu số liệu

Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng



một bảng phân bố tần số (Bảng 7)

Giá trị x1x2 …

xm

Tần số n1n2 …

nm

N

Bảng 7

Khi đó số trung bình được tính bởi công

thức:

N

x n x

n1 1  m m

N

1





m

i i

i x n

1 trong đó là tần số của số liệu xn i i,

(i = 1,2, …m),

1

N n m

i

i 



 Giả sử mẫu số liệu kích thước N được



cho dưới dạng bảng tần số ghép lớp Các

số liệu được chia thành m lớp ứng với m

đoạn (Bảng 7a) hoặc m lớp ứng với m nửa

khoảng (Bảng 7b)

1 Số trung bình :

Giả sử ta có một

 mẫu số liệu kích thước N là

Số

x1,x2, ,x N

trung bình của mẫu số liệu này

kí hiệu là , được x

tính bởi công thức =

x

(1)

N

x x

x1 2  N

Để cho gọn, kí hiệu tổng :

x1 + … + xN =





N

i i x

1 Công thức (1) viết là =x

N

1





N

i i x

1

Gọi xi là trung điểm của khoảng thứ i

(xem Bảng7)

Lớp Giá trị đại

diện

Tần số

[a1;

a2]

[a3 ;

a4]

‘

‘

‘

[a2m-1;

a2m]

x1

x2

‘

‘

‘

xm

n1

n2

‘

‘

‘

nm

m

i n

1





Bảng 7a

Lớp Giá trị đại

diện

Tần số

[a1;

a2)

[a3 ;

a4)

‘

‘

‘

[am;

am+1)

x1

x2

‘

‘

‘

xm

n1

n2

‘

‘

‘

nm

m

i n

1





Bảng 7b

Số trung bình mẫu còn được tính xấp xỉ

theo công thức : i

m

i

i x n N



 1 1

Ví dụ 1:

Một nhà thực vật học đo chiều dài

của 74 chiếc lá cây và thu được số liệu

sau ( đơn vị mm)

Lớp Giá trị đại

diện

Tần số

* Tính chiều dài trung bình của

74 chiếc lá

*Tính điểm trung bình của 11

Ý nghĩa của

so trung bình:

Số trung bình của mẫu số liệu được dùng làm đại diện cho các số liệu của mẫu Nó là một số đặc trưng quan trọng của mẫu số liệu

Chú ý:

Số trung bình dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

[5,45 ; 5,85)

[5,85 ; 6,25)

[6,25 ; 6,65)

[6,65 ; 7,05)

[7,05 ; 7,45)

[7,45 ; 7,85)

[7,85 ; 8,25)

5,65 6,05 6,45 6,85 7,25 7,65 8,05

5 9 15 19 16 8 2

N = 74 Khi đó chiều dài trung bình của 74 chiếc lá

này là : x

6,80 74

05 , 8 2 65 , 7 8

05 , 6

9

65

,

5

(mm)

Ví dụ 2

Một nhóm 11 học sinh tham gia một kì thi

Số điểm thi của 11 học sinh đó được sắp

xếp từ thấp đến cao như sau: (thang điểm

100): 0 ; 0 ; 63 ; 65 ; 69 ; 70 ; 72 ; 78 ; 81 ;

85 ; 89

Điểm trung bình là:

     61,09

11

89 85

63 0

0

Quan sát dãy điểm trên, ta thấy hầu hết

(9 em) trong nhóm có số điểm vượt điểm

trung bình Như vậy, điểm trung bình này

không phản ứng đúng trình độ trung bình

của nhóm

Ví dụ 3 :

Điều tra về số học sinh trong 28 lớp, ta

được mẫu số liệu sau (sắp xếp theo thứ tự

tăng dần) 38 ; 39 ; 39 ; 40 ; 40 ; 40 ; 40 ;

40 ; 40 ; 41; 41 ; 41 ; 42 ; 42 ; 43 ; 43 ; 43 ;

43 ; 44 ; 44 ; 44 ; 44 ; 44 ; 45 ; 45 ; 46 ; 47 ;

47

Số liệu đứng thứ 1 là 42, đứng thứ 15 là

43

Vậy số trung vị là M = = 42,5

2

43

42

H1:

a) Tính số trung bình của mẫu số liệu

trong ví dụ 2

b) Tính số trung bình của mẫu số liệu

học sinh

HS:

a) M e 70 b) x42,32 số trung bình sắp xỉ số trung vị

HS:

Số liệu đứng thứ 18 là 165 , thứ 19 là 166 Do vậy số trung

vị

2

166

165



e M

= 165,5

Bảng thống kê trên cho thấy cỡ áo nào mà khách hàng mua nhiều nhất là cỡ 39 Ta gọi giá trị 39 là mốt

2 Số trung vị

Khi các số liệu trong mẫu có sự chênh lệnh rất lớn đối với nhau thì số trung bình khó có thể đại diện cho các số liệu trong mẫu Có một chỉ số khác thích hợp hơn trong trường hợp này Đó là số trung vị

Định nghĩa :

Giả sử ta có

mẫu gồm N số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm Nếu N là một số lẻ thì số liệu đứng thứ (số liệu

2

1



N

đứng chính giữa) gọi là số trung vị Trong trường hợp

N là một số chẵn,

ta lấy số trung bình cộng của hai số liệu đứng thứ và + 1 làm

2

N

2

N

số trung vị Số trung vị được kí hiệu là M e

trong ví dụ 3 và so sánh nó với số trung vị.

Chú ý

Khi các số liệu trong mẫu không có sự

chênh lệnh quá lớn thì số trung bình và số

trung vị xấp xỉ nhau,

H2:

Đo chiều cao của 36 học sinh của một

trường, ta có mẫu số liệu sau, sắp xếp theo

thứ tự tăng (đơn vị là cm):

160; 161; 161; 162; 162; 162; 163; 163;

163; 164; 164; 164; 164; 165; 165; 165;

165; 165; 166; 166; 166; 166; 167;

167;168; 168; 168; 168; 169; 169; 170;

171; 171; 172; 172; 174 Tìm số trung vị

của mẫu số liệu này

Ví dụ 4

Một cửa hàng bán quần áo thống kê số áo

sơ mi đã bán ra cho nam giới trong một

quý theo các cỡ khác nhau và có được

bảng số liệu sau:

Cở áo 3

6

3 7

3 8

1 42

Số áo

bán

được

1

3

4 5

1 1

18 4

12 6

4 0 5

Điều mà cửa hàng quan tâm nhất là cỡ

áo nào được khách hàng mua nhiều nhất ?

Chú ý:

Một bảng phân bố tần số có thể có hai hay

nhiều mốt

Ví dụ 5:

Một cửa hàng bán 6 loại quạt với giá

tiền là 100, 150, 300, 350, 400, 500 (nghìn

đồng) Số quạt cửa hàng bán ra trong mùa

hè vừa qua được thống kê trong bảng tần

số sau:

Giá tiền 100 15

0

30 0

0

Ta thấy bảng tần số trên có hai mốt là 300 và 400 Đó là giá tiền hai loại quạt , mà khách hàng mua nhiều nhất

HS:

ĐTB các môn của An là 8,1

ĐTB các môn của Bình xấp xỉ 8,1

An học đều các môn, còn Bình thì không Sự chênh lệnh, biến động giữa các điểm của An thì

ít, của Bình thì nhiều

Từ số liệu ở cột điểm của An

ta có

; 1 , 89 11

1







i i

11

1

2 





i i x

Từ số liệu ở cột điểm của Bình

3 Mốt

Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng phân bố tần số Giá trị có tần số lớn nhất được

gọi là mốt của

mẫu số liệu và kí hiệu là M0

4 Phương sai và độ lệnh chuẩn

Giả sử có một

 mẫu số liệu kích thước N là

x1, ,x N

Phương sai của

mẫu số liệu này,

kí hiệu là s2, được tính bởi công thức sau:

s2 = x x)2

N N

i i

i 



 ( 1 (3) trong đó là số x

Số quạt

bán

được

256 35

3

53 4

5 Nhận xét và tìm mốt ?

Ví dụ 6:

Điểm trung bình môn học của hai học sinh

An và Bình trong năm học vừa qua như

sau:

của An

Điểm TB của Bình

Toán

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Văn học

Lịch sử

Địa lí

Anh văn

Thể dục

Công nghệ

GDCD

8 7,5 7,8 8,3 7 8 8,2 9 8 8,3 9

8,5 9,5 9,5 8,5 5 5,5 6 9 9 8,5 10

H3

Tính điểm trung bình (không kể hệ số)

các môn học của An và của Bình Theo

em, bạn nào học khá ?

Nhìn vào bảng điểm, ta có ngay nhận xét

gì ?

Để đo mức độ chênh lệch giữa các giá trị

của mẫu số liệu so với số trung bình, người

ta đưa ra hai số đặc trưng là phương sai và

độ lệch chuẩn

Chú ý:

Công thức (3) có thể biến đổi thành

2

1 2 1

1



















N

i i N

i

N

x N

Sử dụng công thức (4) thuận tiện hơn

trong tính toán

Trở lại ví dụ 6, ta hãy tính phương sai và

độ lệnh chuẩn điểm các môn học của An

ta có

, 89 11

1







i i

11

1

2 





i i x

-2

A S

11

91 ,

11

1 ,

89 











0,3091,

SA  0,556

2

B S

11

5 ,

11

89 











2,764

SB  1,663

Giải :

Trước hết ta tính

= 884,

i i

i x n



 5

1 =19568

2 5

1

i i

i x n



 Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là

= 22,1 (tạ) 40

884



x

Theo công thức (5), ta có phương sai là

s2 =

2

40

884 40

19598















= 1,54 Độ lệch chuẩn là

s = 1,54 1,24(tạ)

Giải :

Ta có:

9 , 502 x

n 7

1 i i





385 , 3443 x

n 7

1 i

2 i



 Vậy : S2 

trung bình của mẫu số liệu Căn bậc hai của

 phương sai được

gọi là độ lệnh chuẩn, kí hiệu là

s Ta có

1

x x



2

Ý nghĩa :

Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán càng lớn

và Bình Trước hết, ta tính các tổng 



i i x

1 và 



N

i

i

x

1

2

Từ số liệu ở cột điểm của An ta có ?

Từ số liệu ở cột điểm của Bình ta có ?

Tiếp theo, ta thế các kết quả này vào công

thức (4) để tìm s2

Phương sai và độ lệnh chuẩn điểm các

môn học của An là ?

Phương sai và độ lệnh chuẩn điểm các

môn học của Bình là ?

Nhận xét :

Phương sai điểm các môn học của Bình

gấp gần 9 lần phương sai điểm các môn

học của An Điều đó chứng tỏ Bình học

lệch hơn An

Nếu số liệu được cho dưới dạng bảng

phân bố tần số ( Bảng 7) thì phương sai

được tính bởi công thức :





m

i i i N x n N

1

2

1















m

i i

i x n

Ví dụ 7 :

Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa

ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được

trình bày trong bảng tần số sau đây:

Sản lượng 20 2

1

3

2 4

Tần số (n) 5 8 11 1

0

6 N = 40 a) Tìm sản lượng trung bình của 40 thửa

ruộng

b) Tính phương sai và độ lệnh chuẩn

Ví dụ 8

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu

số liệu cho ở ví dụ 1

2 2

74

9 , 502 74

385 , 3443

  0,347 Độ lệch chuẩn là

s  0,347  0,589 (mm)

D Luyện tập và củng cố :

E Bài tập về nhà: giải các bài tập SGK