Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ.. Biết tích một nghiệm của phương trình 1 với một nghiệm của phương trình 2 là một ng[r]
Trang 1BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHỐI 10
MÔN: ĐẠI SỐ
I – PHƯƠNG TRÌNH.
1 (BT_364_10/07) Tìm m để phương trình x2 – x + m = 0 có hai nghiệm dương x1, x2 sao cho P = 4 4 5 5
x x x x
đạt GTLN
HD: P = x1x2(1 – 3x1x2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
2 (BT_363_9/07) Cho a ≠ 0 Giả sử b, c là hai nghiệm phân biệt của phương trình x2 – ax - 12 =0 Chứng minh
2a
rằng b4 + c4 ≥ 2 + 2
3 (BT_363_9/07)Cho a,b,c,d R Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 4 phương trình sau có nghiệm ax2 + 2bx + c =
0, bx2 + 2cx + d = 0, cx2 + 2dx + a = 0, dx2 + 2ax + b = 0
4 (BT_367_1/08) Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 Chứng minh rằng trong ba phương trình x2 – 2ax + b = 0, x2 – 2bx + c = 0 , x2 – 2cx + a = 0 có ít nhất một phương trình có hai nghiệm phân bệt và ít nhất một phương trình vô nghiệm
5 (BT_366_12/07) Giải phương trình x2(x4 – 1)(x2 + 2) + 1 = 0
HD: Chuyển về A2 = 0
2
HD: Đặt u = 2, v = Chuyển phương trình về dạng aA + b + cB = 0
1
x x
2 1
x x
7 (BT_366_12/07) Giải phương trình x4 = 24x + 32
HD: Chuyển về A2 = B2
8 (BT_359_5/07) Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 có các số a, b, c là các số nguyên lẻ Chứng minh rằng nếu phương trình có nghiệm thì các nghiệm của phương trình ấy không thể là số hữu tỷ
9 (BT_368_2/08) Giải phương trình x4 - 2x3 + 4x2 – 3x – 4 = 0
10 (Olympic 95 - 05) Cho ba phương trình x2 + ax + 1 = 0(1), x2 + bx + 1 = 0 (2) , x2 + cx + 1 = 0 (3) Biết tích một nghiệm của phương trình (1) với một nghiệm của phương trình (2) là một nghiệm của phương trình (3) Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + abc = 4
1 1
2 2
1 2
1 2
1
(4) 1
(5) (6) 1
x
x
x x
1 2
2 1
ab c
Từ (4),(5) ta có 2 2 2 2 Nhân lại ta có
1 2
1
11 Nghiệm của phương trình x2 + ax + b + 1 = 0 là các số tự nhiên khác 0 Chứng minh rằng a2 + b2 cũng là số tự nhiên
12 Có thể có hay không biệt số của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 với hệ số nguyên a, b, c bằng 23
13 Giả sử a, b, c là các số sao cho 2a , a + b, c là các số nguyên Chứng minh rằng với x Z thì ax2 + bx + c cũng nguyên
14 Tìm a Z để phương trình có nghiệm nguyên.
a) x2 + ax + a = 0
b) x2 – (3 + 2a)x + 40 – a = 0
Trang 2c) x2 – (1 + 2a)x + 19 – a = 0.
d) x2 + (a + 1)x + a + 2 = 0
15 Tìm các số hữu tỷ dương x, y sao cho x + y và 1 1 là các số nguyên
x y
16 Cho f(x) = ax2 + bx + c Biết phương trình f(x) = x vô nghiệm Chứng minh rằng phương trình af2(x) + bf(x) + c
= x vô nghiệm
17 Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0 thoả mãn |f(x) ≤ 2008 khi | x | ≤ 1 Chứng minh rằng |a| + |b| + |c| ≤ 4.2008
18 Giả sử |ax2 + bx + c| ≤ 1 khi |x| ≤ 1.Chứng minh rằng |cx2 + bx + a| ≤ 2 khi |x| ≤ 1
HD: Giả sử a ≥ 0.
19 Cho f(x) = ax2 + bx + c, a ≠ 0
a) Chứng minh rằng: Nếu ac < 0 thì Phương trình f(f(x)) = 0 có nghiệm
HD: ay1 > 0 PT: ax2 + bx + c = y1 có nghiệm
b) Cho a = 1 Giả sử phương trình f(x) = x có hai nghiệm phân biệt Chứng minh rằng phương trình f(f(x)) = x
có 4 nghiệm phân biệt nếu (b + 1)2 > 4(b + c + 1)
20 Cho f(x) = ax2 + bx + c Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1 Chứng minh rằng
a) |a| + |b| + |c| ≤ 3
b) |f(x) | ≤ 7 với |x| ≤ 2
Cho f(x) = ax2 + bx + c Thoả mãn |f(- 1) |≤ 1, |f(1) |≤ 1, |f(0) |≤ 1 Chứng minh rằng |f(x) | ≤ , |x| ≤ 1.5
4
21.
22.
II– PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ.
1 (BT_364_10/07) Giải phương trình 3 1 1
1
2 x 2 x
HD: Đặt u = 3 1 , v = Chuyển về hệ phương trình
2x
2 (BT_364_10/07) Giải phương trình 4 x x2 1 x x2 1 2
HD: Đặt t = 4 x x2 1 Tính 4 x x2 1 theo t Chuyển về phương trình ẩn t
3 (BT_364_10/07) Giải phương trình 7x2 22x28 7x2 8x13 31x2 14x 4 3 3(x2)
HD: 7x2 22x28 (2x1)2 3(3x)2 3(3x)
7x 8x13 (2x1) 3(x2) 3(x2)
31x 14x13 (2x1) 3(3x1) 3(x2)
4 (BT_363_9/07) Giải phương trình 4 x 1 x 2x 5
HD: C1: Đặt u = x 1 , v = Chuyển về HPT
x
x
C2: Chuyển về PT tích hoặc dạng A2 = B2
5 (BT_365_11/07) Giải phương trình 2(x2 8) 5 x3 8
HD: Phương trình dạng đẳng cấp aA + b A B + cB = 0
6 (BT_366_12/07) Giải phương trình x2 + 2 = 2 x3 1
HD: C1: aA + b A B + cB = 0 C2: Chuyển về A2 = 0
7 (BT_366_12/07) Giải phương trình x y z 4 2 x 2 4 y 3 6 z5
HD: Chuyển về A2 + B2 + C2 = 0
Trang 38 (BT_366_12/07) Giải phương trình 1 1 2.
x x x
HD: Đặt t = 1 Chuyển về phương trình ẩn t
4
x
9 (BT_366_12/07) Giải phương trình x4 x2 2008 2008
HD: Đặt y = x2 2008 Chuyển về hệ phương trình
10 (BT_366_12/07) Giải phương trình 4x2 5x 1 2 x2 x 1 9x3
HD: C1: Nhân hai vế với biểu thức liên hợp.
C2: Đặt a 4x2 5x1,b x2 x 1 Chuyển về hệ phương trình ẩn a, b
11 (BT_366_12/07) Giải phương trình 2 x 1 6 9x2 6 (x1)(9x2) 38 10 x2x2 x3
HD: Đặt t = x 1 3 9x2 Chuyển về phương trình ẩn t
12 (BT_366_12/07) Giải phương trình 2x2 4x 7 x4 4x3 3x2 2x7
HD: Đặt u = (x + 1)2, v = 2(x1)2 5 Chuyển về hệ phương trình
13 (BT_362_8/07) Giải phương trình x3 36 3 x 6 6
HD: Đặt z = 3 x6, y = 3 z6 Chuyển về hệ phương trình “Hoán vị vòng quanh” Giả sử x ≥ y ≥ z
14 (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình m x 1 3 x 1 24 x2 1 có nghiệm
HD: Đặt t = 4 1 Do t = nên 0 ≤ t < 1 Chuyển về vẽ bảng biến thiên hàm số bậc hai
1
x x
2 1 1
x
15 (BT_361_7/07) Tìm m để phương trình x 1 4m x4 2 3x 2 (m3) x 2 0 có nghiệm
HD: Đặt t = 4 2 Tìm điều kiện của t Chuyển bài toán về theo tam thức bậc hai
1
x x
2
2 4 8 2 4
x
HD: Áp dụng công thức A2 | |A
17 (BT_359_5/07) Giải phương trình x x2 x 1 x 1 x2 x 1 1
18 (BT_368_2/08) Gải phương trình 2x2 2x 1 4x1
19 (BT_368_2/08) Giải phương trình 4x x 2 3 4 3 10 3 x
20 (Olympic 04) Giải phương trình 2x x 1 1 1 3 x 1
HD: Đặt t = 1 1 Chuyển về phương trình bậc 2 ẩn t, xem x là tham số
x
PT: t = 2( x 1 1) Vô nghiệm
PT: t = x 1 1 Bình phương hai vế chuyển về (x x1)2 0
21 (Olympic 99) Giải phương trình 2 3 4 2
3
HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp.
Trang 422 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x3 2 3 33 x2.
HD: Đặt y = 33x2 Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y
23 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x2 4x 2 x2
HD: Đặt x2= y – 1 Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y
24 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình x2 4x 6 2x2 5x 3 3x2 9x5
HD: Giải PT bằng phương pháp đánh giá VT ≥ 2 ≥ VP.
25 (Olympic 95 - 05) Giải phương trình 2 3, x ≥ - 1
2
x
HD: Đặt 3 = y + 1 Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II ẩn x, y
2
x
26 (Olympic 95-05) Giải phương trình 2(x2 3x2) 3 x3 8
HD: Chuyển về phương trình đẳng cấp.
27 (Olympic 95-05) Giải phương trình 15 2
HD: Đặt y = 15( 30060 1 1) Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại II
28 (Olympic 95-05) Giải phương trình 5x2 14x 9 x2 x 20 5 x1
HD: Chuyển vế bình phương hai vế Chuyển về phương trình đẳng cấp.
29 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt
.
x
HD: Đặt t = x 1 ; t ≥ 2 Chuyển về tam thức bậc hai
x
30 (Olympic 95-05) Giải phương trình x 4 x(1x)2 4(1x)3 1 x 4 x3 4 x2(1x)
HD: Đặt ẩn phụ u = 4 x, v = 41 x Chuyển về phương trình tích
31 (Olympic 95-05) Giải phương trình x2 x 19 7x2 8x13 13x2 17x 7 3 3(x2)
HD: Phân tích trong các căn (2x – 1)2 Áp dụng BĐT A2 B2 | |A
32 (Olympic 95-05) Giải phương trình x2 8x816 x2 10x267 2003
HD: Phương pháp BĐT |a b | | | | |a b Xét a(4x; 20 2), (5b x;11 2)
33 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất x 1x2 x m 1x2
HD: Đặt ẩn phụ t x 1x2 , - 1 ≤ t ≤ 2
34 (Olympic 95-05) Giải phương trình 2x15 32 x2 32x20
HD: Đặt ẩn phụ 2x154y2 Chuyển về HPT đối xứng loại II
35 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất 2 x 4 x 8 2 x x 2 m
HD: Đặt ẩn phụ t 2 x 4x, 6 ≤ t ≤ 2 3 m2 3 3
36 (Olympic 95-05) Tìm m để phương trình có nghiệm x2 x 1 x2 x 1 m
HD: Xét ( 1; 3), ( ;1 3), ( ;0) Ta có AB = 1 và PT |AM – BM| < AB = 1
37 (Olympic 06) Giải phương trình (x1) x2 2x 3 x2 1
Trang 5HD: Đặt t = x2 2x3 Tính x2 , Chuyển về phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số.
38 (Olympic 06) Giải phương trình 1 2 2
HD: Chuyển về phương trình chứa gt tuyệt đối ở VT, phân tích thành nhân tử ở VP.
39 (Olympic 06) Giải phương trình (x x 2)(x2 3x2007) 2005 x 4 4 x 304 x2 x 1 2006
HD: PT (x2 x 1)2 2005(x 1x)2 304 x2 x 1 0
40 (Olympic 04_11) Giải phương trình
2
3
1 1
x x
x
HD: Chuyển vế Bình phương Chuyển về phương trình đối xứng bậc 4
41 (Olympic 06) Giải phương trình 1 3 1 0
x
HD: Quy đồng Nhân liên hợp
42 (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x 3 2 x 4 x4 x 4 m
43 (BT) Tìm m để phương trình sau có nghiệm x4 x 4 x x 4 m
44.
III - BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
1 (BT_359_5/07) Giải bất phương trình x2 2x 3 x2 6x11 3 x x1
2 (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình 9x2 16 2 2x 4 4 2x
HD: Bình phương hai vế Đặt t = 8x2 32 Chuyển về bất phương trình bậc hai ẩn t xem x là tham số
3 (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình x2 (1 3)x 2 x2 (1 3)x 2 3 2 x2 2x2
HD: Nhân hai vế với 2 Phân tích (x2)2 x2 (x1)2 (x 3)2 (x1)2 (x 3)2 6
Chọn O(0;0), M(x;y), A(2; 0), B(- 1; 3), C(- 1; - 3) Ta có BPT MA + MB + MC ≤ 6
và ABC đều.Dùng phép quay 600 MA + MB + MC = AM + MM1 + M1C ≥ AC1 = 6
B
Q BPT M O
4 (Olympic 95 - 05) Giải bất phương trình
2
35 12 1
x x x
HD: Đặt x = , Đặt t = a + 1
a
2
1 a
5.
IV - HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
1 4
HD: Đặt u = x + , v = y + 1
x
1
y
2 (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình
3
2
x y
HD: Giải PT(1) Thế vào PT(2).
TH1: x = 2 v x = 1 13 TH2: C/m PT vô nghiệm
Trang 63 (BT_363_9/07) Giải hệ phương trình
1
xy yz zx
HD: c/m x, y , z cùng dấu 20 x 1 20 x2 1 20 x2 xy yz zx 20(x y x z)( ) Tương tự
c/m xy < 0 Suy ra HPT vô nghiệm
4 (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình
1
xy yz zx
5 (BT_367_1/08) Giải hệ phương trình
2 2
9 2
6 (BT_365_11/07) Giải hệ phương trình x y3 31 2 2
HD: PT(2) x3 + y3 = 1(x2 + y2) x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2)
2 2 2
2008 2008 2008 32008
x y z xy yz zx
8 (BT_361_7/07) Hệ phương trình x y m2 2 có nghiệm (x;y) Tìm GTLN , GTNN của P = x3 + y3
9 (BT_361_7/07) Tìm m > 0 để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
10 (BT_359_5/07) Giải hệ phương trình
HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II.
11 (BT_368_2/08) Giải hệ phương trình
y x
12 (BT_368_2/08) Giải hệ phương trình
2008 2007 2006
2008 2007 2006
2008 2007 2006
2
2
2
HD: TH1: xyz = 0 Xét các khả năng.
TH2: xyz ≠ 0 Chia hai vế của các phương trình cho x2y2z2 Đặt a 1;b 1;c 1 Cộng hai vế của các phương
trình
Trang 714 (Olympic 02) Giải hệ phương trình
2
3
2008 1
1
2
2
2
x
x
x
HD: Nếu hệ phương trình có nghiệm (x1; x2;….;x2008) thì x1, x2,….,x2008 phải cùng dấu và
(-x1; -x2;….;-x2008) cũng là một nghiệm của HPT
Ta chỉ xét x1, x2,….,x2008 > 0 Áp dụng BĐT Cauchy ta có xi ≥ 1 Cộng theo vế các phương trình ta có x1 + x2 +
….+x2008 = Từ đó ta có x1= x2=….= x2008 = 1
Suy ra x1= x2=….= x2008 = ± 1
15 (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình
3 2
HD: Cộng theo vế chyển về tổng các lập phương Xét các trường hợp.
TH1: x > 2 y, z > 2 HPT vô nghiệm TH2: x < 2 y, z < 2 HPT vô nghiệm
TH3: x = 2 y = z = 2
16 (Olympic 06) Chứng minh rằng hệ phương trình 12 có một nghiệm duy nhất trong tập các số
2
xy yz zx xyz x y z
thực dương Chứng minh rằng hệ có nghiệm với x, y, z thực phân biệt
HD: Nhận xét (2;2;2) là một nghiệm HPT 2 2
2
1
1
z
x y
z
xy
z
(x + y)2 ≥ 4xy (z – 2)2(2z + 11)(2z + 1) ≤ 0
17 (Olympic 06) Giải hệ phương trình
HD: TH1: Xét y = , TH2: Xét y ≠ Rút x2 2 = theo y Suy ra 0 ≤ y < Tương tự
3
2 3
2 3
0 ≤ x,y,z < KN1: x = y = z = 0 KN2: = … ≤ 1.Tương tự.2
3
y x
18 (Olympic 02_11) Cho ba số dương x, y, z thoả mãn hệ phương trình Tính giá trị P = xy +
2 2
2 2
25 3 9 3
16
y
y z
2yz + 3zx
HD: Xét ABC có AB = 4, BC = 5, CA = 3 và điểm M trong ABC sao cho
Trang 8 MBC có các cạnh , ,5 và
3
y
MCA có các cạnh , ,3 và
3
y
MAB có các cạnh x z, , 4 và AAMB1200
Ta có S BMC S CMAS AMB S ABC Suy ra P = 24 3
4 4
2 2
2
HD: Tính 2 1, theo x, y Quy đồng và cộng trừ theo vế Suy ra tính (x + y)5 và (x – y)5
x y
20 (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
4 4
HD: Hệ đối xứng loại II.
21 (BT) Giải hệ phương trình
2
2
1 2
1 2
y
x
22 (BT) Giải hệ phương trình
3 3
1
x y
23 (BT) Giải hệ phương trình
3 3 7
x y
xy x y
3
x xy y
25 (BT) Giải hệ phương trình
y
x x
y
26 (BT) Giải hệ phương trình
2 2
2 2
HD: Xét x = 0, y = 0 Chia hai phương trình đặt t = x
y
27 (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình 3
28 (BT_364_10/07) Giải hệ phương trình
5 2
5 0
x y
Trang 9HD: Đặt t = x Giải phương trình (1) theo ẩn t.
y
29 (BT_364_10/07)* Giải hệ phương trình
12
3 12
3
x
y x
y
y x
HD: Chia x cả hai vế cho phương trình (1), Chia y cả hai vế cho PT(2)
Cộng và trừ hai PT ta được HPT mới
Nhân hai vế của hai PT Giải phương trình đẳng cấp
3
9
27
x y z
x y z
x x y y z z
x x y y z z
HD: Đặt a = x 1 , b = , c = Ta có 3(a +b)(b +c)(c + a) = (a + b + c)3 – (a3 + b3 + c3)
x
y
z
31 (BT_361_7/07) Giải hệ phương trình 2 3 2 1
HD: Hệ phương trình đối xứng loại II.
32 (BT_361_7/07) Tìm m để hệ phương trình 1 3 có nghiệm
HD: Cách giải hệ phương trình đối xứng loại II Nhân hai vế với biểu thức liên hợp.
33 (Olympic 2000) Giải hệ phương trình
5
42 5
42
y
x
HD: Chia PT (1) cho 2y, chia PT(2) cho x Cộng và trừ theo vế ta có hai phương trình Nhân theo vế hai phương trình ta có phương trình đẳng cấp
34 (Olympic 95-05) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 1 2
3
HD: Đặt ẩn phụ u x1;v y2, u, v ≥ 0 Chuyển về hệ phương trình đối xứng loại I
35 (Olympic 95-05) Giải hệ phương trình
HD: Hệ phương trình đối xứng loại II Trừ vế theo vế Sau đó nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp.
36 (BT) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 2 1
Trang 10HD: Đặt ẩn phụ u , v.
37 (BT) Giải hệ phương trình
2 2
1 1
4 1 1
4
38 (BT) Tìm m để hệ phương trình x y m có nghiệm
39.
V - BẤT ĐẲNG THỨC.
1 (BT_364_10/07) Cho a,b,c >0 và ab + bc + ca =1 Chứng minh rằng
Quy đồng từng cặp ở VT và phân tích đa thức thành nhân tử Thay ở VP 1 = ab + bc + ca Sau đó phân tích đa thức thành nhân tử cho các tử thức
Đặt x c a b( ),y a b c( ),z b c a( )
BĐT x y z xy yz zx
2 (BT_364_10/07) Cho a,b,c ≥ - thoả mãn abc + ab + bc + ca + a +b + c ≥ 0 Chứng minh a + b + c ≥ 0.3
2
HD: Phân tích GT, Đặt x = a + 1, y = b +1, z = c + 1, Ta có GT xyz ≥ 1
Cần c/m x + y + z ≥ 3
TH1: x,y, z > 0, TH2: x,y < 0, z > 0 c/m 0 < xy ≤ 1
4
3 (BT_364_10/07) Tìm số thực m lớn nhất sao cho số thực k 1; 2 để bất đẳng thức
được thoả mãn a,b,c >0
2
k
a b c
HD: Cho a = b = c Ta có 32k ≥ 9(k +1) + m Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli c/m m ≤ 54 và dấu “=” xảy ra khi
k = 2
Chứng minh BĐT đúng với m = 54, k = 2 Áp dụng BĐT Cauchy
4 (BT_363_9/07) Cho a,b, c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng
3
3
5 (BT_363_9/07) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = abc Chứng minh rằng a3 b3 c3 1
HD: BĐT Cauchy a3 1 22 Tương tự
ab
6 (BT_365_11/07) Tìm GLNN, GTLN của biểu thức P = 4 4
6
x y
7 (BT_366_12/07) Cho x > y và xy = 1 Chứng minh rằng
2 2
2 2
x y
HD: x2 y2 (x y)2 2xy (x y) 2 Áp dụng BĐT Cauchy