Đề và đáp án thi thử đại học, cao đẳng môn thi: Toán (số 170)

Trong các mặt phẳng qua  , hãy viết phương trình của mặt phẳng có khoảng cách đến D là lớn nhất.. Chứng minh rằng.[r]

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2012

Mụn thi : TOÁN (ĐỀ 170)

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Cõu I (2 điểm) Cho hàm số 2 4

1

x y

x







1)Khảo sỏt và vẽ đồ thị  C của hàm số trờn

2)Gọi (d) là đường thẳng qua A( 1; 1 ) và cú hệ số gúc k Tỡm k sao cho (d) cắt ( C ) tại hai điểm M, N và

3 10

Cõu II (2 điểm) :

1 Giải hệ phương trỡnh:

2 2

2 2

12 12







2.Giải phương trỡnh :2sin2xsin2xsinxcosx10 .

Cõu III (1 điểm): Tớnh tớch phõn: 2 3

0

3sin 2cos (sin cos )











Cõu IV (1 điểm) Cho hỡnh chúp cụt tam giỏc đều ngoại tiếp một hỡnh cầu bỏn kớnh r cho trước Tớnh thể tớch hỡnh chúp cụt biết rằng cạnh đỏy lớn gấp đụi cạnh đỏy nhỏ.

Cõu V (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt :

10x 28x4m(2x1) x2 1.

PHẦN RIấNG (3 điểm): Thớ sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trỡnh chuẩn.

Cõu VI.a (2 điểm)

1 Cho ABC cú đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM:  2x y  1 0 và phõn giỏc trong CD:

Viết phương trỡnh đường thẳng BC.

1 0

x y  

2 Cho đường thẳng (D) cú phương trỡnh: .Gọi là đường thẳng qua điểm

A(4;0;-2 2

2 2

  



  



  





1) song song với (D) và I(-2;0;2) là hỡnh chiếu vuụng gúc của A trờn (D) Trong cỏc mặt phẳng qua , hóy viết 

phương trỡnh của mặt phẳng cú khoảng cỏch đến (D) là lớn nhất.

Cõu VII.a (1 điểm) Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1] Chứng minh rằng

2 Theo chương trỡnh nõng cao.

Cõu VI.b (2 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường trũn hai đường trũn

cựng đi qua M(1; 0) Viết phương trỡnh

2 2

( ) :C x  – 2 – 2 1 0,y x y   ( ') :C x2 y24 – 5 0x 

đường thẳng qua M cắt hai đường trũn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB.

2)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt có phương trình : d :

z

y







1

2

1

5 3

2

2











y x

Viết phương trình mặt phẳng () đi qua d và tạo với d’ một góc 300

Cõu VII.b (1 điểm) Cho a, b, c là ba cạnh tam giỏc Chứng minh

2

a

a b a c a b c a c a b

Đáp án De thi thu dai hoc số 70

2(1,0)

Từ giả thiết ta có: ( ) :d y k x (  1) 1. Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai

nghiệm ( ; ), ( ; )x y1 1 x y2 2 phân biệt sao cho   2 2

2 1 2 1 90(*)

x x  y y  Ta có:

( 1) 1

( ) 1

( 1) 1

x

k x

I x

y k x





 





( )

( 1) 1

I

y k x

 



Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình kx2(2k3)x k  3 0(**) có hai nghiệm phân biệt Khi đó dễ có được 0, 3

8

k k

Ta biến đổi (*) trở thành: 2  2 2  2

(1k ) x x   90 (1 k )[ x x 4x x] 90(***) Theo định lí Viet cho (**) ta có: x1 x2 2k 3,x x1 2 k 3, thế vào (***) ta có phương trình:

.

8k 27k 8k  3 0 (k3)(8k 3k 1) 0 3, 3 41, 3 41

KL: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.

1) CâuII:2 Giải phương trình:

.

0 1 cos sin

) 1 cos 2 ( sin 2 0 1 cos sin

2

sin

sin

(2cosx1)28(cosx1)(2cosx3)2 VËy sinx0,5 hoÆc sinxcosx1.

Víi sinx0,5 ta cã x  2k  hoÆc

6 

6

5 





























 









4

sin 2

2 4

sin 1 cos

x x

x

x 2 k  hoÆc x  2k 

2

3 



Điều kiện: | | | |x  y

Đặt u x2 y u2; 0; không thỏa hệ nên xét ta có

v x y





 

2 1

2

u

v

   

12 12 2

u v

v v

 







4 8

u v





  



3 9

u v





 







 

2 2





 

ta được tập nghiệm của hệ phương trình ban đầu là S     5;3 , 5; 4 

x  t dx dt x t  x  t

3sin 2cos 3cos 2sin 3cos 2sin (sin cos ) (cos sin ) (cos sin )

thuộc vào kí hiệu cảu biến số).

2

(sin cos ) (cos sin ) (sin cos )

=2 2 2 KL: Vậy



2



I

Gọi H, H’ là tõm của cỏc tam giỏc đều ABC, A’B’C’ Gọi I, I’ là trung điểm của AB, A’B’ Ta cú:

Suy ra hỡnh cầu nội tiếp hỡnh chúp cụt này tiếp

'







xỳc với hai đỏy tại H, H’ và tiếp xỳc với mặt bờn (ABB’A’) tại điểm K II '.

Gọi x là cạnh đỏy nhỏ, theo giả thiết 2x là cạnh đỏy lớn Ta cú:

I K I H  I C  IK IH  IC

Tam giỏc IOI’ vuụng ở O nờn: 2 3 3 2 2 2 Thể tớch hỡnh chúp cụt tớnh

I K IK OK  r x 

bởi:  ' 'Trong đú:

3

h

x

Từ đú, ta cú:

V Nhận xét : 10x2 x8 4= 2(2x+1)2 +2(x2 +1)

1

1 2 ( ) 1

1 2

2

2











x

x m x

x

Đặt t Điều kiện : -2< t Rút m ta có: m=

x





1

1

2

t

t 2

2 2 

Lập bảng biến thiên của hàm số trên 2, 5 , ta có kết quả của m để phương trình có hai nghiệm

phân biệt là: hoặc -5 <

5

12

4 m m4

Điểm C CD x y :    1 0 C t;1t

Suy ra trung điểm M của AC là 1 3; .

M   

Điểm

1 3

MBM x y             t C 

Từ A(1;2), kẻ AK CD x y:   1 0 tại I (điểm K BC ).

Suy ra AK:x 1 y2    0 x y 1 0 Tọa độ điểm I thỏa hệ: 1 0  0;1

1 0

x y

I

x y

  





   



Tam giỏc ACK cõn tại C nờn I là trung điểm của AK  tọa độ của K1;0.

Đường thẳng BC đi qua C, K nờn cú phương trỡnh: 1 4 3 4 0

7 1 8

x y

 

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua đường thẳng , thỡ  ( ) //( )P D hoặc

Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của I trờn (P) Ta luụn cú

( )P ( )D

Mặt khỏc          

 









Trong mặt phẳng  P , IH IA; do đú maxIH = IAH A Lỳc này (P) ở vị trớ (P 0 ) vuụng gúc với IA tại A.

Vectơ phỏp tuyến của (P 0 ) là n IA6;0; 3 , cựng phương với Phương trỡnh của mặt phẳng (P 0 ) là:

2;0; 1



2 x 4 1 z 1 2x - z - 9 = 0

VIIa Để ý rằng xy 1 x y   1 x1y0;

và tương tự ta cũng cú 1 Vỡ vậy ta cú:

1

  



   



vv

3

1 zx+y 1

5 1

5

x y z

x

x



VIb 1) + Gọi tõm và bỏn kớnh của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R1, ' 3R  , đường

thẳng (d) qua M cú phương trỡnh a x(  1) b y(   0) 0 ax by a  0, (a2b2 0)(*).

+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.

Khi đú ta cú: MA2MB IA2IH2 2 I A' 2I H' '2  2  2 ,

1 d I d( ; ) 4[9 d I d( '; ) ]

IA IH

9

4 d I d( '; ) d I d( ; ) 35 4 a b 35

2 2

2 2

36

a b

a b





Dễ thấy b0 nờn chọn 1 6.

6

 



   



a b

a

Kiểm tra điều kiện IA IH rồi thay vào (*) ta cú hai đường thẳng thoả món.

2. Đường thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ chỉ phương u(1;1;1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm M'(2;3;5) và có vectơ chỉ phương u('2;1;1).

Mp() phải đi qua điểm M và có vectơ pháp tuyến vuông góc với và n u Bởi vậy nếu đặt

2

1 60 cos ) '

; cos(n u  0  thì ta phải có :

)

;

;

(A B C

n



























2

1 6

2

0

2 2

2 B C

A

C B

A

C

B

A









































0 2

) ( 6

3

C A B C

C A A A

C A B

Ta có 2A2 ACC2 0(AC)(2AC)0 Vậy AC hoặc 2AC.

Nếu AC,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B2, tức là n(1;2;1) và mp()có phương trình

hay

0 )

2

(

Nếu 2AC ta có thể chọn A  C1, 2, khi đó B1, tức là n(1;1;2) và mp()có phương trình

hay

0 2

)

2

VIIb Vỡ a, b, c là ba cạnh tam giỏc nờn:

a b c

b c a

c a b

 



  



  



a b c a

x y a z x y z x y z y z x z x y

Vế trỏi viết lại:

2

VT

a c a b a b c

y z z x x y

x y z z x y z z x y

x y z x y

y z  x y z z x  x y z

2

2

x y z

y z z x x y x y z

 

a

a b a c a b c a c a b

V.Phương trỡnh x 1 x 2m x1x24 x1xm3 (1)

Điều kiện : 0 x 1

Nếu x 0;1 thỏa món (1) thỡ 1 – x cũng thỏa món (1) nờn để (1) cú nghiệm duy nhất thỡ cần cú điều kiện 1 1 Thay vào (1) ta được:

2

x   x x 1

2

x

* Với m = 0; (1) trở thành:

1

m

m





2

x x   x

Phương trỡnh cú nghiệm duy nhất

* Với m = -1; (1) trở thành

4 4

4 4

2

x    x x

+ Với 1 0 1Trường hợp này, (1) cũng cú nghiệm duy nhất.

2

x    x x

4 4 4

x  x x x   x x  x x  x x

Ta thấy phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm 0, 1 nờn trong trường hợp này (1) khụng cú nghiệm duy

2

x x

nhất.

Vậy phương trỡnh cú nghiệm duy nhất khi m = 0 và m = -1.