Linh hoạt và sáng tạo trong giải toán tính diện tích hình tròn

Sáng kiến kinh nghiêm này muốn được trao với các bạn về vấn đề “Linh hoạt và sáng tạo trong giải toán tính diện tÝch h×nh trßn”, víi mong muèn gióp c¸c em häc sinh phÇn nµo t×m thÊy kinh[r]

Trang 1

Linh hoạt và sáng tạo trong giải toán tính diện tích hình tròn

1 Lý do chọn đề tài:

Trong trường phổ thụng bất cứ mụn học nào cũng cú một đặc trưng riờng của bộ mụn đú Đối với mụn Toỏn là một mụn cú vị trớ rất quan trọng trong cuộc sống, trong khoa học và trong cụng nghệ hiện đại Cỏc kiến thức và phương phỏp Toỏn học là một cụng cụ thiết yếu để giỳp học sinh học tốt cỏc mụn học khỏc và cũng cú thể giỳp học sinh hoạt động cú hiệu quả trờn tất cả cỏc lĩnh vực

Dạy học về cỏc yếu tố hỡnh học là một trong năm kiến thức rất quan trọng của chương trỡnh toỏn ở tiểu học Cỏc bài toỏn cú nội dung hỡnh học thỡ phần lớn là cỏc bài toỏn về diện tớch

Dạy học cỏc bài toỏn nõng cao về diện tớch cú ưu thế đặc biệt trong việc phỏt triển

tư duy logic, úc quan sỏt, trớ tưởng tượng khụng gian và khả năng sỏng tạo cho học sinh tiểu học Chớnh vỡ vậy mà cỏc bài toỏn về diện tớch ở trỡnh độ nõng cao tỏ ra cú sức hấp dẫn mạnh mẽ nhất đối với những đối tượng học sinh cú năng lực toỏn ban đầu

Dạy học và học cỏc bài toỏn nõng cao về diện tớch cũn là một cơ hội rất thuận lợi

để phỏt hiện và bồi dưỡng những học sinh cú năng lực toỏn học Chỉ khi giải cỏc bài toỏn nõng cao thỡ tài năng của cỏc em mới được bộc lộ và phỏt triển

Trong chương trình toán Tiểu học, các bài toán về tính diện tích hình tròn được khá nhiều học sinh ưa thích Nhiều bài toán về tính diện tích hình tròn được giải bằng phương pháp số học rất độc đáo

Giải tốt các bài toán về tính diện tích hình tròn không những giúp các em học giỏi hình học mà còn học giỏi về số học

Đặc biệt có nhiều bài toán về tính diện tích hình tròn mang tính thực tế cao, giúp các em có thêm vốn kinh nghiệm trong cuộc sống

Trang 2

Tìm ra đáp số của bài toán đã thú vị nhưng thật thú vị hơn nếu ta tìm ra nhiều con

đường đi đến đáp số ấy Mỗi con đường, mỗi hướng giải là một “nghệ thuật” vận dụng những kiến thức đã học một cách linh hoạt và sáng tạo Sáng kiến kinh nghiêm này

muốn được trao với các bạn về vấn đề “ Linh hoạt và sáng tạo trong giải toán tính diện tích hình tròn”, với mong muốn giúp các em học sinh phần nào tìm thấy kinh nghiệm

suy nghĩ, cách thức tìm ra lời giải của một bài toán về tính diện tích hình tròn Từ đó giúp các em học sinh yêu thích môn toán nói chung và yêu thích các bài toán về tính diện tích hình tròn nói riêng nhằm nâng cao chất lượng dạy học

2 Cơ sở lý luận:

Qua giải toỏn diện tớch, trớ tuệ của học sinh tiểu học được phỏt triển thể hiện qua khả năng phõn tớch tổng hợp, rốn luyện tư duy linh hoạt, cú thể núi khả năng giải toỏn diện tớch núi riờng giải toỏn núi chung được xem là khả năng riờng biệt, đặc trưng nhất trong hoạt động trớ tuệ của con người Việc giải toỏn diện tớch là hỡnh thức tốt để đào sõu kiến thức, cũng cố rốn luyện kỹ năng, kỹ xảo giỳp học sinh tự mỡnh đi đến kiến thức một cỏch độc đỏo sỏng tạo Đõy là hỡnh thức tốt nhất để học sinh tự đỏnh giỏ mỡnh

và để thầy cụ đỏnh giỏ học sinh về năng lực và mức độ tiếp thu, sự vận động cỏc kiến thức đó học Mặt khỏc, giải toỏn diện tớch gõy hứng thỳ học tập cho học sinh, phỏt triển tốt cỏc đức tớnh như : kiờn trỡ, dũng cảm, thụng minh, quyết đoỏn

3 Cơ sở thực tế:

Khỏi niệm hỡnh trũn và cỏch tớnh diện tớch hỡnh trũn cỏc em đó được làm quen ở

lớp 5 Đến khi học lờn THCS, cỏc em được học thờm ở mức độ cao hơn từ cỏc bài toỏn tớnh toỏn theo cụng thức đến cả những bài toỏn chứng minh phức tạp Đõy là những kiến thức quan trọng, là nền tảng giỳp cỏc em học tốt ở bậc THCS hoặc cao hơn nữa Thực tế ở tiểu học hiện nay vấn đề này chưa được quan tõm đỳng mức nờn chưa phỏt huy được ưu thế của học toỏn nõng cao về diện tớch đối với việc phỏt triển trớ tuệ của học sinh

Do đú đề tài này muốn gúp phần cho cỏc em phỏt triển tư duy toỏn học của mỡnh thụng qua việc giải cỏc bài tập và làm tăng thờm niềm say mờ học toỏn của cỏc em

II GiảI quyết vấn đề:

Chúng ta hãy cùng đến với các bài toán sau :

Bài toán 1 Khoanh vào chữ đặt trước câu trả lời đúng :

Trang 3

Diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD là :

A 13,76 cm2 B 114,24 cm2

C 50,24 cm2 D 136,96 cm2

(Bài tập 4, trang 101, SGK Toán 5)

Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện tích

hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn Dựa vào hình

vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình

vuông và bằng 8cm nên diện tích hình tròn là:

8 x 8 x 3,14 : 4 = 50,24 (cm2) Từ đó ta tìm được diện tích phần đã tô màu của hình vuông là 13,76cm2

Nhận xét : ở bài toán 1, khi tính diện tích hình tròn ta đã dùng công thức :

S = d x d x 3,14 : 4 (d là đường kính hình tròn) Điều đặc biệt d x d chính là diện tích

hình vuông ABCD Như vậy nếu biết diện tích hình vuông thì ta sẽ tính được diện tích của hình tròn

Bài toán 2 Hình bên có ABCD là hình vuông và có

diện tích là 20 cm2

Tính diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD

hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn

Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông nên

diện tích hình tròn là : AB x AB x 3,14 : 4 = 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2)

Diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD là : 20 – 15,7 = 4,3 cm2

Bài toán 3 Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện

tích là 20 cm2

hình vuông ABCD trừ đi diện tích hai nửa hình tròn

C D

O•

Trang 4

Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh của hình vuông nên

diện tích của hai nửa hình tròn là : BC x BC x 3,14 : 4 = 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2) Diện tích phần đã tô màu của hình vuông ABCD là : 20 – 15,7 = 4,3 cm2

diện tích là 20 cm2 Tính diện tích phần tô màu

bốn nửa hình tròn

Giải : Dựa vào hình vẽ, ta thấy đường kính hình tròn

bằng cạnh của hình vuông nên diện tích hai nửa hình tròn

là : AB x AB x 3,14 : 4 = 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2)

Diện tích phần đã tô màu là : 15,7 x 2 = 31,4 (cm2)

Bài toán 5 Hình bên có ABCD là hình vuông và có diện

tích là 20 cm2

hình vuông trừ đi diện tích bốn hình (1), (2), (3) và (4)

Giải : Ghép bốn hình (1), (2), (3) và (4) lại với nhau ta được hình tròn có đường kính

là cạnh hình vuông ABCD Diện tích hình tròn đó là : 20 x 3,14 : 4 = 15,7(cm2)

Diện tích phần đã tô màu là 20 – 15,7 = 4,3 (cm2)

diện tích là 20 cm2

Tính diện tích phần tô màu

Phân tích : Diện tích phần tô màu bằng diện tích hình

vuông ABCD trừ đi tổng diện tích các hình (1), (2), (3),

(4) và (5)

Giải : Diện tích các hình (1), (2), (3) và (4) là :

C D

(4) (3)

Trang 5

20 – 20 x 3,14 : 4 = 4,3 (cm2).

Diện tích hình (5) là : 20 – 20 x 3,14 : 4 = 4,3 (cm2)

Diện tích phần tô màu là : 20 – (4,3 + 4,3) = 11,4 (cm2)

Bài toán 7 Cho ABCD là hình vuông có

cạnh là 10cm Tính diện tích hình “chiếc lá”

(phần tô màu) có trong hình vuông Biết hình

“chiếc lá” tạo bởi một phần tư hình tròn tâm

A, bán kính AB và một phần tư hình tròn tâm

C, bán kính CB

Phân tích : Diện tích hình “chiếc lá” bằng

diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích

hình (1) và (2)

Giải : Diện tích một phần tư hình tròn tâm C, bán kính CB là :

10 x 10 x 3,14 : 4 = 78,5 (cm2)

Diện tích hình (1) là : 10 x 10 – 78,5 = 21,5 (cm2)

Tương tự ta tính được diện tích hình (2) là 21,5 (cm2)

Diện tích hình “chiếc lá” là : 10 x 10 – (21,5 + 21,5) = 57 (cm2)

Bài toán 8 Trong hình bên, hình vuông có cạnh dài

14cm Trên mỗi cạnh có dựng một nửa hình tròn bán

kính 7 cm với tâm là trung điểm của cạnh đó Tìm diện

tích miền được tô trên hình đó

(Đề thi Olympic toán Đông Nam á, năm 2003)

Phân tích : Diện tích miền được tô màu bằng diện tích

hình vuông trừ đi tổng diện tích các hình (1), (2), (3) và (4)

Giải : Diện tích hình (1) và (2) là : 14 x 14 – 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm2) Diện tích hình (3) và (4) là : 14 x 14 – 7 x 7 x 3,14 = 42,14 (cm2)

Diện tích miền được tô màu là : 14 x 14 – (42,14 + 42,14) = 111,72 (cm2)

Trang 6

Bài toán 9 Cho hình vuông ABCD và hai hình tròn

như hình vẽ bên Tìm chu vi hình vuông biết tổng diện

tích hai hình tròn là 37,68cm2

(Thi tuyển sinh vào lớp 6, Trường Amsterdam – Hà Nội, năm 1997)

Giải : Gọi R là bán kính hình tròn lớn, r là bán kính

hình tròn nhỏ Ta có :

- R x R = OA x OB = 2 x SOAB = SABCD

2 1

- r x r = OM x ON = SOMBN = SABCD Vậy : R x R = 2 x (r x r) Suy ra diện tích

4 1

hình tròn lớn gấp đôi diện tích hình tròn nhỏ

Diện tích hình tròn nhỏ là : 37,68 : (2 + 1) = 12,56 (cm2)

Do đó đối với bán kính r của hình tròn nhỏ ta có : r x r = 12,56 : 3,14 = 4 ((cm2)

Vì 2 x 2 = 4 nên r = 2 cm Cạnh hình vuông gấp đôi bán kính hình tròn nhỏ, do đó cạnh hình vuông là : 2 x 2 = 4 (cm) Chu vi hình vuông là : 4 x 4 = 16 (cm)

Bài toán 10 Nếu AB = BC và diện tích của P là 3 cm2

(như được chỉ ra ở hình vẽ bên) thì diện tích phần tô màu

là bao nhiêu xen – ti mét vuông ?

Phân tích : Diện tích phần tô màu chính bằng diện

4 1 tích hình tròn tâm A bán kính AC trừ đi diện tích hình P

Giải : diện tích hình tròn tâm A bán kính AC là :

4

1

AC x AC x 3,14 : 4 = (2 x AB) x (2 x AB) x 3,14 : 4 = 4 x AB x AB x 3,14 : 4

= AB x AB x 3,14 = 4 x P = 4 x 3 = 12 (cm2)

Diện tích phần tô màu là : 12 – 3 = 9 (cm2)

Bài toán 11 Hình (I), (II) và (III) là ba nửa

hình tròn bán kính khác nhau Biết rằng tỉ lệ

các đường kính của (I), (II) và (III) là 3 : 4 : 5

và diện tích của hình (III) là 24cm2 Tìm tổng

(II)

M

N

Trang 7

(Thi toán quốc tế Tiểu học – Hồng Kông)

Phân tích : Tỉ lệ các đường kính của (I), (II)

và (III) là 3 : 4 : 5 có nghĩa là nếu ta xem độ

dài đường kính của hình (I) là 3 phần bằng

nhau thì độ dài đường kính của hình (II) và

hình (III) lần lượt là 4 phần và 5 phần như

thế Vì vậy nếu ta coi độ dài đường kính của

hình (III) là d thì độ dài đường kính của hình (I) và (II) lần lượt là x d và x d

5

3

5 4

Giải : Diện tích hình (I) là : ( x d) x ( x d) x 3,14 : 8 = x d x d x 3,14 : 8 (cm2)

5

3

5

3

25 9

Diện tích hình (II) là : ( x d) x ( x d) x 3,14 : 8 = x d x d x 3,14 : 8 (cm2)

5

4

5

4

25 16

Diện tích hình (III) là : d x d x 3,14 : 8 = 24 (cm2)

Tổng diện tích của hình (I) và (II) là :

x d x d x 3,14 : 8 + x d x d x 3,14 : 8 = d x d x 3,14 : 8 = 24 (cm2)

25

9

25 16

Bài toán 12 Trong các hình dưới đây, diện tích của mỗi hình vuông lớn là 1cm2 Diện tích của hình vuông nhỏ hơn trong hình thứ hai bằng diện tích hình vuông lớn hơn

4 1

Diện tích của hình vuông nhỏ nhất trong hình thứ ba bằng diện tích hình vuông lớn

4 1

thứ hai, cứ tiếp tục như vậy Hãy tìm diện tích của hình tròn được tô đậm trong hình vuông thứ năm

(Thi toán quốc tế Tiểu học – In-đô-nê-xi-a, năm 2004)

Giải : Theo bài toán 2 ta có :

Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình thứ nhất là : 1 x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2)

4 1 Diện tích hình tròn được tô đậm trong hình

(III)

Trang 8

thø hai lµ : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2) DiÖn tÝch h×nh trßn ®îc t« ®Ëm trong h×nh

4

1

16 1

thø ba lµ : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2) DiÖn tÝch h×nh trßn ®îc t« ®Ëm trong h×nh

16

1

64 1

thø t lµ : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2) DiÖn tÝch h×nh trßn ®îc t« ®Ëm trong h×nh

64

1

256 1

n¨m lµ : x 3,14 : 4 = x 3,14 (cm2)

256

1

1024 1

Bµi to¸n 13 TÝnh tæng diÖn tÝch hai h×nh tr¨ng khuyÕt

(phÇn t« mµu) ë h×nh bªn BiÕt c¹nh AC dµi 3cm, c¹nh

AB dµi 4cm vµ c¹nh BC dµi 5cm. Tam gi¸c ABC cã gãc

A lµ gãc vu«ng

tæng diÖn tÝch tam gi¸c ABC, diÖn tÝch h×nh trßn ®êng kÝnh AB, diÖn tÝch h×nh

2

1

2 1

trßn ®êng kÝnh AC trõ ®i diÖn tÝch h×nh trßn ®êng kÝnh CB

2 1

Gi¶i : DiÖn tÝch h×nh trßn ®êng kÝnh CB lµ : 5 x 5 x 3,14 : 4 : 2 = 9,8125 (cm2)

2 1 DiÖn tÝch tam gi¸c ABC lµ : 3 x 4 : 2 = 6 (cm2)

DiÖn tÝch h×nh trßn ®êng kÝnh AB lµ : 4 x 4 x 3,14 : 4 : 2 = 6,28 (cm2)

2

1

DiÖn tÝch h×nh trßn ®êng kÝnh AC lµ : 3 x 3 x 3,14 : 4 : 2 = 3,5325 (cm2)

2

1

Tæng diÖn tÝch hai h×nh tr¨ng khuyÕt lµ : (6 + 6,28 + 3,5325) – 9,8125 = 6 (cm2)

Bµi to¸n 14 H×nh bªn cho ta thÊy 4 h×nh vu«ng c¹nh

10cm H×nh t« ®Ëm giíi h¹n bëi c¸c ®êng trßn

4 1

TÝnh diÖn tÝch phÇn t« mµu

(§Ò thi Olympic to¸n Singapore, n¨m 1997)

4 1

h×nh trßn cã b¸n kÝnh b»ng c¹nh cña h×nh vu«ng lín trõ ®i diÖn tÝch c¸c h×nh (1), (2) vµ (3) Dùa vµo h×nh vÏ ta thÊy tæng diÖn tÝch h×nh (2) vµ h×nh (3) b»ng diÖn tÝch h×nh (1)

vµ b»ng diÖn tÝch h×nh vu«ng c¹nh 10cm

3

Trang 9

Giải : Cạnh hình vuông lớn là : 10 + 10 = 20 (cm)

Diện tích hình hình tròn có bán kính bằng cạnh của hình vuông lớn là :

4

1

20 x 20 x 3,14 : 4 = 314 (cm2)

Diện tích các hình (1), (2) và (3) là : 10 x 10 x 2 = 200 (cm2)

Diện tích phần tô màu là : 314 – 200 = 114 (cm2)

Bài toán 15 Hình mẫu bên được tạo bằng cách

vẽ các nửa hình tròn bên trong các hình vuông Bán

kính của ba loại nửa hình tròn tương ứng là 4cm,

2cm và 1cm

Hỏi tổng diện tích phần tô màu bằng bao nhiêu

xăng-ti-mét vuông ?

(Thi toán quốc tế Tiểu học – Hồng Kông)

Phân tích : Tổng diện tích phần tô màu chính là tổng diện tích các hình (1), (2), (3),

(4), (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12) Dựa vào hình vẽ ta thấy tổng diện tích các hình (5) và (6) ; (7) và (8) ; (9) và (10) ; (11) và (12) đều bằng diện tích một nửa hình tròn có bán kính là 2cm Suy ra tổng diện tích các hình (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11)

và (12) bằng hai lần diện tích hình tròn có bán kính là 2cm

Giải : Vì bán kính của ba loại nửa hình tròn tương ứng là 4cm, 2cm và 1cm nên cạnh

hình vuông lớn là 4 x 2 = 8 (cm) Diện tích hình vuông lớn là : 8 x 8 = 64 (cm2)

Diện tích hình tròn có bán kính bằng 4cm là : 4 x 4 x 3,14 = 50,24 (cm2)

Diện tích các hình (1), (2), (3) và (4) là : 64 – 50,24 = 13,76 (cm2)

Diện tích các hình (5), (6), (7), (8), (9), (10), (11) và (12) là :

2 x (2 x 2 x 3,14) = 25,12 (cm2)

Tổng diện tích phần tô màu là : 13,76 + 25,12 = 38,88 (cm2)

Trang 10

Bài toán 16 Một cái ao hình tròn nay được mở rộng thành

cái ao mới hình vuông (như hình vẽ bên) Biết diện tích

phần tăng thêm của ao là 13,76 cm2

Tính diện tích cái ao hình vuông ABCD

Giải : Gọi d là đường kính của hình tròn ta có :

Diện tích hình tròn là : x d x d x 3,14 (cm2)

4 1

Dựa vào hình vẽ ta thấy đường kính hình tròn bằng cạnh

hình vuông ABCD

Suy ra diện tích hình vuông ABCD là : d x d (cm2)

Diện tích phần tăng thêm của ao bằng diện tích hình vuông ABCD trừ đi diện tích hình tròn Do đó, ta có : d x d - x d x d x 3,14 = 13,76 (cm2)

4 1

Hay : 4 x d x d - d x d x 3,14 = 4 x 13,76 (cm2)

Suy ra : d x d = 55,04 : 0,86 = 64 (cm2)

Vậy diện tích cái ao hình vuông ABCD là 64 cm2