Chứng minh rằng nếu một ñường thẳng song song với trục hoành, cắt P tại hai ñiểm phân biệt A và B thì trung ñiểm C của ñọan thẳng AB thuộc trục ñối xứng của parabol P.. b Một ñường thẳng[r]
Trang 1§ 1 MỆNH ðỀ
I Lý thuyết
1.ðịnh nghĩa :
* Mệnh ñề là một câu khẳng ñịnh ñúng hoặc sai
* Một mệnh ñề không thể vừa ñúng hoặc vừa sai
* Mệnh ñề chứa biến không phải là một mệnh ñề tuy nhiên khi cho các biến nhận một giá trị nào ñó ta ñược một mệnh ñề
Ví dụ: *Câu “ 2 x+ >1 3” là một Mð chứa biến vì ta chưa khẳng ñịnh ñược tính ñúng sai của nó Tuy nhiên khi ta cho x nhận một giá trị cụ thể thì ta ñược một Mð , chẳng hạn x=1 ta ñược Mð sai, x=2 ta ñược Mð ñúng
2.Mệnh ñề phủ ñịnh:
Cho mệnh ñề P.mệnh ñề “không phải P ” gọi là mệnh ñề phủ ñịnh của P Kí hiệu là P Nếu P ñúng thì P sai, nếu P sai thì P ñúng
Ví dụ: P: “ 3 > 5 ” thì P : “ 3 ≤ 5 ”
3 Mệnh ñề kéo theo
*Cho 2 mệnh ñề P và Q Mệnh ñề “nếu P thì Q” gọi là mệnh ñề kéo theo Kí hiệu là P
⇒ Q Mệnh ñề P ⇒ Q chỉ sai khi P ñúng Q sai
ñó P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận
P là ñiều kiện ñủ ñể có Q và Q là ñiều kiện cần ñể có P
4 Mệnh ñề ñảo – Mệnh ñề tương ñương
* Cho mệnh ñề P ⇒ Q Khi ñó mệnh ñề Q ⇒ P gọi là mệnh ñề ñảo của P ⇒ Q
ñúng
hoặc “P khi và chỉ khi Q”
5 Kí hiệu ∃∃∃∃ và ∀
* ∃: Tồn tại, có một ( tiếng anh: Exist)
* ∀: Với mọi (All)
Phủ ñịnh của mệnh ñề “ ∀x∈ x, P(x) ” là mệnh ñề “∃x∈x, P(x) ”
phủ ñịnh của mệnh ñề “ ∃x∈ x, P(x) ” là mệnh ñề “∀x∈x, P(x) ”
II Bài tập:
Phần 1: Tự luận
Trang 2c) x + 3 = 5
d) 16 không là số nguyên tố
Bài 2: Nêu mệnh ựề phủ ựịnh của các mệnh ựề sau :
a) Ộphương trình x2 Ờx Ờ 4 = 0 vô nghiệm Ợ
b) Ộ 6 là số nguyên tố Ợ
c) Ộ∀n∈n ; n2 Ờ 1 là số lẻ Ợ
Bài 3: Phát biểu mệnh ựề P ⇒ Q và xét tắnh ựúng sai của nó và phát biểu mệnh ựề ựảo :
a) P: Ộ ABCD là hình chữ nhật Ợ và Q:Ộ AC và BD cắt nhau tại trung ựiểm mỗi
ựườngỢ
b) P: Ộ 3 > 5Ợ và Q : Ộ7 > 10Ợ
c) P: Ộtam giác ABC là tam giác vuông cân tại AỢ và Q :Ộ góc B = 450 Ợ
Bài 4: Cho các mệnh ựề sau
a) P: Ộ hình thoi ABCD có 2 ựường cho AC vuông góc với BDỢ
b) Q: Ộ tam giác cân có 1 góc = 600 là tam giác ựềuỢ
c) R : Ộ13 chia hết cho 2 nên 13 chia hết cho 10 Ợ
* Xét tắnh ựúng sai của các mệnh ựề và phát biểu mệnh ựề ựảo :
* Biểu diễn các mệnh ựề trên dưới dạng Mđ kéo theo
Bài 5: Phát biểu mệnh ựề A ⇒ B và A ⇔ B của các cặp mệnh ựề sau và xét tắnh ựúng sai
a) A : ỘTứ giác T là hình bình hành Ợ
B: ỘHai cạnh ựối diện bằng nhauỢ
b) A: ỘTứ giác ABCD là hình vuông Ợ
B: Ộ tứ giác có 3 góc vuôngỢ
c) A: Ộ x > y Ợ
B: Ộ x2 > y2Ợ ( Với x y là số thực )
d) A: Ộđiểm M cách ựều 2 cạnh của góc xOy Ợ
B: Ộđiểm M nằm trên ựường phân giác góc xOyỢ
Phần 2: Trắc nghiệm
Câu 1: Trong các mệnh ựề, mệnh ựề nào ựúng
I Ộ 3 và 5 là số chắnh phươngỢ II Các ựường cao của tam giác ựều bằng nhau III Các ựường trung tuyến của tam giác cân bằng nhau IV Ộ33 là số nguyên tốỢ
Câu 2: Phát biểu nào sau ựây là mệnh ựề ựúng:
I 2.5=10⇒Luân đôn là thủ ựô của Hà Lan II 7 là số lẻ ⇒ 7 chia hết cho 2
III 81 là số chắnh phương⇒ 81 là số nguyên IV 141 3⋮ ⇒141 9⋮
Câu 3: Mệnh ựề nào sau ựây sai ?
I ABCD là hình chữ nhật ⇒ tứ giác ABCD có ba góc vuông
II ABC là tam giác ựều ⇔ A = 600
Trang 3III Tam giác ABC cân tại A ⇒ AB = AC
IV.Tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn tâm O ⇒OA=OB=OC=OD
Câu 4: Tìm mệnh ñề ñúng:
I ðường tròn có một tâm ñối xứng và có một trục ñối xứng
II Hình chữ nhật có hai trục ñối xứng
III Tam giác ABC vuông cân ⇔ A = 450
IV Hai ∆ vuông ABC và A’B’C’ có diện tích bằng nhau ⇔ ∆ABC= ∆A B C' ' '
Câu 5: Tìm mệnh ñề sai:
I a chia hết cho 5 ⇒ a(a+1) chia hết cho 5
II Tam giác ABC vuông tại C ⇔ AB2 = CA2 + CB2
III Hình thang ABCD nôi tiếp ñường tròn (O) ⇔ ABCD là hình thang cân
IV 63 chia hết cho 7 ⇒ Hình bình hành có hai ñường chéo vuông góc nhau
Câu 6: Phủ ñịnh của mệnh ñề “ Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn
” là mệnh ñề nào sau ñây:
I Mọi số vô tỷ ñều là số thập phân vô hạn tuần hoàn
II Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn
III Mọi số vô tỷ ñều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn
IV Mọi số vô tỷ ñều là số thập phân tuần hoàn
Câu 7: Biết A là mệnh ñề sai, còn B là mệnh ñề ñúng Mệnh ñề nào sau ñây ñúng ?
I B⇒ A II B⇔ A III A ⇒B IV B⇒ A
Câu 8: Cho ba mệnh ñề:
• P : “ số 20 chia hết cho 5 và chia hết cho 2 ”
Hãy tìm mệnh ñề sai trong các mệnh ñề ñã cho dưới ñây:
I P ⇔(Q⇒R) , II R ⇔ Q III (R⇒P)⇒Q IV (Q⇒R)⇒P
Câu 9: Cho các câu sau:
c) Hãy trả lời câu hỏi này !
Số câu là mệnh ñề trong các câu trên là:
I 1 II 2 III 3 IV 4
Câu 10: Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P: " x2 ++++3x+ >+ >+ >+ >1 0"với mọi x là :
I Tồn tại x sao cho x2 +3x+ >1 0 II Tồn tại x sao cho x2 +3x+ ≤1 0
Trang 4I ∀x x: 2 +2x+5 là số nguyên tố II ∃x x: 2 +2x+5 là hợp số
III ∀x x: 2 +2x+5 là hợp số IV ∃x x: 2 +2x+5là số thực
Câu 11: Cho x là số thực mệnh ñề nào sau ñây ñúng ?
I ∀x x, 2 >5⇒ x> 5 ∨ < −x 5 II ∀x x, 2 >5⇒− 5 < <x 5
III.∀x x, 2 >5⇒x> ± 5 IV ∀x x, 2 >5⇒ x≥ 5∨ ≤ −x 5
Câu 12: Chọn mệnh ñề ñúng:
I ∀ ∈x N*,n2 -1 là bội số của 3 II ∃ ∈x Q x: 2 =3
III n∀ ∈N: 2n+1 là số nguyên tố IV.∀ ∈n N, 2n ≥ +n 2
Câu 13: Cho mệnh ñề chứa biến P(x) : "x+ ≤15 x2"với x là số thực Mệnh ñề ñúng là mệnh ñề nào sau ñây
I P(0) II P(3) III P(4) IV P(5) Câu 14: Trong các mệnh ñề sau mệnh ñề nào sai:
Câu 15: Cho n là số tự nhiên , mệnh ñề nào sau ñây ñúng
I ∀n: n(n+1) là số chính phương II ∀n: n(n+1) là số lẻ
III ∃n: n(n+1)(n+2) là số lẻ IV ∀n: n(n+1)(n+2) là số chia hết cho 6
Câu 16: Phủ ñịnh của mệnh ñề "∃ ∈x R x,5 −3x2 =1"là:
" ,5 3 1" " ,5 3 1"
." ,5 3 1" " ,5 3 1"
Câu 17:Cho mệnh ñề P(x) "∀ ∈x R x: 2 + + >x 1 0" Mệnh ñề phủ ñịnh của mệnh ñề P(x) là:
I "∀ ∈x R x: 2 + + <x 1 0" II "∀ ∈x R x: 2 + + ≤x 1 0"
III "∃ ∈x R x: 2 + + ≤x 1 0" IV "∃ 2
x∈R x + + >x
Câu 18: Chọn phương án ñúng trong các phương án sau: mệnh ñề "∃ ∈x R x: 2 =3" khẳng ñịnh:
I Bình phương của mỗi số thực bằng 3 II Chỉ có 1 số thực có bình phương bằng 3 III Có ít nhất 1 số thực có bình phương bằng 3 IV Nếu x là số thực thì x2=3
Câu 19: Kí hiệu X là tập hợp các cầu thủ x trong ñội tuyển bóng rổ, P(x) là mệnh ñề
chứa biến “ x cao trên 180cm” Chọn phương án trả lời ñúng trong các phương án sau: Mệnh ñề “ "∀ ∈x R P x: ( )"khẳng ñịnh rằng:
I Mọi cầu thủ trong ñội tuyển bóng rổ ñều cao trên 180cm
II Trong số các cầu thủ của ñội tuyển bóng rổ có một số cầu thủ cao trên 180cm III Bất cứ ai cao trên 180cm ñều là cầu thủ của ñội tuyển bóng rổ
IV Có một số người cao trên 180cm là cầu thủ của ñội tuyển bóng rổ
Trang 5§ 2 TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN
I Lý thuyết
1 Tập hợp là khái niệm cơ bản của toán học Có 2 cách cho tập hợp
* Liệt kê các phần tử :
VD : A = {a; 1; 3; 4; b} hoặc N = { 0 ; 1; 2; ; n ; }
* Chỉ rõ tính chất ñặc trưng của các phần tử trong tập hợp ; dạng A={ | ( )}x P x VD : A= ∈{x ℕ x lẻ và | x<10}⇒ A={1,3,5,7,9} * Tập con : A⊂ ⇔ ∀ ∈B ( x A⇒ x∈B) * Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng, kí hiệu: ∅ * Cho A ≠ ∅ có ít nhất 2 tập con là ∅ và A 2 Các phép toán trên tập hợp : Phép giao Phép hợp Hiệu của 2 tập hợp A ∩ B = { x /x ∈ A và x ∈ B } A ∪ B = { x /x ∈ A hoặc x ∈ B } A\ B = { x /x ∈ A và x ∉ B } Chú ý: Nếu B ⊂ A thì A B\ =C B A gọi là phần bù của B trong A
3 Các tập con của tập hợp số thực Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn ðoạn [a ; b] {x∈R a| ≤ ≤x b} Khoảng (a ; b ) Khoảng (-∞ ; a) Khoảng(a ; + ∞) {x∈R a| < <x b} {x∈R x| <a} {x∈R a| <x} Nửa khoảng [a ; b) Nửa khoảng (a ; b] Nửa khoảng (-∞ ; a] Nửa khoảng [a ; ∞ ) {∈R/ a ≤ x < b} {x∈R/ a < x ≤ b} {x∈R/ x ≤ a} {x∈R/ a ≤ x } //////////// [ ] ////////
)/////////////////////
////////////( ) /////////
///////////////////(
////////////[ ) /////////
////////////( ] /////////
]/////////////////////
///////////////////[
Trang 6II Bài tập
Phần 1: Tự luận
Bài 1: Hãy liệt kê các phần tử của các tập hợp sau
a) A= ∈{x Z| 2 | | 7}x < b) B = ∈{x R| 2x2 − − =x 1 0}
c) C={ ước của 18 và 15} d) D={Bội của 2 và 5}
Bài 2: Tìm A∩B A; ∪B A B, \ trong các trường hợp sau
a) A={1, 2,3, 4,5}; B={2,3,5,7,11}
b) A= ∈{x R| (x−1)(3x2 −5x+ =2 0}; B= ∈{x R x| 3 −4x2 +3x=0}
c) A= −[ 10;11); B= − +∞( 2; )
d) A= −∞( ;12]; B= −( 7;12)
Bài 3: Cho tập hợp A gồm 10 phần tử Hỏi A có bao nhiêu tập con gồm hai phần tử? Từ
ñó hay cho biết từ 10 ñiểm phân biệt ta có thể lập ñược bao nhiêu véc tơ mà ñiểm ñâu và ñiểm cuối là các ñiểm trong 10 ñiểm trên
Bài 4: Cho A= ∈{x N x | < 7} và B={1 ; 2 ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác ñịnh AUB ; A∩B ; \A B ; \ B A
b) CMR : (A∪B) \ (A∩B)=(A B\ )∪(B A\ )
Bài 5: ChoA={2;5};B={5; },x C ={ ; ;5}x y Tìm các cặp số (x ; y) ñể A= =B C
Bài 6: Cho Tv = tập hợp tất cả các tam giác vuông
T = tập hợp tất cả các tam giác
Tc = tập hợp tất cả các tam giác cân
Tñ = tập hợp tất cả các tam giác ñều Tvc= tập hợp tất cả các tam giác vuông cân Xác ñịnh tất cả các quan hệ bao hàm giữa các tập hợp trên
Phần 2: Trắc nghiệm
Câu 1: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: X = { 2 }
I X ={0} II X ={1} III { }3
2
2
X =
Câu 2: Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp: {{{{ 2 }}}}
X ==== x∈∈∈∈ℝ x + + =+ + =+ + =+ + =x
I X ={0} II X =0 III X = ∅ IV X = ∅{ }
Câu 3: Trong các mệnh ñề sau, tìm mệnh ñề sai:
I A∈A II ∅ ⊂ A III A⊂ A IV A∈{ }A
Câu 4: Tập hợp X có bao nhiêu tập hợp con, biết tập hợp X có ba phần t ử:
Câu 5: Tập hợp A===={1, 2,3, 4,5,6} có bao nhiêu tập hợp con gồm 2 phần tử
I 30 II 15 III 10 IV 3
Câu 6: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là tập hợp rỗng:
Trang 7I {{{{x∈∈∈∈Z/ x <<<<1}}}} II {{{{ 2 }}}}
x∈∈∈∈Z| 6x −−−−7x+ =+ =+ =+ =1 0
III {{{{ 2 }}}}
x∈∈∈∈Q |x −−−−4x+ =+ =+ =+ =2 0 IV {{{{ 2 }}}}
x∈∈∈∈R x| −−−−4x+ =+ =+ =+ =3 0
Câu 7: Cho biết x là một phần tử của tập hợp A, xét các mệnh ñề sau:
(1) x∈A (2) {x}∈A (3) x⊂A (4) {{{{ }}}}x ⊂ A
Trong các mệnh ñề trên, mệnh ñề nào ñúng
I 1 & 2 II 1 & 3 III 1 & 4 IV 2 & 4
Câu 8: Số phần tử của tập hợp A = {{{{ 2 }}}}
x x∈∈∈∈Z x ≤≤≤≤ là :
I Một II Hai III Ba IV Năm
Câu 9: Các kí hiệu nào sau ñây dùng ñể viết ñúng mệnh ñề “7 là một số tự nhiên”
I 7⊂ N II 7∈N III 7<<<<N IV 7≤≤≤≤N
Câu 10: Trong các tập hợp sau ñây, tập hợp nào có ñúng một tập hợp con:
I ∅ II {1} III { }∅ , IV {{{{ }}}}∅;1
Câu 11: Cho A={0;1;2;3;4}; B={2;3;4;5;6} Tập hợp A\B bằng:
Câu 12: Cho A={0;1;2;3;4}; B={2;3;4;5;6} Tập hợp B\A bằng:
Câu 13: Cho số thực a<<<<0 ðiều kiện cần và ñủ ñể hai khoảng (−∞;9 )a và ( ;4 )
a +∞
có giao khác tập rỗng là:
I –2/3<a<0 II –2/3≤a<0 III –3/4<a<0 IV –3/4≤a<0
Câu 14: Cho A=[-4;7] và B=(-∞;-2)∪(3;+∞) Khi ñó A∩B là:
I.[ 4; 2)− − ∪(3;7] II.[ 4; 2)− − ∪(3;7) III (−∞; 2]∪(3;+∞ ) IV (−∞ − ∪ +∞; 2) [3; )
Câu 15: Cho A=(-∞;-2]; B=[3;+∞) và C=(0;4) Khi ñó tập (A∪B)∩C là:
I [3;4] II (-∞;-2]∪(3;+∞) III [3;4) IV (-∞;-2)∪[3;+∞)
Câu 16: Chọn khẳng ñịnh sai trong các khẳng ñịnh sau:
I ℕ∩ =ℤ ℕ II ℚ∪ =ℝ ℝ III ℚ∩ℕ*=ℕ * IV ℚ∪ℕ*=ℕ *
Câu 17: ChoA=[1; 4]; B=(2;6); C=(1;2) Khi ñó tập A∩ ∩B C là:
Câu 18: Cho A= ∈{x R | (2x− x2)(2x2 −3x− =2) 0}vàB= ∈{n N* | 3<n2 <30}
Câu 19: Cho hai tập A và B phân biệt thỏa mãn A∩ =B A Khẳng ñịnh nào sau ñây là
ñúng
I B⊂ A II A⊂B III A B\ ≠ ∅ IV B A\ = ∅
Trang 8Chương II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ HÀM SỐ BẬC HAI
§ 1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ
I LÝ THUYẾT
1.ðịnh nghĩa: Cho D ⊂ R hàm số f xác ñịnh trên D là 1 quy tắc ứng với mỗi x∈D là
1 và chỉ 1 số Khi ñó f(x) gọi là giá trị hàm số, x gọi là biến số , D gọi là tập xác ñịnh
* Nếu hàm số cho bằng công thức y= f x( ) khí ñó TXð của hàm số là tập các giá trị của x sao cho biểu thức ( )f x có nghĩa
* Chú ý: Với ( ) f x và ( ) g x là một ña thức thì :
f x có nghĩa ( ) ⇔ f x( )≥0 ( Biểu thức dưới dấu căn không âm)
( )
( )
f x
g x có nghĩa ⇔ g x( )≠0 ( Biểu thức ở mẫu khác 0)
2 ðồ thị hàm số:
Là tập hợp các ñiểm M x f x( ; ( )) với x thuộc D
Vậy ñiểm M x y( 0; 0)∈( ) :C y= f x( )⇔ y0 = f x( 0)
3 Sự biến thiên hàm số: Cho f(x) xác ñịnh trên D
−
−
−
−
* ðồ thị hàm ñồng biến là một ñường ñi lên từ trái qua phải, ðồ thị hàm nghịch biến là một ñường ñi xuống từ trái qua phải
4 Hàm số chẵn, hàm số lẻ :
* f gọi là chẵn trên D
⇔
− =
⇒ ðồ thị nhận Oy làm trục ñối xứng
* f gọi là lẻ trên D nếu
⇔
− = −
⇒ ðồ thị nhận O làm tâm ñối xứng
*Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ
Ví dụ 1: Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau
x
1 ) ( )
c f x
x
=
Giải:
Trang 9b) f(x) có nghĩa
1
9
x x
D x
x
> −
+ >
c) f(x) có nghĩa
0
1 1
4
4 4
x x
x
D x
+ < <
− + >
≥ −
Ví dụ 2: Xét tính ñồng biến, nghịch biến của hàm số f x( )= x2 −2x+2 trên (1;+∞)
Giải: Vì x2 −2x+ = −2 (x 1)2 + > ∀ ∈1 0 x R⇒ D= R
1, 2 (1; ); 1 2
∀ ∈ +∞ ≠ ta có: f x( )1 − f x( 2)= x12 −2x1 + −2 x22 −2x2 +2
−
− Vậy hàm ñồng biến trên (1;+∞)
Ví dụ 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau
2
a f x = x x − ) ( ) | 2b f x = x+ −1| | 2x−1| ) ( )c f x = x−1
Giải:
a) TXð: D=R nên x∀ ∈D⇒− ∈x D
Ta có: f(− = −x) | x| [(−x)2 − =2] | | (x x2 − =2) f x( )⇒ f x( ) là hàm số chẵn
b) TXð: D=R nên x∀ ∈D⇒− ∈x D
Ta có: (f − = − + − − − =x) | 2x 1| | 2x 1| | 2x− −1| | 2x+ = −1| f x( )⇒ f x( ) là hàm số lẻ c)TXð: D= +∞[1; )
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) có tập xác ñịnh là tập ñối xứng Chứng minh rằng f(x) luôn
phân tích ñược thành tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ
Giải:
Ta dễ dàng chứng minh ñược g(x) là hàm số chẵn, h(x) là hàm số lẻ
Trang 10II BÀI TẬP
Phần 1: Tự luận
Bài 1: Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau:
a)
2
1 1
x y
x
−
=
x y
+
=
− −
x y
+
=
1
1
x
−
Bài 2: Cho hàm số y= 5− +x 2x+3a ðịnh a ñể tập xác ñịnh của hàm số là ñoạn thẳng có ñộ dài = 1 ñơn vị
Bài 3:Cho hàm số
3
1 ( )
1
1
x
x x
f x
x
x x
>
+
=
+
a) Tìm tập xác ñịnh của hàm sốy= f x( )
b) Tính (0), (2), ( 3), ( 1)f f f − f −
Bài 4: Cho hàm số f x( )= x2 + x−1
a) Tìm tập xác ñịnh của hàm số
b) Dùng bảng số hoặc máy tính bỏ túi, tính giá trị gần ñúng của f(4), f( 2), ( )f π
chính xác ñến hàng phần trăm
Bài 5: Bằng cách xét tỉ số 2 1
−
(không yêu cầu lập bảng biến thiên của nó) trên các khỏang ñã cho:
a)
1
x y
x
= + trên mỗi khỏang (−∞ −, 1) và ( 1,− +∞)
3
x y
x
+
=
− + trên mỗi khỏang (−∞;3)và (3;+∞)
Bài 6: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y=3x4 +3x2 −2 b) y=2x3 −5x c) y= x x d)
y
+ + −
= + − −
Bài 7: Tìm m ñể ñiểm (1;2)A thuộc ñồ thị hàm số y=2x3 +mx2 +(2m+1)x+3m
Bài 8: Xác ñịnh a,b biết ñồ thị hàm số y=ax2 +bx+1ñi qua (1;3), ( 2; 1)A B − −