I.Mục tiêu: Về kiến thức: Học sinh nắm được: -Định lý côsin, định lý sin trong tam giác và các hệ quả -Các công thức tính độ dài trung tuyến và diện tích tam giác Về kỹ năng: Học sinh vậ[r]
Trang 1I Mục tiêu:
Về kiến thức:
Học sinh nắm được định nghĩa giá trị lượng giác của các góc tuỳ ý từ 00 đến 1800
Về kỹ năng:
Học sinh biết vận dụng tính chất: Hai góc bù nhau thì sin bằng nhau, còn côsin, tang và côtang của chúng đối nhau
II Phương pháp dạy học:
Giúp học sinh chủ động ôn lại kiến thức cũ ở lớp 9, đồng thời mở rộng trong trường hợp tổng quát
III Chuẩn bị:
- Học sinh ôn lại về các tỉ số lượng giác của một góc nhọn
- Giáo viên chuẩn bị thước kẻ,compa và bảng các giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
IV Tiến trình bài học:
Tiết 15 : Hoạt động 1: Ôn lại các tỉ số lượng giác của một góc nhọn
Hãy nhắc lại định nghĩa các tỉ số lượng
giác của góc : sin , cos , tan , cot
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, nửa đường
tròn tâm O nằm phía trên trục hoành bán
kính R=1 được gọi là nửa đường tròn đơn
thì ta có thể xác định một điểm M duy nhất
trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
xOM x y o; o
:
sin ,cos , tan o ,cot o
AB AC
- Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên
Ox và Oy
sin cos tan cot
o
o o o o o
y
OH
x OM
y MH
OH x
x OH
MH y
Hoạt động 2: Mở rộng định nghĩa giá trị lượng giác cho góc bất kì ( 0 0 ≤ ≤ 180 0 )
15-16
§1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ (TỪ 00 ĐẾN 1800)
2 TIẾT
Trang 2Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
- Định nghĩa: (SGK)
- VD1: Tìm các giá trị lượng giác của góc
1350
- Gọi H và K là hình chiếu của M trên Ox,
Oy OHMK là hình gì? cạnh = ? Suy ra toạ
độ của M?
- Dựa vào định nghĩa, tìm các giá trị lượng
giác của góc 135o?
- Tương tự đối với các góc 00, 1800, 900?
* Chú ý: Xem Ox là tia gốc, vẽ góc
theo chiều ngược kim đồng hồ,
xOM
xác định toạ độ M, từ đó suy ra các giá trị
lượng giác của góc
- Khi M nằm trên nửa đường tròn đơn vị thì
tung độ y có giá trị như thế nào?hoành độ x <
0 khi M ở đâu?x > 0 khi M?
- Vậy sin < 0 khi nào? cos < 0 khi nào?có
thể xét dấu tan, cot dựa vào?
- OHMK là hình vuông đường chéo =1, suy
2
;
y ≥ 0 x < 0 khi M nằm trên phần tư thứ 2 x
> 0 khi M nằm trên phần tư thứ 1 sin luôn ≥ 0 cos < 0 khi là góc tù
Dấu của tan, cot dựa vào dấu của cos
Hoạt động 3: Quy tắc tìm giá trị lượng giác của các góc tù bằng cách đưa về giá trị lượng giác
của góc nhọn
- Tìm mối liên hệ của hai góc và ’?
- Giả sử M(x;y), suy ra toạ độ của M’?
- So sánh các giá trị lượng giác của và
’?
- Tính chất hai góc bù nhau: (SGK)
- VD2: Tìm các giá trị lượng giác của góc
1500
M’(-x;y) sin ’=sin , cos ’=-cos , tan ’=-tan ,
cot ’=cot 150 0 bù với 300 nên : Sin1500=sin300 = , cos1501 0=-cos300=- ,
2
3 2
tan1500=-tan300 = 3,
3
cot1500= – cot300 = – 3
Hoạt động 4: Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt (SGK)
Hoạt dộng 5: Củng cố:
- Định nghĩa các tỉ số lượng giác
- BTVN: 1,2,3 SGK/43
LUYỆN TẬP
(Tiết 16)
Trang 3-Kiểm tra bài cũ: +Vẽ bảng các giá trị
lượng giác của các góc đặc biệt ≤ 900
+Nêu quy tắc 2 góc bù nhau
-Bài 1 và 2a sử dụng quy tắc 2 góc bù
nhau để đưa các góc tù về góc nhọn, sau
đó thay các giá trị lượng giác của các góc
nhọn đặc biệt mà các em đã học thuộc
-Bài 2b sử dụng quy tắc 2 góc bù nhau và
định nghĩa tan, cot để rút gọn biểu thức
-Bài 3a: Quay lại H.32 SGK, có thể thay
= bình phương độ dài đoạn nào?
2
sin
?
2
cos
MH2 + OH2 = ?
Bài 3b: Điều kiện 900để cos ?
Như vậy từ bài 3a ta có thể làm như thế
nào để có được đẳng thức ở bài 3b?
Bài 3c: Tương tự điều kiện 00 < <180 0
cho biết ≠ ? để làm gì?
*Chú ý: Các công thức ở bài 3 cho phép
sử dụng từ đây về sau, học sinh phải học
thuộc 3 công thức cơ bản này
-2 học sinh lên bảng trình bày
1 ) cos135 cos 45 , t an150 tan 30 cos180 cos 0
Suy ra biểu thức đã cho =
0
(2sin 30 cos 45 3tan 30 )( cos 0 cot 60 )
(2 3 )( 1 )
(1 3)(1 )
1b)
2 0 2 0 2 0 2 0 2 0
sin 90 cos 60 cos 0 tan 60 cot 45
1 1 3 1
2a)
0
sin 80 sin 80 cos16 cos16 2sin 80
2b)
2sin cot cos tan cot
cos sin cos 2sin cos
sin cos sin 2cos cos 3cos
2 2 2
1
để cos ≠ 0 Ta có thể chia hai vế đẳng
0
90
thức ở bài 3a cho cos2
2 2
2
2
sin cos 1 cos cos cos
1 tan 1
cos
≠ 00 và ≠ 1800 Vậy sin ≠ 0 Ta chia 2
vế đẳng thức ở bài 3a cho sin2
2 2
2
2
sin cos 1 sin sin sin
1
1 cot
sin
Trang 4I Mục đích – yêu cầu:
Về kiến thức: Học sinh hiểu dược:
- Khái niệm góc giữa hai vectơ
- Các tính chất của tích vô hướng
- Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
- Công thức hình chiếu
Về kĩ năng: Học sinh:
- Xác định được góc giữa 2 vectơ; tích vô hướng của hai vectơ
- Tính được độ dài vectơ và khoảng cách giữa 2 điểm
- Vận dụng được các tính chất của tích vô hướng, đặc biệt là a b a b 0
- Vận dụng được công thức hình chiếu và biểu thức toạ dộ của tích vô hướng vào giải bài tập
II Phương pháp dạy học:
Chủ yếu sử dụng phương pháp suy diễn giáo viên đưa ra kiến thức , phân tích, và hướng dẫn học sinh áp dụng vào thực tiễn
III Chuẩn bị:
Giáo viên chuẩn bị thước kẻ và bảng tính chất của tích vô hướng, các hệ thức quan trọng
về biểu thức toạ độ của tích vô hướng
IV Tiến trình bài học:
Tiết 17 Hoạt động 1: Xác định góc giữa 2 vectơ
- Định nghĩa góc giữa 2 vectơ: (SGK)
- Khi nào thì góc giữa 2 vetơ = 00? 1800?
Hoạt động 1:
-Theo định nghĩa SGK việc chọn điểm O để từ
đó dựng 2 vectơ bằng 2 vectơ đã cho là rất
quan trọng Ví dụ
*BA BC , ta chọn điểm B làm gốc, dễ dàng
* AB BC, ta cũng chọn điểm B làm gốc,
nhưng phải dựng thêm BA'AB để có AABC
sai lầm các em thường mắc phải
- Góc giữa 2 vectơ = 00 khi 2 vectơ cùng
=
BA BC , ABC 500
=
AB BC, A'BC 1300
0 40 )
; (CA CB ACB
-Chọn C làm điểm gốc, dựng
ta có
,
CE AC CF BC
0 40 )
; (AC BC ECF
0 140 )
; (AC CB ECB
- Chọn A làm điểm gốc, dựng AD BA,
ta có
0 90 )
; ( )
; (AC BA AC AD DCA
16-17-18
3 TIẾT
Trang 5Hoạt động 2: Định nghĩa tích vô hướng của 2 vectơ
- GV phân tích lại VD vật lý về công A
sinh bởi lực làm cho vật di chuyển F
từ điểm O đến điểm O’ Trong toán học
thì A được gọi là tích vô hướng của hai
vectơ và F OO'
- Vậy các em có thể rút ra định nghĩa
thế nào là tích vô hướng của 2 vectơ a
và ?b
- Như vậy để tìm tích vô hướng a b . ta
cần những yếu tố gì?
- VD1: Nếu 2 vectơ đã có cùng điểm
gốc, dễ dàng xác định điểm đầu, ta áp
dụng ngay công thức Nếu không, ta
xác định rõ góc giữa 2 vectơ sau đó
mới áp dụng công thức
- Nhận xét GA và BC có quan hệ với
nhau như thế nào?
GA BC , ? GA BC ?
- Tổng quát, khi nào thì a b 0?
- Bình phương vô hướng: (SGK)
.cos( , )
a b a b a b
-Cần có a b , và a b ,
2 0
2
1 60 cos ˆ
cos
2 0
2 0
2
1 30 cos 2
3 3
2 ˆ cos
2
1 120
cos
a a
B A G AB AG AB AG
a a
a CB AC
2 0
2
6
1 120
cos ) 2
3 3
2 ( ˆ cos
Dựng GB' BG
2 0
2
6
1 60 cos 3
1 ˆ ' cos
nên
GABC 0
0
GA BC
GA BC
vậy a b a b 0
Hoạt động 3: Củng cố
- Để xác định góc giữa 2 vectơ, cần qui về 2 vectơ có cùng điểm đầu
- Định nghĩa tích vô hướng 2 vectơ
- Tính chất đặc biệt về tích vô hướng của 2 vectơ vuông góc với nhau
- Bình phương vô hướng
- Về nhà Hs xem trước phần chứng minh các bài toán 1, 2, 3 trong SGK
Tiết 18 Hoạt động 1: Tính chất của tích vô hướng
Trang 6- Quan sát cách chứng minh hệ thức 3
trong SGK, các em hãy chứng minh hệ
thức 1 và 2 bằng cách xem
và áp dụng tính
.
a b a b a b
chất phân phối
a b a b
không? Lưu ý phép nhân vectơ không
có tính chất kết hợp
- Phải sửa như nào mới đúng?
Bài toán 1 (SGK):
a) Ta sẽ chuyển các độ dài qua vế trái
và biến đổi thành vế phải, bằng cách
-B2 để phân tích ra thừa số Lưu ý xem
2
AB AB
b) Nhắc lại cách chứng minh 2 đường
thẳng vuông góc với nhau bằng cách
dùng tích vô hướng 2 vectơ
- Ở đây cần chứng minh hệ thức gì?
Lưu ý sử dụng lại đẳng thức vừa được
chứng minh ở câu a
Bài toán 2 (SGK):
- Đây là bài toán tìm quỹ tích Có điểm
nào cố định và điểm nào thay đổi?
- Định nghĩa lại đường tròn tâm O bán
kính R là tập hợp những điểm như thế
nào?
- Như vậy nếu ta gọi O là trung điểm
của AB thì O cũng là điểm cố định, ta
sẽ chèn O vào đẳng thức đã cho, biến
đổi để được đẳng thức có dạng MO= R
là 1 số không đổi
a b a a b b a a b b
a b a a b b a a b b
2
.cos , cos ,
-Có thể sửa lại là:
2
.cos ,
Đẳng thức tương đương:
2 2 2 2 2
AB CD BC AD CA BD
Vế trái =
2 2 2 2
2 2
DB AB AD CD BC
DB AC AC
DB AC BD
.CA
0
a b a b
2 2 2 2
-A, B là những điểm cố định và M là điểm thay đổi
-Đường tròn tâm O bán kính R là tập hợp những điểm cách O một đoạn = R
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
Vậy quỹ tích diểm M là đường tròn tâm O, bán kính R = a2k2
Hoạt động 2: Công thức hình chiếu, phương tích của 1 điểm đối với đường tròn
Bài toán 3 (SGK): yêu cầu HS xem phần
Trang 7chứng minh trong SGK, GV giải thích 1 số
chỗ
-Trong tam giác vuông OBB’, cosA ˆ O B= ?
Thay vào và rút gọn ta sẽ có dòng thứ 2
thức không đổi
OA OB , '?
Nên dòng thứ 3 ta có thể viết thành:
'.cos , '
OA OB OA OB
Trường hợp A Oˆ B 900:
B
O
A ˆ B ˆ'O B
nào? Cos của chúng như thế nào?
Tương tự ở trên cosB ˆ'O B= ?
cos góc này=?
OA OB , '?
*Tổng quát: tích a b . bằng tích của với a b'
là hình chiếu của trên giá của b a
Bài toán 4 (SGK):
-Coi đường thẳng MB là giá, MA là hình
chiếu của vectơ của vectơ nào?
Áp dụng công thức hình chiếu ta có thể
thayMA MB ?.MB
*lưu ý: Phương tích của 1 điểm đối với
đường tròn có thể tính được bằng 3 công
thức Có thể dựa vào đó để tính tích vô
hướng, khoảng cách từ 1 điểm đến tâm
đường tròn, bán kính
OB
OB B O
cos
OA OB , '00
B O
A ˆ B ˆ'O B
chúng đối nhau cosB ˆ'O B = OB'
OB
0
OA OB
HS coi phần chứng minh trong SGK
MA MB MC MB
Hoạt động 3 : Biểu thức toạ độ của tích vô hướng
H1 (SGK):
a) Áp dụng công thức bình phương vô
hướng i ?
- Quan hệ giữa 2 vectơ và ? Suy ra i j
được điều gì?
b) Áp dụng định nghĩa toạ độ của vectơ
cho và ?thay vào a b a b ?
c) Suy ra a ?tương tự b ?
2
2
1 1
i i
a x i y j b x i y j
a b x i y j x i y j
x x i x y j i x y i j y y j
x x y y
Trang 8d) Quay lại công thức tích vô hướng
a b a b
khi a b cos , a b ?khi đó vế phải
xảy ra điều gì?
* Lưu ý: Đây là cách chứng minh 2 vectơ
vuông góc bằng phương pháp toạ độ rất
đơn giản
H5 (SGK): Áp dụng các công thức vừa
được chứng minh ở trên
HỆ QUẢ:
-Nhắc lại công thức toạ độ của AB?
-Suy ra AB ?
VD2 (SGK51):
a) Phân tích giả thiết:
P cách đều M và N suy ra
?
P Ox
điều gì?
b) Góc MON là góc giữa 2 vectơ
nào?Tính toạ độ 2 vectơ đó và áp
dụng công thức góc giữa 2 vectơ
2
2 2
a x i y j x i y j x i y j
Suy ra : a x2 y2;b x'2 y'2
2 2 2 2
a b
a b
x x y y
' ' 0
x x y y
a)
1 2
m
b)
2 2
2 2 2
2 2
a
B A; B A
AB x x y y
2 2
B A B A
0
P
P Ox y
2 2 2 2
3
;0 4
P
34
3 ˆ
cos
; (
ˆN OM ON M O N
O M Hoạt động 4: Củng cố
- Phương tích của điểm M đối với đường tròn tâm O
- Tính tích vô hướng bằng công thức toạ độ
- Độ dài của đoạn thẳng
- Góc giữa 2 vectơ tính bằng toạ độ
- BTVN: 4,5,6,10,13,14/sgk/52
Trang 9BÀI TẬP
(Tiết 19)
BÀI 4:
-Nhắc lại công thức a b . ?
-Suy ra a b . > 0 khi nào? < 0 khi
nào?
-Nhắc lại về dấu của cos?
=0 khi nào?
.
a b
BÀI 5:
-Dựng AB BC, ?
-So sánh B BCA ' và AABC ?
-Thay các kết quả đã có vào tổng
cần tính
BÀI 6:
a) -Tương tự ở bài 5, hãy cho
biết số đo các góc sau:
AB BC, , BA BC, , AC CB,
Sau đó thay vào để tính giá trị của
biểu thức
b)Tương tự
AB AC, , BC BA , , CA BA , ?
BÀI 7:
- Vì các vectơ này chưa thể rút gọn
nên ta sẽ chèn điểm O bất kì vào tất
cả để có các vectơ cùng điểm đầu
- Giả sử ∆ABC có 2 đường cao xuất
phát từ A và B cắt nhau tại D, ta
chứng minh đường cao đi qua C
- Vậy AD có quan hệ gì với BC?
Suy raDA BC ?Tương tự
?
DB CA
.cos( , )
a b a b a b
> 0 khi
.
a b cos , a b 0, 0khicos , a b 0
Cosx > 0 khi x là góc nhọn, < 0 khi x là góc tù
=0 khi
.
a b a b
Dựng BB'AB suy ra :
C B A C
B B BC BB BC
Tương tự :
B C A CA
C B A AB
0
360
)
; ( )
; ( )
; (AB BC BC CA CA AB
0
0 ˆ 150 180
)
; (AB BC B
0
30 ˆ )
; (BA BC B
0
0 ˆ 120 180
)
; (AC CB C
, cos , sin , tan
2 cos150 sin 30 tan 60
3 1
3
2 2
AC CB
AB BC BA BC
OC OD OB OA
OA OC OD OC OA OB OD OB
OB OA OD OA OB OC OD OC OC
0
OB OD OB OC OA OD OA
0
ADBCDA BC
Tương tự DB CA 0
Suy ra DC AB 0 DCAB.Vậy 3 đường cao trong tam giác đồng qui với nhau
-Ta chứng minh hệ thức:
.
DA BC
.
DB CA
0
DC AB
Trang 10- Thay kết quả này vào kết quả vừa
chứng minh?
- Vậy để chứng minh 3 đường cao
trong tam giác đồng qui ta chứng
minh hệ thức nào?
BÀI 8:
- Nếu ta coi AB2 BA2 BA2 và
chuyển nó vế trái thì ta có thể biến
đổi biểu thức đã cho như thế nào?
BÀI 9:
- Ta sẽ qui tất cả về các vectơ là
cạnh của tam giác, sử dụng tính chất
của đường trung tuyến, AD ?
BÀI 10:
- Vì ở đây có các góc nội tiếp nửa
đường tròn, là góc vuông, nên ta có
thể sử dụng công thức hình chiếu để
chứng minh Lưu ý trong công thức
hình chiếu: a b a b ' thì được giữ a
nguyên ở 2 vế vì là giá của phép a
chiếu
- Ví dụ trong đẳng thức thứ nhất
thì vectơ nào là giá
AM AI AB AI
của phép chiếu ? vectơ nào là hình
chiếu của vectơ nào trên giá?
BÀI 11:
-Gọi (O) là đường tròn đi qua 3
điểm A, B, C và (O) cắt đường
thẳng CD tại 1 điểm khác, ngoài C,
là D’ Khi đó phương tích của điểm
M đối với (O) bằng ?
BÀI 12:
-Vế trái = MA2 –MB2=
.
.
BA MA MB
A, B là 2 điểm cố định nên trung
điểm của đoạn AB cũng là điểm cố
định Ta sử dụng tính chất của trung
điểm
-Ta biến đổi từ tích vô hướng của 2
vectơ này thành tích của 2 vectơ
cùng phương, bằng cách sử dụng
công thức hình chiếu Gọi H là hình
2 2
BA BC AB BA BC BA
Vậy tam giác ABC vuông tại A
BC AD CA BE AB CF
BC AB AC CA BA BC AB CA CB
BC AB BC AC CA BA CA BC AB CA AB CB
0 0
AB BC CB BC AC CA CA BA AB
AM
AB
AM AI AB AI
Tương tự BN là hình chiếu của BA trên đường thẳng
BI nênBN BI BA BI .
2 2
AM AI BN BI AB AI BA BI
AB AI BI AB AI IB
/( ) '
M O
P MA MB MC MD
Đối chiếu với giả thiết của đề bài suy ra MD MD'.
D’ trùng với D.Vậy A, B, C, D cùng nằm trên 1 đường tròn