www.VNMATH.com Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN OXY Luyện thi ĐẠI HỌC 2011 * Tọa độ các giao điểm của C và C' là nghiệm của hệ phương trình:.. Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm của đườn[r]
Trang 1M 0
D
I- Lí THUYẾT:
1 Phương trỡnh đường trũn:
Dạng 1: Phương trỡnh đường trũn ( )C cú tõm I a b , bỏn kớnh ( ; ) R > : 0
( )2 ( )2 2
x-a + y b- =R Dạng 2: Phương trỡnh tổng quỏt: 2 2
x +y - ax- by+ =c (*)
cú tõm I a b , bỏn kớnh ( ; ) R= a2+b2- c
Lưu ý: Điều kiện để (*) là phương trỡnh của một đường trũn là: 2 2
0
a +b - >c
THUẬT TOÁN
Lập phương trỡnh đường trũn
Bước 1: Xỏc định tõm ( ; )I a b của ( )C Bước 2: Xỏc định bỏn kớnh R > 0
Kết luận: Phương trỡnh đường trũn ( )C cú tõm I a b , bỏn kớnh ( ; ) R > : 0
( )2 ( )2 2
x-a + y b- =R
Nhận xột: Phương trỡnh (*) hoàn toàn xỏc định nếu biết cỏc hệ số , , a b c Như vậy
chỳng ta cần 3 giả thiết để xỏc định , , a b c
2 Tiếp tuyến của đường trũn: x2+y2-2ax-2by+ = c 0
a Tiếp tuyến của ( )C tại M x y (0( ;0 0) M : tiếp điểm) 0
Tiếp tuyến của ( )C tại M x y cú ph0( ;0 0) ương trỡnh:
xx + yy -a x+x -b y+y + = c
(CT phõn đụi toạ độ) Nhận xột: Rõ ràng tiếp tuyến đi qua M0(x y0; 0) và có 1 vectơ pháp IM0 (x0a y; 0b)
: (a x ) x x (b y )(y y ) 0
b Điều kiện tiếp xỳc:
Đường thẳng :D ax by+ + = là tiếp tuyến của c 0 ( )C Ûd I( ;D =) R
Lưu ý: Để tiện trong việc tỡm phương trỡnh tiếp tuyến của ( )C , chỳng ta khụng nờn xột
phương trỡnh đường thẳng dạng y kx m= + (tồn tại hệ số gúc k ) Vỡ như thế dẫn đến sút
trường hợp tiếp tuyến thẳng đứng x C= (khụng cú hệ số gúc)
Nhắc:
* Đường thẳng có hệ số góc
* Đường thẳng (vuông góc ) không có hệ số góc
0 0
( ; )
0
Do đó, trong quá trình viết pt tiếp tuyến với (C) từ 1 điểm M (ngoài (C)) ta có thể
thực hiện bằng 2 p.pháp:
x y
* Phương pháp 1: Gọi đường thẳng bất kì qua M0(x y0; 0) và có h.s.g k:
yy k xx
Trang 2áp dụng đk tiếp xúc, giải được k
* Nếu kết quả 2 hệ số góc k (tương ứng 2 t.tuyến), bài toán giải quyết xong
* Nếu giải được 1 h.g.góc k, thì xét đường thẳng xx (đây là tiếp tuyến thứ hai)
* Phương pháp 2: 2 2
0 0
Gọi n a b a b là 1 v.t pháp của đ.thẳng đi qua M x y
a xx b yy )
,
áp dụng điều kiện tiếp xúc, ta được 1 phương trình đẳng cấp bậc hai theo a b
Nhận xột: Phương pháp 2 tỏ ra hiệu quả và khoa học hơn
3 Vị trớ tương đối của hai đường trũn-Số tiếp tuyến chung:
Cho hai đường trũn ( )C cú tõm 1 I , bỏn kớnh 1 R và 1 (C2)cú tõm I , bỏn kớnh 2 R 2
R 2
R 1
I 2
I 1
1 + 2 < 1 2
( )C khụng c1 ắt (C2)
(ngoài nhau)
4
R 1 R 2
( )C tiếp xỳc ngoài với 1
(C2)
3
( )C c1 ắt (C2) tại hai điểm
phõn biệt
2
I 1 I 2
R 1
R 2
( )C tiếp xỳc trong với 1
(C2)
1
Trang 3I 1
I 2
R 1
R 2
R - R < I I
( )C khụng c1 ắt (C2)
(lồng vào nhau)
0
VẤN ĐỀ 1: Nhận dạng 1 phương trỡnh bậc hai là phương trỡnh đường trũn
Tỡm tõm và bỏn kớnh đường trũn
Phương phỏp:
Cỏch 1: Đưa phương trỡnh về dạng 2 2
x +y - ax- by+ = (1) c
Kiểm tra, nếu biểu thức: 2 2
0
a +b - > thỡ (1) là phương trỡnh đường trũn c ỡù
ớ
= +
-ùợ 2 2
Tâm ( ; )I a b
Cỏch 2: Đưa phương trỡnh về dạng: (x-a)2 +(y-b)2 =m và kết luận
LUYỆN TẬP:
Bài tập 1: Trong cỏc phương trỡnh sau, phương trỡnh nào biểu diễn đường trũn Tỡm tõm và
bỏn hớnh nếu cú:
+ + + - =
2 2
) 6 8 10 0 ) 4 6 12 0
) 2 4 5 0 ) 2 2 4 8 2 0
) 4 0 ) 2 4 8 1 0
) 2 4 5 0
Bài tập 2: Cho phương trỡnh x2+y2-2mx+4my+6m- =1 0 (1)
a Với giỏ trị nào của m thỡ pt(1) là phương trỡnh của đường trũn?
b Nếu (1) là phương trỡnh đường trũn, hóy tỡm toạ độ tõm và tớnh bỏn kớnh đường trũn
đú theo m
Bài tập 3: Cho phương trình : 2 2 2
x +y + mx- m- y+ m + m- =
a Tìm điều kiện của m để pt trên là l phương trình đường tròn
b Tìm quỹ tích tâm đường tròn
Bài tập 4: Cho phương trỡnh: x2y22(cosa1)x2(sina1)y 2 0
;1
0
a Với giá trị nào của thì phương trình trên là p.trình của một đường tròn
b Tìm giá trị để đường tròn có bán kính nhỏ nhất, lớn nhất
c Tìm quỹ tích tâm đường tròn, khi thay đổi trên đoạn 0
a a
80
Bài tập 5: Cho phương trình (C m): 2 2
x +y + m- x- m- y+ =
a Tìm m để (C m) là phương trình của một đường tròn
b Tìm m để (C m) là đường tròn tâm I(1; 3).- Viết phương trình đường tròn
c Tìm m để (C m) là đường tròn có bán kính R =5 2. Viết phương trình đường tròn
d Tìm tập hợp tâm các đường tròn (C m)
Trang 4VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp:
Cách 1: Tìm tâm I a b( ; ), bán kính > 0R Suy ra ( ) :C (x-a)2+(y-b)2 =R2
Cách 2: Gọi phương trình đường tròn: 2 2
x + y - ax- by+ = c
- Từ điều kiện của đề bài đưa đến hệ phương trình với ẩn số , , a b c
- Giải hệ phương trình tìm , , a b c
LUYỆN TẬP:
Bài tập 1: Lập phương trình đường tròn (C) trong các trường hợp sau:
a (C) có tâm ( 1;2)I - và tiếp xúc với đường thẳng D:x-2y+ = 7 0
b (C) có đường kính là AB với (1;1), (7;5)A B
Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm với (1;4), ( 7;4), (2; 5)A B - C -
Bài tập 3: Cho 3 điểm (1;2), (5;2), (1; 3)A B C -
a Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC
b Xác định tâm và bán kính của (C)
Bài tập 4: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với (1;5), (4; 1),A B -
( 4; 5)
-Bài tập 5: Lập phương trình đường tròn (C), có tâm (2;3)I trong các trường hợp sau:
a (C) có bkính là 5 b (C) qua điểm (1;5)A
c (C) tiếp xúc với trục Ox d (C) tiếp xúc với trục Oy
e (C) tiếp xúc với đường thẳng : 4D x+3y-12= 0
Bài tập 6: Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm ( 1;2), ( 2;3)A - B - và có tâm ở
trên đường thẳng : 3D x- +y 10=0
Gợi ý:
Cách 1: Gọi ( ;3I a a +10)Î Do (C) qua A, B nên Δ IA = IB (=R)
Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB
Bước 2: Tâm I của (C) là giao điểm của d và Δ
Bài tập 7: Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua 2 điểm (1;2), (3;4)A B và tiếp xúc với
đường thẳng : 3D x+ - =y 3 0
Gợi ý:
Cách 1: Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn
Theo giả thiết:
( ;Δ)
IA IB
=
í
=
ïî giải ra I
Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của đoạn AB
Bước 2: Gọi tâm của (C) là I Î (tọa độ 1 ẩn) d
Do Δ tiếp xúc với (C) nên d I( ;Δ) =IAÞ giải ra I
Bài tập 8: Lập phương trình đường tròn (C) đi điểm M(4;2) và tiếp xúc với các trục toạ độ
Gợi ý:
Trang 5Gọi ( ; )I a b là tâm của (C) Do (C) tiếp xúc với Ox, Oy nên a = b =R
TH 1: a=bÞI a a( ; ), R= a
Phương trình (C): ( )2 ( )2 2
x-a + y-a =a
10
= é
Î Û - + - = Û - + = Û ê
= ë
a
a
Vậy có 2 đường tròn: ( ) (C1 : x-2)2 +(y-2)2 = và 4 (C2) (: x-10)2+(y-10)2 =100
TH 2: a= - Þb I a( ;-a), R= a
Phương trình (C): ( )2 ( )2 2
x-a + y+a =a
Do ( ) ( )2 ( )2 2 2
(4;2)Î Û 4- + 2+ = Û -4 +20=0 v« nghiÖm
Bài tập 9: Cho 3 đường thẳng: D1: 3x+4y- =1 0, D2: 4x+3y- =8 0, : 2d x+ - =y 1 0 Lập
phương trình đường tròn (C) có tâm I nằm trên đường thẳng d và (C) tiếp xúc với D1, D 2
Gợi ý:
Cách 1:
Gọi ( ;1 2 )I a - a Î là tâm của đường tròn (C) d
Do D1, D là các tiếp tuyến của (C) nên suy ra: 2 d I( ;D1) =d I( ;D2)Þ giải ra I
Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng D và 1
2
D
3 4 1 4 3 8
3 4 1 4 3 8
1
2
3 4 1 4 3 8 : 7 7 9 0
+ - = - + - ë - - = ë
Bước 2: Tâm I của đường tròn tương ứng là giao điểm của d và T T 1, 2
Bài tập 10: Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm (0;1), (2; 3)A B và có bán kính
5
R
Gợi ý:
Cách 1:
Gọi ( ; )I a b là tâm đường tròn (C) Theo giả thiết
5
IA IB
= ì í
= = î
Cách 2:
Bước 1: Lập phương trình đường trung trực d của AB
Bước 2: Gọi IÎ (tọa độ 1 ẩn) Theo giả thiết d IA = Þ giải ra I 5
Bài tập 11: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(1;1), biết đường thẳng
: 3 x 4y 3 0
cắt (C) theo dây cung AB với AB2
Gợi ý:
Trang 6Dễ thấy ( )
2 2
;Δ
4
AB
R= éëd I ù +û
Bài tập 12: (ĐH A-2007) Cho tam giác ABC có (0;2), ( 2; 2)A B - - và C(4; 2)- Gọi H là
chân đường cao kẻ từ B; M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Viết phương trình đường
tròn qua các điểm H, M, N
Gợi ý:
Bước 1: Xác định tọa độ M, N
Bước 2: Lập phương trình đường trung trực d của MN
Dễ thấy tâm I của (C) thuộc d
Bước 3: Tâm I của (C) là giao điểm của BH và d Suy ra IM =R
Bài tập 13: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A(1;1) và có bán kính R 10, tâm
(C) nằm trên Ox
Gợi ý:
Gọi ( ;0)I a ÎOx là tâm của (C) Theo giả thiết, IA = 10, từ đây giải ra I
Bài tập 14: Viết phương trình đường tròn đi qua điểm M(2;3) và tiếp xúc đồng thời với hai
đường thẳng 1: 3 x4y 1 0, 2: 4x3y 7 0
Gợi ý:
Gọi ( ; )I a b là tâm của (C) Theo giả thiết ( ) ( )
1
;Δ
;Δ ;Δ
í
=
ïî giải ra I
Bài tập 15: Viết phương trình đường tròn đi qua gốc toạ độ, bán kính R 5 và tiếp xúc với
đường thẳng : 2x y 5 0
Gợi ý:
Gọi ( ; )I a b là tâm của (C) Theo giả thiết ( )
( )
5
;Δ 5
d I
ì = =
í
=
ïî giải ra I
Bài tập 16: Cho đường thẳng d: x và đường tròn y 3 0 ( ) :C x2y27x y 0
Chứng minh rằng d cắt ( )C Hãy viết phương trình đường tròn ( ')C đi qua M( 3;0) và các
giao điểm của d và ( )C
Gợi ý:
Xét hệ phương trình: 2 23 0 2 23
(1)
(2)
Thay (1) vào (2): 2 7 6 0 1 2 (1; 2)
6 3 (0; 3)
= Þ = - -é
- + = Û ê
= Þ = - -ë
Bài toán trở thành, lập phương trình đường tròn qua ba điểm A(1; 2),- B(0; 3)- và M( 3;0)
(Dùng kỹ năng: Gọi phương trình x2+y2-2ax-2by+ = và thay tọa độ) c 0
Trang 7Bài tập 17: Cho đường thẳng d: x và đường tròn y 3 0 ( ) :C x2y2 x 7y0.
Chứng minh rằng d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt , A B Hãy viết phương trình đường tròn
( ')C đi qua , A B và có bán kính R 3
Gợi ý:
Xác định các giao điểm A, B của d và (C)
Gọi ( ; )I a b là tâm của ( ') C Theo giả thiết:
3
IA IB IA
= ì í
=
î
Bài tập 18: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm (1; 1),P Q(3;1) và tiếp xúc với
đường tròn 2 2
( ') :C x y 4
Gợi ý: ( ') :C x2y2 có tâm (0;0),4 O R = 1
Lập phương trình đường trung trực Δ của PQ Gọi I ÎΔ (tọa độ 1 ẩn) là tâm của (C)
Xét 2 trường hợp:
TH 1: (C) và (C’) tiếp xúc ngoài, tức là OI =R1+R2 ÛOI = +1 IAÞ giải ra I
TH 2: (C) và (C’) tiếp xúc trong, tức là OI = R1-R2 ÛOI = -1 IA Þ giải ra I
Bài tập 19: Viết phương trình đường tròn có bán kính R , đi qua 2 M(2;0) và tiếp xúc với
đường tròn 2 2
( ') :C x y 1
Gợi ý:
Gọi ( ; )I a b là tâm của ( ) C Theo giả thiết:
1
= ì í
= +
î Từ đây, giải ra I
Bài tập 20: Viết phương trình đường tròn có bán kính R , và tiếp xúc với đường tròn 2
( ') :C x y 1 vµ ®êng th¼ng y 0
Gợi ý:
Gọi ( ; )I a b là tâm của ( ) C
Ta có, (C) tiếp xúc với Ox nên 2 2
2
b
b
= é
= Û = Û ê
= -ë
TH 1: b=2Þ I a( ; 2) Theo giả thiết IO'=R1+R2 Từ đây, giải ra I
TH 2: b= - Þ2 I a( ; 2)- Theo giả thiết IO'=R1+R2 Từ đây, giải ra I
Bài tập 21: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d: y tại điểm 2 0
(4; 2)
M và tiếp xúc với đường tròn 2 2
( ') :C x (y2) 4
Gợi ý:
Qua M dựng đường thẳng Δ vuông góc với d
Lúc đó, tâm I ÎΔ (tọa độ 1 ẩn) Dễ thấy R=IM
TH 1: II'=R+R'Û II'=IM +R' Từ đây, giải ra I
TH 2: II'= R-R' Û II'= IM -R' Từ đây, giải ra I
Bài tập 22: Cho đường tròn ( ') :C x2y2 Viết phương trình đường tròn ( )8 C tiếp xúc
với đường thẳng : x và đường tròn (C’) tại điểm 3 0 M(2; 2)
Gợi ý:
Trang 8Lập phương trình đường thẳng 'I M
Tâm IÎI M' (tọa độ 1 ẩn)
Ta có: II'=IM +I M' Û II'=d I x( , -3)+I M' Từ đây, giải ra I
Bài tập 23: (Đề dự bị 2003) Cho đường thẳng :d x-7y+10= Viết phương trình đường 0
tròn có tâm thuộc đường thẳng : 2D x+ y= và tiếp xúc với đường thẳng d tại điểm (4;2)0 A
Gợi ý:
Tâm I ÎΔ(tọa độ 1 ẩn) Theo giả thiết IA=d I d( , ) Từ đây, giải ra I
VẤN ĐỀ 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Bài tập 1: Cho đường tròn (C): (x-2)2+(y-1)2 =25 Viết phương trình tiếp tuyến của (C)
trong các trường hợp sau:
a Tại điểm (5; 3)M - b Biết tiếp tuyến song song : 5D x-12y+2= 0
c Biết tiếp tuyến vuông góc : 3D x+4y+2= 0
d Biết tiếp tuyến đi qua (3;6)A
Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): 2 2
4 2 0
x +y - x- y= tại giao điểm của (C) và đường thẳng : D x+y=0
Bài tập 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x2+y2-4x-2y= xuất phát từ (3; 2)0 A -
Gợi ý: (C) có tâm (2;1) I và R= 5
Cách 1: Gọi ( ) ( 2 2 )
n= a b a +b > là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm:
: (a x 3) b y( 2) 0 ax by 3a 2b 0
D - + + = Û + - + =
D là tiếp tuyến của (C) ( ) ( 2 2)
2 2
+ - +
+
b
a
b
a
é
= Û = ê
ê = - Û = -êë
TH 1: b=2a
Lúc đó: D: (a x-3) 2 (+ a y+2)=0Û - +x 3 2(y+2)=0Û +x 2y+ = (do 1 0 a¹ ) 0
2
b= - a
Lúc đó: : ( 3) 1 ( 2) 0 3 1( 2) 0 2 8 0
D - - + = Û - - + = Û - - = (do a¹ ) 0 Kết luận: Vậy có 2 tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A
1: x 2y 1 0
D + + = , D2: 2x- - =y 8 0
Cách 2: Xác đ ịnh tọa độ các tiếp điểm
Gọi M0(x y0; 0) là tiếp điểm của tiếp tuyến xuất phát từ A và đường tròng (C)
Suy ra:
2 2
0
4 2 0 ( )
ì + - - = Î
Û
î ïî Từ đây, giải ra hai tiếp điểm…
Trang 9Bài tập 4: Cho đường tròn (C): x2+y2-6x+2y+6= và điểm (1;3)0 A
a Chứng tỏ A nằm ngoài đường tròn (C)
b Lập phương trình tiếp tuyến với (C) xuất phát từ A
Bài tập 5: Cho đường tròn (C): (x+1)2+(y-2)2 = và điểm (2; 1)9 M -
a Chứng tỏ qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến D và 1 D với (C) Hãy viết phương trình 2
của D và 1 D 2
b Gọi M1 và M2 lần lượt là hai tiếp điểm của D và 1 D với (C), hãy viết phương trình 2
1 2
M M
Gợi ý: (C) có tâm ( 1;2) I - và R= 3
a Ta có IM(3; 3)- ÞIM =3 2 >3=R
nên M nằm ngoài (C)
Vậy từ M tồn tại 2 tiếp tuyến với (C)
Cách 1: Gọi ( ) ( 2 2 )
n= a b a +b > là một vectơ pháp của tiếp tuyến cần tìm (Như câu trên)
Cách 2: Gọi M0(x y0; 0) là tiếp điểm
Lúc đó, tiếp tuyến của (C) tại M có dạng 0 D : (x+1) (x0+1) (+ y-2) (y0 -2) = 9
Mặt khác do D qua (2; 1)M - nên: (2 1+ ) (x0+1) (+ - -1 2) (y0-2) =9Û x0-y0 = (1) 0
Do M0(x y0; 0)Î( )C Û(x0+1)2+(y0-2)2 =9 (2)
Từ (1) và (2), giải hệ:
2, 2
- =
= - =
ïî Suy ra hai tiếp điểm M1( 1; 1), - - M2( 2; 2)
-TH 1: Tiếp tuyến D qua 1 M(2; 1)- và M1( 1; 1)- - có phương trình: y= - 1
TH 2: Tiếp tuyến D qua 2 M(2; 1)- và M2( 2; 2)- - có phương trình:
4 6 0
2 2 2 1
b) Theo trên, hai tiếp điểm là M1( 1; 1), - - M2( 2; 2)- -
1 2 1 2
Cách 2: (Không cần xác định tọa độ M1, M2)
Gọi M x y1( 1; 1), M2(x y2; 2)
Tiếp tuyến của (C) tại M1: (x+1) (x1+1) (+ y-2) (y1-2)= 9
Mặt khác do D qua M(2; 1)- nên: (2 1+ ) (x1+1) (+ - -1 2) (y1-2) =9Û x1-y1=0 (3)
Tương tự, tiếp tuyến của (C) tại M1: (x+1) (x2+1) (+ y-2) (y2-2) = 9
Mặt khác do D qua M(2; 1)- nên: (2 1+ ) (x2+1) (+ - -1 2) (y2-2) =9Û x2-y2 = (4) 0
Từ (3), (4) dễ thấy: M1, M2Î D:x-y=0 hay đường thẳng M M1 2: x-y=0
Bài tập 6: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn:
a) (C1) :x2+y2-6x+ =5 0 và (C2) :x2+y2-12x-6y+44=0
Trang 10b) (C1) :x2+y2-2x- = và 3 0 (C2) :x2+y2-8x-8y+28= 0
c) (C1) :x2+y2+2x-2y- =3 0 và (C2) : 4x2+4y2-16x-20y+21= 0
d) (C1) :x2+y2 = và 1 (C2) :x2+y2 -4y- = 5 0
Gợi ý:
6b) (C1) :x2+y2-2x- = và 3 0 (C2) :x2 +y2 -8x-8y+28= 0
Ta có ( )C1 có 1( )
1
1; 0 2
I R
ìï í
= ïî
T©m B¸n kÝnh và (C2) có 2( )
2
4; 4 2
I R
ìï í
= ïî
T©m B¸n kÝnh
Ta có: I I1 2 =(3; 4)ÞI I1 2 =5>4=R1+R2
V ậy ( )C1 và ( )C1 ngoài nhau nên tồn tại 4 tiếp tuyến chung cần tìm
: ax by c 0 a b 0
D + + = + > là tiếp tuyến chung của ( )C1 và (C2)
Lúc đó, theo giả thiết: ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
;
2
ì +
=
î
(1) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
3 4 0
4 4
4 4
2
+ = é
+ = + +
-ê + = - + + =
3 4 0
3
a+ b= Û = -a b
Lúc đó, (1) trở thành: 2 2
14
2
b
é
= ê
ê
= -ë
* Với 14 , 4
c= b a= - b tiếp tuyến 1: 4 14 0 4 3 14 0
3bx by 3 b x y
D - + + = Û - + + =
* Với 2 , 4
3
c= - b a= - b tiếp tuyến 2: 4 2 0 4 3 6 0
3bx by b x y
D - + - = Û - + - =
2
Lúc đó, (1) trở thành:
2
5 4
2
-
= Þ = -é
ê
ê = Þ = -ë
* Với c= -2 ,b a=0 tiếp tuyến D3: by-2b=0Û - =y 2 0
* Với 74 , 24
c= - b a= b tiếp tuyến 4: 24 74 0 24 7 74 0
7 bx by 7 b x y