Lêi kÕt : Việc xây dựng các công thức cộng nhờ việc khai thác bài 4C, ôn tập chương 2 h×nh häc 10 mµ ®iÓm nhÊn lµ viÖc chøng minh c«ng thøc céng thø 2, cã t¸c dông tích cực đến việc học [r]
Trang 1Phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh lớp 10B5
Trường PTTH Như Thanh qua việc khai thác Bài tập 4c ôn tập chương 2 hình học 10
-
-I Mở đầu : Bài 4C ôn tập chương 2 hình học 10 là bài :
Chứng minh rằng trong ABC ta có:
(1)
Đa số học sinh trung bình trong lớp giải được bài này, tuy vậy, việc khai thác bài tập này trong học toán 10 lại khá thú vị ; nó giúp họ tiếp cận sớm hơn với một loạt các bài tập hay mà lẽ ra 1 năm sau họ mới giải được, làm cho học sinh trong lớp có một số “công cụ hợp lý” để tiếp cận sớm với các bài toán thi đại học và cao đẳng Việc khai thác đẳng thức (1) được tiến hành theo hai hướng :
1 Xây dựng các công thức cộng trong phạm vi các góc của một tam giác, trên nền kiến thức hình học 10
2 Các bài tập có thể áp dụng được vào thực tế dạy học
II Nội dung chính của việc khai thác bài 4c ôn tập chương 2 hình học 10 (gọi tắt là bài 4c )
1 Xây dựng các công thức cộng trong phạm vi các góc của một tam giác
a/ Công thức cộng thứ nhất:
Vì : B+C = 180o – A nên :
A
SinA = SinBCosC + CosBSinC
Sin(B+C) = SinBCosC + CosBSinC
C B
Trang 2b/ Công thức cộng thứ 2 : trong ABC ta có :
(3)
chứng minh :
vì : B+C = 180o - A nên :
Cos(B+C) = CosA Cos(B+C) =
-bc
a c b
2
2 2
2
SinBSinC R
C Sin R B Sin R A Sin R
2
2 2 2
2 2
2
4 2
4 4
SinBSinC
C Sin B Sin A Sin
2
2 2
áp dụng bài 4c vào (*) ta được : (*)
SinBSinC
C Sin B Sin CosBSinC
SinBCosC C
B Cos
2
) (
)
Cos(B+C) =
SinBSinC
sBCosC SinBSinCCo
B Cos C Sin C
Cos B Sin
2
2 ) 1 (
) 1
SinBSinC
SinBSinC CosBCosC
SinBSinC C
B Cos
2
) (
2 )
Cos(B+C) = CosBCosC – SinBSinC
a) Công thức cộng thứ 3 : trong ABC với điều kiện BC, ta có :
(4)
Chứng minh:
Dễ thấy : 0o B-C 180o ta có:
Sin(B-C) =Sin[(180o -B )+C] (**)
Trường hợp1 : B=C, khi này (4) hiển nhiên đúng
Trường hợp 2: BC, đặt :
C C
B B
C B A
'
180 '
'
o Cos(B+C) = CosBCosC - SinBSinC
Sin(B-C) = SinBCosC -CosBSinC
Trang 3Thì : vậy A’, B’,C’ là 3 góc của A’B’C’ khi này (**)
0
180 ' '
'
0 ' ,'
,'
C B
A
C B
A
Sin(B-C) = Sin(180o -B )CosC + Cos(180o -B )SinC(áp dụng (2) trong A’B’C’)
Sin(B-C) = SinBCosC – CosBSinC (đpcm)
d/ Công thức cộng thứ 4:
Hoàn toàn tương tự ta thu được:
e/ Công thức cộng thứ 5, 6 : Trong ABC, có ngay các công thức cộng thứ 5 và
6 sau đây :
tg(B+C) = (6) (với B+C 900)
tgCtgB
tgC tgB
1
tg(B-C) = (7) với
tgCtgB
tgC tgB
0
90
B
C B C
như vậy 6 công thức cộng trong phạm vi tam giác đã được xây dựng hoàn
toàn bằng áp dụng 4c và kiến thức hình học 10
2 Các bài tập có thể áp dụng vào thực tế dạy học:
Nhóm 1 : Các bài tập có tính chất lý thuyết :
a Xây dựng các công thức nhân đôi, hạ bậc trong phạm vi không vượt quá góc
vuông
b Xây dựng một số công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích trong
phạm vi các góc không quá góc vuông
Nhóm 2 : Các bài tập giáo khoa giải tích 11 có thể giải được ở lớp 10 :
a) Bài 5 trang 49 ; bài 8b trang 49 (bài 4)
b) Bài 15a, b trang 51 (bài 4)
Nhóm 3 : Một bài tập luyện tập sau đây:
Bài 1 : Tam giác ABC có : + = (8)
CosB
b CosC
c
SinBSinC a
Chứng minh ABC là tam giác vuông (Đề thi ĐH Ngoại Ngữ 2000)
Giải :
Cos(B - C) = CosB.CosC + SinB.SinC (5),BC
Trang 4(8) = (9)
CosBCosC
cCosB bCosC
SinBSinC a
theo định lý Sin ta có: bCosC +cCosB = 2R(SinBCosC + CosBSinC)
= 2RsinA = a (đã áp dụng 4c)
vậy :
0
CosBCosC
SinBSinC CosBCosC
0
0 ) (
CosBCosC
C B Cos
A =900 (đã áp dụng công thức 3)
Bài 2: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Chứng minh rằng :
tga + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của công thức :
E = tgA + tgB + tgC
(đề thi cao đẳng cộng đồng tiền giang 2003)
Giải : áp dụng công thức :
tg(B+C) = (10) (Do B+C > 900)
tgC tgB
tgC tgB
.
1
Mà A = 1800 -(B+C) nên tg(B+C) = - tgA (Suy ra trực tiếp từ định lý trang 35 bài 2 SGKHH10)
Do vậy :
(10) -tgA = tgA +tgB + tgC = tgAtgBtgC
tgBtgC
tgC tgB
1
Do ABC có 3 góc nhọn nên tgA, tgB, tgC > 0, áp dụng bất đẳng thức cosi, ta có : tgA +tgB +tgC 33 tgAtgBtgC (11)
Mà : tgA +tgB + tgC = tgAtgBtgC nên
(11) tgAtgBtgC 33 tgAtgBtgC
tgAtgBtgC 3 3 Có dấu “ = “ khi A=B=C=600
vậy minE = 3 3
Bài 3: Tính góc C của ABC nếu :
(1+ CotgA)(1+CotgB) =2 (12)
Trang 5(đề thi cao đẳng kinh tế kỹ thuật thái bình 2002).
Giải :
(12) (1 + )(1+ ) =2
SinA
CosA
SinB CosB
(SinA + CosA)(SinB + CosB) =2SinASinB
SinACosB + CosASinB = -(CosACosB – SinASinB) (13)
áp dụng các công thức cộng ta có:
(13) Sin(A+B) = -Cos(A+B)
SinC = CosC
tgC =1
C = 450
III Lời kết :
Việc xây dựng các công thức cộng nhờ việc khai thác bài 4C, ôn tập chương 2 hình học 10 mà điểm nhấn là việc chứng minh công thức cộng thứ 2, có tác dụng tích cực đến việc học tập toán của học sinh lớp 10B5, giúp các em có thêm công cụ
để giải các bài toán mà lẽ ra một năm sau các em mới giải được, từ đó kích thích các em mày mò tìm hiểu, sáng tạo nhằm đạt kết quả học tập khả quan hơn
Tầm áp dụng của các công thức đã xây dựng khá rộng các ví dụ nêu trên chỉ là một phần nhỏ -Tin rằng các em học sinh khối 10 trường ta và các đồng nghiệp sẽ tìm được nhiều áp dụng hay hơn, làm phong phú thêm việc dạy và học hình học 10 tại trường Như Thanh
Tài liệu tham khảo : 1 SGK Hình Học 10
2 Giới thiệu đề thi tuyển sinh 2000-2003