Giáo án Hình học CB 10 Chương 2 Bài 3: Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Mục tiêu - Học sinh nắm được định lí côsin và định lí sin trong tam giác và biết vận dụng các định lí này để tính cạnh hoặc góc của tam giác trong các bài toán cụ thể - Học sinh biết sử [r]

Trang 1

Tiết 23, 24, 25 Bài 3: CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG

Ngày soạn 15/12/2006 TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Ngày dạy 04, 13, 20/01/2007

I Mục tiêu

- Hiểu được định lí cosin, định lí sin, công thức tính độ dài đường trung tuyến trong một tam giác

- Biết đựơc các công thức tính diện tích tam giác

- Biết một số trường hợp giải tam giác

- Áp dụng được định lí cosin, định lí sin, công thức tính độ dài trung tuyến, công thức tính diện tích tam giác để giải một số bài toán có liên quan đến tam giác

- Biết vận dụng kiến thức tam giác vào việc giải các bài toán thực tiễn Kết hợp với việc

sử dụng máy tính khi giải

II Phương pháp

Đàm thoại, gợi mở phát huy tính tích cực của học sinh

III Chuẩn bị phương tiện dạy học

GV: Chuẩn bị một số kiến thức ở lớp dưới để đặt câu hỏi

Chuẩn bị một số hình sẵn vào bảng phụ

HS: Chuẩn bị tốt công cụ để vẽ hình

IV Nội dung:

1 Ổn định lớp: kiểm tra sĩ số

2 Kiểm tra bài cũ:

Câu hỏi:

- Định nghĩa và tính chất của tích vô hướng của hai vectơ

- Nêu công thức tính góc của hai vectơ

- Nêu công thức tính khoảng cách giữa hai điểm

- Nêu biểu thức toạ độ của hai vectơ

3 Bài mới

HĐ1: Tam giác ABC

vuông tại A có đường

cao AH = h và có AB =

a, CA = b, AB = c Gọi

BH = c’ và CH = b’

(h.2.11) Hãy điền vào

các ô trống trong các hệ

thức sau đây để được

các hệ thức lượng trong

tam giác vuông:

GV: Treo hình 2.11 để

thực hiện thao tác này

a2 b2

b2   a

c2  a

h2  b,

ah b  

Hình 2.11 Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Định lí Pytago

a2 b2c2

Gợi ý trả lời câu hỏi 2

b2  a b,

c2  a c,

h2 b c, ,

ah b c 

12 12 12

h  b c

1 Định lí côsin

a/ Bài toán Trong tam giác

ABC cho biết 2 cạnh AB, AC và góc A, hãy tính cạnh BC (hình 2.12)

Giải

Ta có:

2

  



2

BC AC AB 2 AC AB cos A 

Vậy ta có:

BC2 AC2AB22AC.AB.cos A nên BC =

AC2AB22AC.AB.cos A

A

C B

H

c

b’

a’

Trang 2

1 12 12

 

sin B cos C ;

a

sin C cos B

a

tan B cot C ;

c

cot B tan C

b

Câu hỏi 1

Áp dụng định lí nào để

điền a2 b2

Câu hỏi 2

Hãy điền các chỗ trống

còn lại

HĐ2: Hãy phát biểu định

lí côsin bằng lời

GV cho học sinh phát

biểu thành lời định lí trên

và kết luận:

HĐ3: Khi ABC là tam

giác vuông, định lí côsin

trở thành định lí quen

thuộc nào ?

Câu hỏi 1

Giả sử tam giác ABC

vuông tại A và có các

cạnh tương ứng là

a,b,c, Hãy viết biểu

thức liên hệ giữa các

cạnh theo định lí côsin

HĐ4 Cho tam giác ABC

có a = 7 cm, b = 8 cm,

và c = 6 cm Hãy tính độ

dài đường trung tuyến

ma của ABC đã cho

Câu hỏi 1

Hãy áp dụng công

thức tính ma

HĐ5: Cho ABC vuông

ở A nội tiếp đường tròn

bán kính R và có BC =

a, CA = b, AB = c

b sin B cos C ;

a c sin C cos B

a

b tan B cot C ;

c c cos B tan C

b

Trong một tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng các cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh

đó và côsin của góc xen giữa hai cạnh đó

Hình 2 13

a2 b2c cos A b2  2c2

Đây là định lí Pytago

2 a

2(b c ) a m

4

= 2(49 64) 36 95



Ta có sinAsin 900 1

BC = 2R Gợi ý trả lời câu hỏi 3

sin A 

b sin B

2R

2R sin A sin Bsin C 

b/ Định lí côsin

Trong tam giác ABC bất kì với

BC a,CA b, AB c  

Hệ quả

cos A

2bc

 



cos B

2ac

 



cos C

2ab



c/ Áp dụng: Tính độ dài đường

trung tuyến của tam giác

Cho tam giác ABC có các cạnh

BC = a, CA = b, AB = c Gọi ma,

mb và mc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác, ta có:

2 c

2(b c ) a m

4



2 b

m

4



2 c

m

4



d/ Ví dụ: Cho tam giác ABC có

các cạnh AC = 10 cm, BC = 16

cm và góc C 110A 0 Tính cạnh AB và các góc A, B của tam giác đó

Giải Đặt AB = a, CA = b, AB = c

Theo định lí côsin ta có:

c2 a2b22ab cos C = 1621022.16.10.cos1100

c2 465, 44 Vậy c 465, 44 21,6(cm) Theo định lí hệ quả côsin ta có:

A

c

Trang 3

Chứng minh hệ thức

2R sin A sin Bsin C

Câu hỏi 1

Hãy tính sinA

Câu hỏi 2

BC bằng bao nhiêu?

Câu hỏi 3

Tỉ số a bằng bao

sin A

nhiêu ?

Câu hỏi 4

b bằng bao nhiêu?

sin B

Câu hỏi 5

Hãy kết luận

HĐ6: Cho ABC có

cạnh bằng a Hãy tính

bán kính đường tròn

ngoại tiếp tam giác đó

Câu hỏi 1

Hãy tính sinA

Câu hỏi 2

BC bằng bao nhiêu?

Câu hỏi 3

Tỉ số a bằng bao

sin A

nhiêu?

Câu hỏi 4

Hãy tính R

HĐ7: Hãy viết các công

thức tính diện tích tam

giác theo một cạnh và

đường cao tương ứng

Câu hỏi 1

Hãy viết các công

giác theo BC và ha

Câu hỏi 2

giác theo AC và hb

Câu hỏi 3

giác theo AB và hc

Ta có

sin 60

2

BC = a Gợi ý trả lời câu hỏi 3

a 2R

sin A 

3 3

1AC.hb 1b.hb

1AB.hc 1c.hc

Chứng minh CT (1) Hình 2.18

Ta biết S 1aha với

2

 a

h AH ACsin C bsin C  (kể cả C nhọn tù hay vuông)

Do đó S 1absin C

2



a 1sin A 4R  2

Gợi ý trả lời câu hỏi 2 S=1bcsin A abc

S S A0BSB0CSA0C

cos A

2bc

10 (21,6) 16 2.10.(21,6)

 





0,7188 Suy ra

A 44 2; B 180  (A C) 25 58 

2 Định lí sin a/ Định lí sin

Trong ABC bất kì với BC =

a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có:

2R sin A sin Bsin C

b/ Ví dụ Cho tam giác ABC

có B 20 ,C 31A 0 A 0 và có cạnh b =

210 cm Tính A, các cạnh còn lại

và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Giải

Ta có A 180A  0(20031 ),0 do đó

AA 129 (h.2.17). 0

Mặt khác theo định lí sin ta có:

sin A sin Bsin C 

Từ (1) suy ra a =

0 0

bsin A 210.sin129

477, 2(cm)

b = bsin C 210sin 310 0 316, 2(cm) sin B  sin 20 

R =

a 477, 2 0 307,02(cm) 2sin A 2.sin129 

3 Công thức tính diện tích tam giác

Ta kí hiệu ha, hb và hc là các đường cao của tam giác ABC lần lược vẽ từ các đỉnh A, B, C và S

là diện tích tam giác đó Cho tam giác ABC bất kì với

BC = a, CA = b, AB = c

O

C

A

B

r

Trang 4

HĐ8: Dựa vào công

thức (1) và định lí sin

chứng minh S abc

4R



Câu hỏi 1

Theo định lí sin ta có

bằng bao nhiêu ?

a

4R

Câu hỏi 2

So sánh 1bcsin A và

2

abc

4R

HĐ9: Chứng minh công

thức S = p.r

Câu hỏi 1

So sánh S và

S S S

Câu hỏi 2

Hãy kết luận bài toán

Câu hỏi 3

Có thể tính diện tích

tam giác ABC theo cách

khác được không ?

Câu hỏi 4

Hãy tính r

Ví dụ 2 Tam giác ABC

có các cạnh a 2 3 ,

cạnh b = 2 và C 30A 0

Tính cạnh c, góc A và

diện tích tam giác đó

Giải tam giác là tìm

một số yếu tố của tam

giác khi cho biết các yếu

tố khác

Muốn giải tam giác ta

thường sử dụng các hệ

thức đã được nêu lên

trong định lí côsin, định

lí sin và các công thức

tính diện tích tam giác

S = pr Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Dựa vào định lí côsin có thể tính được cosA, từ đó suy ra sinA và áp dụng công thức diện tích

Gợi ý trả lời câu hỏi 4 Dựa vào: S = pr

VD2: Theo định lí côsin ta

có

3

2

Vậy c = 2 và tam giác ABC có AB = 4, AC = 2

Ta suy ra AB C 30 A 0

Do đó AA 120 0

Ta có:

1

S ca sin B 2



b/ Ứng dụng vào việc đo

đạc Chẳng hạn ta đo được

AB =24m,A

A

0 0

  

   Khi đó chiều cao h của tháp được tính như sau:

Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD ta có:

AD AB

sin sin D



Ta có    DA nên

D    63 48 15

Do đó

Gọi R và r lần lược là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác và p a b c là nửa

2

 



chu vi của tam giác

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau:

1

ca sin B (1) 2



abc

4R

S p(p a)(p b)(p c) (4)



(công thức Hê - rông)

Ví dụ 1 Tam giác ABC có các

cạnh a = 13m, b =14 m, c = 15 m a/ Tính diện tích tam giác ABC b/ Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC

Giải

a/ Ta có p 1(13 14 15) 21

2

Theo công thức Hê - rông ta có:

2

S 21(21 13)(21 14)(21 15) 84(m )



b/ Áp dụng CT: S = pr ta có

r S 84 4

R abc 13.14.15 8,125(m)

4 Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Ví dụ 1 Cho ABC biết cạnh a =

17,4 m, B 44 30A  0 ,và C 64A  0 Tính góc và các cạnh b, cAA

Giải

Ta có:

0

180 (44 30 64 ) 71 30'

Trang 5

Bài toán Đo chiều cao

của một cái tháp mà

không thể đến được

chân tháp Giả sử CD =

h là chiều cao của tháp

trong đó C là chân tháp

Chọn hai điểm A,B trên

mặt đất sao cho ba điểm

A, B và C thẳng hàng

Ta đo khoảng cách AB

và các góc CAD,CBD.A A

0 0

ABsin AD

24sin 48

sin15





  

Trong tam giác vuông ACD ta có:

h CD ADsin   61, 4(m)

Theo định lí sin ta có:

sin A sin Bsin C

Do đó:

a sin B 17, 4.0,7009

a sin C 17, 4.0,8988

4 Củng cố:

Cho học sinh làm mốt số câu hỏi trắc nghiệm sau

1 Tam giác ABC có A = 600, AC = 1, AB = 2 cạnh BC bằng

a 3 b 3 3 c -3 d Chọn a

2

3 3 2



2 Tam giác ABC có các góc B = 600, C = 450, tỉ số AB bằng

AC

a 2 b 2 c 6 d 6 Chọn c

3 Tam giác ABC có tổng hai góc ở đỉnh B và C bằng 900 và độ dài cạnh BC bằng a Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

a.a 2 b.a 2 c.a 3 d.a 3 Chọn d

4 Tam giác ABC có AB = 6, BC = 10, CA = 12 Gọi M trung điểm BC, và N là trung điểm AM Khi đó AM bằng

a 130 b 145 c 120 d 140 Chọn b

5 Tam giác có ba cạnh lần lượt là 5, 12, 13 thì có diện tích bằng

a.3 7 b.4 7 c.5 7 d.6 7 Chọn d

5 Dặn dò:

Học thuộc công thức và làm bài tập SGK trang 59

Trang 6

Tiết 26 BÀI TẬP CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG

Ngày soạn 02 / 01 / 2007 TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Ngày dạy 22/01/2007

I Mục tiêu

- Học sinh nắm được định lí côsin và định lí sin trong tam giác và biết vận dụng các định lí này để tính cạnh hoặc góc của tam giác trong các bài toán cụ thể

- Học sinh biết sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến theo ba cạnh của tam giác và các công thức tính diện tam giác

- Học sinh biết giải tam giác và biết thực hành Đo đạc trong thức tế

II Phương pháp

Gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm.

III Đồ dùng dạy học

Bảng tóm tắt công thức, thước kẻ, máy tính

IV Nội dung:

1 Ổn định lớp: kiểm tra sĩ số

2 Kiểm tra bài cũ

Câu hỏi:

Viết công thức định lí côsin và định lí sin

AD: Cho tam giác ABC có BC = 5 , AC = 8, C 60 A  0 Tính cạnh AB

3 Bài mới

Hoạt động của thầy Hoạt động của trò Nội dung

Bài 1:

Cho tam giác ABC

vuông tại A, B 58 A  0 và

cạnh a = 72 cm Tính C A

, cạnh b, c và đường

cao ha

+ Hãy cho biết góc C

bằng bao nhiêu độ ?

+ Sử dụng công thức

nào để tính cạnh b, c

+ Học sinh nhắc lại

công thức tính đường

cao trong tam giác

vuông ?

Bài 2: Cho ABC biết

các cạnh a = 52,1 cm, b

= 85 cm , c = 54 cm

Tính các góc A, B, C A A A

+ Sử dụng định lí nào

để tính ba góc của tam

giác ?

+ Không sử dụng định

lí côsin làm cách nào để

biết số đo của góc C ?

Ta có B C 90 A   A 0

  C 90 A 0  580  320

+ Do tam giác ABC vuông

sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để tính

+ a b.c

h a



+ Sử dụng công thức định lí côsin để tính ba góc trong tam giác khi biết độ dài của

ba cạnh

+ Học sinh lần lượt đọc công tính tính cosA, cosB và thay

số vào tính, đọc kết quả + C 180 A  0  (A B) A  A

Bài 1:

C 90 A  0  580  320

sin B b a.SinB

a

  

b = 72 sin580 61,06 (cm) c= a.sinC = 72 sin320

 38,15 (cm)

a b.c

a

Bài 2:

Theo định lí côsin

A

0

2bc

A 36

 

 

A

0

2ac

B 106 28'

 

 

A

C B

Trang 7

4 Củng cố:

Học sinh trả lời các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

Chọn đáp án đúng cho các câu sau đây:

1 Tam giác ABC có A = 600 , Ac = 10, AB = 6 Cạnh BC là

(A) 76 (B) 2 19 (Đ) (C) 14 (D).6 2

2 Tam giác ABC có B 30 ,C 45 A  0 A  0, AB = 3 Cạnh AC là

(A) 3 6 (B) (Đ) (C) (D)

2

3 2

2 6 3

3 Diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt 5, 12, 13 là

(A) 60 (B) 34 (C) 30 (Đ) (D).7 5

4 Tam giác ABC có AB = 1, AC = 3, A = 300 Diện tích tam giác là

(A) 39 (Đ) (B) 78 (C) 39 3 (D).78 3

5 Dặn dò:

Ôn lại các công thức và làm bài tập ôn chương II

Bài 3:

Cho tam giác ABC có

, cạnh b = 8

A 120 

cm, c = 5 cm

Tính cạnh a, B,C A A

+ Để tính cạnh a, sử B A

dụng công thức nào ?

Bài 4:

Tính diện tích S của

tam giác có số đo các

cạnh lần lượt là 7, 9, 12

Theo giả thiết đề bài,

hãy cho biết dùng công

thức nào để tính diện

tích tam giác ?

+ GV hướng dẫn học

sinh tìm p, thay vào

công thức

Bài 8:

Cho tam giác ABC biết

cạnh a = 137,5 cm,

.Tính

góc A, bán kính R của

đtròn ngoại tiếp, cạnh b

và c của tam giác

+ Gọi hs tính góc A

+ Dùng công thức nào

để tính bán kính R?

+ Sử dụng đính lí côsin

cos B

2ac

 



+ Sử dụng công thức

Hê – rông

p

2

 



A 180 A  0  (B C) A  A

+ Sử dụng định lí sin, công thức tính diện tích

2R sin A sin B sin C

a.b.c a.b.c

C 180 A   (A B) 37 32' A  A 

Bài 3:

2

  a 11,36 cm

2.11,36.5

 

  B 37 48' A 0

C 180 A  0  (A B) 22 12' A  A  0

Bài 4:

P = 14

31,3 (dvdt)



Bài 8:

A 180 A  0  (B C) 40 A  A  0

sin A 0,6429

b = 2R sinB = 2Rsin830

212,31 cm

c = 2R sinC = 2R sin570

 179,40 cm

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	232,51 KB