Ôn tập thi học kỳ 1 môn Toán khối 10

a.Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành và tọa độ tâm của hình bình hành đó.. b.Tìm tọa độ điểm E trên Ox sao cho ABEC là hình thang có đáy là AB và CE.[r]

A.Đại Số:

I.Các phép toán trên tập con của tập hợp R

Phương Pháp:

*Để tìm A B ta làm các bước sau:

+Vẽ trục số,sắp xếp các số từ nhỏ đến lớn,xác định dấu ngoặc(có dấu“=”là ],không có dấu”=” là ) +Gạch bỏ ở phía ngoài tập A và phía ngoài tập B.

+Phần trống còn lại là A B .

VD: Tìm 1; 2   0; 4 /////////(/////[ ]///////]/////////

- -1 0 2 4 + 

Khi đó: 1; 2     0; 4  0; 2

*Để tìm A B ta làm các bước sau:

+Vẽ trục số, sắp xếp các số từ nhỏ đến lớn và xác định các dấu ngoặc.

+Tô đậm tập A ,tô đậm tập B và gạch bỏ ở ngoài phần tô đậm.

+Phần được tô đậm là A B .

VD: Tìm 1; 2   0; 4 ////////( [ ] ]/////////////

- -1 0 2 4 + 

Khi đó: 1; 2   0; 4  ( 1; 4]

*Để tìm A B\ ta làm các bước sau:

+Vẽ trục số, sắp xếp các số từ nhỏ đến lớn và xác định các dấu ngoặc.

+Tô đậm tập A, gạch bỏ ở ngoài A và gạch bỏ tập B.

+Phần tô đậm không gạch bỏ là A B\ .Lưu ý : đổi dấu ngoặc tại điểm giao của phần tô đậm của A và

phần gạch bỏ của B.

VD: Tìm 1; 2 \ 0; 4   ////////( [/////////////]///////]////////////

- -1 0 2 4 + 

Khi đó: 1; 2 \ 0; 4   ( 1;0)

Bài tập :

1.Cho hai tập hợp A   x R/ 2  x 4và B   x R/ 1  x 5

Tìm A B A B A B ;  ; \ và R A B\ (  )

2 Cho hai tập hợp A   x R x/ 4 và B   x R x/  2

Tìm A B A B ;  ; A và

R

R

C

3 Tìm các tập hợp sau: ( 1;3) [0;5]  ; ( 2; 2]  1;3 ; R\ [ 1;5] và R\ ( 2;3] [0;  )

II.Xác định hàm số y ax b  và y ax 2bx c

1.Xác định hàm số y ax b  , có đồ thị là đường thẳng (d):

a.Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A và B :

Phương pháp: + Thế lần luợt tọa độ của điểm A và điểm B vào phương trình y ax b  .

+ Khi đó ta có hệ phương trình theo a và b Giải hệ phương trình tìm a và b.

+ Thay a và b vào phương trình y ax b  ta có hàm số cần tìm.

VD: Xác định hàm số y ax b  biết đồ thị của hàm số đi qua A(-1 ; 1) và B(1 ; 5).

Do hàm số có đồ thị đi qua hai điểm A(-1 ; 1) và B(1 ; 5) nên:

Vậy hàm số cần tìm là :

b.Đường thẳng (d) đi qua một điểm M và song song với đường thẳng (d’): y a x b '  '

Phương pháp: + Khi đó ta có a a ' và b b '.

+ Ta tiếp tục thay tọa độ điểm M vào phương trình y ax b  + Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế tìm b và suy ra phương trình của hàm số.

VD: Xác định hàm số y ax b  biết đồ thị của hàm số đi qua M(-1 ; 4) và song song với đường thẳng (d’) có phương trình: y2008 3 x

Do hàm số có đồ thị đi qua M(-1 ; 4) và song song với đường thẳng (d’) có phương trình:

2008 3

3

1

a

b

 



Vây hàm số cần tìm là : y  3x 1

c.Đường thẳng (d) đi qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng (d’): y a x b '  '

Phương pháp: + Khi đó ta có a a ' 1

+ Ta tiếp tục thay tọa độ điểm M vào phương trình y ax b  + Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế tìm b và suy ra phương trình của hàm số.

VD: Xác định hàm số y ax b  biết đồ thị của hàm số đi qua M(2 ; 3) và vuông góc với đường thẳng (d’) có phương trình: x2y 3 0

Do hàm số có đồ thị đi qua M(2 ; 3) và vuông góc với đường thẳng (d’) có phương trình:

y  x

1

2

a



Vây hàm số cần tìm là : y2x1

Lưu ý : a còn được gọi là hệ số góc của đường thẳng (d).

Bài tập:

Xác định hàm số y ax b  biết :

a/ Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ và điểm A(-2 ; 4)

b/ Đồ thị hàm số đi qua M(-2 ; -5) và song song với đường thẳng (d’): x y 10 0

c/ Đồ thị hàm số đi qua N(1 ; 4) và vuông góc với đường thẳng (d’): x3y 4 0

d/ Đồ thị hàm số đi qua I( -2 ; 0) và có hệ số góc bằng -3

2.Xác định hàm số y ax 2 bx c (a0), có đồ thị là một parabol (P).

Một số điểm cần nhớ về parabol :

b I



*Hoành độ đỉnh là và tung độ đỉnh là ( hoặc ).

2

b a



4a



2

b f a



*Có trục đối xứng

2

b x a

 

*Cắt trục tung thì x0, còn cắt trục hoành thì y0.

VD: Xác định hàm số y ax 2 bx 3 ( a0), biết đồ thị hàm số là một parabol (P) :

a/Đi qua hai điểm A(1 ; 0) và B(-1 ; 8).

Do parabol đi qua hai điểm A và B nên :

2 2



2 4 3

y x  x

b/Có đỉnh I(2 ; 7)

Do parabol có đỉnh I(2 ; 7) nên :

2

2 2

b

a



Vậy hàm số cần tìm là : y  x2 4x3

c/Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -3 và có trục đối xứng x 1.

Do parabol cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -3 và có trục đối xứng x 1 nên:

2

1 2

b

a

     



Vậy hàm số cần tìm là :y  x2 2x3

d/Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -1 và có tung độ đỉnh là -1

Do parabol cắt trục hoành tại điểm có hoành độ -1 và có tung độ đỉnh là -1 nên :

2

2

1 4

1 3

4 3

1

9

12

a

a

b a

b

b a

a

a

b



 

 



 





Vậy có hai parabol thỏa ycbt là : y x 24x3 và y9x212x3

Bài tập :

1.Xác định hàm số y2x2 bx c ( a0),biết đồ thị hàm số là một parabol :

a/Đi qua hai điểm A(0 ; -1) và B(4 ; 0)

b/Có đỉnh I(-1 ; -2)

c/Có trục đối xứng x1 và cắt truc tung tại điểm có tung độ bằng 4

d/Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1 ; -2)

2.Xác định hàm số y ax 24x c ( a0),biết đồ thị hàm số là một parabol :

a/Đi qua hai điểm A(1 ; -2) và B(2 ; 3)

b/Có đỉnh I(-2 ; -1)

c/Có trục đối xứng x2 và cắt truc hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

d/Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua điểm M(-2 ; 1)

3.Xác định hàm số y ax 2 bx c ( a0),biết đồ thị hàm số là một parabol :

a/Có đỉnh I(3 ; 4) và đi qua điểm M(-1 ; 0)

b/Đi qua điểm A(0 ; 2); B(3 ; 4) và có trục đối xứng x1 c/Có đỉnh I(-2 ; 1) và cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 3

d/Đi qua ba điểm A(1 ; 0), B(1 ; 6) và C(3 ; 2)

3.Tìm tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y mx n  và parabol (P): y ax 24x c

Phương pháp: Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và parabol (P) là nghiệm của hệ phương trình :

.Giải hệ phương trình tìm các chính là tọa độ các giao điểm nếu có.

2

y mx n

y ax bx c



   

Chú ý : Giải hệ bằng phương pháp thế và nếu hệ vô nghiệm thì đt(d) và parabol (P) không có giao điểm.

VD: Tìm giao điểm của đường thẳng (d):y x 4 và parabol (P) có phương trình :y x 24x2

Giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d) và parabol (P) là nghiệm của hệ phương trình :

1 1 1

2 2

2

2 4

2 2

3 3

1

x

y x

y x

x x

y

 

 











Vậy đường thẳng (d) và parabol (P) có hai giao điểm là : A(2 ; -2) và B(3 ; -1)

Bài tập:

1.Tìm giao điểm của đường thẳng (d):y2x3 và parabol (P) có phương trình :y x 24x3 2.Tìm giao điểm của đường thẳng (d):y3x2 và parabol (P) có phương trình :y2x24x3

III.Giải phương trình quy về bậc nhất, bậc hai:

1.Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Phương pháp:

+ Đặt điều kiện các biểu thức dưới mẫu khác 0.(dấu căn bậc hai dưới mẫu thì biểu thức trong căn lớn hơn 0) + Quy đồng mẫu số chung cho hai vế của phương trình ,bỏ mẫu và rút gọn

+ Giải phương trình vừa rút gọn tìm x và đối chiếu với điều kiện.

VD: Giải các phương trình sau:

3

x x



Điều kiện : 3   x 0 x 3.Phương trình đã cho trở thành:

2

3( )

2( )





 Vậy phương trình có nghiệm x2

x

2

1 0

1

2 0

2

2 0

x

x x

x

x x

 







   



Vậy phương trình có nghiệm

1( )

4( )







4

x 

Bài tập: Giải các phương trình sau:

2

2 2

2.Phương trình A B:

Phương pháp:

*Nếu ở ngoài dấu giá trị tuyệt đối có x2 nên áp dụng định nghĩa:

+Nếu A0 thì phương trình trở thành: A B .

+Nếu A0 thì phương trình trở thành : ( )A B

*Nếu ở trong dấu giá trị tuyệt đối có x2 nên áp dụng :

0 ( )

B

A B











  



VD: Giải các phương trình sau :

a/ 1 2 1

5

x

x  

Nếu x   1 0 x 1 thì phương trình trở thành :

2

1

4( ) 5

x







 Nếu x   1 0 x 1thì phương trình trở thành :

2

1

6( ) 5

x







 Vậy phương trình có ba nghiệm : x1;x4;x 6

b/ x24x 9 2x7

Ta có :

2

2 2

7 7

2 2

2( ); 8( )

x

x x

 















        

Vậy phương trình có 4 nghiệm x 2;x8;x 1 3;x 1 3

Bài tập: Giải các phương trình sau:

2

3.Phương trình A B :

Phương pháp: A B B 02 .Lưu ý:

A B







VD: Giải các phương trình sau:

a/

2

1

2

5

3

x

x

 





Vậy phương trình có nghiệm 5

3

x

b/

2

Bài tập: Giải các phương trình sau:

2

2

IV.Chứng minh bất đẳng thức:

*Dùng các hằng đẳng thức cơ bản:

VD: Chứng minh các bất đẳng thức:

a/

2 2

4 4 3 3

b a b a b ab a b

2 2

2 2

Bài tập: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

3 3 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

/

*Dùng bất đẳng thức Cô-Si :

Cho hai số dương a và b khi đó trung bình cộng hai số ( ) lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân

2

a b

hai số đó Dấu “=” xãy ra khi a = b

2

a b



Tương tự cho ba số dương a,b,c ta có: 3 Dấu “= ”xãy ra khi a = b = c

3

a b c

abc

VD: Chứng minh các bất đẳng thức sau biết a,b,c,d là các số dương :

a/ (a b)(1 1) 4

a b

2

a b



Tương tự cho hai số và ta có : 1 (2)

a

1

b

a b  a b

Lấy (1) nhân (2) theo từng vế ta có : (a b)(1 1) 4 ab 1 (a b)(1 1) 4 (dpcm)

b/ (a b b c c a )(  )(  ) 8 abc

2

a b



Tương tự ta có :b c 2 bc và c a 2 ca Khi đó nhân các BĐT cùng chiều ta có :

2 2 2

(a b b c c a )(  )(  ) 8 ab bc ca (a b b c c a )(  )(  ) 8 a b c

(a b b c c a)( )( ) 8abc (dpcm)

Bài tập: Chứng minh các bất đẳng thức sau biết a,b,c là các số dương:

2

1



  e/ Cho a, b,c là ba số dương thỏa 1 1 2 Chứng minh rằng :

B Hình học

I.Chứng minh đẳng thức vectơ:

Một số quy tắc và tính chất cần nhớ :

*Quy tắc cộng ba điểm : AB BC AC ( điểm cuối của vectơ thứ I là điểm đầu của vectơ thứ II ).

*Quy tắc trừ ba điểm :  AB AC CB  ( hai vectơ phải có cùng điểm đầu ).

*Quy tắc hình bình hành ABCD :  AB AD AC  (vectơ tổng là đường chéo hình bình hành ).

IA BI

IA IB







 

  

  

*G là trọng tâm tam giác ABC

2

0

GA GB GC







 

   

   

Lưu ý : Khi chứng minh đẳng thức vectơ:

Trước tiên ta kiểm tra xem đẳng thức có áp dụng được các quy tắc hoặc tính chất trên chưa

Nếu áp dụng được thì áp dụng để chứng minh Nếu chưa áp dụng được thì ta mới thực hiện chèn các điểm thích hợp để áp dụng và chứng minh.

VD:Cho tam giác ABC Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA và G là trọng tâm của tam giác ABC.

Chứng minh rằng :

a.NP AP AM BM BN NP MP BM BN (do BMPN là hình bình hành )

        

      

b.  AM BN CP   0   AM MP PA AA  0

c.  AN BP CM  0 Ta có:

1

2 1

2 1

2

     

     

     

AN BP CM   AB BA BC CB AC CA      

          

d.GM GN GP      0 2GA2GB2GC  0 2(GA GB GC    ) 0   2.0 0 (dung) e.Với điểm O tùy ý Chứng minh rằng: OA OB OC OM ON OP       

VP OM ON OP OA AM OB BN OC CP

OA OB OC VT

        

         

  

Bài tập:

Bài 1:Cho sáu điểm A,B,C,D,E,F.Chứng minh rằng :

a AB CD AD CB

b AB CD AC BD

   

   

     

     

Bài 2:Cho hình bình hành ABCD tâm O.Gọi I,J lần lượt là trung điểm của BC và AD.Chứng minh các đẳng thức vectơ sau:

/

       

        

    

Bài 3:Cho tứ giác ABCD.Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AD và BC K là trung điểm IJ.Chứng minh rằng:

a IA ID JB JC       b KA KD KB KC      

II.Hệ trục tọa độ:

1.Hệ trục toạ độ ĐềCác vuông góc :

 Trục x’Ox là trục hoành có vectơ đơn vị i

 Trục y’Oy là trục tung có vectơ đơn vị và j i  j 1.

 O(0 , 0) gọi là gốc toạ độ.

2.Toạ độ vectơ :

 u x y( ; )  u xi y j  

 Cho u x y( ; ) và v x y( '; ').Khi đó : ' và

'

x x

u v

y y







'

 



     



 u cùng phương với khi : v 0 ' ' 0

x y

xy x y

 Nếu A x y( ;A A) và B x y( ;B B)thì AB(x Bx y A; B y A).

 Phân tích theo hai vectơ khơng cùng phương và : x a b x ka hb  

3.Toạ độ điểm :

 A x y( ; )OA( ; )x y OA xi y j  

 M là trung điểm của đoạn thẳng AB  2

2

A B M

A B M

x

y







 G là trọng tâm của tam giác ABC  3

3

A B C G

A B C G

x

y





D A C B

AD BC





 

VD: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC.Biết A(2 ; 5);B(1 ; -2) và C(-5 ; 6)

a.Tìm toạ độ trung điểm BC và toạ độ trọng tâm của tam giác ABC

b.Tìm toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành

c.Tìm toạ độ điểm M sao cho MA2MB BC d.Phân tích vectơ a  ( 8;6)theo AB và AC

a.Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm của tam giác ABC ta cĩ :

1 ( 5)

2

2

2 6 2 2

B C

I I

B C

I I

y

y y







G là trọng tâm của tam giác ABC

2 1 ( 5)

2

3

3 3

A B C

G

A B C

G G

G

x

y y





Vậy G(-2/3 ; 3)

b.Do ABCD là hình bình hành nên: AD BC

mà AD(x Dx y A; Dy A) ( x D2;y D5) và BC(x C x y B; C y B) ( 6;8) 

Vì AD BC nên: 2 6 4 Vậy D(-4 ; 13)





  

d Ta cĩ ( ; ) (1 2; 2 5) ( 1; 7)

B A B A

C A C A





a k AB hAC

  

a AB AC

Bài Tập

1.Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(2 ; 4) ; B(1 ; 5) và BC 3 i j

a.Tìm toạ độ trung điểm AC và toạ độ trọng tâm của tam giác ABC

b.Tìm toạ độ điểm D sao cho ABDC là hình bình hành

c.Tìm toạ độ điểm M sao cho MA MB  3MC d.Phân tích vectơ AG theo AB và AC

2.Trong mặt phẳng Oxy cho A(-2 ; 3) ; B(5 ; 2) và G(2 ; -1).

a.Tìm toạ độ trung điểm AB và tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G làm trọng tâm b.Tìm toạ độ điểm D sao cho ABDG là hình bình hành

c Phân tích vectơ a  ( 3; 4) theo GB và GC d.Tìm toạ độ các đỉnh của IJK sao cho A,B,C lần lượt là trung điểm của IJ,JK và KI.

3 Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(-2 ; 3) ; B(5 ; 2) và C(-1 ; 0)

a.Tìm toạ độ trung điểm AB và toạ độ trọng tâm của tam giác ABC

b.Tìm toạ độ điểm D sao cho OBCD là hình bình hành

c.Tìm toạ độ điểm M sao cho MA MB MC   d.Phân tích vectơ a (4;8) theo CA và CB

4 Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm A(1 ; 3) ; B(5 ; 2) và C(-3 ; 0)

a.Tìm toạ độ trung điểm BC và toạ độ trọng tâm của tam giác ABC

b.Tìm toạ độ điểm D trên trục hồnh sao cho A,B,D thẳng hàng

c.Tìm toạ độ điểm M sao cho MA2MB MC d.Phân tích vectơ CG theo CA và CB

5.Trong mặt phẳng Oxy cho A(0 ; -3) ; B(-4 ; 1) và C(1 ; 1).

a.Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành và tọa độ tâm của hình bình hành đĩ b.Tìm tọa độ điểm E trên Ox sao cho ABEC là hình thang cĩ đáy là AB và CE

c.Tìm tọa độ điểm F trên Oy sao cho tam giác BCF cĩ trọng tâm trên Ox

d.Tìm toạ độ vectơ u2 AB AC 3BC