Đề và đáp án thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh lớp 10 THPT năm học 2010 – 2011 môn Toán

Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P.[r]

Cõu 1. 1 Giải phương trỡnh: 2x 6 3 x  5 x 3

2 Cỏc số a, b, c thỏa món điều kiện: a 2b 5c 0 Chứng minh phương trỡnh 2 cú nghiệm

0

ax bx c

2

x xy x y

x x y x y





Cõu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho cỏc điểm A  1;3 , B   5; 3 Xỏc định tọa độ điểm M trờn đường thẳng d x:  2y  1 0 sao cho 2MA MB  đạt giỏ trị

nhỏ nhất

Cõu 4. Tam giỏc ABC cú cỏc gúc thỏa món hệ thức: cotA cotCcotB

1.Xỏc định gúc giữa hai đường trung tuyến AA1 và CC1của tam giỏc ABC khi 1

2

 

2.Tỡm giỏ trị lớn nhất của gúc B khi   2

Cõu 5. Ba số dương a b c, , thỏa món: 12 12 12 1

a b  c 

P

− Hết −

Họ tờn thớ sinh……… Số bỏo danh………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

đề chính thức

Kè THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2010 – 2011

MễN TOÁN

Thời gian: 150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 5 /4/2011

Câu Điểm

1

Giải phương trình 2x 6 3 x  5 x 3 (1)

Điều kiện x 5

Khi đó (1)  2 6 x x  3 3 x 5  2 6 x  x  3 3 x 5 48 8  x

6 x  x 3 3 x 5 4 6 x

3 3 5 4 (2)

x

 



 

 thỏa mãn điều kiện

 1  x 6

(2)  3 x 3 x 5  29 5  x

2

29

2

x x

x

x



 



Kết luận: Nghiệm của phương trình 6, 17 3 5

2

Câu

I

2

2 Các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2b 5c 0 Chứng minh

phương trình 2 (1) có nghiệm

0

ax bx c

- Trường hợp 1: a 0 suy ra 2b 5c 0

PT (1) trở thành bx c  0(2)

+ Nếu b   0 c 0: PT (2) có nghiệm (vô định)

+ Nếu b 0 PT (2) có nghiệm (duy nhất)

- Trường hợp 2: a 0

2

 2

   2 2

Vậy Pt (1) luôn có nghiệm

Câu II

Giải hệ phương trình 4 2 42 22 20 (1)

8 3 4 0 (2)





TH1 x   0 y 0 suy ra 0 là nghiệm của hệ

0

x y





 



TH2 x 0 Chia hai vế của (1) cho , (2) cho x x2

2

2

2

0, 8 2

4 1

2

12 3

y

x y

x y

x







 

     



     



Suy ra  2 1(loại)

4

y  y    y y

Với y 1 ta có x 2 3 x 1 x 2

x

     

Kết luận: Hệ có 3 nghiệm      0; 0 ; 1;1 ; 2;1

Câu

III.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy,cho điểm A  1;3 , B   5; 3 Xác định tọa độ điểm M trên đường thẳng d x:  2y  1 0 sao cho

nhỏ nhất

2MA MB 

Gọi I x y 0 ; 0 là điểm thỏa mãn 2IA IB   0

 00 00 00

2





 

VậyI 1;1Ta có

2MA MB   2MI IAMI IB  3MI 2 IA IB  3MI  3MI

Như vậy2MA MB  nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất Suy ra M là hình chiếu của I trên d

Phương trình tham số của d x 2t 1 Gọi tọa độ

 



 M2t0  1;t0

Suy ra IM 2 ;t t0 0  1 Ta có 0 2.20 0 1 0 0 1

5

d

IM u   t     t t

 

Vậy 3 1

;

5 5

2 2 2 cot

4

A

s

 

4

B

s

 

4

C

s

 



2

 

cot cot cot

2 2 2

5b a c

Ta có:

d A

B

I

M

2 2 2 2 2 2

; C

Suy ra 2 2 4 2 2 2 2 Suy ra Vậy góc giữa

và CC1bằng 0

90

2

2

cos

B

60

Dấu = xảy ra khi tam giác ABC đều

Cho a b c, , là các số dương thỏa mãn 12 12 12 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

5a  2ab 2b  2a b  a b  2a b

5a 2ab 2b a b a b

9

5b 2bc 2c b c

   

5c 2ca 2a c a c a

Cộng theo vế của (1),(2) và (3) suy ra 1 1 1 1

3

P

    

Mặt khác 12 12 12 1 1 1 1 2

3

      

2

         

G

A1

C1

Suy ra 3

3

Dấu = xảy ra khi a  b c 3