Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên 3.1 Kỹ thuật c[r]
Trang 1MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
BUNYAKOVSKI
A MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI
Quy tắc song hành: Đa số các bất đẳng thức đều có tính đối xứng nên chúng ta có thể
sử dụng nhiều bất đẳng thức trong chứng minh một bài toán để định hướng cách giải nhanh hơn
Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức có vai trò rất quan trọng Nó giúp ta
kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính vì vậy khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức hoặc các bài toán cực trị ta cần rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện của dấu bằng mặc dù một số bài không yêu cầu trình bày phần này
Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm về tính xảy ra
đồng thời của dấu “=” khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp hoặc song hành nhiều bất đẳng thức thì các dấu “=” phải cùng được thỏa mãn với cùng một điều kiện của biến
Quy tắc biên: Đối với các bài toán cực trị có điều kiện ràng buộc thì cực trị thường đạt
được tại vị trí biên
Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng thì vai trò của các biến trong các
bất đẳng thức là như nhau do đó dấu “=” thường xảy ra tại vị trí các biến đó bằng nhau Nếu bài toán có điều kiện đối xứng thì chúng ta có thể chỉ ra dấu “=”xảy ra tại khi các biến đó bằng nhau và bằng một giá trụ cụ thể
B MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
I BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
Cho n số thực không âm a1,a2, ,a n, n n Z, 2, ta luôn có:
n
n
n n a a a a
a
a1 2 1 2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 a n
Trang 2II MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
1 Kỹ thuật tách ghép bộ số
1.1 Kỹ thuật tách ghép cơ bản
Bài 1: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: abbcca 8abc
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(đpcm)
abbcca2 ab.2 bc.2 ac 8abc
Bài 2: Cho 4 số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng:
a bc d
bd
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
1 2
1 2
1 2
1
d c
d c b a
b a d
c
d b a
b d
c
c b a a
d c
d b a
b d
c
c b a
a d
c
b
a
bd ac
(đpcm)
a bc d
bd
Bài 3: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa Chứng minh rằng:
c b
c a
a c cb c ab
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
1 1
2
1 1
2 1
2
1 2
1
.
b
c a
c a
c b
c
b
c b a
c a
c a b c
b
c b a
c a
c a b
c ab
c b c c
a
c
(đpcm)
a c cb c ab
Trang 3Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:
3
1 abc a b c
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
1 1
1 1
1 1
1 3 1
1 1
1 3
1 1
1 1
1 1
1 3 1
1
1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
1
3 3
3
3
c
c b
b a
a
c
c b
b a
a c
b a
c
c b
b a
a c
b a
c b
a
abc
(đpcm)
3
1 abc a b c
Bài 5: Cho 2 số thực dương a, b thỏa Chứng minh rằng:
1
1
b a
ab a
b b
a 1 1
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(1)
2 2
1
b
a
Tương tự: (2)
2
1 ab
a
b
Cộng theo vế (1) và (2), ta được:
(đpcm)
ab a
b
b
a 1 1
Bài 6: Cho 2 số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16abab 2 ab4
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
(đpcm)
2 2 2
2 2
2
2 4 2
4 4 4
4
Bài 7: Cho 3 số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:
1 b b1 c c1 a 33 abc1 3 abc
Giải:
Ta có:
b b c c a a b c ab bc ca
a1 1 1
Trang 4Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
3
3
abc ca
bc
ab
abc c
b
a
abc abbcca 3 3 abc 3 3 abc 2 3 3 abc1 3 3 abc
(đpcm)
1 b b1 c c1 a 33 abc1 3 abc
Bài 8: Cho 2 số thực dương a, b Chứng minh rằng: ab 1
a
b b
a ab
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 2 2
2 2
a
b b
a a
b ab b
a ab a
b b
a
ab
2
2
2 2
2
2 2
2
a
b b
a a
b ab b
a ab
Bài 9: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa abc 10 Tìm GTLN của: Aa2b3c5
Giải:
Ta có:
337500 5
3 2 1
5
3
2
1 5
3
2
5
3
2
10 5 5 5 5 5 3 3 3 2 2 10
5 3 2 5 3 2 5
3 2 10
5 3 2
10
5 3 2
c b a c
b a c
b a
c b a c
c c c c b b b a a c b a
Dấu “=” xảy ra
5 3
2 1
10 5
3 2 10
5 3 2
c b
a c
b a c b a c
b a
c b a
Vậy GTLN của A là 337500
1.2 Kỹ thuật tách nghịch đảo
Bài 1: Chứng minh rằng: 2 , a,b 0
a
b b a
Giải:
Vì a,b 0 nên 0 , 0
a
b b
a
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(đpcm) 2
.
a
b b
a a
b
b
a
Trang 5Bài 2: Chứng minh rằng: 3 , 1
1
a a
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(đpcm)
1
1 1 2
1 1
1 1 1
a
a a
a a
a
Bài 3: Chứng minh rằng: R
a a
a
, 2 1
2
2 2
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(đpcm) 2
1
1 1 2
1
1 1 1
1 1 1
2
2
2 2
2 2
2 2
2
a
a a
a a
a a
a
Bài 4: Chứng minh rằng: , 0
2
1 9 1
3
4
2
a
Giải:
Với a 0 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
(đpcm) 2
1 3 3
1 2
1 3
3 1 1 3
9 3 1
1 9
1
3
2 2
2 2 2
4 2 4
2
a a
a a a
a a a
a
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 , 1
1 1
2 2
a
a a
A
Giải:
1 1 2 2 2 1
1 1
2
1
1 1 1
1
1 1 1
1
2 2 1
2
2 2
2
2 2
2 2 2
2 2
2
a a
a a
a
a
a a
a
a a a
A
Cauchy
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi hay
2
2
1
1 1
2
a
a
2
8
2 4
a
Vậy GTNN của A 2 2 2
Trang 6Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 22 , a 0
a a A
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
2
3 2
1 3 2
2 2
1 2
2 3 2
2 2
1 2 2
a a
a a a
a
a a a a
A
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 22 hay
2 a
a a 3 4
Vậy GTNN của 3 4
2
3
A
) (
b a b a
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
1 1 33 1 3
b a b b a b b
a b b a b b a b
a
Bài 8: Chứng minh rằng:
4
b b a a
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2
1 2
1
1
2
1 2
1
4
1 2
1 2
1
1 2
1 2
1 1
4
4
2
b b b a
b b
b a
b b b a
b b
b a b
b a a
1.3 Kỹ thuật ghép đối xứng
Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm một số thao tác sau:
Phép cộng:
a c c b b a c b a
a c c b b a c b a
2
2 2
2
ca bc ab c
b a
c b a ca
bc ab abc
2 2 2
0 , , ,
Trang 7Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: a b c
c
ab b
ca a
bc
Giải:
Ta có:
c b a a
bc c
ab c
ab b
ca b
ca a bc
a
bc c
ab c
ab b
ca b
ca a
bc c
ab
b
ca
a
bc
.
.
2
1 2
1 2
1
Bài 2: Cho ba số thực abc 0 CMR:
c
a b
c a
b a
c c
b b
a22 22 22
Giải:
Ta có:
c
a b
c a
b c
a b
c a
b b
a a
c a
c c
b c
b b a
b
a a
c a
c c
b c
b b
a a
c
c
b
b
a
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
1 2
1 2
1
Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1 CMR:
3
c b a c
b a b
a c a
c b
Giải:
3 3
2
2 2
2
2 2
2 2
c b a c b a c
b a
c b a c b a c b a
a
bc c
ab c
ab b
ca b
ca a bc
a
bc c
ab c
ab b
ca b
ca a
bc
c
ab b
ca a
bc c
ab b
ca a
bc c
b a b
a
c
a
c
b
Vậy a b c 3
c
b a b
a c a
c
b
Trang 8Bài 4: Cho CMR:
2 ,
, ,
,AB c BC a CA b p a b c
p ap bp c abc
8
1
Giải:
Ta có:
a b p b c p c a abc
p
a p c p c p b p b p a p
a p c p c p b p b p a p c
p b
p
a
p
8
1 2
2 2
2 2 2
2
2
2
2 ,
, ,
,AB c BC a CA b p a b c
p
1 1 1 2 1 1
1
Giải:
Ta có:
c b a
a p c p c p b p b p a p
a p c p c
p b p b
p a p
a p c p c
p b p b
p a p c
p b
p
a
p
1 1 1 2
2
1 2
1 2
1
1 1
1
1 1
2
1 1
1 2
1 1
1 2
1 1 1
1
1.4 Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo
Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau
Với n N và x1,x2, ,x n 0 thì
1 1 1 2
2 1 2
x x
x x x
x
n
Chứng minh bất đẳng thức trên :
Ta có với x1,x2, ,x n 0 thì
2 1 2
1 2
1 2
1
1
1
1 1
x x x n x x x n x x
x x x
n
n
n n
Trang 9Với n 3 và x1,x2,x3 0 thì
1 1 1 9
3 2 1 3 2
x x x x x x
Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: 6
c
b a b
a c a
c b
Giải:
Ta có:
3
3 1
1 1
c b a c b a
c
b a c b
a c b a
c b a
c
b a b
a c a
c b c
b a b
a
c
a
c
b
Bài 2: Cho ba số thực dương a, b, c CMR:
2
3
c a c
b c b a
(Bất đẳng thức Nesbit)
Giải:
Ta có:
2
3 3 2 9
3 1 1
1 2
1
3 1 1
1
3
3 1
1 1
b a a c c b b a a c c b
b a a c c b c b a
b a
b a c a c
a c b c b
c b a
b a
c a
c
b c
b
a b
a
c a
c
b
c
b
a
Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR:
2
2 2
a c
b c b
a b a
Giải:
a b c
a c
b b c b
a a b a
c c a c
b c
b
a
b
a
2 2
2 2
2
2
a c
b b
c b
a a
b a
c
Trang 10a b c
a c
b a c b c b
a c b a b a
c b a
a b c
a c
b c b
a b a
c c b
1
a c
b c b
a b a
c c b a
Theo bất đẳng thức Nesbit đã chứng minh ở bài 2 thì:
2
3
c a c
b
c
b
a
Do đó
(đpcm)
2
1 2
3
2 2
c b a a c
b c
b
a
b
a
Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Chứng minh bất đẳng thức
sau:
9 2
1 2
1 2
1
2 2
a
Giải:
Do abc 1 ta có:
2
1 2
1 2
1 2
2 2
2
1 2
1 2
1 2
2 2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
ab c
ca b
bc a
ab c
ac b
bc a
ab c
ca b
bc a
ac bc ab c
b a
ab c
ca b
bc a
c b a ab c
ca b
bc
a
2 Kỹ thuật đổi biến số
Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh, khó nhận biết được phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta có thể đưa bài toán về dạng đơn giản và dễ nhận biết hơn
Bài 1: Cho ABC,ABc,BC a,CAb CMR:
(1)
bcacababcabc
Giải:
Trang 11Đặt:
2 2 2
y x c
x z b
z y a
z c b a
y b a c
x a c b
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
2
2
2
.y z x y y z z x
x
Do trong tam giác, tổng độ dài của hai cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại nên :
x,y,z0
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
x y yz zx xy. yz zx xyz
2
2
2 Hay bcacababcabc (đpcm)
Bài 2: Cho ABC,ABc,BC a,CAb CMR:
(1)
3
c b
a c
b a
c b a
Giải:
Đặt:
2 2
2 0
0 0
y x c
x z b
z y a
z c b a
y b a c
x a c b
Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:
z
y x y
x z x
z y
2 2
2
Ta có:
3 2
2 2
2 2 2
2
1 2
1 2
1 2 2
2
z
y y
z z
x x
z y
x x y
z
y y
z z
x x
z y
x x
y z
y x y
x z x
z y
c b
a c
b a
c b a
Trang 12Bài 3: Cho ABC,ABc,BC a,CAb CMR:
(1)
c b a c b a
c b a c
b a
c b
2 2
2
Giải:
2 2
2 0
0 0
y x c
x z b
z y a
z c b a
y b a c
x a c b
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
x y z
z
y x y
x z x
z
4 4
4
2 2
2
Ta có:
y x z x
yz z
xy z
xy y
zx y
zx x yz
x
yz z
xy z
xy y
zx y
zx x
yz z
xy y
zx x
yz z
y x y
x z x
z
y
2
1 2
1 2
1 4
4 4
2 2
2
c b a
c b a c
b a
c b
a
2 2
2
2 ,
, ,
,AB c BC a CA b p a b c
(1)
p ap bp c
p c
p b
p a
p 2 2 2
1 1
1
Giải:
2
a b c a p
Tương tự:
0
0
c p
b p
z c p
y b p
x a p
0 0 0
Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:
Trang 13
xyz
z y x z y x
2
1 1 1
Ta có:
xyz
z y x zx yz xy x z z
y y
x
x z z
y y
x z
y
x
1 1 1 1 1 1
1 1
1
1 1 2
1 1 1 2
1 1 1 2
1 1 1 1
2 2 2
2 2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
p ap bp c
p c
p b
p a
p 2 2 2
1 1
1
Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: (1)
2
3
c a c
b c b a
Giải:
2 2 2
z y x c
y x z b
x z y a
z b a
y a c
x c b
Khi đó bất đẳng thức (1) trở thành:
2
1 2
2
2
z
z y x y
y x z x
x z y
Ta có:
2
3 2
3 2
2 2
2 2 2
2
3 2
1 2
1 2
1 2
2 2
z
y y
z z
x x
z y
x x y
z
y y
z z
x x
z y
x x
y z
z y x y
y x z x
x z
y
2
3
c a c
b c b a
Bài 6: Cho 3 số thực không âm a, b, c thỏa acbc 1 CMR:
(1)
1 2 1 2 1 2 4
a
Trang 14
Giải:
Đặt:
y x b a x y
y x
y x b a
xy y
c b
x c
1 1
Khi đó vế trái của bất đẳng thức (1) trở thành:
1 2 12 12 4
x
Ta có:
2
1 2
2 2 2
1
2
1 1
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2
y x y x
y x y x
y x y xy x
y x y x y x y x
Vậy 1 2 1 2 1 2 4 (đpcm)
a
Bài 7: Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz1
Tìm GTNN của biểu thức:
y y x x
y x z x x z z
x z y z z y y
z y x A
2 2
2
2 2
2
Đề thi Đại học khối A năm 2007
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
y y x x
z z x
x z z
y y z
z y y
x x
y y x x
zxy z z x x z z
yzx y y z z y y
xyz x x
y y x x
xy z
x x z z
zx y
z z y y
yz x
A
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
2
2
Trang 15
c b a z
z
c b a y y
c b a x
x
y y x x c
x x z z b
z z y y a
2 4
9 1
4 2 9 1
4 2 9 1
2 2 2
Khi đó
6 12 3 2 9
2
3 3 4 6
9
2
4 6
9
2
2 4
4 2 4
2 9
2
3
c
b b
a a
c b
c c
a a b
c
b b
a a
c b
c c
a a b
c
c b a b
c b a a
c b a A
Dấu “=” xảy ra abc 1
Vậy GTNN của A là 2
3 Kỹ thuật chọn điểm rơi
Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
Các biến có giá trị bằng nhau Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm
Khi các biến có giá trị tại biên Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn điểm rơi trong các trường hợp trên
3.1 Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên
Xét các bài toán sau:
Bài toán 1: Cho số thực a 2 Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của 1
a a
A
Sai lầm thường gặp là: 1 2 1 2 Vậy GTNN của A là 2.
a
a a a A
Nguyên nhân sai lầm: GTNN của A là 2 1 a 1vô lý vì theo giả thuyết thì
a a
2
a
Lời giải đúng:
2
5 4
2 3 1 4
3 1 4
2 4
3 1 4
a
a a
a
a a a A