Suy ra ΔAHI ∪∩ ΔAPD c.g .c ⇒n AHI = n APD Suy ra tứ giác DHIP nội tiếp góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện c Chứng minh trung trực của OH đi qua một điểm cố định p và đường trun[r]
Trang 1ĐỀ THI THỬ VÀO LỚP 10 KHÔNG CHUYÊN
Bài 1 Cho phương trình ( )
2 5 8
1
= +
a) Tìm mđể phương trình có nghiệmx=1 Giải phương trình với những giá trị m vừa tìm được b) Tìm mđể phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 2
a) Giải bất phương trình x− <2 x2−3x+2
b) Giải hệ phương trình
2 2
5 5
x y
y x
⎧ + =
⎪
⎨ + =
⎪⎩
Bài 3 Cho đường tròn (O R; )và dây cung BC=R 3 A là một điểm di động trên cung lớn BCsao cho tam giác ABC là tam giác nhọn Đường cao AD BE CF cắt nhau tại , ,
H (D∈BC E, ∈AC F, ∈AB) AOcắt ( )O tại P và cắt EF tại I
a) Tính nBAC
b) Chứng minh tứ giác DHIP nội tiếp
c) Chứng minh rằng đường trung trực của OH luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi
Bài 4
a) Cho x 4−y2 +y 4−x2 = Tính 4 2 2
x +y
b) Giải phương trình x+ 26−x2 +3x 26−x2 =21
Bài 5 Ba bạn nhỏ An, Bình và Liên giải được 100 bài toán, biết rằng mỗi bạn giải được 60 bài Ta gọi
bài toán là khó nếu chỉ có một bạn giải được bài đó Ta gọi bài toán là dễ nếu cả ba bạn đều giải được
nó Tính hiệu số giữa số bài toán khó và số bài toán dễ
Hướng dẫn giải Bài 1
a) ( )
2 5 8
1
=
Ta có x=1là nghiệm của phương trình khi và chỉ khi
2
6
1 1 1
+
Với 5
6
m= , phương trình trở thành
Trang 2( )
2
5
0 1
+⎜ − ⎟ +
2
0 1
+ (2) (điều kiện x>0)
Với điều kiện trên ta có ( )2 ⇔5x2−10x+ = ⇔ =5 0 x 1( )n
Vậy phương trình có nghiệm x=1
2 5 8
1
= +
Điều kiện x>0
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình: mx2+ −(5 8m x) + =m 0 có hai nghiệm phân biệt dương Điều này tương đương với
0
0
8 5
0
1 0 1 2
5 8
m
S
m
m P
m m
m m
m m
m
≠
⎧
⎧
⎪
Δ = − − > ⎪
⎪
⎩
⎪ = = >
⎩
⎧⎡ <
⎪⎢
⎪⎢
<
⎡
⎪⎢ >
⇔⎨⎣ ⇔
⎢ >
⎪⎡ < ⎣
⎪⎢
⎪⎢ >
⎪⎣
⎩
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m thỏa m<0 hoặc 5
6
m>
Bài 2
a)
Ta có:
2
x x x x
x
⇔ >
Vậy nghiệm của bất phương trình là x>2
Trang 3b) ( )
( )
2
2
x y
y x
⎧ + =
⎪
⎨
+ =
⎪⎩
Lấy (1) trừ (2) ta có:
1
x y
x y y x x y x y
x y
=
⎡
⎣
Với x= thế vào (1) ta có: y 2
5 0
y y
⎢
⎢ + − = ⇔
⎢
⎣ Với x= − thế vào (2) ta có: 1 y
⎢
⎢ + − = ⇔ − − = ⇔
⎢
⎣ Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( )x y, là
1 21 1 21 1 21 1 21 1 17 1 17
⎛− + − + ⎞ ⎛− − − − ⎞ ⎛ − + ⎞
1 17 1 17
,
Bài 3
M
P
I F
E
D H
C B
O A
Trang 4a) Tính góc nBAC
Vẽ đường kính BB′ Khi đó ta có n BAC=BB Cn′ (góc nội tiếp cùng chắn cung pBC )
Và n 90o
BCB′= (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Trong tam giác vuông BCB′ ta có sin 3 3 n 60 n 60
BC R
′
b) Chứng minh DHIP nội tiếp
Ta có n n 90o
BEC=BFC = , suy ra BFEC nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông)
Suy ra nAEF= nABC hay nAEI =nABC
Mặt khác ta có nABC=nAPC (góc nội tiếp cùng chắn cung pAC )
Suy ra nAEI =nAPC
Xét AEIΔ và ΔAPC có
• Góc I chung
• n nAEI = APC (cmt)
Suy ra ΔAEI ∩ ΔAPC g( −g)
Suy ra AE AI AI AP AE AC ( )1
AP = AC ⇒ =
Ta có:
( )
( )
AHE ACD g g
AH AE
AH AD AE AC
AE AD
∩
Từ (1) và (2) ta có AI AP AH AD AI AH
AD AP
Suy ra ΔAHI ∩ ΔAPD c g c( )
AHI APD
Suy ra tứ giác DHIP nội tiếp (góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện)
c) Chứng minh trung trực của OH đi qua một điểm cố định
Gọi M là giao điểm của cung nhỏ p BC và đường trung trực của HO
Ta có nBAD=nAPC cmt( ) n n 90o
ABD=ACP= , suy ra ΔABD ∩ ΔAPC g g( ) ⇒nBAD=nPAC ( )3
Ta có AHE BCE g g( ) AH AE
BC BE
∩
Trong tam giác vuông ABE có cot cot 60 1
3
o
AE
BAE
Trang 5Suy ra 1 3
Suy ra tam giác AHO cân tại A Suy ra đường trung trực của HO cũng chính là đường phân giác của góc nHAO hay n MAH =MAOn ( )4
Từ (3) và (4) ta có nBAM =CAMn, suy ra qBM =CMq hay M là trung điểm cung p BC nên cố định
Vậy đường trung trực của HO luôn đi qua một điểm cố định, điểm đó là trung điểm cung nhỏ pBC của
đường tròn ( )O
Bài 4
a) Ta có
2
x y y x
x y x y xy y x
x y x y xy x y
x y xy x y x y
x y xy
x y xy
x y x y
x y x y x y
x y
b) x+ 26−x2 +3x 26−x2 =21 (2)
Điều kiện:
26
x x
x
⎡ ≤ −
≥
⎢⎣
Đặt t= +x 26−x2 ( Điều kiện t≥0)
Khi đó:
2
2
t
Phương trình (2) trở thành:
Trang 6( ) ( )
( )
2
2
6
2
3
t
⎡ =
⎢ =
⎢⎣
Với t =6 ta có:
2 2
2
1 5
x x dk x
x x
x
x
=
⎡
⎣
Vậy phương trình có hai nghiệm x=1 và x=5
Bài 5 Gọi x là số bài toán khó, ylà số bài toán dễ, zlà số bài toán không khó không dễ (bài có hai người làm được)
Vì số bài toán giải được là 100 bài nên ta cóx+ + =y z 100 1( )
Số bài khó 1 bạn giải được, số bài dễ 3 bạn giải được, số bài còn lại là hai bạn giải được Và mỗi bạn giải được 60 bài nên ta có: x+2z+3y=60 3 180× = ( )2
Lấy (2) trừ (1) ta có z+2y=80 ( )3
Lấy (1) trừ (3) ta có x− =y 20
Vậy số bài toán khó nhiều hơn số bài toán dễ là 20 bài
y