2 Tìm trên đồ thị C điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng 1 bằng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.. Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a.[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 130)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I ( 2 điểm)
Cho hàm số 2 ( )
3
x
x
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C)
2) Tìm trên đồ thị ( C) điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng
bằng khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang.1
5
Câu II ( 2 điểm)
1) Giải phương trình :2sin3xcos 2xcosx0
2) Giải bất phương trình: x2 x 2 3 x 5x24x6
Câu III ( 1 điểm)
Tính
1
2 0
ln(1 )
I x x dx
Câu IV ( 1 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a, AC = 2a, SA = a và SA vuông
góc mặt đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC tại H và cắt SB tại K Tính thể tích khối
chóp S.AHK theo a
Câu V ( 1 điểm)
Cho x, y > 0 và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2
PHẦN RIÊNG ( 3 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần ( Phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a ( 2 điểm)
1) Cho tam giác ABC có B(3; 5), đường cao AH và trung tuyến CM lần lượt có phương trình
d: 2x - 5y + 3 = 0 và d’: x + y - 5 = 0 Tìm tọa độ đỉnh A và viết phương trình cạnh AC
2) Cho mặt cầu (S) : (x3)2(y2)2 (z 1)2 100 và mặt phẳng ( ) : 2 x2y z 9 0
Chứng minh rằng (S) và ( ) cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T) Tìm tâm và bán kính
của đường tròn (T)
Câu VII.a ( 1 điểm)
Tìm số phức z, nếu z2 z 0.
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI b ( 2 điểm)
1) Cho đường tròn ( C) x2y22x4y 4 0và điểm A (-2; 3) các tiếp tuyến qua A của ( C)
tiếp xúc với ( C) tại M, N Tính diện tích tam giác AMN
2) Cho hai đường thẳng d: và d’:
2
1 1
1 1
x
t z
t y
t x
2 4
Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau Tính độ dài đoạn vuông góc chung của d và d’
Câu VII.b ( 1 điểm) Cho hàm số y x2 3x 2 (C) Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm mà từ đó
x
kẻ được 2 tiếp tuyến đến đồ thị ( C)
*********************Hết********************
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi : TOÁN ( ĐỀ 64)
Nội dung
+)pt 2sin3x (1 2sin2x) cos x0
2sin2x(1 s inx) (1 cos ) 0 x
(1 cos ) 2(1 cos )(1 s inx) 1x x 0
(1 cos ) 2(s inx cos ) 2sin cosx x x x 1 0
1 cos 0 (1)
2(s inx cos ) 2sin cos 1 0 (2)
x
Giải (1) ta được x2k (k Z )
Giải (2) : Đặt s inx cos 2 sin( ) , 2; 2
4
Ta được phương trình t22t0 0
2 (loai)
t t
Với t = 0 ( )Vậy phương trình có nghiệm:
4
4
Bình phương hai vế ta được 6 x x( 1)(x2) 4 x212x4
3 x x( 1)(x 2) 2 (x x 2) 2(x 1)
3 ( 2) 2 ( 2) 2
Đặt ( 2) 0 ta được bpt ( do
1
x x
t
x
2
2t 3t 2 0
1
2 2
2
t
t t
)
0
t
1
x x
x
( do ) Vậy bpt có nghiệm
3 13
3 13
3 13
x
x x
2
2 ln(1 )
1
xdx
x
2
2
x
Do đó
1 1
2
1 2
0 0
1
x
Tính I1: Ta có
2
Trang 3C
B
A
K
H a
2a
a
A
D
E B
d’
C d
d1
Vậy ln 2 1
2
+) Theo bài ra ta có SH (AHK)
BCSA BCABBC SAB BC AK
Và AK SC nên
AK SBC AK KH v AK
+) Áp dụng định lý Pitago và hệ thức trong tam giác vuông
ta có 1 2,
a
AH KH SH
+) Ta có
2
AHK
a
S AK HK dvdt
Vậy
3
S AHK AHK
a
2
0<xy t (xy) 0;
2
(xy) t
2 /
+) B¶ng biÕn thiªn :
t 0 1
16
-P 289
16
+) Từ bbt ta có min P 289 tại
16
t x y
+) Gọi D d d'nên tọa độ của D là nghiệm của hệ
22
( ; )
7
x
D
x y
y
Trang 4+) Goi d1 là đường thẳng qua B và song song với d’ nên phương trình d1 là: x + y – 8 = 0.
Gọi E d d1 nên (33 19; ).Vì d’ là đường trung tuyến qua C nên D là trung điểm AE suy ra
7 7
+) Ta có cạnh BC c với d nên phương trình cạnh BC là 5x + 2y – 25 = 0Suy ra
+) Vậy phương trình cạnh AC là 1 38
1 47
+) Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính r = 10 Ta có : ( ,( )) 2.3 2( 2) 1 9 6
4 4 1
Vậy d I( ,( )) r nên (S) cắt ( ) theo giao tuyến là đường tròn (T)
+) Gọi J là tâm của (T) thì J là hình chiếu của I lên ( ) Xét đường thẳng (d) đi qua I và vuông góc với ( ) Lúc đó (d) có vectơ chỉphương là a n (2; 2; 1) Phương trình tham số của (d) là :
3 2
1
A
+) Ta có J d ( ) Xét hệ: Giải hệ này ta được : J(-1;2;3)
3 2
2 2 1
x y z
+) Gọi r’ là bán kính của (T) , ta có : r r2h2 100 36 8 Vậy : J(-1;2;3) và r’= 8
+) Đặt z = x + yi, khi đó z2 z 0 (x yi ) 2 x2 y2 0
xy
+) 2
2
0
0
1
0, 1
0 (do 1 0)
0, 0 (1 ) 0
0
0
x
y
y
x x
y
+)Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i.
+) Ta có (C ) có Tâm I(1; 2) bán kính R = 3 Và dễ thấy có một tiếp tuyến vuông góc với Ox và qua A là d: x=
-2
Trang 5+)Gọi d’ là dường thẳng qua A ( -2; 3) cú hệ số gúc là k ta cú d’ y = k(x + 2) + 3
d’ là tiếp tuyến của ( C ) d( I, d’ ) = R
2
3
3 1
k
k k
+ ta cú tiếp điểm của d và (C ) là M(-2; 0), của d’ và (C ) là ( 7 57; )
5 5
+ Ta cú AM = 3, ( , ) 2 7 3 Vậy
5 5
AMN
+) Ta cú vtcp của d u(1; 1; 2) à M(2;1;1) d v vtcp của d’ u'(1; 1;1) à (4;2;0) d' v N => MN(2;1; 1)
+)Ta cú u u MN , ' 3 0 vậy d và d’ chộo nhau ta cú A d A(2k;1k;1 2 ) k ,
AB là đoạn vuụng gúc chung ' (4 ; 2 ; )
B d B t t t AB(2 t k;1 t k; 1 t 2 )k . 0
' 0
AB u
AB u
2
Chỳ ý : cú thể tớnh theo cỏch ( , ') , ' 3
2 , '
u u MN
d d d
u u
+) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng x=1, d là đường thẳng đi qua M có hệ số góc là k d có phương trình là : y= k(x-1)+m ( với M(1,m) )
+) Thay (2) vào (1) ta có
2
( 1)
(3)
2
+)Để từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến C thì phương trình (3) có đúng 2 ngiệm phân biệt
(2 ) ( , ) (2 )(2) 0
m
m m
0 2
m m
+) Vậy trên đường thẳng x=1 Tập hợp các điểm có tung độ nhỏ hơn 0 (m<0) bỏ đi điểm (1,-2) thì từ đó kẻ được
đúng 2 tiếp tuyến đến C