Về kĩ năng : Giúp học sinh : - Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân ; - Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân trong các[r]
Trang 1Chương III- DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN.
BÀI 1- PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
(tiết 47+48 NC ĐS>11)
A Mục tiêu:
1 Kiến thức: Giúp cho học sinh
- Có khái niệm về suy luận quy nạp;
- Nắm được phương pháp quy nạp toán học
2 Kĩ năng:
- Giúp học sinh biết cách vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải quyết các bài toán cụ thể đơn giản
3 Thái độ, tư duy:
- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi
- Tư duy: phát triển tư duy logic, tính chặc chẽ trong giải toán
B Chuẩn bị của thầy và trò:
1 Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT
2 Học sinh: đọc trước bài ở nhà
C Phương pháp giảng dạy: gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động.
D Tiến trình bài học: (tiết 1: mục 1 và ví dụ 1 mục 2; tiết 2: tiếp mục 2 và BT SGK)
1 Ổn định tổ chức:
2 Bài mới:
Hoạt động 1:
-H1: Hãy kiểm tra với
n=1,2?
-H2: c/m n=3 đúng bằng
cách sử dụng H1
-H3: có thể thử với mọi
n không?
- Tuy nhiên dựa vào lập
luận trên ta có thể đưa ra
cách c/m bài toán
+n = 1,2: (1) đúng +Cộng thêm hai vế
với 2.3 ta c/m đc (1)
đúng
+ không thể
1 Phương pháp quy nạp toán học:
Bài toán: Chứng minh mọi số nguyên dương n ta có:
(1) 3
) 2 )(
1 ( ) 1 (
3 2 2
1 n n n n n
Khái quát: Ta có thể c/m được mệnh đề sau: Nếu (1)
đúng với n=k (nguyên dương) thì nó cũng đúng với n=k+1
Giái bài toán trên:
+ n = 1: 1=1 (đúng) + Giả sử (1) đúng với n=k (ng dương)
Ta có:
3
) 2 )(
1 ( ) 1 (
3 2 2
1 k k k
k k
suy ra
3
) 3 )(
2 )(
1 ( ) 2 )(
1 ( 3
) 2 )(
1 (
) 2 )(
1 ( ) 1 (
3 2 2 1
k k k k
k k
k k
k k k
k
Vậy (1) đúng với mọi n nguyên dương
Phương pháp quy nạp toán học:
Để c/m mệnh đề A(n) đúng n N * ta thực hiện:
B1: C/m A(n) đúng khi n=1.
B2: n N * giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng minh A(n) cũng đúng với n=k+1
Hoạt động 2:
H1: Thử với n=1
H2: Thực hiện bước 2
+ 1=1 ( đúng) + Giả sử đúng với n=k, cần chứng minh đúng với n=k+1
2.Một số ví dụ:
Vídụ1: CMR n N * , ta luôn có:
4
) 1 (
3 2
1 3 3 3 n3 n2 n 2 HD:
4
) 2 ( ) 1 ( ) 4 4 (
4
) 1 (
) 1 ( 4
) 1 ( )
1 (
3 2 1
2 2
2 2
3 2
2 3 3
3 3 3
k k
k k k
k k
k k
k
Hoạt động 3:
Trang 2HĐ của GV HĐ của HS Ghi Bảng
+Gọi 2 hs lần lượt làm 2
bước
+ HS tự làm
+n=1: u1=10 5 +Giả sử đúng n=k, cần
cm đúng khi n=k+1
+ 2k+1=2.2k>2(2k+1)=
4k+2>2k+3>2(k+1)+1 ( vì k 3)
Ví dụ 2: CMR un=7.22n-2 + 32n-1 5, n N * HD: uk+1=7.22(k+1)-2 + 32(k+1)-1=7.22k-2+2 + 32k-1+2
=28.22k-2 + 9.32k-1 =4(7.22k-2 + 32k-1)+5.32k-1 5 Chú ý: trong thức tế ta có thể gặp bài toán yêu cầu
CM A(n) đúng n p Khi đó ta cũng cm tương tự nhưng ở B1 thì thử với n=p
Ví dụ 3: CMR 2n>2n+1, n 3.
Bài tập SGK
+ Gọi HS lên bảng làm
+ Gọi HS lên bảng làm
+ Gọi HS nói cách làm
+ Gọi HS trả lời tại chỗ
+ HS làm bài
+ HS làm bài
+ HS trả lời
+ Không được vì chưa thử với n=1
Bài 1: HS tự làm.
Bài 2: HS tự làm.
Bài 3: Khi n=k+1, ta có:
1
1 2
1
1 1
2
1 1
k
k k
k
1 1
1 1 1
1 ) 1 ( 2
k
k k k
k k VP
(Côsi và k k+1)
Bài 4: HS tự làm ( lưu ý n 2).
Bài 5: Khi n=k+1:
) 1 ( 2
1 1 2
1 2
1
3
1 2
1
k
1
1 ) 1 ( 2
1 1 2
1 2
1
3
1 2
1 1
1
k k k
k k
k k
24
13 ) 1 2 )(
1 ( 2
1 2
1
3
1 2
1 1
1
k k k k
k k
Bài 6:(là ví dụ 2) Bài 7: Cho số thực x>-1 CMR (1x)n 1nx
Khi n=k+1:
(1+x)k+1 =(1+x)k(1+x) (1+kx)(1+x)
=1+(k+1)x +kx2 1+(k+1)x
Bài 8: Không đúng vì chưa thử với n=1.
3 Củng cố: Nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp và cách vận dụng
4 Bài về nhà:
- Hết tiết 39: các bài tập SGK trang 100, 101
- Hết tiết 40: 1) CMR un=13n-1 6 , n N.
6
) 1 2 )(
1 (
3 2
12 2 2 2 n n n
Bai 2 DÃY SỐ
Tiết 49 + 50
A Mục tiêu:
1 Kiến thức:
- Giúp học sinh có một cách nhìn nhận mới, chính xác đối với khái niệm dãy số - cách nhìn nhận theo quan điểm hàm số
- Học sinh nắm vững các khái niệm: dãy số vô hạn, dãy số hữu han
- Nắm được khái niệm dãy số không đổi
2 Kỹ năng:
Lop10.com
Trang 3- Biết cách ký hiệu một dãy số và biết rằng ngoài cách ký hiệu dãy số như SGK, người ta còn dùng các ký hiệu khác để ký hiệu một dãy số, chẳng hạn {x n}n1 hay n u n,
- Biết xác định các số hạng trong dãy số cho trước, viết dãy số đã cho dưới dạng khai triển
- Biết cho ví dụ về dãy số để khắc sâu định nghĩa
3 Tư duy và thái độ:
- Tích cực tham gia xây dựng bài học, có tinh thần làm việc theo nhóm
- Biết khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự
B Chuẩn bị của thầy và trò:
1 Chuẩn bị của giáo viên:
- Dụng cụ dạy học, bảng phụ
2 Chuẩn bị của học sinh:
- Dụng cụ học tập
C Phương pháp dạy học:
Phương pháp gợi mở vấn đáp, đan xen hoạt động nhóm
D Tiến trình bài dạy:
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung ghi bảng
Hoạt động 1: Nêu vấn đề học
bài mới
- Giáo viên trình bày như SGK
trang 101 để giới thiệu cho học
sinh dãy số )0, ,
2
1
2
1 (
, (1)
2
)
2
1
(
- Học sinh hiểu vấn đề giáo viên trình bày: có thể coi dãy
số (1) là một hàm số xác định trên tập các số nguyên dương
2 DÃY SỐ
1 Định nghĩa và ví dụ:
Hoạt động 2: Hình thành định
nghĩa:
- Giáo viên yêu cầu học sinh
đọc Định nghĩa 1 (SGK trang
101)
- Giáo viên giới thiệu các khái
niệm: giới hạn của dãy số, số
hạng thứ nhất, số hạng thứ
hai, và ký hiệu các giá trị đó
- Học sinh đọc định nghĩa theo yêu cầu của giáo viên
- Học sinh nghe và hiểu các khái niệm và cách ký hiệu các
số hạng của dãy số
Định nghĩa: (SGK)
Hoạt động 3: Cho ví dụ minh
họa
- Ví dụ 1: hàm số
1 2 ) (
n n
n u
, xác định trên tập N*, là một
dãy số
- Sau đó yêu cầu học sinh tìm
năm số hạng đầu của dãy trên
- Giáo viên cho học sinh tìm ví
dụ để khắc sâu định nghĩa dãy
số - hoạt động theo nhóm và
trình bày trước lớp
- Giáo viên giới thiệu ký hiệu
dãy số uu (n) như SGK và
cho ví dụ minh họa, chẳng hạn
có thể ký hiệu dãy số ở ví dụ 1
bởi
1
2n
n
- Học sinh thực hiện các yêu cầu của giáo viên trong tinh thần hợp tác lẫn nhau
- Học sinh tìm ví dụ trong tinh thần hợp tác theo nhóm và trình bày kết quả trước lớp
- Cả lớp nhận xét và bổ sung ý kiến cho kết quả của bạn
- Học sinh hiểu nội dung giáo viên truyền đạt
Ví dụ 1: hàm số
1 2 ) (
n n
n u
với nN* là 1 dãy số có
1
1
u
3
2
2
u
7
3
3
u
Ký hiệu: SGK trang 102
Người ta cũng thường viết dãy
số (u n) dưới dạng khai triển:
, u1 u2, , u n,
Trang 4- Giáo viên giới thiệu dãy số
trên còn có ký hiệu khác như
1 1
2n n
n
1
2n
n
n
- Giáo viên yêu cầu học sinh
viết dãy số dười dạng khai
triển
- Ví dụ 2: Cho hàm số
xác định trên tập
3
)
(n n
1;2;3;4;5
M
Tính u(1),u(2),u(3),u(4),u(5)
- Giáo viên giới thiệu hàm số
trên là một dãy số hữu hạn
Viết dưới dạng khai triển ta
được: 1;8;27;64;125
- Giáo viên treo bảng phụ có
ghi phần chú ý trang 102 để
giới thiệu dãy số hữu hạn
- Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên:
, , , ,1 ,
3
2 3
7
1
2n
n
- Thực hiện theo yêu cầu của giáo viên và đứng tại chỗ trả lời kết quả
- Học sinh đọc nội dung trên bảng phụ để hiểu và nắm khái niêm dãy số hữu hạn
Chú ý: (SGK)
Hoạt động 4: Củng cố
- Cho học sinh làm bài tập H6 a, b trang 105
- Giáo viên cho dãy số ( ) 3(1 n2)0 cho cả lớp nhận xét dãy số trên và giới thiệu khái niệm dãy số
n
u n không đổi cho học sinh
- Giáo viên nhấn mạnh: định nghĩa dãy số vô hạn trong SGK thực chất là cách gọi tên cho một loại hàm
số xác định trên tập số N*
- Cho học sinh làm bài 9b trang 105
E Hướng dẫn học ở nhà:
- Học kỹ lại lý thuyết, làm bài tập 9a,c/105
- Đọc phần 2/103: cách cho dãy số
- Đọc phần 3/103: dãy số tăng, dãy số giảm
F Bài tập làm thêm:
Bài 1
a Viết 5 số hạng đầu của dãy có số hạng tổng quát cho bởi công thức (1)n 1(2n 1)
n
u
b Tìm ví dụ về dãy số vô hạn; dãy số hữu hạn
I/ Mục tiêu
1/ Về kiến thức
- Nắm được khái niệm về dãy số, số hạng của dãy số, các cách cho một dãy số
- Nắm được định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số bị chặn
- Nắm được phương pháp quy nạp toán học
2/ Về kĩ năng
- Vận dụng được phương pháp quy nạp vào chứng minh bài tập về dãy số
- Vận dụng kiến thức tìm các số hạng của dãy số
3/ Về tư duy, thái độ
- Rèn luyện tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp
- Có thái độ cẩn thận, chính xác khi làm toán
Lop10.com
Trang 5II/ Chuẩn bị
- Giáo viên: Đồ dùng dạy học
- Học sinh : Học bài cũ, làm bài tập ở nhà
III/ Phương pháp dạy học
- Phưong pháp gợi mở, vấn đáp
IV/ Tiến trình bài học
1) Ổn định, điểm danh
2) Nội dung
Hoạt động 1
Bài 15/sgk Cho dãy số (un) xđịnh bởi u1 = 3 và un+1 = un + 5 với mọi n 1.
a) Hãy tính u2, u4 và u6 b) Cmr un = 5n - 2 với mọi n 1.
- Nghe, hiểu câu hỏi
- Trả lời câu hỏi
- Lên bảng trình bày
- Theo dõi bài bạn, đưa ra
nhận xét
- Tái hiện lại kiến thức, trả
lời câu hỏi
- Nghe, làm theo huớng
dẫn
-Làm ra vở nháp, lên
bảng trình bày
- Theo dõi bài làm,
nhận xét, chỉnh sửa
-Tiếp nhận ghi nhớ
- Muốn tính u2, u4 và u6 ta
áp dụng kiến thức nào?
- Gọi HS lên bảng trình bày câu a
-Gọi 1 HS nhận xét
- GV nhận xét
- Nêu cách hiểu của em về phương pháp quy
nạp toán học ?
- GV hưóng dẫn HS vận dụng vào cm câu b
- Yêu cầu HS trình bày hướng giải quyết theo các bước đã học
- GV nhận xét bài giải, chính xác hoá
- Củng cố kiến thức
a) Theo gt u1 = 3 và
un+1 = un + 5 ta c ó
u2 = u1 + 5 = 8
u4 = u3 + 5 = 18
u6 = u5 + 5 = 28
b) Cm un = 5n - 2 (1)
*
N
n
Với n = 1, ta có
u1 = 3 = 5.1- 2 Như thế (1) đúng khi n = 1
Giả sử (1) đúng khi
n = k, k N*, ta sẽ cm nó cũng đúng khi
n = k +1
Thật vậy, từ công thức xđịnh dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có
uk+1 = uk + 5 = 5k-2+5=
= 5(k+1) -2
Vậy (1) đúng nN*
Hoạt động 2
Bài 16/sgk 109
-Tái hiện kiến thức, trả lời
câu hỏi
- Vận dụng gt vào cm
-Tiếp nhận
- Làm bài vào vở
- Nêu cách cm dãy số tăng?
-Yêu cầu HS cm
-Nhận xét,chỉnh sửa -Tương tự bài 15, yêu cầu
HS tự cm câu b
a) Từ gt ta có
un+1 -un = (n+1).2n > 0,
1
n
Do đó (un) là 1 dãy số tăng
Hoạt động 3
Bài 17/sgk 109
- Tiếp nhận tri thức mới
- Suy nghĩ, trả lời câu hỏi
- Giới thiệu cho HS khái niệm dãy số không đổi
- Nêu câu hỏi gợi ý: Muốn
cm (un) là dãy số không đổi
Ta sẽ cm un = 1, n1, bằng phương pháp quy nạp Với n = 1, ta có u1 = 1 Với n = k, ta có
Trang 6-Thảo luận theo nhóm, cử
đại diện trình bày
- Nhận xét, chỉnh sửa
- Tiếp nhận, ghi nhớ
ta cm điều gì?
-Cho HS thảo luận theo nhóm
-Nhận xét lời giải
- Củng cố kiến thức
u1 = u2 = = uk = 1 và
uk+1 = 1
1
2
k
u
Ta sẽ cm n = k +1 thì thì un
= 1, n1 Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có
1 1
2 1
2
2 1
k
u
Vậy (un) là dãy không đổi
3/ Củng cố toàn bài
- Kiền thức về tìm số hạng của dãy
- Vận dụng phương pháp quy nạp vào chứng minh
Bài tập củng cố: Bài 18/sgk
Dặn dò: làm các bài tập tương tự trong sách bài tập Xem trước bài Cấp số cộng.
52 - 53 DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN.
BÀI 3- CẤP SỐ CỘNG
-*** -E Mục tiêu:
1 Kiến thức: Giúp cho học sinh
- Nắm được khái niệm cấp số cộng;
- Nắm được một số tính chất cơ bản của ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng
- Nắm được công thức số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên
2 Kĩ năng:
- Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng
- Biết cách tìm số hạng tổng quát và tông n số hạng đầu
- Biết vận dụng CSC để giải quyết một số bài toán ở các môn khác hoặc trong thức tế
3 Thái độ, tư duy:
- Thái độ: tích cực tiếp thu tri thức mới, hứng thú tham gia trả lời câu hỏi
- Tư duy: phát triển tư duy logic, lên hệ trong thực tế
F Chuẩn bị của thầy và trò:
1 Giáo viên: đọc kĩ SGK, SGV, SBT
2 Học sinh: đọc trước bài ở nhà
G Phương pháp giảng dạy: gợi mở vấn đáp kết hợp các hoạt động.
H Tiến trình bài học: (tiết 45: mục 1, 2, 3; tiết 46: mục 4 và bài tập)
1 Ổn định tổ chức:
2 Kiểm tra bài cũ:
- Nêu các tính chất của dãy số
- Xác định tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số: (3n1); n
2
1
22
3 Bài mới:
Hoạt động 1:
+ Có nhận xét gì các sồ
hạng của dãy số?
+Từ ví dụ trên hãy đưa ra
ĐN về cấp số cộng
+ Số hạng sau hơn số hạng ngay trước nó 1 đơn vị
1 Định nghĩa:
Ví dụ1: Nhận xét dãy số: 0, 1, 2,…, n, n+1,
Nhận xét: Từ số hạng thứ 2, mỗi số hạng bằng tổng số hạng ngay trước nó cộng với 1
ĐN: Dãy số hữu hạn hoặc vô hạn (u n ) là CSC
u n =u n-1 + d, n 2.
+ d không đổi gọi là công sai
+ Kí hiệu CSC: u 1, u2, u3, …, un, …
Lop10.com
Trang 7+ Dãy số đã cho có phải là
CSC không? Nếu có hãy
nêu công sai và u1
a) là CSC có d= 2 và
u1=0
b)CSC:d=1,5và u1=3,5
Ví dụ 2:
a) Dãy số 0, 2, 4, …, 2n, … b) Dãy số 3,5; 5; 6,5; 9; 10,5; 12
Hoạt động 2:
+Tính uk-1, uk+1 theo uk và
d rồi tìm quan hệ giữa 3 số
hạng uk, uk-1, uk+1
+ Gọi HS lên bảng làm
+ uk-1= uk-d
uk+1= uk+d suy ra
2
1
k
u u u
+Giả sử A B C,ta có:
C A B C
C B A
2 90
180
0
0
A=300; B=600 và
C=900
2 Tính chất
2
1
k
u u
<H2> Cho CSC (un) có u1=-1 và u3=3 Tìm u2,
u4
Ví dụ 3: Ba góc A, B, C của tam giác vuông
ABC theo thứ tự lập thành CSC Tính 3 góc đó
Hoạt động 3:
+CSC có u1 và d Hình
thành công thức tính un
bất kỳ
+ Gọi HS làm tại chỗ
+Cho học sinh tự nghiên
cứu
+ u1= u1+ 0.d
u2=u1+ d
u3=u2+ d=u1+2d
u4=u3+ d=u1+4d …
un=u1+(n-1)d
Chứng minh lại bằng quy nạp
+ u31=-77
3 Số hạng tổng quát:
ĐL 2: Cho cấp số nhân (u n ) Ta có:
u n =u 1 +(n-1)d.
<H3>Cho CSC (un)có u1=13, d=-3 Tính u31.
<Ví dụ 2> trang 111 SGK
Hoạt động 4:
+ Nhận xét tích của hai số
hang trong cùng một cột ở
sơ đồ trong SGK Từ đó
rút ra Sn
+ Viết lại CT trên dựa vào
CT u n =u 1 +(n-1)d.
+ Gọi HS nêu cách làm ví
dụ 3 trang 113 SGK
+<H4> Sử dụng chú ý của
ĐL3 làm cho nhanh
+<H5>Yêu cầu học sinh
tính tiền lương sau n năm
theo 2 phương án
Dựa vào kết quả T1-T2 cho
+ bằng u1+un
2
) (u1 u n
n
+ un là mức lương ở quý
n (un) là CSC với u1=4,5
và d=0,3
Cần tính u12
+ Hoc sinh tinh rồi đọc kết quả
+ Trả lời
4 Tổng n số hạng đầu tiên của một CSC:
ĐL 3: Cho CSC (u n ), gọi S n =u 1 +u 2 +…+u n
, n 1.
2
) (u1 u n
n
2
) 1 (
2u1 n d n
<Ví dụ 3>trang 113 SGK.
Giải: Gọi un là mức lương ở quý thứ n thì:
u1= 4,5 và d=0,3 u12=4,5+(12-1).0,3=7,8
triệu
6
12 8 , 7 5 , 4 2
12
13 1
S
<H4> HS tự làm
2
23 3
2
3 1 36
2
1
T
Trang 8học sinh phát biểu cách
chọn
) 3 ( 2 5
5 , 13 2 2 2
5 , 0 1 4 7 2 4
2 1
2
n
n T T
n n n
n T
Nếu làm trên 3 năm thì chọn PA 2, dưói 3 năm thì chọn PA 1
Hoạt động 5: bài tập SGK
+ Gọi học sinh nêu PP và
giải bài 19
+ Gọi học sinh nêu PP và
giải bài 20
+ Gọi HS trả lời TN
+ Gọi HS làm tại chỗ và
đọc kết quả
+ Bài 23: HDHS đưa u20
và u51 về u1 và d rồi tính
u1 và d sau đó viết công
thức un
+ Biểu diễn um, uk qua u1
và d
+ DH hs c/m bằng quy
nạp
+ Có thể tính u1 và d (AD
bài 24) rồi tính S13
+ Học sinh trả lời
+ Học sinh trả lời
+ Học sinh trả lời
+ Học sinh trả lời
+ HS trả lời
Bài19:
a) un+1-un= 19, n 1 (un) là CSC b) un+1-un= a, n 1 (un) là CSC
Bài 20: Ta có:
8
1 8
, n 1 (un) là CSC 4
1
Chú ý: Để CM (u n ) là CSC ta cần CM
u n+1 -u n không đổi, n 1
Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm.
Bài 22:
28=u1+u3=2u2 u2=14 40=u3+u5=2u4 u4=20
u3=(u2+u4)/2=17
u1=28-u3=11 và u5=40-u3=23
Bài 23:
ĐS: un=-3n+8
Bài 24:
um=u1+(m-1)d và uk=u1+(k-1)d
um-uk=(m-k)d um=uk+(m-k)d
Áp dụng: HS tự làm ĐS: d=5
Bài 25: ĐS: un=5-3n
Bài 26:CM bằng quy nạp:
2
1
k k k
u u k u
S S
Bài 27: HS tự làm.
2
23 2
S
Bài 28:là ví dụ 3 trong phần bài học.
4 Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng Chú ý kết quả bài 24
5 Bài về nhà:
- Hết tiết 45: Bài tập SGK trang114, 115
- Hết tiết 46:
Bài 1: CM các dãy số sau là CSC: a) un=3n-7 b) un=(3n+2)/5
Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai CSC (un) biết: (ĐS: u1=3, -17; d=2)
75
8
7 2
3 7
u u
u u
Bài 3: Bốn số lập thành CSC Tổng của chúng bằng 22 và tổng bình phương thì bằng 166 Tìm 4 số
đó (ĐS: 1, 4, 7, 10)
I Rút kinh nghiệm:
CẤP SỐ NHÂN (TIẾT 54+55 + 56)
A MỤC TIÊU:
Lop10.com
Trang 91 Về kiến thức : Giúp học sinh :
- Nắm vững khái niệm cấp số nhân ;
- Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân ;
- Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của
một cấp số nhân
2 Về kĩ năng : Giúp học sinh :
- Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số nhân ;
- Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân trong các trường hợp không phức tạp ;
- Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên quan đến cấp số
nhân ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống
3 Về tư duy và thái độ :
Biết khái quát hoá , tương tự Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi
B CHUẨN BỊ CỦA THẦY & TRÒ:
1 Giáo viên : SGK , Giáo án Cần chuẩn bị trước ở nhà bảng tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu
và
bài toán nêu trong mục Đố vui
2 Học sinh : Học thuộc bài cũ Xem trước bài CSN , SGK , dụng cụ học tập
C PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC: Phát hiện và giải quyết vấn đề
D TIẾN HÀNH BÀI DẠY:
1 Ổn định lớp
2 Kiểm tra bài cũ + Định nghĩa cấp số cộng ?
+ Một CSC có 11 số hạng Tổng các số hạng là 176 Hiệu giữa số
hạng cuối và số hạng đầu 30 Tìm CSC đó ?
3 Bài mới
GV treo bảng phụ tóm tắt nội dung
của bài toán mở đầu :
Giả sử có 1 người gửi 10 triệu
đồng với kỳ hạn một tháng vào
ngân hàng nói trên và giả sử lãi
suất của loại kỳ hạn này là 0,04%
a) Hỏi nếu 6 tháng sau , kể từ ngày
gửi , người đó đến ngân hàng để rút
tiền thì số tiền rút được (gồm cả
vốn và lãi ) là bao nhiêu ?
b) Cùng câu hỏi như trên , với thời
điểm rút tiền là 1 năm kể từ ngày
gửi ?
* Gọi HS làm câu a) Sau đó gọi
HS khác trả lời câu b)
Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu
u n là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi
Ta có :
u 1 = 10 7 + 10 7 0,004 = 10 7 1,004 ;
u 2 = u 1 + u 1 0,004 = u 1 .1,004 ;
u 3 = u 2 + u 2.0,004 = u 2 1,004 ;
u n = u n - 1 + u n - 1.0,004 = u n -1.1,004 Tổng quát , ta có :
u n= u n -1 + u n - 1 0,004 = u n - 1 1,004 2
n
a) Vậy sau 6 tháng người đó rút được
u 6 = ? u 5 1,004 b) Sau 1 năm người đó rút được :
u 12 = ? u 11 1,004
Bài toán mở đầu:
+ Với mỗi số nguyên dương n ,ký
hiệu u n là số tiền người đó rút được (gồm cả vốn lẫn lãi) sau n tháng kể từ ngày gửi Ta có :
u 1 = 10 7 1,004 ;
u 2 = u 1 .1,004 ;
u 3 = u 2 1,004 ;
u n = u n - 1.1,004 Tổng quát , ta có :
u n= u n - 1 1,004 n 2
* Nhận xét tính chất dãy số (u n)
nói trên ?
+ Kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và 1,004
* Tổng quát dãy số (u n) được gọi
là cấp số nhân khi nào ? (u n) là cấp số nhân n 2,u n u n1.q 1.Định nghĩa:(u n) là cấp số nhân
1
2, n n
Trang 10( q là số không đổi , gọi là công bội của CSN )
Ví dụ 1: SGK Tr 116
H1: Trong các dãy số sau , dãy nào
là cấp số nhân ? Vì sao?
a) 4 ; 6 ; 9 ; 13,5
b) -1,5 ; 3 ; -6 ; -12 ; 24 ; - 48 ; 96 ;
-192
c) 7 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 0
Ví dụ 2: SGK Tr 116
* Gọi từng HS đứng tại chỗ với
mỗi VD
Từ VD1b) sau đó là 1a) cho học
sinh nhận xét kể từ số hạng thứ
hai , bình phương của mỗi số hạng
(trừ số hạng cuối đ/v CSN hữu hạn)
liên hệ thế nào với hai số hạng kề
nó trong dãy ?
* Hãy phát biểu tính chất nêu
trên ?
C/m:Gọi q là công bội của CSN
(u n) Xét 2 trường hợp :
+ q = 0 : hiển nhiên
+ q 0 : Viết u k qua số hạng
đứng trước và ngay sau nó ?
H2: Có hay không CSN (u n) mà u
99= -99 và u 101 = 101 ?
Ví dụ 3: SGK Tr 118
* PP c/minh dãy số là CSN ? Áp
dụng ?
* Từ bài toán mở đầu , biểu diễn
các số hạng u n (n2) theo u 1 và
công bội q = 1,004 ?
* Tổng quát CSN (u n) có số hạng
đầu u 1 và công bội q 0 có số
hạng tổng quát
u n = ?
Ví dụ 4: Từ bài toán mở đầu , tìm
u 6 và u 12 ?
H3 : SGK Tr 119
*Gọi HS đứng tại chỗ giải ( có thể
gợi ý xét sự tương đồng giữa BT
này và BT mở đầu để làm ) ?
* CSN (u n) có số hạng đầu u 1 và
công bội q Mỗi số nguyên dương n
, gọi S n là tổng n số hạng đầu tiên
của nó Tính S n
a) Dãy số là cấp số nhân ; vì kể từ số hạng thứ hai , mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với 1,5 b) không là cấp số nhân
c) là cấp số nhân , công bội q = 0
+ Đối với CSN 1b) + Đối với CSN 1a)
+ Nếu (u n) CSN thì u k = u k - 1 .u k +1 , k 2 + u k = u k - 1 q (k2)
k
u u q
Nhân các vế tương ứng , ta có (đpcm) + Không tồn tại , vì nếu ngược lại ta sẽ
có : u 2
100= u 99 u 101= - 99 101 < 0 + vn = q.vn -1 , n 2
+ vn = u n - = 3u 1 n - 1 - 1 -
2
1 2 = 3vn -1 , n 2
+ u 1 = 10 7 1,004 ;
u 2 = u 1 .1,004 ;
u 3 = u 2 1,004 = u 1 (1,004)2 ;
u n = u n - 1.1,004 = u 1 (1,004) n - 1 , n 2 + u n = u 1 ( q ) n - 1 , n 2
+ u n= 10 7 1,004.(1,004) n - 1
= 10 7 (1,004) n , n 1
+ u n = 3.10 6 (1 + 0,02) n
= 3.10 6 (1,002) n
+ Khi q = 1 thì u n= u 1 và S n= n.u 1 + Khi q 1 :
q S n = u 1+ u 2+ + u n+ u n + 1
S n - q S n = u 1 - u n + 1 = u 1(1 - q n )
2 Tính chất : Định lý 1:
Nếu (u n) CSN thì u k = u k - 1 .u k +1 , k 2
3 Số hạng tổng quát:
Từ bài toán mở đầu :
u 1 = 10 7 1,004 ;
u 2 = u 1 .1,004 ;
u 3 = u 1 (1,004)2 ;
u n = u 1 (1,004) n - 1 , n 2 + u n = u 1 ( q ) n - 1 , n 2
Định lý 2 : SGK Tr 118
Nếu CSN (u n) có số hạng đầu u
1 và công bội q 0 thì có số hạng tổng quát :
u n = u 1 ( q ) n - 1 , n 2
4.Tổng n số hạng đầu tiên của một CSN
Lop10.com