h2 c Tính diện tích thiết diện tạo nên do mặt phẳng ACB’ cắt khối lăng trụ.ĐS: 1 cos2 2sin 10 Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp trong đường tròn đường kính AD; SD là đoạn thẳng[r]
Trang 1TÀI TRUNG THÔNG MÔN TOÁN
HÌNH
1 TÓM LÝ
A.QUAN SONG SONG
§1. ! VÀ # ! SONG SONG
I %&' &(')*:
+,&( -'.&( và 12- 3'.&(
(45 là song song /95 nhau &;:
chúng không có A5B1 nào
chung
a / /(P) a (P)
a
(P)
II.Các A%&' lý:
;: A+,&( -'.&( d
không &F1 trên mp(P) và song
song /95 A+,&( -'.&( a &F1
trên mp(P) thì A+,&( -'.&( d
song song /95 mp(P)
d (P)
d / /a d / /(P)
a (P)
d
a (P)
;: A+,&( -'.&( a song
song /95 mp(P) thì 145 mp(Q)
<'M* a mà <N- mp(P) thì <N-
theo giao -:P;& song song /95
a
a / /(P)
(P) (Q) d
d
a (Q)
(P)
;: hai 12- 3'.&( <N-
nhau cùng song song /95 1R-
A+,&( -'.&( thì giao -:P;&
<S* chúng song song /95
A+,&( -'.&( A@
(P) (Q) d (P) / /a d / /a (Q) / /a
a d
Q P
§2.HAI # ! SONG SONG
I %&' &(')*
Hai 12- 3'.&( A+T< (45 là
song song /95 nhau &;: chúng
không có A5B1 nào chung (P) / /(Q)(P) (Q)
Q P
Trang 2II.Các A%&' lý:
;: mp(P) <'M* hai
A+,&( -'.&( a, b <N- nhau và
cùng song song /95 12-
3'.&( (Q) thì (P) và (Q)
song song /95 nhau
a,b (P)
a / /(Q),b / /(Q)
I b a
Q P
;: 1R- A+,&( -'.&(
&F1 1R- trong hai 12- 3'.&(
song song thì song song /95
12- 3'.&( kia
(P) / /(Q)
a / /(Q)
a (P)
a
Q P
;: hai 12- 3'.&( (P)
và (Q) song song thì 145 12-
3'.&( (R) AX <N- (P) thì 3'Y5
<N- (Q) và các giao -:P;& <S*
chúng song song
(P) / /(Q) (R) (P) a a / / b (R) (Q) b
a R
Q P
B.QUAN VUÔNG GÓC
§1. ! VUÔNG GÓC "Z # ! I. %&' &(')*
R- A+,&( -'.&( A+T< (45 là
vuông góc /95 1R- 12- 3'.&(
&;: nó vuông góc /95 145
A+,&( -'.&( &F1 trên 12-
a
II Các A%&' lý:
;: A+,&( -'.&( d
vuông góc /95 hai A+,&(
-'.&( <N- nhau a và b cùng
&F1 trong mp(P) thì A+,&(
-'.&( d vuông góc /95 mp(P)
a, b caét nhau
d
a b P
Trang 3(Ba A+,&( vuông góc)
Cho A+,&( -'.&( a không
vuông góc /95 mp(P) và
A+,&( -'.&( b &F1 trong (P)
Khi A@V A5^: >5_& <`& và AS AB
b vuông góc /95 a là b vuông
góc /95 hình <'5;: a’ <S* a
trên (P)
a mp(P), b mp(P)
a'
a
b P
§2.HAI # ! VUÔNG GÓC I. %&' &(')*
Hai 12- 3'.&( A+T< (45 là vuông góc /95 nhau &;: góc (5b* chúng WF&( 900
II Các A%&' lý:
;: 1R- 12- 3'.&(
<'M* 1R- A+,&( -'.&(
vuông góc /95 1R- 12-
3'.&( khác thì hai 12-
3'.&( A@ vuông góc /95
nhau
mp(Q) mp(P)
Q
P a
;: hai 12- 3'.&( (P)
và (Q) vuông góc /95 nhau
thì We- <M A+,&( -'.&( a nào
&F1 trong (P), vuông góc
/95 giao -:P;& <S* (P) và (Q)
A^: vuông góc /95 12-
3'.&( (Q)
(P) (Q)
P a
;: hai 12- 3'.&( (P)
và (Q) vuông góc /95 nhau
và A là 1R- A5B1 trong (P)
thì A+,&( -'.&( a A5 qua
A5B1 A và vuông góc /95
(Q) 7g &F1 trong (P)
(P) (Q)
A (P)
a (P)
A a
a (Q)
A
Q
P a
! ;: hai 12- 3'.&( <N-
nhau và cùng vuông góc /95
12- 3'.&( -'M ba thì giao
-:P;& <S* chúng vuông góc
/95 12- 3'.&( -'M ba
(P) (Q) a
(Q) (R)
a
R
Q P
Trang 4§3.] i CÁCH
1 "#$%& cách )* 1 +,- )/, 1 +01%& )"2%&
, +4% 1 5) 6"2%& ]'8Y&( cách -j A5B1 M
A;& A+,&( -'.&( a I'82< A;& 12- 3'.&( (P))
là >'8Y&( <C<'(5b* hai A5B1 M và H, trong A@
H là hình <'5;: <S* A5B1 M trên A+,&( -'.&(
a ( '82< trên mp(P))
O
H O
P
2 "#$%& cách &,78 +01%& )"2%& và 5)
6"2%& song song: ]'8Y&( cách (5b* A+,&(
-'.&( a và mp(P) song song /95 a là >'8Y&(
cách -j 1R- A5B1 nào A@ <S* a A;& mp(P)
d(a;(P)) = OH
a
H O
P
3 "#$%& cách &,78 hai 5) 6"2%& song
song: là >'8Y&( cách -j 1R- A5B1 We- >m trên
12- 3'.&( này A;& 12- 3'.&( kia
d((P);(Q)) = OH
H O
Q P
4."#$%& cách &,78 hai +01%& )"2%& chéo
nhau: là AR dài A8n& vuông góc chung <S* hai
A+,&( -'.&( A@
d(a;b) = AB
B
A
b a
§4.GÓC
1 Góc (5b* hai A+,&( -'.&( a và b là góc (5b*
hai A+,&( -'.&( a’ và b’ cùng A5 qua 1R- A5B1
và 6`& 6+T- cùng 3'+o&( /95 a và b
b' b
a' a
2 Góc (5b* A+,&( -'.&( a không vuông góc
/95 12- 3'.&( (P) là góc (5b* a và hình <'5;:
a’ <S* nó trên mp(P)
2< W5_- ;: a vuông góc /95 12- 3'.&( (P)
thì ta nói GF&( góc (5b* A+,&( -'.&( a và
mp(P) là 900
a
Trang 53 Gĩc (5b* hai 12- 3'.&( là gĩc (5b* hai
A+,&( -'.&( 6`& 6+T- vuơng gĩc /95 hai 12-
3'.&( A@
b a
Q P
4 q5_& tích hình <'5;: 45 S là E5_& tích <S*
A* giác (H) trong mp(P) và S’ là E5_& tích hình
<'5;: (H’) <S* (H) trên mp(P’) thì
, trong A@ là gĩc (5b* hai 12-
3'.&( (P),(P’)
B A
S
C > TÍCH @ A B
1
V=Bh /95 B : diện tích đáy
h : chiều cao
a) 'B tích >'w5 'R3 <'b &'x- V=abc /95 a, b, c là ba kích -'+9<
b) 'B tích >'w5 6x3 3'+o&( V=a3/95 a là AR dài <n&'
2
V=1Bh /95 3
B : diện tích đáy
h : chiều cao
6`& 6+T- -':R< SA, SB, SC ta cĩ:
SABC
SA ' B' C '
V SA ' SB' SC'
3
/95
h
3
B, B' : diện tích hai đáy
h : chiều cao
D B TÍCH HÌNH TRỊN XOAY- > TÍCH A TRỊN XOAY:
1 Hình -G{|
2 trụ
R : bán kính đáy
S 2 Rl với
l : đườngsinh
R : bán kính đáy
V R h với
h : đường cao
R
Trang 62 Hình nĩn –
2 nón
R : bán kính đáy
S Rl với
l : đườngsinh
R : bán kính đáy 1
V R h với
3 h : đường cao
l h
R
3.Hình nĩn <{-
– ]'w5 nĩn <{- xq
2 2 nóncụt
S (R R ')l
1
3 R,R ' : bán kính 2 đáy với l : đườngsinh
h : đường cao
R'
R
4 2- <`: –
]'w5 <`:
2
3 cầu
S 4 R với R : bán kính mặt cầu
4
V R với R : bán kính khối cầu
3
R
2: CÁC VÍ qv
Ví IJ 1: Cho >'w5 chĩp -M giác A^: S.ABCD cĩ AB = a, gĩc (5b* 12- bên và 12- ACP WF&( 600 Tính -'B tích <S* >'w5 chĩp S.ABCD theo a
C3 án và W5B: A5B1 IAJ
I O
B A
S
Ta cĩ S.ABCD là >'w5 chĩp A^: và AB = a
nên ACP là hình vuơng <n&' a, suy ra E5_& tích
ACP là S = a2
dVUpA
45 O là tâm <S* hình vuơng và I là trung A5B1
<S* <n&' BC, ta cĩ SIOA 600 là gĩc (5b* 12-
Trang 7A a 0 a 3
SO OI tan SIO tan 60
'B tích <S* >'w5 chóp là:
3 2
ABCD
Ví IJ 2:Cho hình chóp S.ABCD có ACP ABCD là hình vuông <n&' a, SA = SB = a, 12- 3'.&(
(SAB) vuông góc /95 12- 3'.&( (ABCD) Tính bán kính 12- <`: &(8n5 -5;3 hình chóp S.ABCD
C3 án và W5B: A5B1IAJ
H
G
I
O
D
C B
A S
j (5Y -'5;- ta có SAB là tam giác A^: <n&' a
45 G và I 6`& 6+T- là tâm <S* tam giác A^:
SAB và tâm <S* hình vuông ABCD 45 O là
tâm <S* 12- <`: &(8n5 -5;3 hình chóp ta có
OG(SAB), OI (ABCD)
dVpA
j A@ ta suy ra -M giác OIGH là 1R- hình <'b
&'x- ( /95 H là trung A5B1 <S* BC) nên OG =
IH = a
2
dVUpA
Ký '5_: R là bán kính <S* 12- <`: &(8n5 -5;3
hình chóp Trong OGA vuông -n5 G ta có:
2 2
2 2 a 3a a 21
Ví IJ 3: Cho hình chóp S.ABC có ACP ABC là tam giác vuông -n5 A /95 AB = a 3, AC = a, 12- bên SBC là tam giác A^: và vuông góc /95 12- 3'.&( ACP Tính theo a -'B tích <S* >'w5 chóp S.ABC
C3 án và W5B: A5B1 IAJ
B
A S
Trang 845 H là trung A5B1 <S* BC Do SBC A^:
nên SH BC Mà (SBC) (ABC) nên
SH(ABC) SH là A+,&( cao <S* hình chóp
S.ABC
dVUpA
q5_& tích ACP <S* hình chóp là
2 ABC
Ta có ABC vuông -n5 A nên
2 2 2 2
BC AB AC a 3a 2a
o& &* SBC A^: SH= BC 3 a 3
dVUpA
'B tích <S* >'w5 chóp là:
3 S.ABC ABC
Ví IJ 4: Cho 6&( -G{ ABC.A’B’C’ có ACP ABC là tam giác A^: <n&' a, AA’= b và A+,&( -'.&(
AA’ -n8 /95 12- 3'.&( (ABC) 1R- góc 600 Tính -'B tích >'w5 -M E5_& ACA’B’ theo a và b
C3 án và W5B: A5B1IAJ
b
a
60
H
C'
B' A'
C
B A
Ký '5_: h và V -+o&( M&( là <'5^: cao và -'B
tích <S* >'w5 6&( -G{ AX cho, ta có:
ACA ' B' B'.ACC ' A ' B'.ABC
ABC
dVUpA
45 H là hình <'5;: vuông góc <S* A’ trên
(ABC), ta có A’H = h và A ' AHA 600 do A@
0
h AA '.sin 60 b 3
dVUpA
'B tích >'w5 6&( -G{ là
2
2 ABC
"xP -'B tích >'w5 -M E5_& <`& tìm là
2
ACA ' B'
1
4
Trang 9 3: CÁC BÀI ÔN
1) Tính -'B tích >'w5 -M E5_& A^: <n&' * I $ )
3
12
2) Cho >'w5 chóp -M giác A^: S.ABCD W5;- AB = a và góc (5b* 12- bên và 12- ACP WF&( Tính -'B tích >'w5 <'@3 I $ 1 3 )
a tan
3) Cho >'w5 chóp tam giác A^: S.ABC W5;- AB = a và SA = b Tính -'B tích >'w5 <'@3 I $
)
2 2 2
1
4) Hình 6&( -G{ AM&( ABC.A’B’C’ có ACP ABC là 1R- tam giác vuông -n5 A, AC = a =60CA 0 +,&( chéo BC’ <S* 12- bên BB’C’C -n8 /95 mp(AA’C’C) 1R- góc 300
a) Tính AR dài A8n& a I $ 3a)
b) Tính -'B tích <S* >'w5 6&( -G{ I $ a3 6)
5) Hình chóp <{- tam giác A^: có <n&' ACP 69& 2a, ACP &' là a, góc <S* A+,&( cao /95 12- bên là 300 a) Tính E5_& tích toàn 3'`& <S* hình chóp <{- I $ 11 3 2)
a 4 b) Tính -'B tích <S* >'w5 chóp <{- I $ )
3
7 3a 24
6) R- hình -G{ có bán kính ACP R và -'5;- E5_& qua -G{< là 1R- hình vuông
a) Tính E5_& tích xung quanh <S* hình -G{ và -'B tích <S* >'w5 -G{ -+o&( M&( I $
)
xq tru
S 4 R ; V 2 R
b) Tính -'B tích <S* >'w5 6&( -G{ -M giác A^: &R5 -5;3 hình -G{ AX <'8 I $ 4R3)
7) Cho hình chóp -M giác A^: có <n&' ACP là a, <n&' bên 'T3 /95 12- ACP 1R- góc 600
a) Xác A%&' tâm và bán kính 12- <`: &(8n5 -5;3 hình chóp
b) Tìm bán kính <S* 12- <`: &(8n5 -5;3 hình chóp I $ a 6)
3
8) R- >'w5 6&( -G{ ABC.A’B’C’ có ACP là tam giác A^: <n&' a, <n&' bên BB’ = a, chân A+,&( vuông góc 'n -j B’ :w&( ACP ABC trùng /95 trung A5B1 I <S* <n&' AC
a) Tính góc (5b* <n&' bên và 12- ACP I $ 300)
b) Tính -'B tích <S* >'w5 6&( -G{ I $ )
3
a 3 8 c) 'M&( minh 12- bên AA’C’C là hình <'b &'x-
9) Cho >'w5 6&( -G{ AM&( ABC.A’B’C’ ACP là tam giác ABC vuông -n5 B \5;- BB’=AB=h và góc <S* B’C làm /95 12- ACP WF&(
a) 'M&( minh GF&( BCAA B'CBA
b) Tính -'B tích <S* >'w5 6&( -G{ I $ 1 3 )
h cot
c) Tính E5_& tích -'5;- E5_& -n8 nên do 12- 3'.&( ACB’ <N- >'w5 6&( -G{ I $ )
2
2 h
1 cos
10) Cho tam giác A^: ABC <n&' a &R5 -5;3 trong A+,&( tròn A+,&( kính AD; SD là A8n& -'.&( có AR dài
a và vuông góc /95 12- 3'.&( (ABC)
a) 'M&( minh SAC và SAB là &'b&( tam giác vuông
b) Tính E5_& tích toàn 3'`& <S* hình chóp $ \q I $ )
2
4a 3 3
Trang 10c) Tìm 1R- A5B1 cách A^: 5 A5B1 A, B, C, D, S.
11) Cho >'w5 chóp S.ABCD có ACP ABCD là hình vuông và hai 12- bên SAB và SAD cùng vuông góc /95 ACPV góc <S* <n&' SC /95 12- bên SAB là Cho SA = a
a) 'M&( minh GF&( BSCA và AB asin
cos2
b) Tính -'B tích <S* >'w5 chóp $ \q I $ )
3 2
a sin 3cos2
12) Cho -M E5_& A^: ABCD <n&' a.
a) Tính AR dài A+,&( cao AH <S* >'w5 -M E)_& I $ a 6)
3 b) 45 M là 1R- A5B1 We- >m trong >'w5 -M E5_& 'M&( minh GF&( -&( các >'8Y&( cách -j M A;& 4 12- <S* -M E5_& là 1R- 7w không A5
13) Cho hình chóp -M giác A^: S.ABCD có <n&' ACP AB = a và ASB 2A
a) Tính E5_& tích toàn 3'`& <S* hình <'@3 I $ a (1 cot )2 )
b) Tính -'B tích >'w5 nón &(8n5 -5;3 hình chóp $ \q I $ )
3 2
a
12
c) %&' AB -'B tích >'w5 nón là I $ )
3
a 12
arc cot 2
14) R- hình 6&( -G{ AM&( ABC.A’B’C’ có ACP là tam giác vuông cân (AB = AC = a) +,&( chéo BC’ <S* 12- bên BCC’B’ -n8 /95 12- bên ACC’A’ góc
a) 'M&( minh GF&( AC' BA
b) Tính E5_& tích toàn 3'`& <S* hình 6&( -G{ I $ 2 2 2 )
sin
c) Tìm tâm 12- <`: &(8n5 -5;3 hình 6&( -G{ và tính -'B tích >'w5 <`: -+o&( M&( I $ )
3 3
a 6sin
15) R- hình nón có bán kính ACP R và -'5;- E5_& qua -G{< là 1R- tam giác vuông cân
a) Tính E5_& tích xung quanh <S* hình nón và -'B tích >'w5 nón -+o&( M&( I $
)
xq
1
3
b) Tính bán kính ACP <S* hình -G{ &R5 -5;3 trong hình nón ePV W5;- GF&( -'5;- E5_& qua -G{< <S* hình -G{ là 1R- hình vuông I $ )R
3
16) Cho hình <`: tâm O A+,&( kính SS’= 2R 2- 3'.&( vuông góc /95 SS’ <N- 12- <`: theo A+,&( tròn tâm H 45 ABC là tam giác A^: &R5 -5;3 trong A+,&( tròn này 2- SH = x (R < x < 2R)
a) Tính AR dài các <n&' <S* -M E5_& S.ABC theo R và I $
)
AB BC CA 3x(2R x) , SA SB SC 2Rx
b) Tính x AB cho S.ABC là 1R- -M E5_& A^: Trong -G+,&( 'T3 này, tính -'B tích <S* >'w5 -M E5_&
3
17) Cho hình chóp S.ABCD có ACP ABCD là hình vuông <n&' a, 12- bên SAB là tam giác A^: &F1 trong 12- 3'.&( vuông góc /95 12- 3'.&( ACP
a) Tính -'B tích <S* >'w5 chóp $ \q I $ )
3
6
Trang 11b) Tính góc <S* <n&' bên SC /95 12- 3'.&( ACP I $ 15 )
arctan
5 c) 2- 3'.&( (P) qua CD <N- SA -n5 M; SB -n5 N M giác CDMN là hình gì
18) Trong mp(P) cho tam giác A^: ABD &R5 -5;3 A+,&( tròn A+,&( kính AC = 2R Trên A+,&( vuông góc /95 mp(P) -n5 C, 6eP A5B1 M sao cho CM = 2R
a) Tính -'B tích <S* >'w5 chóp M.ABCD theo I $ )
3
3 b) 45 I là trung A5B1 <S* AM 'M&( minh I.ABD là hình chóp tam giác A^:
c) Tính -'B tích >'w5 chóp I.ABD theo R I $ )
3
4
19) Cho hình nón A&' S, bán kính ACP R Trên ACP <S* hình nón 6eP 1R- 6{< giác A^: ABCDEF Mp(SAB) 'T3 /95 12- ACP <S* hình nón góc
a) Tính E5_& tích -'5;- E5_& qua -G{< <S* hình &@& I $ )
2
R 3 tan 2
b) Tính -'B tích <S* >'w5 chóp S.ABCDEF I $ 3 3 )
R tan
20) R- hình nón có bán kính ACP R và <'5^: cao h Xét hình -G{ có <'5^: cao 2x &R5 -5;3 trong hình nón
a) 'M&( minh GF&( -'B tích <S* >'w5 -G{ là
2
2 2
2 R
h
b) %&' x AB V An- giá -G% 69& &'e- I $ h )
x 6
- R S TRONG KHÔNG GIAN
***
A/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
@ Phần chung cho cả nâng cao và cơ bản :
I/ R S TRONG KHÔNG GIAN :
_ -G{< -8n AR ^|<C< vuông góc trong không gian (1 ba -G{< x’Ox , y’Oy, z’Oz vuông góc nhau -j&( A?5 1R- 45 i j k , , 6`& 6+T- là các /O<-o Ao& /% trên các -G{<
x’Ox , y’Oy , z’Oz 5B1 O A+T< (45 là (w< -8n AR Các 12- 3'.&( (Oxy) , (Oxz), (Oyz) A?5 1R- vuông góc /95 nhau A+T< (45 là các 12- 3'.&( -8n AR
Không gian (N& /95 '_ -8n AR Oxyz A+T< (45 là không gian Oxyz
II/ R S @ US >U :
Trong không gian Oxyz cho 1R- A5B1 M -:m ý
Khi A@ ta có OMxiyjzk và (45 WR ba 7w (x ; y ; z) là -8n AR A5B1 M Aw5 /95 '_ -8n AR Oxyz AX cho Ta /5;- M = ( x ; y ; z ) '82< M ( x ; y ; z )
III/ R S @ US VECT W
Trong không gian Oxyz cho a /95
1 2 3
aa ia ja k
Khi A@ WR ba 7w ( a a a1, 2, 3) A+T< (45 là -8n AR <S* Aw5 /95 '_ -8n AR Oxyz AX cho Ta /5;- =(a
a
1, 2, 3
a a a a
1, 2, 3
a a a
IV/ > X R S @ CÁC PHÉP TOÁN V W :
Trong không gian Oxyz cho hai /O<-o a( ,a a a1 2, 3),b( ,b b b1 2, )3 và 1R- 7w k Khi A@ ta có :
... (45 12- 3''.&( -8n ARKhông gian (N& /95 ''_ -8n AR Oxyz A+T< (45 không gian Oxyz
II/ R S @ US >U :
Trong không gian Oxyz cho 1R- A5B1 M -:m ý...
- R S TRONG KHÔNG GIAN
***
A/ CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
@ Phần chung cho nâng cao :
I/ R S TRONG KHÔNG GIAN :
_... 21
Ví IJ 3: Cho hình chóp S.ABC có ACP ABC tam giác vuông -n5 A /95 AB = a 3, AC = a, 12- bên SBC tam giác A^: vuông góc /95 12- 3''.&( ACP Tính theo a -''B tích <S* >''w5