Công thức tính diện tích của tam giác : R, r là bán kính đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác, p là nửa chu vi tam giác.. Cho ABC với trung tuyến AM.[r]
Trang 1Tuần 18:
Tiết ppct: 21
Ngày soạn:
Ngày dạy:
ễN TẬP HỌC Kè
1 VECTƠ
Vectơ là một đoạn thẳng cú hướng
+ Vectơ AB:
- A là điểm đầu , B là điểm cuối.
- Đường thẳng AB gọi là giỏ của vectơ AB.
- Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ AB Kớ hiệu : AB AB
Hai vectơ gọi là cựng phương nếu giỏ chỳng song song hoặc trựng nhau
Hai vectơ cựng phương thỡ chỳng cựng hướng hoặc chỳng ngược hướng
AB và CD cùng hướng EF và GH ngược hướng
Hai vectơ a,b gọi là bằng nhau , KH: a b nếu chỳng cựng hướng và cựng độ dài
Vectơ khụng, KH: , là vectơ cú điểm đầu và điểm cuối trựng nhau Vectơ khụng cú độ dài bằng 0 và 0
nú cựng phương cựng hướng với mọi vectơ
2 TỔNG CỦA HAI VECTƠ
Cho hai vectơ a và b Từ điểm A bất kỳ vẽ :
Khi đú: là tổng hai vectơ
AB a ,BC b AC a và b
Ký hiệu : AC a b
Quy tắc 3 điểm:
Với 3 điểm bất kỳ A,B,C ta cú : AB BC AC
Quy tắc hỡnh bỡnh hành :
Với ABCD là hỡnh bỡnh hành, ta cú : AB AD AC
Quy tắt trung điểm: M là trung điểm AB MA MB 0 hoặc OA OB 2OM (O bất kỳ)
G là trọng tõm tam giỏc ABC thỡ : GA GB GC 0 hoặc OA OB OC 3OG (O bất kỳ)
Tớnh chất của phộp cộng vectơ :
+ a b b a (giao hoỏn) + a (b c) (a b) c (kết hợp) + a 0 0 a a (cộng với vectơ khụng)
3 HIỆU CỦA HAI VECTƠ
Vectơ đối của vectơ là - là vectơ ngược hướng với vectơ và cú cựng độ dài với a a a a
Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0
Hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai :
Ta cú : a b a ( b)
Quy tắc 3 điểm (về hiệu của hai vectơ) :
F
G H
E F
G H
A
B
a b
b
a A
B
C
a b
C D
Trang 2 Nếu k 0 thỡ k cựng hướng với ; k<0 thỡ k ngược hướng với a a a a
ka k a
Tớnh chất : Với mọi vectơ a , b và với mọi số thực k, ta cú :
k(ta) (kt)a ; (k+t) = a ka ta
k a b ka kb ; ka 0 k 0 hoặc a=0
Điều kiện để a và b cựng phương (với a 0) là cú số thực k để b ka
Điều kiện cần và đủ để 3 điểm A,B,C thẳng hàng là cú số thực k để : AB kAC
Cho hai vectơ a,b khụng cựng phương, khi đú mọi vectơ đều cú thể biểu thị một cỏch duy nhất qua x
, nghĩa là ta cú cặp số thực m, n sao cho :
5 TRỤC TỌA ĐỘ
Trục tọa độ (cũn gọi là trục hay trục số) là một đường thẳng trờn đú xỏc định một điểm O và một vectơ đơn vị ( cú độ dài bằng 1) Ký hiệu là O, i
Điểm O là gốc tọa độ ; vectơ gọi là vectơ đơn vị.i
Cho vectơ nằm trờn trục a O, i , ta cú số k để a ki Số k gọi là tọa độ của vectơ a
Cho điểm M nằm trờn trục O, i , ta cú số m để OM mi Số m gọi là tọa độ của điểm M
Nếu hai điểm A, B nằm trờn trục O, i thỡ tọa độ của vectơ AB ký hiệu là : AB (độ dài đại số của vectơ AB)
6 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
Hệ trục tọa độ Oxy gồm 2 trục x’Ox và y’Oy vuụng gúc với nhau
Với 2 vectơ đơn vị là i và j (cú độ dài bằng 1).
Điểm O gọi là gốc tọa độ ; x’Ox : trục hoành ; y’Oy: trục tung.
Đối với hệ trục tọa độ Oxy :
Nếu a xi yj thỡ cặp số (x;y) gọi là tọa độ vectơ a
Ký hiệu : a (x;y) (x :hoành độ;y: tung độ )
Nếu OM xi yj thỡ (x;y) là tọa độ điểm M Ký hiệu : M(x;y)
7 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ
Cho a (a ;a ),b 1 2 b ;b1 2 a,b 0 , khi đú :
2 2
a b
* a b a1b ;a1 2 b2
* kaka ;ka1 2 với k R
* Vectơ cựng phương với b a 0 cú số k sao cho b1= ka1 ; b2 = ka2
Cho A x ;y , B x ;y , C x ;y A A B B C C
* ABxBx ;yA ByA
* I x ;y là trung điểm AB, ta có: I I A B A B
* G x ;y là trọng tâm tam giác ABC: G G A B C A B C
x
y
i
j
O
'
x
'
y
a M
Trang 3Chương II
TÍCH Vễ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG I2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GểC BẤT KỲ ( Từ 0 o đến 180 o )
- Định nghĩa giỏ trị lượng giỏc của một gúc bất kỳ
- Dấu của cỏc giỏ trị lượng giỏc của cỏc gúc
- Cụng thức lượng giỏc cơ bản :
tanx=sinx; c otx=cosx ; sin2x + cos2x = 1 ; tanx.cotx = 1
- Liờn hệ giữa cỏc giỏ trị lượng giỏc của hai gúc bự nhau, phụ nhau :
cos(180o- x) = -cosx ; sin(180o- x) = sinx
sin(90o- x) = cosx ; sin(90o- x) = cosx
2 TÍCH Vễ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
Tớch vụ hướng của hai vectơ a và b, ký hiệu : a.b là một số xác định bởi công thức:
a.b a b cos a,b
Đặc biệt : a2 a2 (bỡnh phương vụ hướng 1 vectơ)
Nếu b' là hình chiếu của b lên đường thẳng chứa a thì: ab=a.b'
Tớnh chất của tớch vụ hướng:
Với mọi a,b,c và mọi số thực k.
a.b b.a ; ka b k a.b
a b c a.b a.c ; Vậy : a.b 0 a b
Biểu thức tọa độ của tớch vụ hướng:
Trờn mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ a (a ;a ) và b= b ;b 1 2 1 2
Tớch vụ hướng của hai vectơ a.b là: a.b=a a 1 2b b1 2 Vậy : a b a b1 1a b2 2 0
Ứng dụng :
1 2 1 2
a (a ;a ) là: a a a
Gúc giữa hai vectơ a (a ;a ) và b= b ;b với a,b 0 là: 1 2 1 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos a,b
Khoảng cỏch giữa hai điểm A(xA;yA), B(xB;yB) là : AB = 2 2
B C B A
x x y y
3 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Định lý Cosin trong tam giỏc :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
cosA=
2bc
cosB =
2ac
cosC=
2ab
Định lý sin trong tam giỏc : (R là bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp tamgiỏc ABC)
b
a
(Xỏc định gúc khi biết độ dài ba cạnh)
c
a
b
A
Trang 4a 2R sin A
2R b 2R sin B sin A sin B sin C
c 2R sin C
Độ dài đường trung tuyến trong tam giác :
2 2 2 2
a
2 2 2 2
b
2 2 2 2
c
m
m
m
Cơng thức tính diện tích của tam giác :
(R, r là bán kính đường trịn ngoại và nội tiếp tam giác, p là nửa chu vi tam giác Thì diện tích S của tam
abc S 4R
S p.r
B BÀI TẬP
1 Cho ABC với trung tuyến AM Gọi I là trung điểm AM
a/ CMR : 2IA + + IB IC = 0
b/ Với 1 điểm O bất kỳ CMR : 2OA + OB + OC = 4OI
2 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC
a/ CMR : 2AI = 2AO + AB b/ CMR : 3DG = DA + DB + DC
3 Cho ABC Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho BC = 3BN Tính AN theo AB và AC
4 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD
a/ CMR : AI = 1 b/ CMR :
AD 2AB
2 OA OI OJ 0 c/ Tìm điểm M thỏa : MA MB MC 0
5 Cho ABC và 1 điểm M tùy ý
a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD = MC + AB, ME = MA + BC
và MF = MA + CA CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M
b/ CMR : MA + MB + MC = MD + ME + MFI2
6 Cho ABC có trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD = 2AB, AE =
5
2
AC
a/ Tính AG, DE, DG theo AB và AC b/ CMR : D, E, G thẳng hàng
c
a
b
m a
I A
Trang 5a/ Tính AM theo AB và AC b/ AM cắt BC tại I Tính và
IC
IB
AI AM
8 Cho 00 x 1800, biết cosx = 1 Tính các giá trị lượng giác cịn lại
3
9 Cho tanx = -5, hãy tìm các giá trị lượng giác cịn lại của gĩc x
10 Biết sinx + cosx = m
a) Tìm sinxcosx
b) Tìm sin4x+cos4x
c) Tìm sin6x+cos6x
11 Cho tam giác ABC vuông A và có hai cạnh AB = 7 , AC = 10
a) Tìm cosin của các góc AB,AC ; AB,BC ; AB,CB
b) Gọi H là hình chiếu của A trên BC Tính HB.HC
12 Cho tam giác ABC có AB = 7 , AC = 5 , A = 1200
a) Tính tích vô hướng AB.AC vµ AB.BC
b) Tính độ dài trung tuyến AM của tam giác ( M là trung điểm của BC )
13 Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2)
a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B
b/ Tính chu vi và diện tích OAB
c/ Tìm tọa độ trong tâm OAB.
d/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành
e) Tìm tọa độ điểm M sao cho : MA 2MB 3MC 0
14 Cho điểm A(-3;2) và B(4;3) Tìm tọa độ của
a) Điểm M trên Ox sao cho tam giác MAB vuơng tại M
b) Điểm N trên trục Oy sao cho NA = NB
15 Cho ba điểm A(-1;1), B(3;1), C(2,4)
a) Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trực tâm H, trọng tâm G và tâm I của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC
Hãy kiểm nghiệm lại hệ thức IH 3IG
16 Biết A(1;-1) , B(3;0) là 2 đỉnh của hình vuơng ABCD Tìm tọa độ các đỉnh C và D
17 Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường trịn (O;R), cĩ đường cao AA’ Gọi E,F tương ứng là hình chiếu của A’ lên AB, AC và J là giao điểm của EF với đường kính AD
a) Chứng minh rằng AA’ là tiếp tuyến của đường trịn (A’ID)
b) Tìm điều kiện của AA’ để ba điểm E,F,O thẳng hàng
****************************